ВведениеУлучшение прочностных характеристик традиционныхматериалов и использование новых высокопрочныхкомпозиционных материалов обусловило появлениелегких, экономичных тонкостенных конструкций всовременном машиностроении. В свою очередь, этопривело к необходимости использовать все более точныеметоды расчета на прочность. Интерес к исследованиюконтактных задач теории упругости с неизвестнойобластью активного взаимодействия контактирующихэлементов обусловлен, с одной стороны, необходимостьюрасчета все более сложных конструкций, встречающихсяв инженерной практике, с другой — фундаментальнымирезультатами, полученными сравнительно недавно втеории оптимизации, негладкого выпуклого и невыпуклогоанализов. Основное отличие таких задач от задач сизвестной границей контакта заключается в том, чтопри их математической формализации используютсянеравенства или (при вариационной постановке)могут возникнуть негладкие функционалы. Такиезадачи не могут быть линеаризованы, они являютсяконструктивно-нелинейными. При расчетах на прочностьпри конечномерной аппроксимации они сводятсяк некоторой задаче квадратичного программирования.Методам решения задач квадратичного программированияпосвящена книга [1]. В последнее время (применительно,в частности, к задачам конструктивно-нелинейноймеханики) интенсивно развивается теория вариационныхнеравенств. Основы теории вариационных неравенствзаложены в работах Ж.-Л. Лионса, Г. Дюво и др. [2].Разнообразным приложениям теории вариационныхнеравенств, в том числе и к задачам механики, посвященымонографии [3, 4]. Интересные задачи в механикеупругих конструкций с неизвестной областью активноговзаимодействия элементов конструкции рассмотреныв работе [5]. Систематическому применению методовоптимизации в решении конструктивно-нелинейныхзадач, в том числе и задач устойчивости упругих системс неудерживающими связями, посвящена книга [6].В работе рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии колеса со спицами,находящегося под действием силы, приложенной коси колеса. Используется вариационная постановка,30Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruчто позволяет учесть перемещения точки приложениясилы (центра колеса). Рассмотрена возможность потериустойчивости спиц, если сжимающая сила достаточновелика. В этом случае возникает контактная задачас неизвестной областью активного взаимодействияэлементов конструкции. Неизвестные перемещенияпредставляются в виде частичной суммы рядов Фурье.Тогда возникает задача выпуклого квадратичногопрограммирования при наличии линейных ограниченийнеравенств.1. Постановка задачиРассмотрим задачу на определение усилий,действующих в спицах велосипедного колеса, инапряжения, возникающего в ободе при приложении к осиколеса силы P (рис. 1). Основание, на которое опираетсяколесо, можно считать жестким. Число спиц m великонастолько, что позволяет рассматривать спицы не какотдельные стержни, а как непрерывную упругую средужесткости C (простое винклеровское основание).Рисунок 1. Кольцо, подкрепленное спицами и нагруженное силой P.Figure 1. Ring backed by spokes and loaded with force P.Пусть кольцо в недеформированном состоянииявляется кругом радиуса R, декартовы координатыкоторого определяются формулами(x = Rcos ϑ,y = Rsin ϑ,ϑ ∈ [0, 2π], (1)где 0 ≤ ϑ ≤ 2π — центральный угол. Обозначимчерез ξ = (−cos ϑ,−sin ϑ) нормаль, а через η =(−sin ϑ, cos ϑ) — касательный вектор. Перемещениеточек кольца в результате плоской деформацииописывается векторомW = u(ϑ)ξ + w(ϑ)η.Здесь под u принимается нормальное перемещениеточек кольца, а под w — тангенциальное перемещение.Тогда декартовы координаты деформированного кольцаописываются уравнениями(x = (R − u) cos ϑ − w sin ϑ,y = (R − u) sin ϑ + w cos ϑ.(2)Обозначим после деформации нормальный икасательный векторы к упругой линии через ξ∗, η∗.Векторы ξ, η могут быть переведены в векторы ξ∗, η∗ путемповорота на малый угол β. Предполагая, что перемещенияявляются малыми, можно записатьβ =1Rdudϑ+ w, (3)a изменение кривизны дуги кольца определяетсяформулой [7]δq =1Rd2udϑ2 +dwdϑ.Кроме того, выполнено условие несжимаемостиu = w′. (4)Расчетными характеристиками при деформацияхкриволинейных стержней являютсяM = −EJR2 (u′′+ u), Q =1RdMdϑ— момент и перерезывающая сила, распределенные поободу кольца. По известным M и Q вычисляютсянапряжения. Пусть J — момент инерции сечениякольца, F — площадь поперечного сечения спицы, E —модуль Юнга, B = EJ. Энергия упругой деформациикольца, c учетом условия несжимаемости, в квадратичномприближении определяется формулойU =B2R3Z 2π0δq2dϑ =B2R3Z 2π0d2udϑ2 + u2dϑ.(5)Энергия деформации спиц в случае неподвижного центракольца имеет видU1 =C2Z 2π0u2dϑ.Полная энергия записывается следующим образомU + U1 =B2R3Z 2π0(u′′ + u)2dϑ +C2Z 2π0u2dϑ. (6)Кроме того, должны быть выполнены граничные условияпериодичности и условия y􀀀 32π≥ −R, что приводитк неравенству u􀀀 32π≥ 0.В положении равновесия полная энергия (6)минимальна, поэтому выполнено уравнение ЭйлераBR3􀀀uIV + 2u′′ + u+ Cu = 0. (7)Если продифференцировать последнее уравнение по ϑ, тооно совпадет с уравнением равновесияd5wdϑ5 + 2d3wdϑ3 + a2 dwdϑ= 0, (8)гдеa2 =R4ηEJ+ 1, η =EFm2πR2 ,а m – число спиц. Решение этой задачи приведенов книге В.И. Феодосьева [5], где отмечено, что впервыеИзвестия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru31она была рассмотрена Н.Е. Жуковским. Предполагая,что спицы расположены достаточно часто, их можнопредставить как непрерывную упругую среду, тогда длялюбой точки обода колеса сила, действующая со стороныспиц, пропорциональна радиальному смещению u(ϑ).Также в работе [5] получено уравнение равновесия (8).Решением этого уравнения будетw = C0 + C1 ch(αϑ) cos(βϑ) + C2 sh(αϑ) sin(βϑ)++C3 ch(αϑ) sin(βϑ) + C4 sh(αϑ) cos(βϑ), (9)гдеα =ra − 12, β =ra + 12.Постоянные C0, ..., C4 находятся из следующихграничных условий:при ϑ =π2dwdϑ= 0, (10)при ϑ =3π2Q = −P2, (11)Z 3π2π2udϑ = 0. (12)Недостатком уравнения (8) является предположение,что центр колеса неподвижен. Учет перемещения центраколеса может существенно повлиять на величину усилийв спицах и на напряженно-деформированное состояниеобода колеса.Обозначим через t перемещение центра кольца вдольоси y, εj — относительное удлинение j-й спицы, j ∈1..m. После деформации расстояние между центромколеса и точкой обода определяется формулойρ =u2 − 2uR + w2 + R2 + 2ut sin ϑ −−2wt cos ϑ − 2Rt sin ϑ + t212. (13)В линейном приближении относительное удлинение спицы(ρ − R)/R будет иметь видεj =1R(−u(ϑj) − t sin ϑj) . (14)Работа внешних сил равнаV = Pt, (15)а энергия деформации спицы пропорциональна квадратуотносительного удлиненияUj =EF2Rε2j. (16)В положении равновесия полная потенциальнаяэнергия системы принимает минимальное значение,поэтому приходим к задаче на экстремумJ(u, t) =B2R3Z 2π0d2udϑ2 + u2dϑ ++Xmi=112REFε2i− Pt → minu,t. (17)Перемещения будем искать в виде частичных суммряда Фурьеw =Xni=1zi sin(iϑ) + zi+n cos(iϑ), (18)u =Xni=1izi cos(iϑ) − zi+ni sin(iϑ). (19)При этом должно выполняться условиеy3π2≥ −R, (20)что приводит к ограничениям на переменные z. Например,при n = 20 неравенство принимает вид−2z2 + 4z4 − 6z6 + 8z8 − 10z10 + 12z12 −−14z14 + 16z16 − 18z18 + 20z20 + z21 −−3z23 + 5z25 − 7z27 + 9z29 − 11z31 ++13z33 − 15z35 + 17z37 − 19z39 ≥ 0. (21)Чтобы исключить перемещения кольца вдоль оси x какжесткого целого, потребуем выполнение равенстваx(0) + x(π2) + x(π) + x(3π2) = 0, (22)откуда получаем (при n = 20)−4z1 − 4z3 − 12z5 − 12z7 − 20z9 −−20z11 − 28z13 − 28z15 − 36z17 = 0. (23)Подставляя (18),(19) в (17) приходим к некоторой задачевыпуклой оптимизации.Таким образом, приходим к задаче выпуклогоквадратичного программированияf(z) =B2R3Xni=1i2(i2 − 1)2(z2i + z2i+n) ++EF2RXmj=1(−u(ϑj) − sin ϑjz2n+1)2 −−z2n+1P → minz∈R2n+1, (24)ϑj =2π(j − 1)m, j = 1, . . . , m, z2n+1 = tпри ограничениях (20), (22).32Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru2. Результаты численных экспериментовРезультаты расчетов приведены на рис. 2–4 приследующих данных: E = 2.05 × 106 кгсм2 , P = 40 кг,радиус колеса — 31 см, момент инерции сечения обода —0.3 см4, диаметр спиц — 2r = 0.2 см.Рисунок 2. Распределение усилий по спицам колеса.Figure 2. The distribution of forces on the spokes of the wheel.Рисунок 3. Радиальное перемещение точек обода колеса.Figure 3. Radial movement of wheel rim points.Рисунок 4. Распределение моментов вдоль обода колеса.Figure 4. Moment distribution along the wheel rim.Вычисления по формулам (9)-(12) дают аналогичныерезультаты. В работе [5] приведены графикираспределения усилий по спицам и график моментов.Максимальный момент при заданных параметрах равен88.40 кг·см, максимальное сжимающее усилие на спицу —11.2 кг.Отрицательные усилия на спицах являютсясжимающими, поэтому при достаточно большой нагрузкеспицы могут потерять устойчивость. Критическая силаЭйлера при граничных условиях шарнирного опирания дляспиц равнаPЭ =π2EJcl2 =2.05 · 106π2 · Jc312 = 0.53 кг,где момент инерции сечения спицы Jc = πr44 = 7.85105 .Предположим, что спицы потеряли устойчивость. Тогдаупругая энергия спиц вычисляется по формулеUc =EF2RXmj=1εj2+,гдеεj2+ = max{0, εj} =|εj | + εj2.Введем дополнительные переменные z2n+2, z2n+3, . . . ,z2n+m+1 и рассмотрим задачуf(z) =B2R3Xni=1(i2(i2 − 1)2z2i + z2i+n)++12RXmj=1(−u(ϑj) − z2n+1 sin ϑj + z2n+1+j)2 → minz,(25)при ограниченияхz2n+1+j ≥ 0, j = 1, . . . ,m (26)и при выполнении ограничений (20) и (22). Результатырешения задачи (25), (26), (21) и (23) представлены нарис. 3–5.Рисунок 5. Распределение усилий по спицам колеса.Figure 5. The distribution of forces on the spokes of the wheel.Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru33Рисунок 6. Радиальное перемещение точек обода колеса.Figure 6. Radial movement of wheel rim points.Рисунок 7. Распределение моментов вдоль обода колеса.Figure 7. Moment distribution along the wheel rim.Потеря устойчивости спиц существенно влияетна напряженно-деформированное состояние колеса:радиальные перемещения по величине отличаются в трираза. Ясно, что в этом случае спицы не испытываютсжимающих усилий, максимальный момент в два разабольше, чем в случае решения задачи (25), (22), (23), (26).Потеря устойчивости спиц является нежелательнымявлением, поэтому при сборке колец испольуетсяпредварительное натяжение спиц. Предположим, чтопервоначальная длина спицы l меньше радиуса кольца:l = R − d. После деформации длина спицы изменяетсяна величинуρ =u2 − 2uR + w2 + R2 + 2ut sin ϑ −−2wt cos ϑ − 2Rt sin ϑ + t212. (27)Тогда для относительного удлинения вместо формулы (14)надо использовать формулуεj =1R − d(−u(ϑj) − t sin ϑj + d) .Таким образом, приходим к задаче квадратичногопрограммированияf(z) =B2R3Xni=1i2(i2 − 1)2(z2i + z2i+n) ++EF2(R − d)Xmj=1(−u(ϑj) − z2n+1 sin ϑj + d)2 −−z2n+1P → minz∈R2n+1, (28)ϑj =2π(j − 1)m, z2n+1 = t.На рис. 8 и 10 представлены результаты вычисленийпри d = R4000 = 314000 = 0.0078. В данном случае спицывообще не испытывают сжимающих усилий, момент в двараза меньше, чем в случае, когда спицы могут потерятьустойчивость (рис. 7).Рисунок 8. Распределение усилий по спицам колеса.Figure 8. The distribution of forces on the spokes of the wheel.На рис. 9 представлены результаты вычислений приd = R4500 = 314500 = 0.0069. Сравнение этих результатовпоказывет, что небольшое изменение предварительногонатяжения спиц незначительно влияет на напряженно-деформированное состояние колеса.Рисунок 9. Распределение усилий по спицам колеса.Figure 9. The distribution of forces on the spokes of the wheel.34Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruРисунок 10. Распределение моментов вдоль обода колеса.Figure 10. Moment distribution along the wheel rim.ЗаключениеТаким образом, вариационная постановка задачирасчета колеса со спицами позволяет учесть эффектпредварительного натяжения спиц. Этот эффект приводитк существенно другим результатам, и его необходимоучитывать при расчетах.