ВведениеВысокоразрешающая рентгеновская дифракция ши-роко используется для диагностики различных функци-ональных материалов [1]. Трехосевая рентгеновская ди-фрактометрия [2] является чувствительным методом, поз-воляющим измерять рентгеновские карты интенсивностирассеяния вблизи узла обратной решетки различных кри-сталлических систем.Вместо плоских эпитаксиальных слоев при созданиисолнечных батарей, биосенсоров, микроэлектромеханиче-ских систем и приборов силовой электроники, можно ис-пользовать полупроводниковые кристаллы с вертикаль-ными термомиграционными каналами [3]. Неразрушающиеисследования структуры кремния с термомиграционнымиканалами Si(Al) возможны с применением высокоразре-шающей рентгеновской дифрактометрии. Измерения кри-вых качания и сопутствующее численное моделированиерентгеновской дифракции в геометрии Лауэ позволили по-лучить только качественные оценки деформаций на гра-нице термомиграционного канала и кремниевой матрицы[3]. Более информативной является трехосевая дифракто-метрия в режиме измерений распределения интенсивностирентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки.Для этой цели в геометрии Брэгга была предложена модельраспределения деформаций внутри канала и на его грани-це [4]. Моделирование рентгеновской дифракции проводи-лось с помощью уравнений Такаги-Топена (Т-Т) [5, 6] в ко-соугольной системе координат и алгоритма «полушаговойпроизводной» [7].В Лауэ геометрии такие вычисления интенсивностирентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решеткине проводились. В этом случае рентгеновский пучок про-ходит и дифрагирует на большом расстоянии внутри кана-ла, поэтому следует использовать более жесткое рентге-новское излучение, чтобы уменьшить поглощение рентге-новских лучей. Недавно была показана аналогия двумер-ных рекуррентных соотношений и уравнений Такаги-Топе-на в случае дифракции в совершенном кристалле [8]. Цельэтой работы — разработка вычислений интенсивности ко-64Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruгерентного рентгеновского рассеяния вблизи узла обрат-ной решетки в структурах со сложным распределением де-формаций в геометрии Лауэ.1. Двумерные рекуррентные соотношенияи уравнения Такаги-Топена для деформи-рованных кристалловНа рис. 1 показана схема рентгеновской Лауэ дифрак-ции в кристалле с термомиграционными каналами.zxSiSiSi(Al)X-ray beam 20 μm300 μma −a0NzMx130 μmPSDРисунок 1. Схема Лауэ дифракции в кристалле с термомиграционными ка-налами. Ширина падающего в центр канала рентгеновского пучка 20 мкм.PSD — позиционно чувствительный детектор.Figure 1. Scheme of Laue diffraction in a crystal with thermomigration channels.The width of the incident X-ray beam at the centre of the channel is20 mkm. PSD stands for position-sensitive detector.Одним из методов вычисления углового распределениядифракционной интенсивности в симметричной геометрииЛауэ является численное решение уравнений Такаги-Топе-на [5, 6] в косоугольной системе координат:∂E0(η;s0,sh)∂s0=ia−hEh(η; s0, sh),∂Eh(η;s0,sh)∂sh=i(η + ∂(hu(s0,sh))∂sh)Eh(η; s0, sh)++ iahE0(η; s0, sh),(1)где E0,h(η; s0, sh) — амплитуды проходящей E0 и ди-фракционной Eh рентгеновских волн, a0 = χ0/λ,ah = Cχh/λ, λ — длина волны рентгеновского из-лучения в вакууме, C — поляризационный фактор,χg = −r0λ2Fg/(πVc) — Фурье-компоненты рентгенов-ской поляризуемости, g = 0, h, ¯h. Здесь Vc — объ-ем элементарной ячейки, r0 = e2/(mc2) — классиче-ский радиус электрона, e, m — заряд и масса электро-на, Fg — структурный фактор, h = 2π/d — величинавектора обратной решетки, d — межплоскостное рассто-яние основной кристаллической матрицы. В уравнениях (1)η = 2π sin(2θB) ω/λ — угловой параметр, ω — отклоне-ние рентгеновского пучка от угла Брэгга θB, u(s0, sh) —поле атомных смещений, вызванное наличием примесив кристаллической решетке.Угловой параметр η в случае трехкристальной дифрак-тометрии может быть записан через проекции qx, qz векто-ра смещения q = Q − h как η = qx cos θB − qz sin θB,гдеQ = kh − k0 — вектор дифракции, h — вектор обрат-ной решетки, kh и k0 — волновые векторы дифракционнойи падающей рентгеновской волны соответственно.Вторым методом расчетов углового распределения ин-тенсивности рентгеновского рассеяния в обратном про-странстве является использование двумерных рекуррент-ных соотношений (ДРС) [8]. В случае дифракции в дефор-мированном кристалле ДРС запишутся как{Tm+1n+1 = (a Tmn + b1 Smn ) exp(iφ0),Sm+1n−1 = (a Smn + b2 Tmn ) exp(iφh),(2)где T и S — амплитуды проходящей и ди-фрагированной волн, a = (1 − iq0), b1 = −i¯q,b2 = −iq, q0 = −πχ0d/(λγ0), q = Cπχhd/(λγ0),¯q = Cπχ¯hd/(λγ0), d — период отражающих атом-ных плоскостей. ϕ0 = ϕ + k0(um+1,n+1 − um,n),ϕh = ϕ + kh(um+1,n−1 − um,n), k0,h — волновые век-торы падающей и отраженной рентгеновской волн, um,n —вектор смещения узлов в модели двумерной решетки Дар-вина. Коэффициент ϕ = 2πd/(λ sin θB) в соотношениях(2) учитывает разность фаз, возникающую при распростра-нении рентгеновской волны в совершенном кристалле отодного узла до другого на сетке для численных расчетов.2. Поле упругих деформаций в кристаллес термомиграционными каналамиДля рентгеновской дифракции в геометрии Лауэ полеатомных смещений ux(x, z) параллельно вектору обрат-ной решетки h2¯20, выражение для которого получено в ста-тье [4]. Используя это выражение, для случая Лауэ распре-деление упругих деформаций εxx = ∂ux(x,z)∂x в кристаллес термомиграционными каналами запишется в виде:εxx(x, z) = Kν(Ω(x, z) + (x−a)zr21− (x+a)zr22), (3)где Ω(x, z) = π + (2ν − 1)(α1 − α2) при |x| ≤ aи Ω(x, z) = (2ν − 1)(α1 − α2), если |x| > a. В реше-нии (3) Kν = e0π1+ν1−ν , e0 — собственная деформация, ν —коэффициент Пуассона, 2a — ширина термомиграционно-го канала, r21 = (x − a)2 + z2, r22 = (x + a)2 + z2,α1,2 = arctan(z/(x ± a)).Для вычисления углового распределения интенсивно-сти рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной ре-шетки необходимо использовать значения атомных сме-щений ux(x, z) [4] и распределение упругих деформацийεxx(x, z) (3).Деформации в косоугольной и прямоугольной системахкоординат в уравнениях (1) связаны между собой соотно-шением:∂uz(s0,sh)∂sh= εzx(x, z) cos θB + εzz(x, z) sin θB. (4)3. Моделирование рентгеновской Лауэ ди-фракции в термомиграционном каналекремния с легирующими атомами алюминияЧисленные расчеты рентгеновской Лауэ дифракциив кристалле кремния с термомиграционными каналамиИзвестия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru65Si(Al) выполнены для (2¯20) отражения MoKα1 излу-чения с использованием уравнений Т-Т и ДРС. Все расче-ты интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи узлаобратной решетки представлены в логарифмическом мас-штабе с нормировкой на единицу.На рис. 2 изображена расчетная карта дифракцион-ной интенсивности в обратном пространстве и ее qx-и qz-сечения совершенного кристалла кремния толщинойLx = 300 мкм.a)−1.5 1.5−88qx, μm−1qz, μm−110−510−410−310−210−1100b)qx, μm−1Intensity−0.5 0 0.500.51 qz = 0 μm−1c)qz, μm−1Intensity−2 0 210−410−310−210−1100 qx = 0 μm−1Рисунок 2. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-фракции от совершенного кристалла кремния; b) и с) qx- и qz-сеченияданной карты для кристалла толщиной 300 мкм.Figure 2. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction from aperfect silicon crystal with a thickness of 300μm; b) and c) are correspondentcross-sections of the reciprocal space map along qx and qz.Результаты вычислений рентгеновской дифракциив термомиграционном канале показаны на рис. 3. Из-за упругих деформаций в канале на карте интен-сивности рентгеновского рассеяния вблизи узла об-ратной решетки появляются два сильных дифракци-онных максимума, сдвинутых в положительном на-правлении вдоль оси qx. Для собственной дефор-мации e0 = 3.0 · 10−5, эти максимумы расположе-ны в обратном пространстве от начала координатна значения Δqx = 1.18 мкм−1, Δqz = −0.08 мкм−1и Δqx = 1.09 мкм−1, Δqz = −1.60 мкм−1. Это соответ-ствует средней максимальной деформации в латеральномεΔqx2¯20 = 3.51 · 10−5 и вертикальном εΔqz2¯20 = 2.63 · 10−5направлениях.a)−1.5 1.5−88qx, μm−1qz, μm−110−510−410−310−210−1100b)qx, μm−1Intensity1 1.500.51 qz = −1.604 μm−1c)qz, μm−1Intenisty−3 −2 −1 0 100.51 qx = 1.078 μm−1Рисунок 3. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-фракции от термомиграционного канала Si(Al); b) и с) qx- и qz-сеченияданной карты для каналаSi(Al) толщиной 300 мкм. Собственная дефор-мация e0 = 3.0 · 10−5.Figure 3. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction froma Si(Al) thermomigration channel with a thickness of 300μm; b) and c)are correspondent cross-sections along qx and qz. The intrinsic strain ise0 = 3.0 · 10−5.Максимальная деформация возникает у входной и вы-ходной поверхности канала, средняя деформация вдольканала равна εΔqz2¯20 = 2.01 · 10−5.66Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruЗаключениеТаким образом, численное моделирование и анализкарт интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи уз-ла обратной решетки позволяют определить деформациив кристалле с термомиграционными каналами.Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.