ВведениеМногослойные структуры (МС) применяются в установ-ках синхротронного излучения для транспортировки рент-геновских пучков, фокусирования излучения, при экстре-мальной ультрафиолетовой литографии (EUVL) и в астро-номии. Преимущественно МС выполняют функции отража-телей скользящего рентгеновского излучения. Для фокуси-ровки жестких рентгеновских лучей предложено создатьмногослойные Лауэ линзы [1]. Теоретические основы рент-геновской дифракции такими линзами описаны в [2]. Из-готовление многослойных Лауэ линз представляет собойсложную задачу, и первым шагом в этом направлении яв-ляется изучение Лауэ-дифракции в МС с постоянным пе-риодом [3]. Поэтому в данной работе рассмотрена теорияЛауэ-дифракции рентгеновских микропучков в МС с ис-пользованием формализма для пространственно-ограни-ченных рентгеновских полей [4, 5].1. Динамическая Лауэ-дифракция ограничен-ных рентгеновских пучков в мультислоеРассмотрим динамическую Лауэ-дифракцию рентге-новских лучей в секционированном мультислое с постоян-ным периодом d (рис. 1). Введем декартову систему коорди-нат: ось z направим вдоль облучаемой поверхности МС, аось x — нормально к ней. На пути распространения исход-ной плоской волны на расстоянии LS1 от поверхности МСрасположен пространственный ограничитель S1 (коллима-тор, щель), который выделяет микропучок шириной w1, па-дающий на поверхность МС под углом θ = θB+ω, где ω —малый угол отклонения. Амплитуду излучения на входнойповерхности обозначим через E(in)0 ; амплитуду проходя-щей и дифракционной волн на выходной поверхности МСобозначим E0 и E1 соответственно. Дифракционная ин-тенсивность регистрируется позиционно-чувствительнымдетектором (PSD), расположенным на расстоянии LPSD отвыходной поверхности МС.Уравнения дифракции рентгеновских лучей в про-странственно-периодических структурах [4, 5], с учетомграничных условий Лауэ-дифракции, дают решение дляамплитуды дифракционного микропучка в обратном про-странствеE0(qx, qz) =exp(iψLx)2πF0(qx, qz)E1(qx, qz) = ia1f exp(iψLx)2πF1(qx, qz),Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 89F0 =∞ Z−∞ cos(Lxξ2) − iζ sin(Lxξ2 )ξ/2!ˆ Yin(κ)dκF1 =∞ Z−∞sin(Lxξ2 )ξ/2ˆ Yin(κ) ˆ Yex(κ − qz)dκ,(1)где ξ = −pζ2 + 4fa1a−1, ζ = qx − (qz − 2κ) tan θB,a0 = πχ0/(λ cos θB), a1 = Cπχ1/(λ cos θB), a−1 =a1, θB — угол Брэгга, λ — длина волны рентгеновскогоизлучения в вакууме, C — поляризационный фактор, f —фактор затухания, зависящий от дефектов в МС.Рисунок 1. Схема Лауэ-дифракции в мультислое глубины Lx и толщи-ны Lz: w1,2 — поперечная ширина падающего и выходящего пучков;L(in),(ex)z — проекции на ось z (направлена вдоль входной грани) по-перечной ширины пучка для падающего излучения и для вышедшего измультислоя соответственно; LS1 — расстояние от щели S1 до входнойграни мультислоя (x = 0); LPSD — расстояние от выходной грани(x = Lx) до позиционно-чувствительного детектора PSD.Figure 1. Laue diffraction scheme in a multilayer structure withLx depth andLz thickness: w1,2 — cross-section width of incident and output beams;L(in),(ex)z — cross-section projections of incident and the output beamsonto the z axis (directed along the input face), respectively; LS1 — a distancefrom a S1 slit to the multilayer’s input face (x = 0); LPSD — adistance between the output face (x = Lx) and the position-sensitive detectorPSD.Если период МС, как на рис. 1, образован бислоем видаd = dt+db, то Фурье коэффициенты рентгеновской поля-ризуемости χ0,1 в направлении прохождения и дифракцииравныχ0 =χtdt + χbdbd,χ1 =χt − χbπsinπdtd.Здесь χt,b и dt,b — Фурье коэффициенты поляризуемостейи толщины верхнего (t) и нижнего (b) слоев.Распределение интенсивности рентгеновских волн вобратном пространстве при трехосевой схеме регистрациизависит от угловых положений образца ω и анализатораε [6, 7]. В симметричной геометрии Лауэ эти углы связа-ны с проекциями отклонения вектора дифракции от век-тора обратной решетки в горизонтальном и вертикальномнаправлениях соотношениями qx = k sin θB(2ω − ε) иqz = −k cos θBε. Множитель ˆ Yin(κ) в интеграле (1) выра-жает граничные условия дифракционной задачи на вход-ной поверхности МС и имеет видˆ Yin(κ) = P(κ,LS1)sin(κ2L(in)z )κ2, (2)где L(in)z = w1/ cos θB — ширина области на входнойповерхности МС, засвечиваемая падающим микропучком;P(κ,LS1) — пропагатор поля рентгеновской волны в Фу-рье пространстве [8], который в приближении Френеля ра-венP(κ,LS1) = exp−iλLS1κ24π cos2 θB.Второй множительˆ Yex(κ−qz) = P(κ−qz,LPSD)sinκ−qz2 L(ex)zκ−qz2(3)является коэффициентом пропускания дифракционнойволны в Фурье пространстве. Он зависит от ширины отра-женного рентгеновского пучка L(ex)z и выражается черезпропагаторP(κ − qz,LPSD) = exp −iλLPSD(κ − qz)24π cos2 θB!,описывающий распространение рентгеновского излученияот выходной поверхности МС до PSD. Важно отметить,что в приближении геометрической оптики пропагаторыP(κ,LS1) и P(κ − qz,LPSD) равны единице.Окончательное выражение для дифракционной интен-сивности в обратном пространстве, регистрируемой PSDпри рассеянии ограниченного фронта рентгеновской вол-ны в МС, запишется какI1(qx, qz) = |E1(qx, qz)|2. (4)Решения (1) с учетом (4) являются основными соотношени-ями для расчета карт рассеяния в обратном пространстве(RSM).2. Численное моделированиеВыполним численное моделирование углового распре-деления интенсивности рассеяния рентгеновских лучей отМСMo/Si. Структурные параметры МС и характеристикипадающего синхротронного излучения соответствуют па-раметрам и условиям работы [3]. Длина волны падающе-го синхротронного излучения λ = 0.1305 нм, период МСd = dMo + dSi = 7 нм, dMo = dSi = 3.5 нм, угол Брэг-га θB = 2.25 мкрад. Оптические константы компонент МСполучены с помощью онлайн сервиса рентгеновского сер-вера [9].Динамическая Лауэ-дифракция рентгеновских лучей вМС сопровождается маятниковым эффектом (Pendellösungeffect), когда интенсивность рентгеновского пучка прохо-дящей волны перекачивается в дифракционный и далее,90Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruс увеличением глубины, наоборот, интенсивность дифра-гированной волны передается в направление проходяще-го. При выполнении точного условия Брэгга выражения ин-тенсивности для проходящей и дифракционной рентгенов-ских волн в МС равныI0(x) = e−μ0x 􀀀cos2 (far1x) + sinh2 􀀀fai1x,I1(x) = e−μ0x 􀀀sin2 (far1x) + sinh2 􀀀fai1x,ar1 =Cπχr1λ cos θB, ai1 =Cπχim1λ cos θB,(5)где μ0 = 2 Im(a0) — линейный коэффициент по-глощения, lPen — период маятниковых осцилляций, ко-торый в симметричной геометрии Лауэ равен lPen =λ |cos θB| /C/|χ1|. При малых углах Брэгга cos θB ≈ 1,период маятниковых осцилляций обратно пропорционаленФурье коэффициенту рентгеновской поляризуемости χ1.Для рассматриваемого МСMo/Si и длины волны рентге-новского пучка λ = 0.1305 нм период маятниковых коле-баний равен lMoSiP = 38.2 мкм.На рис. 2 представлены распределения интенсивно-сти проходящей и дифракционной волн по глубине, иллю-стрирующие маятниковый эффект при соблюдении точно-го условия Брэгга: пунктирными линиями показаны резуль-таты в совершенном МС с фактором затухания f = 1, асплошными линиями — в дефектном с f = 0.8. ТолщинаМС составляет Lx = 2 lPen = 76.4 мкм, что соответ-ствует двум полным периодам маятниковых осцилляций.Рис. 2 (a) показывает, что при распространении рентгенов-ского пучка в МС интенсивность проходящей волны пере-качивается в дифракционную. На глубине x = 19.1 мкм,отвечающей половине маятникового периода, проходящаяволна переходит полностью (с поправкой на фотоэлектри-ческое поглощение) в дифракционную, которая достигаетздесь локального максимума. С дальнейшим ростом x про-исходит обратный процесс. Рис. 2 (b) демонстрирует влия-ние дефектов. И него следует, что наличие дефектов в МСведет к увеличению периода маятниковых осцилляций исмещению взаимного положения максимумов и минимумовинтенсивностей I0(x) и I1(x). Эти изменения объясняют-ся тем, что дефекты в МС снижают отражательную способ-ность периодической структуры. Аналогичное влияние де-фектов на маятниковые осцилляции наблюдается в случаединамической Лауэ-дифракции в кристалле [10].Зная глубину залегания максимумов и минимумов ди-фракционной интенсивности в МС Mo/Si, приступим кчисленному моделированию RSM. Расчеты выполним дляМС с секционной толщиной Lx = argmax(I1(x)) =lMoSiP /2 = 19.2 мкм Lx, при которой интенсивность ди-фракционной волны достигает максимума, и с толщинойLx = argmin(I1(x)) = lMoSiP = 38.2 мкм, отвечаю-щей минимуму (рис. 2).Результаты моделирования в рамках геометрическойоптики для МС с Lx = lMoSiP /2 приведены на рис. 3 (a),для МС с Lx = lMoSiP — на рис. 3 (b). Сравнивая между со-бой полученные карты, можно заметить, что для МС с сек-ционной глубиной, равной полному периоду маятниковыхосцилляций, возникает расщепление главного дифракци-(a)(b)Рисунок 2. Маятниковый эффект (Pendelösung effect) в совершенном (a)и несовершенном (b) мультислоеMo/Si: кривые I0,f , I1,f — прохо-дящая и дифракционная интенсивности в несовершенном мультислое cфактором затухания f = 0.8; кривые I0, I1 — проходящая и дифрак-ционная интенсивости в совершенном мультислое c фактором затуханияf = 1.Figure 2. Pendelösung effect within perfect (a) and imperfect (b)Mo/Simultilayers: curves I0,f , I1,f — transmission and diffraction intensities inan imperfect multilayer with damping factor f = 0.8; curves I0, I1 —transmission and diffraction intensities in a perfect multilayer with dampingfactor f = 1.онного пика рис. 3 (b). Данное расщепление объясняетсятем фактом, что в точных условиях Брэгга qx = qz = 0 наглубине x = Lx = lMoSiP основная часть дифракционнойинтенсивности перекачивается в проходящий пучок, из-зачего на RSM вблизи точки qx = qz = 0 возникает про-вал, но поскольку I1(lMoSiP ) не достигает нуля, то и зна-чения интенсивности в окрестности данной точки не нуле-вые. Однако если угол падения будет отклоняться от точ-ного условия Брэгга, то будет меняться характер распреде-ления маятниковых осцилляций по глубине МС, в частно-сти сократятся амплитуда и длина периода. В результатетаких изменений интенсивность дифракционной волны вточке x = lMoSiP не будет соответствовать положению ми-нимума, что повлечет рост регистрируемой интенсивности.При определенных значениях угла ω может сложиться си-туация, при которой там, где при точном соблюдении усло-вия Брэгга наблюдался минимум, расположится локальныймаксимум.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 91(a)(b)Рисунок 3. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционной ин-тенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мультислояMo/Si с граничными условиями в приближении геометрической опти-ки: (a) — Lx = lMoSiP /2; (b) — Lx = lMoSiP .Figure 3. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayerwith a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of the boundaryconditions in the geometrical optics approximation: (a) —Lx = lMoSiP /2;(b) — Lx = lMoSiP .Аналогичные расчеты выполним для пространственно-ограниченной рентгеновской волны с граничными услови-ями в приближении Френеля. Расстояние от щели до по-верхности МС равно LS1 = 30 мм, расстояние от выход-ной поверхности до PSD LP = 40 мм, ширина падающегопучка w1 ≈ Lz = 14 мкм (см. рис. 1). Результаты мо-делирования представлены на рис. 4. Сравнивая получен-ные RSM с картами, представленными на рис. 3, легко за-метить, что угловые распределения интенсивности рассе-яния рентгеновских лучей в случае геометрической оптикии в приближении Френеля сильно отличаются. Тем не ме-нее характерное расщепление центрального пика МС тол-щиной Lx = lMoSiP сохранилось.ЗаключениеТаким образом, мы теоретически исследовали Лауэ-ди-фракцию рентгеновских микропучков в секционированныхмультислоях. Как в геометрии Брэгга [4], так и для случаяЛауэ-дифракции микропучков при выполнении расчетовRSM всегда необходимо правильно выбирать граничныеусловия в приближении Френеля. Важно, что решение (1)справедливо только для мультислоев с постоянным пери-(a)(b)Рисунок 4. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционнойинтенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мульти-слоя Mo/Si с граничными условиями в приближении Френеля: (a) —Lx = lMoSiP /2; (b) — Lx = lMoSiP ; LS1 = 30 мм и LP = 40 мм.Figure 4. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayerwith a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of Fresnel boundaryconditions: (a) —Lx = lMoSiP /2; (b) —Lx = lMoSiP ;LS1 = 30 mm,LPSD = 40 mm.одом. При исследовании апериодических многослойныхструктур необходимо численно интегрировать уравнениярентгеновской дифракции [2].