ВведениеТеория массивного и безмассового полей со спином 2,начиная с работ В. Паули и М. Фирца [1, 2], всегда присут-ствовала в литературе. Большая часть исследований вы-полнена в рамках формализма уравнений второго поряд-ка Паули-Фирца. Первое систематическое изучение тео-рии частицы со спином 2 в рамках теории релятивистскихволновых уравнений первого порядка выполнено Ф.И. Фе-доровым [3]. Оказалось, что частица со спином 2 требуетдля своего описания 30-компонентной волновой функции.Позднее это описание было заново переоткрыто и допол-нительно исследовано в работе Т. Редже [4].В формализме уравнений первого порядка для описа-ния поля используется набор из скаляра, 4-вектора, сим-метричного тензора второго ранга и тензора третьего ран-га, антисимметричного по одной паре индексов. В его ос-нове лежит лагранжев формализм, при этом все свойствасимметрии тензоров вместе с условиями связи на них со-держатся в исходном лагранжиане. Описания массивной и60Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruбезмассовой частиц существенно различаются. В частно-сти, в безмассовом случае существует специфическая ка-либровочная симметрия, которая обобщает калибровочнуюсимметрию в электродинамике Максвелла. Она была уста-новлена еще Паули и Фирцем [1, 2] (см. также недавние ра-боты [5–8]).Основные калибровочные скалярная и тензорная ком-поненты, входящие в описание безмассового поля соспином 2, определяются произвольным векторным полемΛα(x) следующими формулами [1, 2]:¯Φ= ▽αΛα, ¯Φαβ = ▽αΛβ+▽βΛα−12gαβ(x)▽σΛσ.Приводим их сразу в общековариантной форме. Калибро-вочные степени свободы не должны давать вклада в на-блюдаемые величины типа тензора энергии-импульса по-ля. Это приводит к необходимости выделять в безмассовомслучае калибровочные решения, оставляя только физиче-ски наблюдаемые некалибровочные.В сферически симметричном случае описание калиб-ровочных степеней свободы для поля со спином 2 требу-ет иметь в явном виде сферически симметричные решениядля безмассового поля со спином 1. Построение подобныхнезависимых решений уравнения для безмассовой части-цы со спином 1 является задачей данной работы.1. Безмассовая векторная частица, сфериче-ские волныНапомним подстановку для волновой функции в без-массовом уравнении Даффина-Кеммера для векторной ча-стицы в базисе сферической тетрады [9, 10]:xα = (t, r, θ, ϕ), dS2 = dt2 − dr2 − r2dθ2 − r2dϕ2,eα(0) = (1, 0, 0, 0), eα(1) = (0, 0,1r2 , 0),eα(2) = (1, 0, 0,1r sin θ), eα(3) = (0, 1, 0, 0),¯H= e−imth(r)D0,¯H1 == e−imt (h0(r)D0, h1(r)D−1, h2(r)D0, h3(r)D1, )t ,¯H2 = e−imt (E1(r)D−1,E2(r)D0,E3(r)D1,B1(r)D1,B2(r)D0,B3(r)D−1)t , (1)где Dα = Dj−m,σ(ϕ, θ, 0) — функции Вигнера, j =0, 1, 2, . . . , m = −j,−j + 1, . . . , j − 1, j. После раз-деления переменных в [10, 11] была получена система ра-диальных уравнений:−E′2− 2rE2 − ar√2(E1 + E3) = 0,imE1 − B′3− 1rB3 +ar√2B2 = 0,imE2 − ar√2(B1 − B3) = 0,imE3 + B′1 +1rB1 − ar√2B2 = 0,−imh1 +ar√2h0 = −E1, −imh2 − h′0 = −E2,−imh3 +ar√2h0 = −E3,h′3 +1rh3 +ar√2h2 = −B1,− ar√2h1 +ar√2h3 = −B2,−h′1− 1rh1 − 0 = 0, = −B3, (2)где a =pj(j + 1) и штрих обозначает производную по r.Известно, что на решениях можно диагонализировать опе-ратор пространственной инверсии [10]. В результате возни-кают два типа состояний с соответствующими ограничени-ями на радиальные функцииP = (−1)j+1, h0 = 0, h2 = 0, h3 = −h1,E3 = −E1, E2 = 0, B3 = B1;P = (−1)j , h3 = h1, B3 = −B1,B2 = 0, E3 = E1. (3)Отметим, что данная система уравнений должна до-пускать решения калибровочного типа, т.е. когда Ei =0, Bi = 0. При этих ограничениях система (2) принимаетвид−imh1 +ar√2h0 = 0, −imh2 − h′0 = 0,−imh3 +ar√2h0 = 0, h′3 +1rh3 +ar√2h2 = 0,− ar√2h1 +ar√2h3 = 0, −h′1− 1rh1 − ar√2h2 = 0.(4)Убеждаемся, что при четности P = (−1)j+1 уравнениядля чисто калибровочных решений имеют только триви-альное нулевое решение: h0 = h1 = h2 = h3 = 0. Вслучае другой четности P = (−1)j уравнения для калиб-ровочных решений примут видP = (−1)j , −imh1 +ar√2h0 = 0,−imh2 − h′0 = 0, h′1 +1rh1 +ar√2h2 = 0. (5)С помощью первого и второго уравнений можно исключитьпеременные h1 и h2. В результате приходим к тождествуh1 = −√ia2rmh0, h2 =irmh′0, − ddr√ia2rmh0−−1r√ia2rmh0 +1r√ia2mddrh0 = 0 ⇒ 0 ≡ 0.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 61Таким образом, функция h0(r) может быть любой h0(r) =Φ(r). При этом сопутствующие функции вычисляются поформуламh3(r) = h1(r) = −√ia2rmΦ(r), h2(r) =imddrΦ(r).(6)Данное свойство указывает на калибровочный характеррешений.Возвратимся к общей системе уравнений (4) и учтемограничения по четности. В случае P = (−1)j+1 имеемчетыре уравнения√aB22r− B′1− B1r+ imE1 = 0, E1 = imh1,B1 = h′1 +h1r, B2 =√2arh1. (7)Исключая из первого уравнения три переменные, находимd2dr2 +2rddr+ m2 − a2r2h1 = 0. (8)Подстановкой h1(r) = r−1/2F(r) уравнение можно при-вести к бесселеву видуd2dr2 +1rddr+ m2 − (j + 1/2)2r2F(r) = 0,z = mr, h1(r) =√1zJj+1/2(z). (9)Будем обозначать это решение символом 1:1) P = (−1)j+1, h0 = h2 = 0,h3 = −h1 = −√1zJj+1/2(z). (10)В случае четности P = (−1)j получаем шесть урав-нений:E′2 +√2arE1 + 21rE2 = 0, B′1 +B1r+ imE1 = 0,−√2aB1r+ imE2 = 0, E1 = −√ah02r+ imh1,E2 = h′0 + imh2, B1 = − ah2 √2r− h′1− h1r. (11)Исключая переменныеE1,E2 иB1, получаем три уравне-ния для векторных компонент:d2dr2 +2rddr− a2r2h0 + im√2arh1++imddr+1rh2 = 0,im√2a2rh0 +d2dr2 +2rddr+ m2h1++√2a2rddrh2 = 0,imddrh0 +√2a2rddr+1rh1++a2r2− m2h2 = 0. (12)С помощью третьего уравнения можно исключить пе-ременную h2h2 =imr2m2r2 − a2ddrh0 +√2arm2r2 − a2ddr+1rh1.(13)В результате первое и второе уравнения системы (12) при-водят к одному и тому же уравнению, в которое входят пе-ременные h0, h1d2h1dr2 +4r− mmr + a− mmr − adh1dr++m2 +2 − a2r2 +m2a(mr + a)− m2a(mr − a)h1++√ia2mrd2h0dr2 +"ia√2mr2 +√ im2(mr + a)−−√ im2(mr − a)dh0dr+√ima2r− ia3√2mr3h0 = 0.(14)Его можно решать, накладывая два условия:либо h0 = 0 иd2h1dr2 +4r− mmr + a− mmr − adh1dr++m2 +2 − a2r2 +m2a(mr + a)− m2a(mr − a)h1 = 0,(15)либо h1 = 0 и√ia2mrd2h0dr2 +"ia√2mr2 +√ im2(mr + a)−−√ im2(mr − a)dh0dr+√ima2r− ia3√2mr3h0 = 0.(16)Эти уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-на, т.е. имеют четыре регулярные особые точки.Вернемся к системе (12) и будем искать такое преобра-зование переменных, которое избавляет уравнения от мни-мой единицы и квадратных корней. Существуют две воз-можности:I. h0 =p2(j + 1)H0, h1 = ipjH1,h2 = ip2(j + 1)H2,d2dr2 +2rddr− jr2H0 − mjrH1−−ddr+2rH2 = 0,62Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.rumj + 1rH0 +d2dr2 +2rddr+ m2H1++j + 1rddrH2 = 0,mddrH0 +jrddr+1rH1++j(j + 1)r2− m2H2 = 0; (17)II. h0 = ip2jH0, h1 =pj + 1H1,h2 =p2jH2,d2dr2 +2rddr− j(j + 1)r2H0 + mj + 1rH1++mddr+2rH2 = 0,−mjrH0 +d2dr2 +2rddr+ m2H1++jrddrH2 = 0,−mddrH0 +j + 1rddr+1rH1++j(j + 1)r2− m2H2 = 0. (18)Рассмотрим случай I. Подставив выражения для H2 впервое и второе уравнения из (12), приходим к уравнениюследующего видаd2H1dr2 +4r− 2m2rm2r2 − j(j + 1)dH1dr++m2 +2 − j(j + 1)r2− 2m2rm2r2 − j(j + 1)H1++(j + 1)1mrd2H0dr2 +2mr2− 2mm2r2 − j(j + 1)××dH0dr+mr− j(j + 1)r3mH0= 0. (19)Данное уравнение можно, например, решать так:пусть H0(r) = 0, тогдаd2H1dr2 +4r− 2m2rm2r2 − j(j + 1)dH1dr++m2 +2 − j(j + 1)r2− 2m2rm2r2 − j(j + 1)H1 = 0;(20)пусть H1(r) = 0, тогдаd2H0dr2 +2r− 2m2rm2r2 − j(j + 1)dH0dr++m2 − j(j + 1)r2H0 = 0. (21)Оба уравнения принадлежат классу общего уравнения Гой-на.Аналогично рассматриваем случай II. В результатеприходим к уравнению (19), в котором множитель (j + 1)перед функциейH0 заменен на j. Естественно, что его ре-шения совпадают с (20) и (21).Ниже будет изложен другой способ анализа, приводя-щий к возможности построить решения в функциях Бессе-ля. Для этого нужно будет наложить условие Лоренца.2. Условие ЛоренцаУсловие Лоренца должно быть пересчитано к тетрад-ному представлению∇αΨα = 0, ∇αeα(a)Ψα = 0,(∇αeα(a))Ψα + eα(a)∂αΨα = 0. (22)Здесь предполагается использование декартового базиса.С учетом известного соотношения∇αeα (a) =√1−g∂∂xα√−geα(a)находим∇αeα(0) = 0, ∇αeα(1) =cos θr sin θ,∇αeα(2) = 0, ∇αeα(a) =2r.Следовательно, условие Лоренца примет вид∂tΦ0 − 1r∂θ +cos θsin θΨ1−− 1r sin θ∂ϕΨ2 −∂r +2rΦ3 = 0. (23)При разделении переменных в уравнении Даффина-Кеммера использовался циклический базис. Нужное пре-образование над 4-векторной составляющей ¯H1 = UH1задается следующей матрицейU =0BB@1 0 0 00 −√12√i200 0 0 10 √12√i201CCA,U−1 =0BB@1 0 0 00 −√120 √120 −√i20 −√i20 0 1 01CCA, (24)т. е. функции из (23) выражаются через циклические ком-поненты так:Ψ0 = ¯Ψ0, Ψ1 = − 1 √2¯Ψ1 +√12¯Ψ3,Ψ2 = −√i2¯Ψ1 − √i2¯Ψ3, Ψ3 = ¯Ψ3. (25)Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 63При этом условие Лоренца (23) примет вид∂t¯Ψ0 − 1r∂θ +cos θsin θ−√12¯Ψ1 +√12¯Ψ3−− 1r sin θ∂ϕ−√i2¯Ψ1 − √i2¯Ψ3−∂r +2r¯Ψ2 = 0.(26)Подстановка для векторной части волновой функции вциклическом базисе имеет вид¯H1 = e−imt0B@h0(r)D0h1(r)D−1h2(r)D0h3(r)D11CA=0B@¯Ψ0¯Ψ1¯Ψ2¯Ψ31CA. (27)Для функций ВигнераD выполняются рекуррентные соот-ношения [11]:∂ϕDσ = imDσ, ∂θD0 =a2D−1 − a2D1,−msin θD0 = −a2D−1 − a2D1, ∂θD1 =a2D0 − b2D2,−m − cos θsin θD1 = −a2D0 − b2D2,∂θD−1 =b2D−2 − b2D2,−m − cos θsin θD−1 = −b2D−2 − a2D0, (28)где a =pj(j + 1), b =p(j − 1)(j + 2). В связи сэтим из (26) получаем−imh0D0 +√12r∂θD−1 +−m + cos θsin θD−1h1++√12r−∂θD1 +−m − cos θsin θD1h3−−∂r +2rh2D0 = 0.Учтем в последнем соотношении рекуррентные формулы из(28)−imh0D0 +√12rb2D−2 − a2D0++−b2D−2 − a2D0h1+√12r−a2D0 − b2D2++−a2D0 − b2D2h3 −∂r +2rh2D0 = 0,откуда после приведения подобных находим−imh0D0 − √a2rh1D0 − √a2rh3D0−−∂r +2rh2D0 = 0.Таким образом, приходим к радиальному условию Лоренца−imh0 − √a2rh1 − √a2rh3 −ddr+2rh2 = 0.Учет ограничения по четности даетP = (−1)j+1, h0 = h2 = 0, h3 = −h1, (29)что приводит к тождеству 0 ≡ 0. Для P = (−1)j иh3 = h1 уравнение принимает вид−imh0 − √2a2rh1 −ddr+2rh2 = 0. (30)Условие (30) позволяет из системы трех уравнений (12)исключить переменную h0−imh0 =√2a2rh1 +ddr+2drh2.Рассматриваем по отдельности подстановки I (17) и II (18).Уравнения (17) дополняются условием Лоренца−mH0 =jrH1 +ddr+2rH2, (31)а для уравнений (18) условие Лоренца имеет видmH0 =j + 1rH1 +ddr+2rH2. (32)В случае I первое и второе уравнения системы (17) по-сле исключения функции H2 с помощью третьего уравне-ния приводят к одному и тому же уравнению, одно из нихможем отбросить, например первое. Из условия Лоренца(31) выразим переменную H0 и подставим в третье урав-нение системы (17), в результате получимd2dr2 +2rddr+ m2 − j(j + 1)r2H1 =2(j + 1)r2 H2,d2dr2 +2rddr+ m2 − j(j + 1)r2H2 =2jr2H1+2r2H2,(33)или в матричной формеΔH1H2=2r20 j + 1j 1H1H2.Диагонализируем матрицу смешивания¯H= T1H, T1ΔT−11¯H= T1AT−11¯H, H = T−11¯H,T1AT−11 =λ1 00 λ2=−j 00 j + 1,T1 =1 −11 j+1j, T−11 =12j + 1j + 1 j−j j.В результате система (33) преобразуется в следующуюd2dr2 +2rddr+ m2 − j(j − 1)r2¯H1 = 0,d2dr2 +2rddr+ m2 − (j + 1)(j + 2)r2¯H2 = 0. (34)64Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruПростой подстановкой данные уравнения приводятся кбесселевому виду¯H1(r) =√1r¯ F1(r),d2dr2 +2rddr+ m2 − (j − 1/2)2r2¯ F1 = 0,¯H2(r) =√1r¯ F2(r),d2dr2 +2rddr+ m2 − (j + 3/2)2r2¯ F2 = 0,I. z = mr, ¯H1(r) =√1zJj−1/2(z),¯H2(r) =√1zJj+3/2(z). (35)Исходные функции задаются соотношениямиI. H1 =j + 12j + 1¯H1 +j2j + 1¯H2,H2 = − j2j + 1¯H1 +j2j + 1¯H2. (36)Рассмотрим случай II. Первое и второе уравнения си-стемы (32) после исключения функцииH2 с помощью тре-тьего уравнения приводят к одному и тому же уравнению,одно из них можем отбросить, например первое. Из усло-вия Лоренца выразим переменную H0 и подставим в тре-тье уравнение системы (31), в результате получимd2dr2 +2rddr+ m2 − j(j + 1)r2H1 =2jr2H2,d2dr2 +2rddr+ m2 − j(j + 1)r2H2 ==2(j + 1)r2 H1 +2r2H2ΔH1H2=2r20 jj + 1 1H1H2.Диагонализируем матрицу смешивания¯H1¯H2= T2H1H2,T2AT−12 =λ1 00 λ2=−j 00 j + 1,T2 =1 - jj+11 1, T−12 = j+12j+1j2j+1− j+12j+1j+12j+1!.В результате уравнения примут вид (34). Простой подста-новкой они приводятся к уравнениям Бесселя (35). Исход-ные функции строятся так:II. H′′1 =j + 12j + 1¯H1 +j2j + 1¯H2,H′′2 = − j + 12j + 1¯H1 +j + 12j + 1¯H2. (37)Таким образом, в двух ситуациях получаем решения (36) и(37), в которых¯H1(r) =√1zJj−1/2(z), ¯H2(r) =√1zJj+3/2(z).Легко убедиться, что два решения I (36) и II (37) связанылинейным преобразованиемHII = T−12 T1HI == j+12j+1j2j+1− j+12j+1j+12j+1!1 −11 j+1jHI ==1 00 j+1jHI . (38)Следовательно, мы можем использовать только одинслучай: либо I , либо II (для определенности будем ис-пользовать вариант I ). Причем, поскольку уравнения дляфункцийH1 и ¯H1 не связаны между собой, то два линейнонезависимых решения можно выбрать так (обозначаем ихсимволами 2 и 3):2) ¯H1 =√1zJj−1/2, H1 =j + 12j + 1¯H1,H2 = − j2j + 1¯H1, H0 = −jzH1 −ddz+2zH2;(39)3) ¯H2 =√1zJj+3/2, H1 =j2j + 1¯H2,H2 =j2j + 1¯H2, H0 = −jzH1 −ddz+2zH2.(40)Преобразуем эти решения к переменным hih0 =p2(j + 1)H0, h3 = h1 = ipjH1,h2 = ip2(j + 1)H2.В результате получаем2) h3 = h1 = ipjj + 12j + 1√1zJj−1/2,h2 = −ijp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj−1/2,h0 =jp2(j + 1)(2j + 1)ddz− j − 1z√1zJj−1/2; (41)3) h3 = h1 = ipjj2j + 1√1zJj+3/2,h2 = ijp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj+3/2,h0 = −jp2(j + 1)(2j + 1)ddz+j + 2z√1zJj+3/2. (42)Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 653. Градиентное решениеИзвестно, что должны существовать калибровочныерешения градиентного типа. Найдем их явный вид, исхо-дя из определенияΨα(x) = ∂αΛ(x), Λ(x) = e−imtD0f(r),D0 = Dj−m,0(θ, ϕ, 0). (43)Тетрадное представление этого решения Ψα(x) =eβ(a)D0f(r) имеет видΨ(0) = eβ(0)Ψβ = −ime−imtD0f,Ψ(3) = eβ(3)Ψβ = e−imt dfdrD0,Ψ(1) = eβ(1)Ψβ = e−imt fr∂θD0,Ψ(2) = eβ(2)Ψβ = e−imt frimsin θD0.Преобразуя вектор Ψ(a) к циклическим компонентамΨ0 = ¯Ψ0, Ψ1 = −√12¯Ψ1 +√12¯Ψ3,Ψ2 = −√i2¯Ψ1 − √i2¯Ψ3, Ψ3 = ¯Ψ2,получаем¯Ψ(0) = −ime−imtD0f, ¯Ψ2 = e−imt dfdrD0,¯Ψ1 = − 1 √2e−imt fr∂θ +msin θD0,¯Ψ3 =√12e−imt fr∂θ − msin θD0. (44)Отсюда находим¯Ψ0 = −ime−imtD0f = e−imt¯h0D0,¯Ψ2 = e−imt dfdrD0 = e−imt¯h2D0,¯Ψ1 = − a √2e−imt 1rfD−1 = e−imt¯h1D−1,¯Ψ3 = − 1 √2e−imt arfD1 = e−imt¯h3D1. (45)Таким образом, выражения для радиальных компонент ка-либровочного вектора имеют вид¯h0(r) = −imf(r), ¯h2(r) =dfdrf(r),¯h1(r) = ¯h3(r) = −j(j + 1)/2rf(r). (46)Принимая во внимание ограничения по четности, заклю-чаем, что построенное калибровочное решение имеет чет-ность P = (−1)j .Будем предполагать, что скалярная функция Λ(x) яв-ляется решением уравнения Клейна-Фока-Гордона√1−g∂∂xα√−ggαβ ∂∂xβ Λ(x) = 0,∂2∂t2− ∂2∂r2− 2r∂∂r+1r2 l2Λ(x) = 0.С учетом подстановки Λ(x) = e−imtf(r)Dj−m,0(ϕ, θ, 0)имеем радиальное уравнениеd2dr2 +2rddr+ m2 − j(j + 1)r2f(r) = 0. (47)Подстановкой f(r) = r−1/2F(r) его можно привести кбесселеву типу с переменной z = mr:d2dr2 +2rddr+ m2 − (j + 1/2)2r2F(r) = 0,f(r) =√1zJj+1/2(z). (48)В результате находим четвертое решение4) h0 = −√izJj+1/2(z), h2 =ddz√1zJj+1/2(z),h1 = h3 = −pj(√j + 1)21z√zJj+1/2(z). (49)4. Сводка результатовНайдены четыре решения уравнения для безмассовогополя со спином 1. Первое (10) имеет вид1) P = (−1)j+1, h0 = h2 = 0,h3 = −h1 = −√1zJj+1/2(z). (50)Второе (41) можно переписать в форме2) h3 = h1 = ipjj + 12j + 1√1zJj−1/2 = A1√1zJj−1/2,h2 = −ijp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj−1/2 = A2√1zJj−1/2,h0 = −jp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj+1/2 = A0√1zJj+1/2. (51)Аналогично для третьего решения (42) имеем3) h3 = h1 = ij√j2j + 1√1zJj+3/2 = A1√1zJj+3/2,h2 = ijp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj+3/2 = A2√1zJj+3/2,h0 = −jp2(j + 1)(2j + 1)√1zJj+1/2 = A0√1zJj+1/2. (52)Четвертое решение описывается формулами (49).66Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruЭти решения можно проверить подстановкой в исход-ную систему (2), исключая в ней переменные Ei,Bi . Длярешения 1 получаем тождества. Для решения 22) h0 =√B0zJj+1/2, h1 = h3 =√B1zJj−1/2,h2 =√B2zJj−1/2получаемB0 =ij√2 pj(j + 1)B1, B2 = − j√2 pj(j + 1)B1.Для решения 33) h0 =√B0zJj+1/2, h1 = h3 =√B1zJj+3/2,h2 =√B2zJj+3/2получаемB0 =i(j + 1)√2 pj(j + 1)B1, B2 =(j + 1)√2 pj(j + 1)B1.Для решения 4 получаем тождества. В случае 2 убеждаем-ся, что оба ответа приводят к одному и тому же результату2)A0A1=B0B1=ij√2 pj(j + 1),A2A1=B2B1= − j√2 pj(j + 1).В случае 3 убеждаемся, что оба ответа также приводят кодному и тому же результату3)A0A1=B0B1=i(j + 1)√2 pj(j + 1),A2A1=B2B1=(j + 1)√2 pj(j + 1).Следует отметить, что из решений типа 2 и 3 можно об-разовать специальную линейную комбинацию, которая со-ответствует второму калибровочному решению (согласнообщей теории, из четырех решений два должны быть ка-либровочными, а два — физически интерпретируемыми)2j + 1j + 1h(2)1 +2j + 1jh(3)1 = i√√jz􀀀Jj−1/2 + Jj+3/2== i√√jz(2j + 1)1zJj+1/2. (53)Отсюда следует1j + 1h(2)1 +1jh(3)1 = ipj1z√1zJj+1/2.Далее находим, что1j(j + 1)jh(2)+(j+1)h(3)11==√ 12pj(j + 1)(2j + 1)−i√1zh0.Таким образом, найденная комбинация соответствует вто-рому калибровочному решениюhgauge1≡ j2j + 1h(2)1 +j + 12j + 1h(3)1 == −ipj(√j + 1)21zhgauge0 , (54)гдеhgauge0 = −p2(j + 1)j2j + 11zJj+1/2.ЗаключениеПостроенные четыре независимых решения для без-массовой частицы со спином 1 позволяют найти явныевыражения для четырех калибровочных решений систе-мы уравнений Паули-Фирца для безмассовой частицы соспином 2. Причем, в силу свойств функций Бесселя, со-ответствующие четыре набора 11-компонентных полевыхфункций для частицы со спином 2 оказываются имеющимисхожую структуру: они выражаются с точностью до мно-жителя 1/√z через функции Бесселя с индексами p =j−3/2, j−1/2, j+1/2, j+3/2, j+5/2. Это позволяетпредположить, что все решения основной системы ради-альных уравнений, а не только калибровочные, также име-ют схожую структуру. Основная система радиальных урав-нений имеет вид 11-связанных дифференциальных урав-нений 2-го порядка для 11-функций. Диагонализация опе-ратора пространственного отражения позволяет разбитьэту сложную систему на две подсистемы: одна из них ока-зывается простой и легко решаемой в функциях Бесселя,причем отмеченная простая структура решений в терминахфункций Бесселля также сохраняется. Вместе с тем лег-ко показать, что данное решение не является калибровоч-ным. Вторая система оказывается намного более сложной,состоящей из восьми связанных уравнений. Однако можноубедиться, что подстановки для отдельных функций с от-меченной выше общей структурой позволяют с использо-ванием свойств функций Бесселя преобразовать системувосьми радиальных уравнений в алгебраическую систему,хотя и довольно громоздкую. Этот дополнительный анализявляется предметом отдельной работы.