ВведениеИзвестные и простые условия дифракции Вульфа-Брэгга рентгеновских лучей в кристаллах основываютсяна принципе конструктивной интерференции и законе от-ражения. Похожие условия брэгговской дифракции мож-но записать для многослойных дифракционных решеток(далее — МДР). Их можно найти в ряде работ, напримерв [1, 2]. Однако они посвящены компланарной дифракции.Настоящая статья призвана восполнить этот пробел длянекомпланарной дифракции рентгеновских лучей в МДР.На рис. 1 представлена схема некомпланарной дифракции.Введем систему координат: пусть оси x и y направленывдоль поверхности МДР, ось z – уходит вглубь. МДР можетиметь произвольный азимутальный поворот вокруг оси z суглом φ. Период дифракционной решетки обозначим какdφ, период многослойного рентгеновского зеркала (МРЗ) –как dz. Считаем, что плоская волна с длиной волны λ иволновым вектором ⃗kT падает на МДР под углом скольже-ния ϑT , а отраженная волна распространяется с волновымвектором ⃗kR, направление которого можем обозначить по-лярным ϑR и азимутальным φR углами:8><>:⃗kT = k cos ϑT ⃗ex + k sin ϑT ⃗ez,⃗kR = k cos ϑR cos φR ⃗ex + k cos ϑR sin φR ⃗ey− k sin ϑR ⃗ez.(1)Модуль волновых векторов равен волновому числу в ваку-уме k = 2π/λ.Рисунок 1. Схема некомпланарной дифракции рентгеновской волны наМДР.Figure 1. Schematic representation of non-coplanar X-ray diffraction on multilayergrating.1. Обратное пространствоРентгенодифракционный анализ кристаллов принятопроводить в обратном пространстве. Исследование обрат-ного пространства кристаллов некомпланарной дифрак-ции в Брэгг- и Лауэ-геометрии можно найти в работе [3].Следуя этой традиции, рассмотрим вектор дифракции ⃗Qкак радиус-вектор обратного пространства МДР:⃗Q= ⃗kR −⃗kT . (2)Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru91Запишем определение (2) для каждой проекцииQx|y|z:8><>:Qx = k cos ϑR cos φR − k cos ϑT ,Qy = k cos ϑR sin φR,Qz = −k sin ϑT − k sin ϑR.(3)Равенства (3) будем называть прямыми соотношения-ми. Добавим к ним определенное условие:ϑR = 90◦ ⇒ φR = 0◦. (4)Углы в уравнениях (3) имеют естественные ограничения:8><>:0◦ < ϑT < 180◦,0◦ < ϑR < 180◦,− 90◦ < φR ⩽ 90◦.(5)Следовательно, есть ограничения для ⃗Q:8><>:Q2x + Q2y + Q2z⩽ 2kpQ2x + Q2z,(Qx ± k)2 + Q2y + Q2z⩾ k2,Qz ⩽ 0.(6)Все множество векторов ⃗Q, удовлетворяющих условию(6), назовем областью определения Q уравнений (3). Об-ласть Q показана на рис. 2. Она имеет форму половины то-ра, на торцах которого вырезаны две полусферы радиусомk. Если вектор ⃗Qпринадлежит Q, то возможны обратныесоотношения:8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:cos ϑT = −Qx2kC − sQz2ks(2k)2Q2x + Q2z− C2,cos ϑR = Sscos ϑT +Qxk2+Qyk2,sin φR =Qyk cos ϑR,(7)здесь S = sign(cos ϑT + Qx/k), C = 1 +Q2yQ2x+Q2z.Рисунок 2. Область определения Q.Figure 2. The definition region Q.Уравнения (3) имеют два решения, и знак s = ±1 раз-личает их. На рис. 3 синими (нижними) векторами показанорешение с s = +1, красными (верхними) — с s = −1.Рисунок 3. Два решения для ⃗Q. Одинарной линией показаны углы ϑT ,двойной — ϑR, тройной — φR.Figure 3. The two solutions for ⃗Q. Single lines show angles ϑT , double lines— ϑR, triple lines — φR.2. Брэгговские отраженияПериодичности кристаллической решетки в прямомпространстве соответствует сетка узлов, составленная извекторов обратной решетки ⃗h, в обратном пространстве.МДР имеет латеральную и вертикальную периодичность.Латеральной периодичности МДР сопоставим вектор⃗hφ = hφ cos φ⃗ex + hφ sin φ⃗ey, (8)вертикальной —⃗hz = −hz ⃗ez, (9)а сетке узлов обратной решетки МДР —⃗hm,n = m⃗hφ + n⃗hz, (10)гдеmи n — целые числа, называемые порядками дифрак-ции. Модули векторов равны hφ|z = 2π/dφ|z.Рисунок 4. Пример обратной решетки МДР.Figure 4. The example of a reciprocal lattice of multilayer grating.На рис. 4 показан пример сетки из узлов⃗hm,n. Цифрамиуказаны дифракционные порядки (m, n). Цветом выделе-ны точки с одинаковымиm. Все точки лежат в одной плос-кости. В моделировании используем следующие значенияпараметров (безразмерные):dφ = 1, dz = dφ/10, λ =p4/2125, φ = 30◦. (11)92Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruНа примере видно, как полусферы разрывают цепоч-ку узлов с n = 1. В связи с этим можно говорить о раз-решенных (реализуемых) и запрещенных (нереализуемых)дифракционных порядках.Запишем условие Вульфа-Брэгга в векторном виде дляМДР:⃗Q= ⃗hm,n. (12)Из (7) и(12) следуют решения:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:cos θ(T)m,n = −mλC cos φ2dφ+ snsd2φ(mdz cos φ)2 + (ndφ)2−λC2dz2,cos θ(R)m,n = Sscos θ(T)m,n +mλcos φdφ2++mλsin φdφ2,sin ϕ(R)m,n =mλsin φdφ cos θ(R)m,n.(13)ЗдесьS = signcos θ(T)m,n +mλcos φdφ,C =(mdz)2 + (ndφ)2(mhz cos φ)2 + (ndφ)2 .Если выполняется условиеϑT = θ(T)m,n, ϑR = θ(R)m,n, φR = ϕ(R)m,n, (14)то будем говорить, что наблюдается брэгговское отра-жение в (m, n)-й дифракционный порядок. Заметим:1) одному и тому же дифракционному порядку соответ-ствуют две конфигурации углов; 2) брэгговское отражениенекомпланарной дифракции характеризуется тремя угла-ми Брэгга.3. Дифракционные отражения и конусы ди-фракцииЕсли угол ϑT не соответствует точному условию (14), то,чтобы найти направление отраженной волны в (m, n)-йдифракционный порядок, необходимо использовать законотражения для МДР:⃗Q−⃗hm,n· ⃗ex|y = 0. (15)Уравнение (15) сохраняет только тангенциальные компо-ненты векторов ⃗kT и ⃗kR в условии Вульфа-Брэгга. Из (15)следует, что8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:cos θ(R)m = Sscos ϑT + mλ cos φdφ2++mλ sin φdφ2,sin ϕ(R)m = mλ sin φdφ cos θ(R)m,(16)здесь S = signcos ϑT + mλcos φdφ. Равенства (16)определяют углы дифракционного отражения θ(R)m и ϕ(R)m .Эти углы однозначны и не зависят от n. Углы брэгговскихотражений (13) являются частным случаем углов дифрак-ционных отражений (16): если ϑT = θ(T)m,n, то θ(R)m = θ(R)m,nи ϕ(R)m = ϕ(R)m,n.Рисунок 5. Пример конусов дифракции и брэгговских отражений отдель-ных (m, n)-х дифракционных порядков.Figure 5. The example of diffraction cones and Bragg’s reflections of individual(m, n)-diffraction orders.В некомпланарной геометрии волновые векторы диф-ракционных отражений направлены вдоль образующихлиний прямых круговых конусов. Пример с параметрами(11) демонстрирует на рис. 5 конусы дифракции. Стрел-ками указаны волновые вектора ⃗k(T)m,n и ⃗k(R)m,n отдельныхбрэгговских отражений, цифрами — номера дифракцион-ных порядков (m, n), цветная заливка конусов — допу-стимые направления дифракционных отражений. Неком-планарную дифракцию называют конической дифракци-ей. Прямой круговой конус дляm-дифракционного поряд-ка имеет раствор угла при вершине, равный 2αm, гдеαm = arccosmλ sin φdφ. (17)Ось конуса лежит на оси y. Если αm < 90◦, то расширениеконуса сонаправлено с осью y; если αm > 90◦, то рас-ширение будет в противоположную сторону от оси y; еслиαm = 90◦, то конус вырождается в диск.4. Компланарная дифракцияКомпланарная дифракция, когда векторы ⃗kT , ⃗kR и ⃗ezлежат в одной плоскости, является частным случаемнекомпланарной дифракции с углом φ = 0◦. Следователь-но, Qy = 0 и φR = 0, а основные решения значительноупрощаются:Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru938>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:cos ϑT|R = ∓Qx2k− sQz2ks(2k)2Q2x + Q2z− 1,cos θ(T|R)m,n = ∓mλ2dφ− snsd2φ(mdz)2 + (ndφ)2−λ2dz2,cos θ(R)m = cos ϑT +mλdφ.(18)Заметим, что если конфигурации углов (ϑT , ϑR) соответ-ствует вектор дифракции ⃗Q, то нетрудно убедиться, чтоконфигурации углов (ϑ′T , ϑ′R), гдеϑ′T = π − ϑR, ϑ′R = π − ϑT (19)соответствует тот же вектор дифракции ⃗Q.5. Карты обратного пространстваКартирование интенсивности рассеяния (RSM —reciprocal space mapping), когда строится двумерная картаконтуров равных интенсивностей в логарифмическом мас-штабе в координатах обратного пространства, являетсяважным методом анализа дифракционных данных. В ка-честве пары координат выбирают (Qy,Qx), (Qy,Qz) или(Qx,Qz). Исследование некомпланарной дифракции по-верхностных дифракционных решеток методом малоугло-вого рассеяния при скользящем падении пучка (GISAXS —grazing-incidence small-angle scattering) с помощью RSMможно найти в ряде работ [4–9]. На примере (11) проана-лизируем положение дифракционных отражений на RSM,представленных на рис. 6. На картах обратного простран-ства точкам соответствуют дифракционные отражения приугле ϑT ≈ 12.5◦, указаны числа m. Точечными линиямипоказано, как меняются положения дифракционных отра-жений в обратном пространстве при смене угла ϑT . Этилинии принято называть усеченными стержнями дифрак-ционной решетки (GTR – grating truncation rod). Если ди-фракционные отражения на картах (Qy,Qx) (рис. 6 a) вы-строены в линию, то дифракционные отражения на картах(Qy,Qz) (рис. 6 b) лежат на дуге, которую можно описатьканоническим уравнением эллипса:(Qy + k cos ϑT sin(2φ)/2)2(k sin φ)2 􀀀1 − cos2 ϑT sin2 φ++(Qz + k sin ϑT )2k2􀀀1 − cos2 ϑT sin2 φ = 1.(20)Из (20) следует, что, зная экспериментальный угол ϑTи точки (Qy,Qz) на линии дуги дифракционных отраже-ний, можно попытаться восстановить угол азимутальногоповорота φ.Рисунок 6. Примеры карт обратного пространства. Точками показаны ди-фракционные отражения для угла ϑT ≈ 12.5◦, точечными линиями —положения дифракционных отражений при смене угла ϑT ; цифрами ука-заны числаm.Figure 6. The examples of reciprocal space maps. Dots show diffraction reflectionsfor angle ϑT ≈ 12.5◦, dotted lines show positions of diffractionreflections when the angle changes; numbers indicatem.ЗаключениеПрименяя к МДР аналогичное условие Вульфа-Брэг-га, записанное для кристаллов в векторном виде, в ра-боте были получены углы Брэгга МДР в некомпланарнойдифракции. Условие брэгговского отражения МДР опре-деляется тремя углами. При углах Брэгга должно наблю-даться сильное дифракционное отражение. Однако законБрэгга не учитывает эффект преломления рентгеновскихлучей в МДР и конечного углового интервала дифракци-онного отражения. Понятно, что в этом случае необходи-мы поправки к углам, учитывающие эти эффекты. Здесьна помощь приходит закон отражения (15), который поз-воляет вычислить углы дифракционного отражения, еслиугол падающей волны отличается от условия Вульфа-Брэг-га. Если МДР имеет азимутальный поворот и ее штрихи неперпендикулярны волновому вектору падающей волны, тодифракционные отражения с числом m ̸= 0 будут рас-пределены вдоль образующих линий прямых круговых ко-нусов. Соответствующая дифракционному отражению об-ласть обратного пространства (6) представляет собой по-ловинку тора, из торцов которого исключены полусферы.Радиусы окружности и оси вращения тора, а также ради-ус полусфер равны волновому числу падающей волны. Этоприводит к тому, что для МДР так же, как и для кристаллов,существуют запрещенные и разрешенные дифракционныепорядки. Одному и тому же дифракционному порядку со-ответствуют две разные конфигурации углов падающей иотраженной волн.94Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruИсследование выполнено при финансовой поддержкеМинистерства науки и высшего образования России в рам-ках соглашения N 075-15-2021-1351.