Proceedings of the Komi Science Centre of the Ural Division of the Russian Academy of Sciences Proceedings of the Komi Science Centre of the Ural Division of the Russian Academy of Sciences Известия Коми научного центра УрО РАН 1994-5655 104532 10.19110/1994-5655-2025-6-28-40 Научные статьи Science articles Научные статьи Orbifolds in one-dimensional Cayley-Klein spaces Орбифолды в одномерных пространствах Кэли-Клейна Костяков И. В. Kostyakov I. V. kostyakov@ipm.komisc.ru Куратов В. В. Kuratov V. V. kuratov@ipm.komisc.ru Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН Сыктывкар Россия Institute of Physics and Mathematics, Federal Research Centre Komi Science Centre, Ural Branch, RAS Syktyvkar Russian Federation Физико-математический институт ФИЦ Коми НЦ УрО РАН Сыктывкар Россия Institute of Physics and Mathematics, Federal Research Centre Komi Science Centre, Ural Branch, RAS Syktyvkar Russian Federation 09 10 2025 09 10 2025 6 28 40 01 07 2025 https://komisc.editorum.ru/en/nauka/article/104532/view

Описаны дискретные группы симметрий движений эллиптической, гиперболической и евклидовой прямых. Рассмотрены орбифолды на этих прямых, получаемые факторизацией по соответствующей дискретной группе. Орбифолды в виде отрезков и окружностей могут использоваться в моделях Калуцы-Клейна и теории суперструн при компактификации дополнительных измерений.

Discrete symmetry groups of motions of the elliptic, hyperbolic and Euclidean lines are described. Orbifolds on these lines, obtained by factorization by the corresponding discrete group, are considered. Orbifolds in the form of segments and circles can be used in Kaluza-Klein models and superstring theory for compactification of extra dimensions.

 орбифолды дискретные группы пространства Кэли-Клейна orbifolds discrete groups Cayley-Klein spaces Авторы благодарят П. А. Макарова за вопросы по квантовой механике и ссылки на статьи по единым теориям поля и ор- наментам. Работа выполнена в рамках государственного задания ФМИ ФИЦ Коми НЦ УрО РАН по теме НИР № 125031203621-2. The authors thank P A. Makarov for questions on quantum mechanics and references to articles on unified field theories and ornaments. The work was done in frames of the State task of the Institute of Physics and Mathematics FRC Komi SC UB RAS on the topic № 125031203621-2.

Цвибах, Б. Начальный курс теории струн / Б. Цвибах. – М.: Едиториал УРСС, 2011. – 784 с. Zwiebach, B. A first course in string theory / B. Zwiebach. – Cambridge: Cambridge University Press, 2021. – 864 p. Беккер, К. Теория струн и М-теория. Современное введение / K. Беккер, M. Беккер, Дж. Шварц. – М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, R&C dynamics, 2015. – 624 с. Becker, K. String theory and M-theory. A modern introduction / K. Becker, M. Becker and J. N. Schwarz. – Cambridge: Cambridge University Press, 2007. – 757 p. Adem, A. Orbifolds and Stringy Topology / A. Adem, J. Leida, Y. Ruan // Cambridge Tracts in Mathematics. 2007. – Vol. 171. – 164 p. Adem, A. Orbifolds and stringy Topology / A. Adem, J. Leida, Y. Ruan // Cambridge Tracts in Mathematics. – 2007. – Vol. 171. – 164 p. Emmrich, C. Orbifolds as configuration spaces of systems with gauge symmetries / C. Emmrich, H. Römer // Commun. Math. Phys. – 1990. – Vol. 129. – P. 69–94. Emmrich, C. Orbifolds as configuration spaces of systems with gauge symmetries / C. Emmrich, H. Römer // Commun. Math. Phys. – 1990. – Vol. 129. – P. 69–94. Прохоров, Л. В. Фазовое пространство механических систем с калибровочной группой / Л. В. Прохоров, С. В. Шабанов // УФН. – 1991. – Т. 161, № 2. – С. 13–75. Prokhorov, L. B. Phase space of mechanical systems with a gauge group / L. V. Prokhorov, S. V. Shabanov // Sov. Phys. Usp. – 1991. – Vol. 34, №2. – P. 108–140. Прохоров, Л. В. Гамильтонова механика калибровочных систем / Л. В. Прохоров, С. В. Шабанов. – М. : URSS, КомКнига, 2006. – 292 c. Prokhorov, L. V. Gamil‘tonova mekhanika kalibrovochny‘kh sistem [Hamiltonian mechanics of gauge systems] / L. V. Proxorov, S. V. SHabanov. – Moscow: URSS, KomKniga, 2006. – 292 p. Калуца, Т. К проблеме единства физики / Т. Калуца // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. – М.: Мир, 1979. – С. 529–534. arXiv:1803.08616 [physics.hist-ph] Kaluza, T. On the unification problem in physics / T. Kaluza // Int. J. Mod. Phys. D. – 2018. – Vol. 27, № 14. – 1870001, arXiv:1803.08616 [physics.hist-ph]. Klein, O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie / O. Klein // Zeitschrift für Physik A. – 1926. – Vol. 37, № 12. – P. 895–906. Klein, O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie / O. Klein // Zeitschrift für Physik A. – 1926. – Vol. 37, № 12. – P. 895–906. Боос, Э. Э. Физика и феноменология больших дополнительных измерений / Э .Э. Боос, В. Е. Буничев, И. П. Волобуев [и др.] // УФН. – 2025. – Т. 195, № 2. – С. 116–153. Boos, E. E. Physics and phenomenology of large extra dimensions / E. E. Boos, V. E. Bunichev, I. P. Volobuev [et al.] // Sov. Phys. Usp. – 2025. – Vol. 68, iss. 2. – P. 111–145. Арефьева, И. Я. Суперсимметрия: теория Калуцы–Клейна, аномалии, суперструны / И. Я. Арефьева, И. В. Волович // УФН. – 1985. – Т. 146, № 4. – С. 655–681. Aref’eva, I. Ya. Supersymmetry: Kaluza-Klein theory, anomalies, and superstrings / I. Ya. Aref’eva, I. V. Volovich. // Sov. Phys. Usp. – 1985. – Vol. 28, iss. 8. – P. 694–708. Ходос, А. Теории Калуцы–Клейна: общий обзор / А. Ходос. // УФН. – 1985. – Т. 146, № 4. – С. 647–654. Chodos, A. Kaluza-Klein theories: Overview / A. Chodos // Comm. Nucl. and Part. Phys. – 1984. – Vol. 13. – P. 171–181. Рубаков, В. А. Большие и бесконечные дополнительные измерения / В. А. Рубаков // УФН. – 2001. – Т. 171, №9. – С. 913–938. Rubakov, V. A. Large and infinite extra dimensions / V. A. Rubakov // Sov. Phys. Usp. – 2001. – Vol. 44, iss. 9. – P. 871–893. Пименов, Р. И. Применение полуримановой геометрии к единой теории поля / Р. И. Пименов // Докл. АН СССР. – 1964. – Т. 157, № 4. – С. 795–797. Pimenov, R. I. An application of semi-Riemannian geometry to unified field theory / / R. I. Pimenov. // Dokl. Akad. Nauk SSSR. – 1964. – Vol. 157, № 4. – P. 795–797. Пименов, Р. И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени) / Р. И. Пименов. – Л.: Наука, 1968. – 496 с. Pimenov, R. I. Kinematic spaces: mathematical theory of space-time / R. I. Pimenov. – New York: Consultants Bureau, 1970. – 185 p. Громов, Н. А. Контракции классических и квантовых групп / Н. А. Громов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 318 с. Gromov, N. A. Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups] / N. A. Gromov. – Moscow: FIZMATLIT, 2012. – 318 p. Randall, L. An Alternative to compactification / L. Randall, R. Sundrum // Phys. Rev. Lett. – 1999. – Vol. 83, iss. 23. – P. 4690–4693, arXiv:hep-th/9906064. Randall, L. An alternative to compactification / L. Randall, R. Sundrum // Phys. Rev. Lett. – 1999. – Vol. 83, iss. 23. – P. 4690–4693, arXiv:hep-th/9906064. Белавин, А. А. Явная конструкция N = 2 суперконформных орбифолдов / А. А. Белавин, С. Е. Пархоменко // ТМФ. – 2021. – Т. 209, № 1. – С. 59–81. Belavin, A. A. Explicit construction of N = 2 superconformal orbifolds / A. A. Belavin, S. E. Parkhomenko // Theoretical and Mathematical Physics. – 2021. – Vol. 209, iss. 1. – P. 1367–1386. Belavin, A. A. Explicit construction of N = 2 SCFT orbifold models. Spectral flow and mutual locality / A. A. Belavin, V. A. Belavin, S. E. Parkhomenko // Nuclear Physics B. – 2022. – Vol. 982. – 115891. Belavin, A. A. Explicit construction of N = 2 SCFT orbifold models. Spectral flow and mutual locality / A. A. Belavin, V. A. Belavin, S. E. Parkhomenko // Nuclear Physics B. – 2022. – Vol. 982. – 115891. Belavin, A. A. Mirror symmetry and new approach to constructing orbifolds of Gepner models / A. A. Belavin, S. E. Parkhomenko // Nuclear Physics B. – 2024. – Vol. 998. – 116431. Belavin, A. A. Mirror symmetry and new approach to constructing orbifolds of Gepner models / A. A. Belavin, S. E. Parkhomenko // Nuclear Physics B. – 2024. – Vol. 998. – 116431. Пименов, Р. И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений / Р. И. Пименов // Литовский мат. сб. – 1965. – Т. 5, № 3. – С. 457–486. Pimenov, R. I. Edinaya aksiomatika prostranstv s maksimal’noj gruppoj dvizhenij [Unified axiomatics of spaces with maximal movement group] / R I. Pimenov // Lithuanian Math. J. – 1965. – Vol. 5, № 3. – P. 457–486. Яглом, И. М. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия / И. М. Яглом. – М., 1969. – 304 с. Yaglom, I. M. A simple non-Euclidean geometry and its physical basis: an elementary account of Galilean geometry and the Galilean principle of relativity / I. M. Yaglom. – New York: Springer, 1979. – 307 p. Александров, П. С. Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая. Геометрия / П. С. Александров, А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин. – М.: Наука, 1966. – 624 с. Aleksandrov, P. S. Enciklopediya elementarnoj matematiki. Kniga pyataya. Geometriya [Encyclopedia of elementary mathematics. Book five. Geometry] / P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich, A. Ya. Hinchin. – Moscow: Nauka, 1966. – 624 p. Розенфельд, Б. А. Геометрия групп Ли. Симметрические, параболические и периодические пространства / Б. А. Розенфельд, М. П. Замаховский. – М.: МЦНМО, 2003. – 560 c. Rozenfel’d, B. A. Geometriya grupp Li. Simmetricheskie, parabolicheskie i periodicheskie prostranstva [Geometry of Lie groups. Symmetric, parabolic and periodic spaces] / B. A. Rozenfel’d, M. P. Zamahovskij. – Moscow: MCNMO, 2003. – 560 p. Розенфельд, Б. А. Неевклидовы геометрии / Б. А. Розенфельд. – М.: ГИТТЛ, 1955. – 777 c. Rozenfel’d, B. A. Neevklidovy geometrii. [Non-Euclidean Geometries] / B. A. Rozenfel’d. – Moscow: GITTL, 1955. – 777 p. Сосинский, А. Б. Геометрии / А. Б. Сосинский. – М.: МЦНМО, 2017. – 263 с. Sosinskij, A. B. Geometrii [Geometries] / A. B. Sosinskij. – Moscow: MCNMO, 2017. – 263 p. Исаев, А. П. Теория групп и симметрий. Кн. 2: Представления групп и алгебр Ли. Приложения. / А. П. Исаев, В. А. Рубаков. – М.: КРАСАНД, 2020. – 704 с. Isaev, A. P. Teoriya grupp i simmetrij. Kn. 2: Predstavleniya grupp i algebr Li. Prilozheniya [Theory of groups and symmetries. Book 2: Representations of Lie groups and algebras. Appendices] / A. P. Isaev, V. A. Rubakov. – Moscow: KRASAND, 2020. – 704 p. Картан, Э. Теория спиноров / Э. Картан. – М.: ИЛ, 1947. – 223 с. Cartan, E. The theory of spinors / E. Cartan. – Cambridge: Mass., M.I.T. Press, 1967. – 157 p. Котельников, А. П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского / А. П. Котельников. – Казань, In mem. Lobatschevskii, 2, ГЛАВНАУКА, 1927. – С. 3–66. Kotel’nikov, A. P. Princip otnositel’nosti i geometriya Lobachevskogo [The principle of relativity and Lobachevsky geometry] / A. P. Kotel’nikov // Kazan’: In mem. Lobatschevskii, 2, GLAVNAUKA, 1927. – P. 37–66. Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. – М.: МЦНМО, 2014. – 581 с. Novikov, S. P. Modern geometric structures and fields / S. P. Novikov, I. A. Taimanov. – Amer. Math. Soc., 2006. – 659 p. Ошемков, А. А. Курс наглядной геометрии и топологии / А. А. Ошемков, Ф. Ю. Попеленский, А. А. Тужилин [и др.]. – М.: ЛЕНАНД, 2016. – 352 с. Oshemkov, A. A. Kurs naglyadnoj geometrii i topologii [Course of visual geometry and topology] / A. A. Oshemkov, F. Yu. Popelenskij, A. A. Tuzhilin [et al.]. – Moscow: LENAND, 2016. – 352 p. Винберг, Э. Б. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны / Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман. – Геометрия–2. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. – М.: Vinberg, E. B. Discrete groups of motions of spaces of constant curvature / E. B. Vinberg, O. V. Schwarzman. – Geometry-2. Itogi nauki i tekhniki. Ser. sovrem. probl. mat. Fund. napr. – Moscow: VINITI, 1988. – Vol. 29. – P. 147–259. ВИНИТИ, 1988. – Т. 29. – С. 147–259. Weyl, H. Symmetry / H. Weyl. – Princeton Univ. Press, 1952. – 168 p. Вейль, Г. Симметрия / Г. Вейль. – М.: Наука, 1968. – 192 c. 33. Зелевинский, В. Г. Квантовая физика / В. Г. Зелевинский. – Новосибирск: РИЦ НГУ, 2014. – Т. 1. – 502 c. Zelevinsky, V. G. Quantum physics / V. G. Zelevinsky. – Weinheim: Wiley-VCH, 2011. – Vol. 1. – 602 p. Громов, Н. А. Квантовая механика на одномерных геометриях Кэли-Клейна / Н. А. Громов, В. В. Куратов // Известия Коми НЦ УрО РАН. – 2017. – № 2 (30). – С. 5–11. Gromov, N. A. Kvantovaya mekhanika na odnomernyh geometriyah Keli-Klejna [Quantum mechanics on onedimensional Cayley-Klein geometries] / N. A. Gromov, V. V. Kuratov // Izvestiya Komi NC UrO RAN. – 2017. – № 2 (30). – P. 5–11. Ольховский, И. И. Курс теоретической механики для физиков / И. И. Ольховский. – М.: МГУ, 1978. – 576 с. Ol’hovskij, I. I. Kurs teoreticheskoj mekhaniki dlya fizikov [Course of theoretical mechanics for physicists] / I. I. Ol’hovskij. – Moscow: MGU, 1978. – 576 p. Эйнштейн А. Проблема частиц в общей теории относительности / А. Эйнштейн, Н. Розен // Собрание научных трудов. Т. 2. – М.: Наука, 1966. – 880 с. Einstein A. The particle problem in the general theory of relativity / A. Einstein and N. Rosen // Phys. Rev. – 1935. – Vol. 48, iss. 1. – P. 73–77.