Изучены контракции калибровочных моделей с ортогональными группами Кэли-Клейна SO(2; ϵ), SO(3; ϵ) и унитарными группами SU(2; ϵ) в качестве калибровочных групп. В пределе нулевых контракционных параметров ортогональные группы изоморфны неполупростым группам Евклида и Ньютона соответствующей размерности, а пространства полей материи становятся расслоенными пространствами с вырожденной метрикой. Особое внимание уделено согласованию спонтанного нарушения симметрии с процедурой контракции групп. Показано, что контрактированные калибровочные теории описывают тот же набор полей с теми же массами, что и теории с исходными простыми группами, если выбранный вакуум в соответствующем пределе принадлежал базе расслоенного пространства полей материи. Получены зависящие от контракционных параметров лагранжианы моде- лей, что позволяет проследить порядок обнуления слагаемых в лагранжианах при стремлении параметров контракции к нулю.
Contractions of gauge models with orthogonal Cayley-Klein groups SO(2; ϵ), SO(3; ϵ), unitary groups SU(2; ϵ) as gauge groups are studied. In the limit of zero contraction parameters, orthogonal groups are isomorphic to the nonsemisimple Euclidean and Newton groups of the corresponding dimension, and the spaces of matter fields become fibered spaces with a degenerate metric. Particular attention is paid to the coordination of spontaneous symmetry breaking with the group contraction procedure. It is shown that contracted gauge theories describe the same set of fields with the same masses as theories with the original simple groups, if the chosen vacuum in the corresponding limit belonged to the base of the fibered space of matter fields. Lagrangians of the models depending on the contraction parameters are obtained, which makes it possible to trace the order of zeroing of terms in the Lagrangians as the contraction parameters tend to zero.
ВведениеКалибровочные теории были предложены Янгоми Миллсом в 1954 г. [1] и в настоящее время рассматрива-ются как наиболее успешный метод описания фундамен-тальных взаимодействий в физике частиц, где в основномиспользуются компактные полупростые группы. Напри-мер, единое описание электромагнитных и слабых взаимо-действий в рамках стандартной модели Вайнберга–Сала-ма [2,3] основано на калибровочной группе SU(2)×U(1).Наппи и Виттеном было замечено [4], что можно рас-сматривать калибровочные теории и для неполупростыхгрупп, обладающих невырожденной инвариантной били-нейной формой. Такие теории имеют более простую струк-туру по сравнению со стандартными моделями с полупро-стыми калибровочными группами. Позже появились рабо-ты [5, 6], в которых рассматривались калибровочные тео-рии, отвечающие различным неполупростым группам. Кон-тракции стандартной электрослабой модели Вайнберга–Салама к калибровочной группе SU(2; ϵ)×U(1) описаныв [7].В данной работе рассматривается механизм спонтан-ного нарушения симметрии (механизм Хиггса) для калиб-ровочных моделей, основанных на неполупростых группах.Такие группы в фундаментальном представлении явля-ются группами преобразований расслоенных пространствс вырожденной метрикой и могут быть получены изклассических простых групп контракциями (предельны-ми переходами). Последовательность обнуления слагае-мых лагранжиана в процессе предельного перехода зада-ется явной зависимостью лагранжиана от параметра кон-тракции.28Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru1. Калибровочная теория для группы SO(2; ϵ).1.1. Единое описание модели. Рассмотрим преобразо-вание SO(2) калибровочной модели в галилееву калиб-ровочную теорию с помощью контракции группы враще-ний в группу Галилея. Пространство Φ2(ϵ) и группа G2 =SO(2; ϵ) Галилея могут быть получены из евклидовойплоскости Φ2 и группы SO(2) введением параметра кон-тракции ϵ и заменами ϕ2 → ϵϕ2, α → ϵα, при ϵ → 0.Калибровочные преобразования(ϕ′1(x)ϵϕ′2(x))==(cos ϵα(x) sin ϵα(x)−sin ϵα(x) cos ϵα(x))(ϕ1(x)ϵϕ2(x))(1)оставляют инвариантной форму ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21+ ϵ2ϕ22,которая при ϵ = 1 определяет евклидову метрику в про-странстве Φ2.Чтобы проследить поведение слагаемых при переходек пределу, введем параметр ϵ в стандартный лагранжи-ан [8]L(ϵ) = −ϵ2 14FμνFμν +12[(Dμϕ1)2 + ϵ2(Dμϕ2)2]−−λ4[(ϕ21+ ϵ2ϕ22)2 − v2]2, (2)где ковариантные производные даны соотношениемDμϕ(ϵ) = ∂μϕ(ϵ) + ϵeAμTϕ(ϵ),(Dμϕ′1ϵDμϕ′2)=(∂μ ϵeAμ−ϵeAμ ∂μ)(ϕ1ϵϕ2), (3)т. е.Dμϕ1 = ∂μϕ1 + ϵ2eAμϕ2,Dμϕ2 = ∂μϕ2 − eAμϕ1. (4)Механизм спонтанного нарушения симметрии (меха-низм Хиггса [9]) – это способ наделить массой калибро-вочные поля. Лагранжиан (2) имеет набор основных со-стояний, которые достигаются при нулевых векторных по-лях Aμ = 0 и ковариантно постоянных полях мате-рии Dμϕ = 0, обеспечивающих минимум потенциалаV (ϕ(ϵ)) = [ϕ21+ ϵ2ϕ22− v2]2, т. е.ϕ21+ ϵ2ϕ22= v2, v =√μλ. (5)Все основные состояния (рис. 1) (при ϵ ̸= 0) можно полу-чить с помощью калибровочных преобразований из одногоиз них, например,ϕvac =(v0), v =√μλ, (6)отвечающего точке A(v, 0) на рис. 1.ϕ2ϕ1χB(0, v/ε)A(v, 0)Рисунок 1. Эллипс вакуумов лагранжиана L(ϵ).Figure 1. Ellipse of vacua of the Lagrangian L(ϵ).Рассмотрим малые возбуждения χ(x) компоненты по-ля ϕ1(x) относительно выбранного вакуума ϕ1(x) = v +χ(x) (рис. 1). За счет калибровочных преобразований (1)компонента ϕ2(x) становится отличной от нуля. Подста-новка поля материи ϕ =(v + χϵϕ2)приводит лагран-жиан к видуL(ϵ) = Lb + ϵ2Ls,Lb =12(∂μχ)2 − μ2χ2 −√λμχ3 − λ4χ4,Ls = −14B2μν +e2v22B2μ+ eAμ (ϕ2∂μχ − χ∂μϕ2)++vχ(e2A2μ− λϕ22)+12χ2(e2A2μ− λ2ϕ22), (7)где Bμ = Aμ − 1ev ∂μϕ2 – калибровочное векторное полес массой mB = ev = √eμλ, χ – скалярное поле (хиггсов-ский бозон) с массой mχ = μ2, а также включены сла-гаемые, описывающие взаимодействия полей. При малыхϵ поле ϕ2 за счет калибровочных преобразований связа-но с вакуумом соотношением ϕ2(x) = α(x)(v + χ(x)).Вводя векторное поле ˆBμ = Aμ − 1ev ∂μα, преобразуемлагранжиан Ls к виду, содержащему только поле ˆBμ и еговзаимодействия с полем χLs = −14ˆB2μν +e2v22ˆB2μ+ ve2χˆB2μ+e22χ2 ˆB2μ. (8)Теория с калибровочной группой SO(2; ϵ) может бытьполучена из теории с группой SO(2) подстановкойv → v, ϕ1 → ϕ1, ϕ2 → ϵϕ2,Aμ → ϵAμ, Fμν → ϵFμν. (9)1.2. Калибровочная модель для группы Галилея G2.Теория с калибровочной группой Галилея G2 получаетсяиз теории с группой SO(2) переходом к пределу ϵ → 0.В этом пределе пространство полей материи Φ2 превра-щается в двумерное тривиально расслоенное простран-ство Φ2(ϵ), в котором ось {ϕ1} есть одномерная база,а ось {ϕ2} представляет одномерный слой. Инвариантϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21+ ϵ2ϕ22распадается на два инвариан-та : inv1 = ϕ21относительно общих преобразований (1)ϕ′1 = ϕ1, ϕ′2 = ϕ2 − αϕ1 и inv2 = ϕ22относитель-но только дискретных преобразований ϕ′2 = ±ϕ2 в слоеИзвестия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru29(ϕ1 = 0). Поэтому в пространстве Галилея есть две мет-рики: одна в базе, а другая в слое. Учтем в дальнейшем этуособенность.Пучок прямых, проведенных через точку, на этих двухплоскостях имеет разные свойства относительно автомор-физмов плоскости [10]. На евклидовой плоскости любыедве прямые пучка совмещаются друг с другом вращени-ями вокруг точки (рис. 2). На плоскости Галилея (рис. 3) впучке есть одна изолированная прямая, которая не совме-щается с любой другой прямой пучка вращениями вокругточки, т. е. преобразованиями Галилея.ϕ2ϕ1Рисунок 2. Пучок прямых на плоскости Евклида E2.Figure 2. Bundle of lines on the Euclidean plane E2.ϕ2ϕ1Рисунок 3. Пучок прямых на плоскости Галилея G2.Figure 3. Bundle of lines on the Galilean plane G2.Если интерпретировать эти плоскости в некотором фи-зическом контексте, тогда на евклидовой плоскости всепрямые должны иметь одну и ту же физическую размер-ность [ϕ1] = [ϕ2]. На плоскости Галилея имеется беско-нечно много прямых с той же физической размерностью,что и размерность базы [ϕ1] и одна изолированная пря-мая, имеющая некоторую другую размерность [ϕ2] ̸= [ϕ1][11]. Например, при интерпретации пространства Галилеякак пространства-времени классической физики база рас-сматривается как ось времени и имеет размерность [сек],а слой моделирует собственно пространство и имеет раз-мерность [см].Представления (7), (8) указывают порядок стремленияк нулю слагаемых в лагранжиане при переходе к пределуϵ → 0. Вначале считаем малым лагранжиан Ls, пропор-циональный ϵ2, затем в остатке получаем поле χ в базе(рис. 4) с лагражианом Lb = Lχ. Можно рассматриватьи обратный процесс восстановления полей и взаимодей-ствий при изменении параметра контракции ϵ от нуля доединицы.ϕ2ϕ1χA(v, 0)Рисунок 4. Основные состояния модели с калибровочной группой ГалилеяG2.Figure 4. Ground states of the model with the Galileo gauge group G2.Другой выбор основного состояния отвечает точкеB(0, vϵ ) на рис. 1. В пределе ϵ → 0 она попадает в слойϕ1 = 0, ϕ2 и описывается вектором ϕvac = (0, ϵ vϵ )t =(0, v)t. Лагранжиан (2) в слое инвариантен только относи-тельно дискретной калибровочной симметрии ϕ2 → −ϕ2.Малые возбуждения ξ поля ϕ2 в окрестности этого вакуумаописываются полем материи вида (рис. 5)ϕ(x) =(0v + ϵξ(x)), v =√μλ. (10)Подставив его в общий лагранжиан (2), получим лагранжи-ан в слоеL(ϵ) = ϵ2Lf == ϵ2[12(∂μξ)2 − μ2ξ2 − ϵ√λμξ3 − ϵ2 λ4ξ4]. (11)ϕ2ξV (ϕ2)ϕ2−vϵvϵvϵ−vϵ 0Рисунок 5. Потенциал V (ϕ2) и основные состояния лагранжиана в слое(ϕ1 = 0, ϕ2).Figure 5. Potential V (ϕ2) and ground states of the Lagrangian in fiber(ϕ1 = 0, ϕ2).Лагранжианы в базе Lχ (7) и слое Lf (11) имеют оди-наковый вид, совпадающий с формулой (5.8) в моногра-фии [8] для лагранжиана возмущений скалярного поля φс дискретной симметрией φ → −φ. Лагранжиан Lχ (7)не инвариантен относительно замены χ → −χ, так жекак Lf (11) не инвариантен относительно замены ξ → −ξ,поскольку основные состояния не инвариантны. След сим-метрии φ → −φ в лагранжианах Lχ, Lf остался в видесоотношения между массой поля μ2 и константами кубич-ного и четверного взаимодействий. Таким образом, в ка-либровочной теории с группой Галилея G2 поле материи(хиггсовский бозон) χ в базе и калибровочное поле Bμв слое представляют физически разные поля с разными30Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruфизическими размерностями, подобно тому, как время (ба-за) и пространство (слой) в пространстве-времени Галилеяявляются разными физическими сущностями. Тем не менееразмерности масс хиггсовского бозона mχ =√2μ и век-торного бозона mB = ev = √eμλодинаковы и в точноститаковы же, как и в неконтрактированной SO(2) калибро-вочной теории.В калибровочной теории с группой SO(2; ϵ) при ϵ ̸= 0в качестве вакуума можно выбрать любое основное со-стояние на эллипсе рис. 1. Однако для того, чтобы полу-чить теорию с полной, зависящей от одного вещественно-го параметра группой Галилея G2 при переходе к пределуϵ → 0, необходимо, чтобы выбранный вакуум принадле-жал базе в этом пределе (см. рис. 4). Если же вакуум мо-дели отвечает, например, точке B на рис. 1, то в пределеполучаем модель с дискретной симметрией, являющейсядискретной подгруппой исходной калибровочной группы.2. Калибровочные теории с группами SO(3; ϵ)2.1. Единая калибровочная модель. Ортогональнаягруппа Кэли-Клейна SO(3; ϵ), ϵ = (ϵ1, ϵ2) определя-ется [11] как группа преобразований вещественного про-странства Φ3(ϵ), оставляющая инвариантной квадратич-ную формуϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21+ ϵ21ϕ22+ ϵ21ϵ22ϕ23. (12)Калибровочные преобразования полей материи ϕ(ϵ) осу-ществляются элементами ω(x; ϵ) ∈ SO(3; ϵ) в видеϕ′(x) = ω(x; ϵ)ϕ(x),ϕ′1ϵ1ϕ′2ϵ1ϵ2ϕ′3 ==ω11 ϵ1ω12 ϵ1ϵ2ω13ϵ1ω21 ω22 ϵ2ω23ϵ1ϵ2ω31 ϵ2ω32 ω33ϕ1ϵ1ϕ2ϵ1ϵ2ϕ3. (13)Здесь контракционные параметры независимо стремятсяк нулю ϵk → 0, k = 1, 2. Генераторы алгебры Ли so(3; ϵ)имеют видT1 =0 −ϵ1 0ϵ1 0 00 0 0, T2 =0 0 −ϵ1ϵ20 0 0ϵ1ϵ2 0 0,T3 =0 0 00 0 −ϵ20 ϵ2 0 (14)и удовлетворяют коммутационным соотношениям[T1, T2] = ϵ21T3, [T2, T3] = ϵ22T1, [T3, T1] = T2. (15)Калибровочные поля принимают значения в алгебреso(3; ϵ)Aμ(x) = gTaAaμ(x) == g0 −ϵ1A1μ−ϵ1ϵ2A2μϵ1A1μ 0 −ϵ2A3μϵ1ϵ2A2μ ϵ2A3μ0. (16)Тензор напряженностиFμν(x) = ∂μAν(x) − ∂νAμ(x) + [Aμ(x),Aν(x)] == gTaFaμν(x) (17)в компонентах имеет видF1μν = ∂μA1ν− ∂νA1μ + ϵ22g(A2μA3ν− A3μA2ν),F2μν = ∂μA2ν− ∂νA2μ + g(A3μA1ν− A1μA3ν),F3μν = ∂μA3ν− ∂νA3μ + ϵ21g(A1μA2ν− A2μA1ν). (18)Ковариантная производная задается соотношениемDμϕ(ϵ) = [∂μ + gT(Aμ)]ϕ(ϵ) или в матричном видеDμϕ1ϵ1Dμϕ2ϵ1ϵ2Dμϕ3 ==∂μ −ϵ1gA1μ−ϵ1ϵ2gA2μϵ1gA1μ ∂μ −ϵ2gA3μϵ1ϵ2gA2μ ϵ2gA3μ ∂μϕ1ϵ1ϕ2ϵ1ϵ2ϕ3(19)и действует на компоненты поля ϕ(ϵ) по формуламDμϕ1 = ∂μϕ1 − gϵ21(A1μϕ2 + ϵ22A2μϕ3),Dμϕ2 = ∂μϕ2 + g(A1μϕ1 − ϵ22A3μϕ3),Dμϕ3 = ∂μϕ3 + g(A2μϕ1 + A3μϕ2). (20)Полный лагранжиан модели L(ϵ) = LA(ϵ) + Lϕ(ϵ)определяется как сумма лагранжиана калибровочных по-лейLA(ϵ) =18g2 Tr(Fμν(ϵ))2 == −14[ϵ21(F1μν)2 + ϵ21ϵ22(F2μν)2 + ϵ22(F3μν)2] (21)и лагранжиана полей материиLϕ(ϵ) =12(Dμϕ(ϵ))t(Dμϕ(ϵ)) − V (ϕ; ϵ), (22)где потенциал выбирается в видеV (ϕ; ϵ) =λ4(ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) − μ2λ)2. (23)В явном виде с учетом (18) калибровочный лагранжиан за-пишетсяLA(ϵ) = −[ϵ21(F1μν)2 + ϵ21ϵ22(F2μν)2 + ϵ22(F3μν)2]−−ϵ21ϵ22[L(3)A (ϵ) + L(4)A (ϵ)]. (24)Слагаемые третьего и четвертого порядков по полям равныL(3)A (ϵ) = 2g[F1μν(A2μA3ν− A3μA2ν)++F2μν(A3μA1ν− A1μA3ν) + F3μν(A1μA2ν− A2μA3ν)],L(4)A (ϵ) = g2 [ϵ22(A2μA3ν− A3μA2ν)2++(A3μA1ν− A1μA3ν)2 + ϵ21(A1μA2ν− A2μA3ν)2], (25)Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru31аFaμν = ∂μAaν−∂νAaμ есть тензор напряженности в плос-ком пространстве.Основные состояния лагранжиана L(ϵ) = LA(ϵ) +Lϕ(ϵ) представляют собой конфигурацию полей, обнуля-ющих калибровочный лагранжиан LA(ϵ) = 0 и доставля-ющих минимум потенциалу (23). Основные состояния реа-лизуются на поляхAμ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)∂μω−1(x; ϵ), ω(x; ϵ) ∈ SO(3; ϵ),ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21+ϵ21ϕ22+ϵ21ϵ22ϕ23= v2, v =√μλ, (26)которые при Aμ(x; ϵ) = 0 лежат на эллипсоиде («сфере»радиуса v) (рис. 6) в пространстве полей материи, задава-емом уравнением (26), и могут быть получены калибровоч-ными преобразованиямиϕ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)ϕvac,A′μ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)Aμ(x; ϵ)ω−1(x; ϵ)++ω(x; ϵ)∂μω−1(x; ϵ) (27)из одного основного состояния, выбираемого из соображе-ний простоты в видеAμ(x; ϵ) = 0, (ϕvac)t = (v, 0, 0)t (28)(точка A на рис. 6).C(0,0, vϵ1ϵ2 )χA(v,0,0)B(0, vϵ1,0)ϕ3ϕ1ϕ2Рисунок 6. Эллипсоид основных состояний лагранжиана L(ϵ).Figure 6. The ellipsoid of the ground states of the Lagrangian L(ϵ).Далее в механизме Хиггса рассматриваются малые (ли-нейные) возбуждения поля ϕ1 в окрестности вакуумаϕ1(x) = v + χ(x), ϕ2(x), ϕ3(x). (29)Для нового поля ϕ(x) полный лагранжиан модели прини-мает видL(ϵ) = L(2)(ϵ) + L(3)(ϵ) + L(4)(ϵ). (30)Квадратичный по полям лагранжианL(2)(ϵ) =12(∂μχ)2 − μ2χ2++ϵ21[−14(B1μν)2 +g2v22(B1μ)2]+ ϵ22[−14(F3μν)2]++ϵ21ϵ22[−14(B2μν)2 +g2v22(B2μ)2], (31)где введены новые поляB1μ= A1μ +1gv∂μϕ2, B2μ= A2μ +1gv∂μϕ3, (32)о√писывает массивное скалярное поле материи χ, mχ =2μ — хиггсовский бозон, два массивных векторных поля(k = 1, 2) с одинаковыми массами Bkμ, mB = gv = √gμλи безмассовое поле A3μ. Взаимодействия полей описыва-ются слагаемыми третьего L(3)(ϵ) и четвертого L(4)(ϵ)порядков по полямL(3)(ϵ) = −λvχ3 + ϵ21{−λvχ(ϕ22+ ϵ22ϕ23)++g[A1μ (χ∂μϕ2 − ϕ2∂μχ)++ϵ22A2μ (χ∂μϕ3 − ϕ3∂μχ)++ϵ22A3μ (ϕ2∂μϕ3 − ϕ3∂μϕ2)]++g2v[A1μ(A1μχ − ϵ22A3μϕ3)++ϵ22A2μ(A2μχ + A3μϕ2)]}−−ϵ21ϵ22g2[F1μν(A2μA3ν− A3μA2ν)++F2μν(A3μA1ν− A1μA3ν)++F3μν(A1μA2ν− A2μA1ν)], (33)L(4)(ϵ) = −λ4χ4 + ϵ2112{−λχ2 (ϕ22+ ϵ22ϕ23)−−ϵ21λ2(ϕ22+ ϵ22ϕ23)2++g2[ϵ21(A1μϕ2 + ϵ22A2μϕ3)2++(A1μχ − ϵ22A3μϕ3)2++ϵ22(A2μχ + A3μϕ2)2]−−ϵ22g2[ϵ22(A2μA3ν− A3μA2ν)2++(A3μA1ν− A1μA3ν)2++ϵ21(A1μA2ν− A2μA1ν)2]}. (34)Полезно отметить, что теории с калибровочной группойКэли-Клейна SO(3; ϵ) могут быть получены из SO(3) ка-либровочной теории (формулы (30)–(34) при ϵ1 = ϵ2 = 1)заменойv → v, χ → χ, ϕ2 → ϵ1ϕ2, ϕ3 → ϵ1ϵ2ϕ3,A1μ→ ϵ1A1μ, A2μ→ ϵ1ϵ2A2μ, A3μ→ ϵ2A3μ, (35)илиB1μ→ ϵ1B1μ, B2μ→ ϵ1ϵ2B2μ, F3μν→ ϵ2F3μν (36)для новых полей.32Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru2.2. Калибровочная модель для группы Евклида E3χA(v,0,0)ϕ3ϕ1ϕ2Рисунок 7. Плоскости основных состояний лагранжиана L(ϵ1).Figure 7. Ground state planes of the Lagrangian L(ϵ1).При ϵ1 → 0, ϵ2 = 1 группа SO(3) контрактирует-ся в неполупростую группу Евклида E3. Метрика в про-странстве полей материи вырождается ϕt(ϵ1)ϕ(ϵ1) =ϕ21+ϵ21(ϕ22+ϕ23), и Φ3(ϵ1) становится расслоенным про-странством с одномерной базой {ϕ1} и двумерным сло-ем {ϕ2, ϕ3} (рис. 7). Лагранжиан (30)–(34) преобразуетсяк видуL(ϵ1) = Lb(ϵ1) + ϵ21Lf (ϵ1) + ϵ41Lint(ϵ1),гдеLb(ϵ1) =12(∂μχ)2 −μ2χ2 −λϕ0χ3 − λ4χ4 − 14(F3μν)2,Lf (ϵ1) == −14(B1μν)2 +g2v22(B1μ)2 − 14(B2μν)2 +g2v22(B2μ)2++L(3)f (ϵ1) + L(4)f (ϵ1),Lint(ϵ1) − λ2(ϕ22+ ϕ23)2++g2[(A1μϕ2 + A2μϕ3)2 −(A1μA2ν− A2μA1ν)2]. (37)Здесь L(3)f (ϵ1) дается выражением (33) при ϵ2 = 1 безслагаемого −λϕ0χ3, а L(4)f (ϵ1) имеет видL(4)f (ϵ1) ==12{−λχ2 (ϕ22+ ϕ23)+ g2[(A1μχ − A3μϕ3)2++(A2μχ + A3μϕ2)2]−−g2[(A2μA3ν− A3μA2ν)2+(A3μA1ν− A1μA3ν)2]}.(38)Лагранжиан в базе Lb(ϵ1) описывает хиггсовский бозонχ со стандартной массой mχ =√2μ, его самодействиеи безмассовое векторное поле A3μ. Лагранжиан в слоеLf (ϵ1) описывает два массивных векторных поляB1μ, B2μ(32) с одинаковыми массами mB = gv и различныевзаимодействия полей. Помимо этого, контрактированныйлагранжиан L(ϵ1) содержит слагаемые, пропорциональ-ные ϵ41, которые отвечают взаимодействию полей четверт-ного порядка.Как и в случае калибровочной группы SO(2; ϵ), засчет калибровочных преобразований, связывающих ваку-ум в точке A(v, 0, 0) с полями ϕ2, ϕ3, можно преобразо-вать лагранжиан L(ϵ1) к виду, содержащему только ка-либровочные поля ˆ B1μ, ˆ B2μ,A3μ, поле хиггсовского бозонаχ и взаимодействия между ними.Представления (37), (38) описывают порядок стремле-ния к нулю слагаемых в лагранжиане при переходе к пре-делу ϵ1 → 0. Вначале считаем малым и пренебрегаемлагранжианом Lint(ϵ1), далее малым будет лагранжианLf (ϵ1), окончательно получаем лагранжиан в базе Lb(ϵ1).Можно рассматривать и обратный процесс восстановленияполей и взаимодействий при изменении параметра кон-тракции ϵ1 от нуля до единицы.Теория с калибровочной группой Евклида E2 можетбыть получена из SO(3) калибровочной теории (формулы(30)–(34) раздела 2.1 при ϵ1 = ϵ2 = 1) заменойv → v, χ → χ, ϕ2 → ϵ1ϕ2, ϕ3 → ϵ1ϕ3,B1μ→ ϵ1A1μ, B2μ→ ϵ1A2μ, A3μ→ A3μ (39)с последующим переходом к пределу ϵ1 → 0.Если выбрать основное состояние, отвечающее точкеB(0, vϵ1, 0) на рис. 6, где ϕ1 = 0, то в пределе ϵ1 → 0его группой инвариантности окажется подгруппа SO(2),рассмотренная в разделе 1.2.3. Калибровочная модель для группы Ньютона N3A(v,0,0)ξC(0,0, vϵ1ϵ2 )χϕ3ϕ1ϕ2Рисунок 8. Цилиндр основных состояний лагранжиана L(ϵ2).Figure 8. Cylinder of ground states of the Lagrangian L(ϵ2).При ϵ1 = 1, ϵ2 → 0 группа вращений SO(3)контрактируется в неполупростую группу Ньютона N3.Метрика в пространстве полей материи вырождаетсяϕt(ϵ2)ϕ(ϵ2) = ϕ21+ ϕ22+ ϵ22ϕ23, и Φ3(ϵ2) становитсярасслоенным пространством с двумерной базой {ϕ1, ϕ2}и одномерным слоем {ϕ3}. Лагранжиан моделиL(ϵ2) = Lb(ϵ2) + ϵ22Lf (ϵ2) (40)состоит из лагранжиана в базеLb(ϵ2) =12(∂μχ)2 − μ2χ2 − 14(B1μν)2 +g2v22(B1μ)2++L(3)b (ϵ2) + L(4)b (ϵ2), (41)который описывает хиггсовский бозон χ, массивный бозонB1μи взаимодействия видаL(3)b (ϵ2) = −λvχ3 − λvχϕ22+ gA1μ (χ∂μϕ2 − ϕ2∂μχ) ,Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru33L(4)b (ϵ2) = −λ4χ4 +g22χ2(A1μ)2 − λ2χ2ϕ22++g22ϕ22(A1μ)2 − λ2ϕ42(42)и лагранжиана в слоеLf (ϵ2) = −14(F3μν)2 − 14(B2μν)2 +g2v22(B2μ)2++L(3)f (ϵ2) + L(4)f (ϵ2), (43)гдеL(3)f (ϵ2) ={−λvχϕ23++g[A2μ (χ∂μϕ3 − ϕ3∂μχ) + A3μ (ϕ2∂μϕ3 − ϕ3∂μϕ2)]++g2ϕ0A2μ(A2μχ + A3μϕ2)−−g2[F1μν(A2μA3ν− A3μA2ν)+ F2μν(A3μA1ν− A1μA3ν)++F3μν(A1μA2ν− A2μA1ν)]},L(4)f (ϵ2) =12{−λϕ23(χ2 + ϕ22)++g2[(A2μχ + A3μϕ2)2+ 2A1μA2μϕ2ϕ3 − 2A1μA3μχϕ3]−−g2[(A3μA1ν− A1μA3ν)2+(A1μA2ν− A2μA1ν)2]}.(44)Таким образом, лагранжиан в слое содержит безмассовоеполе A3μ, массивное поле B2μи взаимодействия полей.Отметим, что лагранжиан Lb(ϵ2) в базе (41), (42) опи-сывает те же поля, что и лагранжиан L(ϵ = 1) (7) моделис калибровочной группой SO(2). Отличия в слагаемых, от-вечающим взаимодействиям третьего и четвертого поряд-ков, исчезают при избавлении от ϕ2 путем перехода к полюˆB1μаналогичного переходу от Bμ к ˆBμ.Теория с калибровочной группой Евклида N2 можетбыть получена из SO(3) калибровочной теории (формулы(30)–(34) раздела 2.1) при ϵ1 = ϵ2 = 1) заменойv → v, χ → χ, ϕ2 → ϕ2, ϕ3 → ϵ2ϕ3,A1μ→ A1μ, A2μ→ ϵ2A2μ, A3μ→ ϵ2A3μ (45)с последующим пределом ϵ2 → 0.Аналогично разделу 1, в калибровочной теории с груп-пой SO(3; ϵ) при ϵk ̸= 0, k = 1, 2 в качестве вакуумаможно выбрать любое основное состояние на эллипсоидерис. 6. Однако, для того, чтобы получить теорию с полнойтрехпараметрической контрактированной группой Евкли-да E3 или Ньютона N3 при переходе к пределу ϵ1 → 0,ϵ2 = 1 или ϵ1 = 1, ϵ2 → 0, необходимо, чтобы выбранныйвакуум (скажем, точкаAна рис. 6) в соответствующем пре-деле принадлежал базе расслоенного пространства (рис. 7или 8). Если же вакуум модели выбран, например, в точкахB или C на рис. 6, попадающих в пределе в слой, то по-лучаем калибровочные модели, отвечающие соответству-ющим двухпараметрическим подгруппам исходной калиб-ровочной группы.3. Калибровочные теории с группами SU(2; ϵ)Унитарная контрактированная группа SU(2; ϵ) опре-деляется как группа преобразований комплексного про-странства C2(ϵ), оставляющая инвариантной квадратич-ную формуϕ(ϵ)†ϕ(ϵ) = |ϕ1(ϵ)|2 + ϵ2|ϕ2(ϵ)|2. (46)Преобразования комплексных полей имеют видϕ′(ϵ) = u(ϵ)ϕ(ϵ, )(ϕ′1(ϵ)ϵϕ′2(ϵ))=(α(ϵ) ϵβ(ϵ)−ϵ ¯ β(ϵ) ¯α(ϵ))(ϕ1(ϵ)ϵϕ2(ϵ)),det u(ϵ) = |α(ϵ)|2 + ϵ2|β(ϵ)|2 = 1,u(ϵ)u†(ϵ) = 1. (47)Генераторы группы SU(2; ϵ) даны матрицамиT1 = ϵ12(0 11 0), T2 = ϵ12(0 i−i 0),T3 =12(1 00 −1), (48)подчиняются коммутационным соотношениям[T1, T2] = iϵ2T3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1 (49)и образуют алгебру su(2; ϵ).В калибровочной теории с группой SU(2; ϵ) калибро-вочные поляAμ(x; ϵ) = gΣ3k=1TkAkμ(x) == g12(A3μ ϵ(A1μ + iA2μ)ϵ(A1μ− iA2μ) −A3μ)(50)принимают значения в алгебре Ли su(2; ϵ). Ковариантныепроизводные равныDμϕ(ϵ) = ∂μϕ(ϵ) − ig(Σ3k=1TkAkμ)ϕ(ϵ), (51)где константа g является зарядом. Тензоры напряженностикалибровочных полей определяются формуламиAμν(x; ϵ) = Aμν(x; ϵ) + g[Aμ(x; ϵ),Aν(x; ϵ)],Akμν(x; ϵ) = ∂μAkν(x; ϵ) − ∂νAkμ(x; ϵ). (52)Вместо полей (50) вводятся новые калибровочные поляZμ(x) = A3μ(x),W±μ (x) = ϵ√12(A1μ(x) ∓ iA2μ(x)), (53)которые в случае электрослабой модели имеют непосред-ственный физический смысл.34Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruЛагранжиан модели L(ϵ) = LA(ϵ)+Lϕ(ϵ) представ-ляет собой сумму лагранжиана калибровочных полейLA(ϵ) = −14{[ϵ2(A1μν)2 + (A2μν)2]+ (A3μν)2}(54)и лагранжиана полей материиLϕ(ϵ) =12(Dμϕ(ϵ))†Dμϕ(ϵ) − V (ϕ; ϵ). (55)Основные состояния лагранжиана L(ϵ) обнуляют калиб-ровочный лагранжиан LA(ϵ) = 0 и доставляют минимумпотенциалуV (ϕ; ϵ) =λ4(ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) − v2)2. (56)Эти состояния задаются уравнениемφ21+ φ22+ ϵ2(φ23+ φ24) = v2, (57)которое описывает трехмерный эллипсоид (сферу при ϵ =1) в четырехмерном пространстве Φ4(ϵ) вещественныхполей φk, k = 1, 2, 3, 4, где ϕ1 = φ1 +iφ2, ϕ2 = φ3 +iφ4. Данный трехмерный эллипсоид можно мыслить себекак поверхность, изображенную на рис. 6, если подразу-мевать под ϕ3 двумерную плоскость, натянутую на φ3, φ4,и положить ϕ1 = φ1, ϕ2 = φ2.При ϵ ̸= 0 все основные состояния могут быть получе-ны калибровочными преобразованиями из одного из них.Как и в случаях калибровочных моделей с ортогональны-ми группами, рассмотренных в разделах 1 и 2, для полу-чения калибровочной теории с трехмерной контрактиро-ванной унитарной группой, нужно вакуум модели выбратьв точке, попадающей в пределе ϵ → 0 в слой пространстваΦ4(ϵ).Из соображений простоты вакуумный вектор можновзять в виде (ϕvac)t = (v, 0), т. е. φ1 = v, φ2 = φ3 =φ4 = 0 (точка A(v, 0, 0, 0) на эллипсоиде (57), рис. 6).После этого рассматриваются малые (линейные) возбуж-дения поля φ1 в окрестности вакуумаφ1(x) = v + χ(x), φ2(x), φ3(x), φ4(x). (58)Для нового поля ϕ(x) полный лагранжиан модели прини-мает видL(ϵ) = L(2)(ϵ) + Lint(ϵ), (59)где, как обычно, квадратичные по полям слагаемыелагранжиана L(2)(ϵ) описывают свободные частицы мо-дели, а слагаемые более высокого порядка Lint(ϵ)рассматриваются как их взаимодействия. КвадратичныйлагранжианL(2)(ϵ) = L(2)0 (ϵ) + ϵ2L(2)2 (ϵ),L(2)0 (ϵ) ==12(∂μχ)2 − 12m2χχ2 − 14ZμνZμν +12m2ZZμZμ,L(2)2 (ϵ) = −12W+μνW−μν + m2WW+μ W−μ (60)включает скалярное поле Хиггса χ с массойmχ =√2λv,нейтральную Z и заряженные векторные частицы W±с одинаковыми массами mZ = mW = 12gv. Лагранжи-ан взаимодействия имеет видLint(ϵ) = Lint0 + ϵ2Lint2 + ϵ4Lint4 ,Lint0 = −λ4χ4 − λvχ3 +gmz2 cos θWχ (Zμ)2 ++g28 cos2 θWχ2 (Zμ)2 ,Lint2 = gχW+μ W−μ +g24χ2W+μ W−ν−−2ig(W+μ W−ν−W−μ W+ν)Zμν cos θW−−i2g cos θW[Zμ(W+μνW−ν−W−μνW+ν)−−Zν(W+μνW−μ−W−μνW+μ)]−−g24cos θW{[(W+μ)2+(W−μ)2](Zν)2−−2(W+μ W+ν +W−μ W−ν)ZμZν++[(W+ν)2+(W−ν)2](Zμ)2},Lint4 =g24(W+μ W−ν−W−μ W+ν)2. (61)Как и в случае ортогональных групп Кэли-Клейна, тео-рию с унитарной калибровочной группой SU(2; ϵ) можнополучить из SU(2) калибровочной теории (формулы этогораздела при ϵ = 1) заменойv → v, χ → χ, ϕ1 → ϕ1, ϕ2 → ϵϕ2,Zμ → Zμ, W± → ϵW±. (62)Замечание. В стандартной электрослабой модели [8]с калибровочной группой SU(2) × U(1) в качестве ва-куума выбирают поле ϕtvac = (0, v), т. е. φ3 = v, φ1 =φ2 = φ4 = 0 (точка C(0, 0, v, 0) на эллипсоиде (57),рис. 6). При ϵ = 1 такой выбор приводит к тем же массамкалибровочных полей, что и выбор поля (ϕvac)t = (v, 0),отвечающего точке A(v, 0, 0, 0). Однако он не согласованс контракцией ϵ → 0. Правильные преобразования полейэлектрослабой модели при контракции даются формулами(62), как это сделано в работе [12].Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru354. ЗаключениеКонтракции ортогональных и унитарных групп Кэли-Клейна и расслоения соответствующих пространств фун-даментального представления тесно связаны между со-бой. Расслоенные пространства имеют вырожденную мет-рику и целый набор инвариантов относительно контрак-тированной группы [11]. Это означает, что в калибровоч-ных теориях с контрактированными группами Кэли-Клей-на пространства полей материи являются расслоеннымипространствами. Для полного описания поведения физи-ческих систем в процессе предельного перехода необхо-димо рассматривать полное выражение для лагранжиа-на, в том числе и его зависимость от параметра контрак-ции, а не только предельные лагранжианы в базе и слое.Это позволяет проследить порядок обнуления слагаемыхв лагранжианах при стремлении параметров контракциик нулю, а также восстановление лагранжиана при обрат-ном процесе – деформации.Важное значение имеет выбор вакуума в механизмеспонтанного нарушения симметрии. Чтобы получить тео-рию с полной контрактированной группой, имеющей ту жеразмерность, что и исходная калибровочная группа, необ-ходимо, чтобы выбранный вакуум в соответствующем пре-деле принадлежал базе расслоенного пространства полейматерии. Только в таком случае в контрактированной ка-либровочной теории получается тот же самый набор полейи частиц с теми же самыми массами, что и в исходной тео-рии. Выбор вакуума, попадающего в пределе в слой, при-водит к калибровочной модели, отвечающей подгруппе ис-ходной калибровочной группы.Поскольку именно структурные константы ответствен-ны за взаимодействие полей и поскольку при контракцияхгрупп Ли часть структурных постоянных их алгебр обра-щается в ноль, калибровочные теории, основанные на кон-трактированных неполупростых группах, описывают болеепростые взаимодействия полей, чем исходные теории, от-вечающие простым или полупростым калибровочным груп-пам.Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.