Санкт-Петербург, Россия
Статья завершает рассмотрение таблицы 27 видов симметрии (точечных групп, без кубической сингонии). Приведена иерархия 14 линий (семейств), согласованная с иерархией 27 видов симметрии. Статья предназначена преподавателям, аспирантам и студентам естественно-научных специальностей, изучающим основы кристаллографии в геометрическом варианте, без теории групп и линейной алгебры и приурочена к 85-летию выхода в свет учебника «Кристаллография» Г. М. Попова и И. И. Шафрановского.
виды (точечные группы), классы и линии (семейства) симметрии; иерархии видов, классов и линий; предельные группы симметрии
Введение
На статью (Войтеховский, 2025б) автору поступили вопросы от читателей журнала: 1. Зачем, перечисляя виды симметрии (в. с.), перебирать все сочетания элементов симметрии {L1, L2, L3, L4, L6, Li4, C, P}, ведь изложенный в учебнике (Попов, Шафрановский, 1964, с. 84—88) алгоритм быстро ведет к цели? 2. Почему не принято во внимание авторитетное указание: «Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти» (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153)? 3. Чем 14 линий семейств (по: Зоркий, 1986, с. 28—37) лучше привычных 7 классов симметрии? 4. Как иерархия линий согласуется с иерархиями классов и в. с.?
На первый вопрос ответим сразу. В поисках в. с. с единичными направлениями мы исходили из того, что ответ неизвестен, тогда как в учебнике алгоритм ведет прямо к известному финалу. При этом пропадает радость открытия. А это важный момент в преподавании. Кроме того, не надо идеализировать учебник. «Перпендикулярно исходному единичному направлению присоединяется плоскость симметрии П (рис. 66, в). Рассматривать этот случай нет надобности, так как для четных осей, согласно теореме 3, приходим к уже выведенным центральным в. с. ( L2П дает L2ПС, L4П — L4ПС, L6П — L6ПС). Для нечетных осей получаем комбинации, разобранные ниже (L1П = Р, L3П = Li6)» (Попов, Шафрановский, 1964, с. 86).
Ниже читаем: «Единичное направление совмещено с единственной инверсионной осью Lin. До сих пор не рассматривались отдельно в. с. с инверсионными осями. Здесь также можно выделить примитивную серию: Li1 = С, Li2 = Р, Li3 = L3С, Li4 ® L2, Li6 = L3П. Однако, просматривая данный ряд, находим лишь два в. с., не выведенных ранее: Li4 ® L2, Li6 = L3П» (там же, с. 87). Как же так? В. с. L3П получен выше и отложен искусственно. Поэтому Li6 и возникает наряду с Li4 якобы с необходимостью. Но у них в кристаллографии разный статус.
Инверсии
«Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти» (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153). Фраза явно ориентирует на максимально простое изложение математической теории студентам с гуманитарным складом ума. Лишь в этом мы видим ее педагогическое оправдание. Но, быть может, у инверсионных осей есть и достоинства? Рассмотрим все инверсии.
Первая — отражение фигуры в плоскости P. Вроде здесь все просто — мы часто видим свое отражение в зеркале. Но в нем правая рука стала левой и наоборот, даже обручальное кольцо переползло*. В матричном описании эта инверсия меняет знак одной координаты точки: (x y z) (1 1 -1)** = (x y -z) — отражение в плоскости, ортогональной к Z.
*Это смущает одного нашего знакомого, ибо зеркало превращает его «из православного в католика».
**Здесь и далее для краткости вместо диагональной матрицы 3 × 3 мы показываем ее диагональ.
Вторая — отражение в прямой линии. Что за странное зеркало-линия? О нем в учебниках обычно не говорят, поскольку это поворот вокруг L2. Оно сохраняет правую руку — правой, левую — левой, меняя знаки двух координат точки: (x y z) (-1 -1 1) = (-x -y z) — поворот на 180° вокруг оси Z.
Третья — отражение в точке. Ее неудачно интерпретируют как отражение в очень маленьком зеркале. Она меняет правое на левое и наоборот, но еще переворачивает фигуру, меняя знаки трех координат точки: (x y z) (-1 -1 -1) = (-x -y -z). Центр инверсии лучше сравнивать с точечной камерой-обскурой.
Но самое интересное — инверсионные оси, которых классики советуют избегать, заменяя композициями. Незаменима лишь Li4, но и ее достаточно, чтобы говорить об их фундаментальности в кристаллографии. В чем сложность их восприятия? Рассмотрим инверсионно-примитивную серию: Li1 = С, Li2 = Р, Li3 = L3С, Li4 ® L2, Li6 = L3П. Для нечетных осей: Li1 — поворот вокруг L1 (на 360°, его как бы и нет) + инверсия в С, т. е. просто С; Li3 — поворот вокруг L3 + инверсия в С, т. е. в точности L3С.
Для четных осей: Li2 — поворот вокруг L2 + инверсия в точке (центре тяжести — ц. т. — истинного С нет), но в в. с. Р нет L2; Li4 — поворот вокруг L4 + инверсия в ц. т., но в в. с. Li4 нет L4 (есть L2, но она не содержит в себе L4); Li6 — поворот вокруг L6 + инверсия в ц. т., но в в. с. L3П нет L6 (L3 содержится в L6, а не наоборот). Мало того, что элементы симметрии кристалла (Р, Ln, Lin, С), в отличие от его телесных элементов (граней, ребер, вершин), не потрогать (их следует увидеть немалым интеллектуальным усилием), так еще для интерпретации четных инверсионных осей надо увидеть простые оси, не входящие в соответствующие в. с. и отсутствующие в фигуре. Эта трудность и объясняет рекомендацию классиков.
Но этот прием скрывает еще более глубокое содержание инверсионных осей. По сути, всякая инверсия должна мыслиться как единая, цельная, слитная, одноактная операция. Легко представить Li1 = С и Li2 = Р. Но попробуйте вообразить Li3, Li4 и Li6, не отрывая поворот от инверсии в С или ц. т. Картина фантастическая, головокружительная! Космологи утверждают, что так сворачиваются в спирали и просачиваются в черные дыры умирающие галактики, чтобы заново родиться по ту сторону. С той лишь разницей, что в кристаллографии эта процедура должна мыслиться мгновенно как потенция, возможность, характеризующая симметрию фигуры. Преподавание естественно-научной дисциплины в своих предметах должно являть студентам мироздание. Кристаллография — мировоззренческая наука***.
***«В одном мгновенье видеть вечность, / Огромный мир — в зерне песка, / В единой горсти — бесконечность / И небо — в чашечке цветка» (У. Блейк, перевод С. Маршака). С теплотой вспоминаю педанта кристаллографии д. ф.-м. н. Р. В. Галиулина, считавшего, что галактики расположены в узлах гранецентрированной кубической решетки, а если и не так, то только из-за погрешностей измерения...
27, 14, 7
По крайней мере с Р. Декарта научное исследование подразумевает синтез и анализ как взаимно дополнительные стратегии научного исследования. Хотя история науки показывает, что анализ дается проще, чем синтез. В обсуждаемой таблице 8 в. с. элементарные: L1, L2, L3, L4, Li4, L6, C, P. Прочие 19**** — первый шаг их синтеза в логически замкнутые системы. Объединение в. с. в 7 классов (от примитивного до инверсионно-планального) или в 14 линий (семейств) — второй шаг, выполненный с меньшей или большей детальностью. Во втором случае проявляется важная роль инверсионных осей. Использованные по максимуму, они порождают 6 линий (табл. 1).
Выясняются и другие интересные моменты. Т. к. в кристаллографии порядок оси — всегда натуральное число, а его четность или нечетность влияют на строение в. с., то полезно ввести обозначения: ∞н, ∞ч, ∞ — какое угодно большое нечетное, четное, любое натуральное число; -∞н, -∞4k-2, -∞4k, -∞ (k = 1, 2, 3…) — то же для инверсионных осей. И тогда вращающемуся цилиндру ∞/m (асимптота центральных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/m, т. к. центральные в. с. с нечетными осями (-∞н, линия 9) не содержат плоскость, ортогональную к оси. Аналогично покоящемуся цилиндру ∞/mm (асимптота планаксиальных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/mmm. Эти и другие нюансы рассмотрены в статьях (Войтеховский, 2025а; Voytekhovsky, 2025).
****Подчеркнем, что 5 кубических в. с. здесь не рассматриваются.
Иерархии классов и линий
Иерархия 7 кристаллографических классов (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) проста и следует из алгоритма вывода в. с. (рис. 1). Но и в ней уже проявлена обособленность инверсионных классов. Иерархия 14 линий, к тому же обобщенная на некристаллографические в. с., более разнообразна и богата вложениями, особенно в связи с положением инверсионных линий (рис. 2).
Соответствия линий и в. с.
Иерархия кристаллографических в. с. хорошо известна (Вайнштейн, 1979). Вложения линий (рис. 2) далее даны жирным шрифтом, вложения соответствующих в. с. (в обозначениях табл. 1) — после двоеточия: 1®2: 1®(2), 3®6; 1®4: 1®[1m], 3®3m; 1®6: 1®(12), 3®32; 1®9: 1®–1, 3®–3; 1®10: 1®[–2], 3®–6; 2®5: (2)®(2mm), 4®4mm, 6®6mm; 2®7: (2)®222, 4®422, 6®622; 2®11: (2)®–4; 3®8: {2/m}®2/mmm, 4/m®4/mmm, 6/m®6/mmm; 4®5: [1m]®(2mm), 3m®6mm; 4®12: [1m]®{–1m2}, 3m®–3m2; 4®13: [1m]®(–2m2), 3m®–6m2; 5®14: (2mm)®–4m2; 6®7: (12)®222; 32®622; 6®12: (12)®{–1m2}, 32®–3m2; 6®13: (12)®(–2m2); 32®–6m2; 7®14: 222®–4m2; 9®3: –1®{2/m}, –3®6/m; 9®12: –1®{–1m2}, –3®–3m2; 10®3: [–2]®{2/m}, –6®6/m; 10®13: [–2]®(–2m2), –6®–6m2; 11®3: –4®4/m; 11®14: –4®–4m2; 12®8: {–1m2}®2/mmm, –3m2®6/mmm; 13®8: (–2m2)®2/mmm, –6m2®6/mmm; 14®8: –4m2®4/mmm. Вложения в. с. внутри одной линии: 1: 1®3; 2: (2)®4, (2)®6; 3: {2/m}®4/m, {2/m}®6/m; 4: [1m]®3m; 5: (2mm)®4mm, (2mm)®6mm; 6: (12)®32; 7: 222®422, 222®622; 8: 2/mmm®4/mmm, 2/mmm®6/mmm; 9: –1®–3; 10: [–2]®–6; 12: {–1m2}®–3m2; 13: (–2m2)®–6m2.
Заключение
Рекомендация избегать инверсионных осей, если это возможно, имеет сугубо прагматическое значение. Их замена на композицию простых осей, плоскостей, истинного и ложного центров инверсии (С и ц. т.) вроде упрощает понимание, но взамен требует видеть в фигурах оси, которых нет в их в. с.: L2 в P = Li2, L4 в Li4, L6 в L3П = Li6. Инверсионные оси симметрии воспринять непросто, особенно в их мгновенной реализации. Зато их максимальное использование позволяет выделить 6 инверсионных линий (всего 14), с более богатой иерархией (структурой вложений), чем у 7 классов. Правильное преподавание предмета состоит в том, чтобы показать весь диапазон возникающих вопросов и, упрощая изложение, не потерять фундаментальный (космический, вселенский) аспект кристаллографии.
Автор благодарит рецензентов за внимательное прочтение статьи и весьма полезные замечания.
1. Болдырев А. К., Доливо-Добровольский В. В. Классификация, номенклатура и символика 32 видов симметрии кристаллографии // Зап. ЛГИ. 1934. Т. VIII. С. 145—159.
2. Вайнштейн Б. К. Современная кристаллография. Т. 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. М.: Наука, 1979. 384 с.
3. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. XVII. Бордюры и предельные группы Кюри // Вестник геонаук. 2025а. № 4(364). С. 51—56. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2025.4.5
4. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. XVIII. Таблица 27 видов симметрии // Вестник геонаук. 2025б. № 9(369). С. 36—43. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2025.9.5
5. Зоркий П. М. Симметрия молекул и кристаллических структур. М.: МГУ, 1986. 232 с.
6. Попов Г. М., Шафрановский И. И. Кристаллография. М., Л.: Госгеолиздат, 1941. 242 с.
7. Попов Г. М., Шафрановский И. И. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1964. 370 с.
8. Voytekhovsky Yu. L. Band and Curie limit symmetry groups. Acta Cryst. Section A. Foundations and Advances. 2025;A81:350—352. https://doi.org/10.1107/S2053273325003341
