ВведениеДискретные симметрии играют важную роль в физи-ке. Одним из примеров является CPT-инвариантность —фундаментальная симметрия физических законов. В ка-либровочных теориях дискретные симметрии возникают вразличных аспектах. Многие фундаментальные характе-ристики полей и элементарных частиц могут описыватьсяне группами Ли, как принято, а дискретными группами сим-метрий. Например, группу диэдра D3 с образующими R1 иR2 и соотношениямиR2i = 1 и (R1R2)3 = 1 можно взятьв качестве симметрии триплета SU(3) кварков [1].Неабелевы дискретные симметрии играют заметнуюроль в моделях смешивания лептонов и могут появитьсяпри спонтанном нарушении симметрии неабелевой непре-рывной калибровочной теории [2–7].Дискретные группы движений пространств постояннойкривизны (пространств Евклида En, Лобачевского Hn,сфер Sn) возникают и в различных областях математики иее приложений [8]. Например, группы симметрии правиль-ных многогранников и кристаллов и т.д.Е.С. Федоров получил правильные системы точек надвумерной сфере — тела Платона, Архимеда и две бес-конечные серии полуправильных призм и полуправильныхантипризм, которые являются орбитами соответствующихдискретных групп. Например, электроны на сфере приоб-ретают устойчивое состояние только тогда, когда они за-нимают вершины какой-либо из этих правильных систем[9]. Примером сферического кристалла является фуллеренC60. Он обладает группой симметрии икосаэдра и его мож-но считать двумерным сферическим алмазом, а графит —двумерным евклидовым алмазом. В качестве примера дву-мерного алмаза на плоскости Лобачевского приведем кри-сталл доломита. В пространстве Лобачевского квазикри-сталл можно считать идеальным кристаллом [10].Дискретные подгруппы группы Лоренца возникают припостроении теории квантованного пространства-времени,которое обладало бы некоторой дискретной симметрией,переходящей в лоренцеву симметрию в континуальномпределе. При таком дискретном преобразовании простран-ство-время, представлямое 1+3-мерной решеткой, должнопереходить само в себя [11]. Например, в работе Дирака [12]42Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruизучалась дискретная подгруппа группы Лоренца, кото-рая в сочетании с дискретными подгруппами трансляцийдавала дискретную подгруппу группы Пуанкаре, и былирассмотрены простейшие четырехмерные пространствен-но-временные решетки.Дискретные группы позволяют находить точные реше-ния квантовых систем. Например, принцип инвариантностиотносительно дискретной подгруппы Лоренца, действую-щей независимо на состояния частиц с различными им-пульсами, приводит к определению всех элементов двух-частичной S-матрицы, удовлетворяющей уравнению тре-угольников (или уравнению Янга-Бакстера) [13].Группа диэдра D3 может рассматриваться как дис-кретная подгруппа непрерывных групп O(2) или O(3),контракции которых хорошо изучены [14]. Мы приведемнесколько примеров, куда перейдет D3 при некоторыхконтракциях непрерывных групп O(2) и O(3) и как приэтом выглядят орбиты этих дискретных групп в соответ-ствующих одно- и двумерных пространствах Кэли-Клейна.1. Дискретные группы в одномерных про-странствах Кэли-КлейнаОдномерные группы вращения Галилея и Минковскогоможно записать единым образом [14], используя параметрконтракции j = 1, ι, i, ι2 = 0, i2 = −1G =cos jϕ −j sin jϕ1j sin jϕ cos jϕ. (1)Они являются группами симметрии соответствующихокружностей S1(j) на плоскостях R2(j) = (x1, jx2)x21+ j2x22= a2 (2)и сохраняют метрикуds2 = dx21+ j2dx22. (3)Вышеприведенные формулы описывают одномерные про-странства и группы Кэли-Клейна. В случае j = 1, формула(1) дает обычные вращения, при j = ι или j = i получимG =1 0ϕ 1или G =ch ϕ sh ϕsh ϕ ch ϕ, (4)определяющие группу поворотов (сдвигов) на плоскостиГалилея и группу лоренцевых вращений на плоскости Мин-ковского. В последних двух случаях x1 интерпретируетсякак время t, а x2 — как одномерное пространство r.Опишем дискретные подгруппы этих групп. Рассмот-рим группу симметрии правильного n-угольника, или груп-пу диэдраDn. Ее можно реализовать как дискретную под-группуO(2), состоящую из группы вращений с образующейR =cos 2πn−sin 2πnsin 2πn cos 2πn, Rn = 1 (5)и образующейR1 =1 00 −1, R21 = 1, (6)являющейся отражением относительно оси x1.x2x1B A ′ C′C BR1R2Рисунок 1. Правильный треугольник (n = 3) на окружности S1 евкли-довой плоскости.Figure 1. Regular triangle (n = 3) on the circle S1 of the Euclidean plane.Данная группа изоморфна полупрямому произведениюZ2 и Zn. Генетический код этой группы можно задаватьразными способами, выбирая разные образующие [15]. На-пример, R21 = 1, Rn = 1, (R1R)2 = 1 или R21 =1, R22 = 1, (R1R2)n = 1, где R2 можно выбрать какотражение относительно прямой, повернутой на угол πn от-носительно оси x1R2 =cos 2πn−sin 2πn−sin 2πn−cos 2πn,R22 = 1, R1R2 = R.Действуя на начальную точку A преобразованиями,задаваемыми элементами всей группы, можно получитьостальные точки правильного n-угольника. На рис. 1 изоб-ражен случай треугольника n = 3.Для эллиптической геометрии на прямой с бельтрами-евой координатой ξ = ax2x1отражения R1 и R2 из группыдиэдра D3 выглядят следующим образомξ′= R1 · ξ = −ξ,ξ′= R2 · ξ = −ξ +√3a1 −√3ξa,а действие образующейR = R1R2 циклической подгруп-пы вращения имеет видξ′= R · ξ =ξ +√3a1 −√3ξa= −R2 · ξ.Орбита представленной группы состоит из точек A,B′,C′с координатами ξB′ = −√3a, ξA = 0, ξC′ =√3a(рис. 1). При этом отражение R2 оставляет на месте точкуC′ и меняет местами точки A и B′. Отражение R1 остав-ляет на месте точку A и меняет местами точки B′ и C′.Поворот R точку B′ переводит в A, точку A переводит вC′ и точку C′ — в B′.Теперь посмотрим, куда перейдет группа симметрийправильного n-угольника при j = ι в формулах (1), (2). Об-разующие R1 и R2 при этом будут иметь видR1 =1 00 −1, R2 =1 0v −1,R21 = R22 = 1.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 43Здесь мы обозначили v = −2πn . R1 — отражение относи-тельно оси x1, R2 — отражение относительно прямой, па-раллельной оси x1, находящейся на расстоянии v2 от нее.При непрерывном аналоге j = ε → 0 контракции j =ι можно считать, что совершается непрерывное устремле-ние радиуса окружности к бесконечности a → ∞, при ко-тором прямые, пересекающиеся в центре окружности подуглом ϕ становятся параллельными. Произведение двухотражений относительно параллельных осей, разделенныхрасстоянием v2 , будет сдвигом («вращением» на плоскостиГалилея) на v. Матрица сдвига, являющаяся в этом случаеи образующей подгруппы сдвигов («вращений») на плоско-сти Галилея, имеет видR = R1R2 =1 0v 1, Rn =1 0nv 1. (7)Подгруппа с образующей R изоморфна Z, а вся группаD∞, построенная на двух образующих R1 и R2 или R1и R, изоморфна полупрямому произведению Z2 и Z. Стар-туя с начальной точки A, действуя отражениями R1 и R2,можно получить всю решетку на окружности плоскости Га-лилея (рис. 2).x2x1AR1 R2Рисунок 2. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-ствием R1,R2.Figure 2. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action ofR1,R2.Возможен еще один выбор образующих, а именно — Rи R′1R′1 =−1 00 1. (8)Тогда, начиная с точки A, действуя R′1 и R, получим ре-шетку на всей окружности (рис. 3).x2x1AРисунок 3. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-ствием R′1,R.Figure 3. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action ofR′1,R.Все то же самое можно проделать и на гиперболиче-ской прямой (j = i). В этом случаеR1 =1 00 −1, R2 =ch v −sh vsh v −ch v, (9)R21 = R22 = 1, R1R2 = R.Образующая подгруппы ”вращений”R = R1R2 =ch v −sh v−sh v ch v,Rn =ch nv −sh nv−sh nv ch nv.Здесь мы имеем пример фуксовой группы, т.е. дискретнойподгруппы группы движений гиперболической плоскости.Ее действие на окружности в пространстве Минковскогоизображено на рис. 4, 5.Таким образом, дискретные подгруппы диэдра Dnгруппы O(2) при контракциях переходят в подгруппы ди-эдра D∞ групп Галилея и Лоренца. Отметим, что груп-пыD∞ являются и группами симметрии пространственно-временных решеток на плоскостях Галилея и Минковского,изображенных на рис. 6 и 7.x2x1AРисунок 4. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученнаядействием R1,R2.Figure 4. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action ofR1,R2.x2x1AРисунок 5. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученнаядействием R′1,R.Figure 5. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action ofR′1,R.44Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.rux2x1Рисунок 6. Пространственно-временная решетка на плоскости Галилея.Figure 6. Space-time lattice on the Galilean plane.x2x1Рисунок 7. Пространственно-временная решетка на плоскости Минков-ского.Figure 7. Space-time lattice on the Minkowski plane.Отметим, что все данные формулы можно было бы по-лучить и с помощью комплексных, дуальных и двойных чи-сел [16]. Единым образом их можно записать в виде z =x1 + jx2, где j = i, ι, e, e2 = 1. Отражения R1 и R2 вэтом случае действуют следующим образомz′= R1 · z =a2z, z′= R2 · z =a2ze2πn j ,а вращения —z′= R1R2 · z = R · z = e2πn jz.2. Группа диэдра D3 как дискретная подгруп-па группы O(3)Правильные многоугольники и правильные многогран-ники могут быть вписаны в сферу, вследствие чего ихгруппы симметрии будут дискретными подгруппами груп-пы вращений O(3).Двумерные пространства Кэли-Клейна можно реализо-вать [14] как сферы S2(j)x21+ j21x22+ j11 j22x23= a2, jk = 1, ιk, i (10)в пространствах R3(j1, j2) = (x1, j1x1, j1j2x2) с мет-рикой ds2 = dx21+ j21dx22+ j21 j22dx23. Здесь ι2k =0, ιkιp = ιpιk ̸= 0, k ̸= p, k, p = 1, 2. Вращения от-носительно осей x1, x2 и x3 описываются матрицамиR23 =0@1 0 00 cos j2ϕ −j2 sin j2ϕ0 1j2sin j2ϕ cos j2ϕ1A,R13 =0@cos j1j2ϕ 0 −j1j2 sin j1j2ϕ0 1 01j1j2sin j1j2ϕ 0 cos j1j2ϕ1A,R12 =0@cos j1ϕ −j1 sin j1ϕ 01j1sin j1ϕ cos j1ϕ 00 0 11A. (11)Рассмотрим простой пример группы симметрии пра-вильного треугольника, расположенного в евклидовомпространстве R3(1, 1), как показано на рис. 8. Образую-щие этой группы, являющиеся отражениями относительноплоскостей x1 = x2 и x2 = x3, имеют видR1 =0@· 1 ·1 · ·· · 11A, R2 =0@1 · ·· · 1· 1 ·1A,R = R1R2 =0@· · 11 · ·· 1 ·1A. (12)Произведение R = R1R2 является вращением на угол120◦. Определяющие соотношенияR21 = 1, R22 = 1, R3 = 1. (13)x1x2x3AРисунок 8. Положение правильного треугольника в евклидовом простран-ствеR3(1, 1).Figure 8. Position of a regular triangle in the Euclidean spaceR3(1, 1).3. Группа симметрий правильного треугольни-ка в пространствах Кэли-Клейна R3(j1, j2)В расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномернойбазой {x1} и двумерным евклидовым слоем {x2, x3}, ис-пользуя формулы (11), (12), находим вид образующих дис-кретной группыR1 =0@1 · ·v −1 ·· · 11A, R2 =0@1 · ·· · 1· 1 ·1A,R = R1R2 =0@1 · ·v · −1· 1 ·1A. (14)Определяющие соотношенияR21 = 1, R22 = 1, R4 = 1 (15)задают группу симметрии квадрата (рис. 9). Начиная, на-пример, с точки A, действуя всеми элементами этой груп-пы, получим еще три точки, расположенные на плоскостиx1 = a, являющиеся вершинами правильного квадрата.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 45Ax11x21x3Рисунок 9. Квадрат в расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномер-ной базой {x1} и двумерным слоем {x2, x3}, полученный действиемR1,R2.Figure 9. Square in the fibered space R3(ι1, 1) with one-dimensionalbase {x1} and two-dimensional fiber {x2, x3}, obtained by the actionof R1,R2.Действительно, матрицыR1 иR2 в рассмотренном слу-чае определяют отражения относительно прямых x2 = av2 и x2 = x3 в двумерном слое {x2, x3} в точке базы x1 =a. Эти прямые пересекаются под углом 45◦, поэтому ком-позиция двух отражений R1 и R2 даст поворот на 90◦.R =0@1 · ·v · −1· 1 ·1A = TGT−1 =0@1 · ·v2 1 ·v2· 11A0@1 · ·· · −1· 1 ·1A0@1 · ·−v2 1 ·−v2· 11A,гдеT =0@1 · ·v2 1 ·v2· 11A,есть операция сдвига в пространстве R3(ι1, 1). При этомвсе операторы преобразуются как TGT−1. Таким образом,имеем в слое x1 = a вращение на 90◦ с центром, смещен-ным в точку (a, av/2, av/2).Отметим, что если бы мы выбрали другое расположениеправильного треугольника в пространствеR3(1, 1), то по-лучили бы иной результат, так как при этом в слое {x2, x3}в точке базы x1 = a прямые, относительно которых проис-ходят отражения, были бы расположены под другим углом.Если этот угол равен πn, то получим группу диэдра Dn, длядругих значений углов получим группу симметрии D∞.В дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2), в ко-тором слой {x2, x3} в свою очередь расслоен с базой{x2} и слоем {x3}, образующие R1,R2 из (12) принимаютвидR1 =0@1 · ·v −1 ·· · 11A, R2 =0@1 · ·· 1 ·· w −11A.Определяющие соотношенияR21 = 1, R22 = 1. (16)Оператор “вращения”R = R1R2 =0@1 · ·v −1 ·· w −11A (17)порождает бесконечную подгруппу с элементамиR2n =0@1 · ·· 1 ·nvw −2nw 11A,R2n+1 =0@1 · ·v −1 ·−nvw 2nw 11A.Действуя на точкуAэлементами указанной группы, за-даваемой образующими R1, R2 и соотношениями (16), по-лучим решетку на окружности плоскости Галилея x1 = a(рис. 10).Ax11x212x3Рисунок 10. Решетка в дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2),полученная действием R1,R2.Figure 10. Lattice in a doubly fibered space R3(ι1, ι2), obtained by theaction R1,R2.В однократно расслоенном пространстве R3(1, ι2) сдвумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным сло-ем {x3} образующие R1,R2 из (12) принимают видR1 =0@· 1 ·1 · ·· · 11A, R2 =0@1 · ·· 1 ·· v −11A.Определяющие соотношенияR21 = 1, R22 = 1. (18)Оператор “вращения”R = R1R2 =0@· 1 ·1 · ·· v −11A (19)порождает бесконечную подгруппу с элементамиR2n+1 =0@· 1 ·1 · ·−nv (n + 1)v −11A,R2n =0@1 · ·· 1 ·nv −nv 11A. (20)Действуя на точку A элементами всей группы, задава-емой образующими R1, R2 и соотношениями (18), получимрешетку на цилиндре x21+ x22= a2 (рис. 11).46Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruAx1x22x3Рисунок 11. Решетка в однократно расслоенном пространствеR3(1, ι2)с двумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным слоем {x3}, по-лученная действием R1,R2.Figure 11. Lattice in a singly fibered spaceR3(1, ι2) with two-dimensionalEuclidean base {x1, x2} and one-dimensional fiber {x3}, obtained by theaction R1,R2.4. Группы симметрии правильных многогран-никовГруппу симметрии правильного n-угольника можно за-дать с помощью отражений относительно двух плоскостей,угол между которыми равен πn. Схема Кокстера-Дынкина[8, 15] для этого случая представлена на рис. 12.nРисунок 12. Диаграмма Кокстера-Дынкина для правильного n-угольника.Figure 12. Coxeter-Dynkin diagram for a regular n-gon.Данные плоскости можно представить уравнениямиX3j=1aijxj = 0, i = 1, 2, (21)где a1j и a2j , j = 1, 2, 3 задают два вектора, перпенди-кулярные этим плоскостям.Правильные многогранники — тетраэдр, октаэдр, куб,додекаэдр и икосаэдр, можно вписать в сферу, и их груп-пы симметрии являются дискретными подгруппами группыO(3) [8, 15], элементы которых порождаются отражениямиотносительно трех плоскостейX3j=1aijxj = 0, i = 1, 2, 3, (22)углы между которыми равны (π3 , π3 , π2 ) в случае тетраэдра,(π4 , π3 , π2 ) для куба и октаэдра и (π5 , π3 , π2 ) для икосаэд-ра и додекаэдра. Соответствующие диаграммы Кокстера-Дынкина представлены на рис. 13(a), 13(b) и 13(c).a b cРисунок 13. Диаграммы Кокстера-Дынкина для правильных многогранни-ков.Figure 13. Coxeter-Dynkin diagram for regular polyhedrons.5. Пространство R3(ι1, 1)В пространстве R3(ι1, 1) сфера радиуса a переходитв слой x1 = a. Тогда, полагая в уравнениях (21) для двухплоскостей x1 = a, получаем дискретную группу, порож-денную отражениями относительно двух прямыхX3j=2aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2. (23)Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-мых (23) в видеx2 = ki(x3 − d3) + d2, i = 1, 2, (24)здесь (d2, d3) — точка пересечения этих прямых, ki =tg ϕi = −ai3ai2. Тогда отражения R1 и R2 относительноуказанных прямых задаются формуламиRi = TOiT−1, (25)где операция сдвигаT =0@1 · ·d2 1 ·d3 · 11Aи отраженияOi =0@1 · ·· cos 2ϕi sin 2ϕi· sin 2ϕi −cos 2ϕi1A, O2i = 1.Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,имеет видR = R1R2 = TO1O2T−1. (26)Если угол ϕ1 − ϕ2 между этими прямыми равен πm, тоRm = 1, и мы имеем конечную группу диэдра Dm. Такимобразом, при контракции группа диэдраDn может перейтипри некоторых положениях правильного n-угольника, впи-санного в сферу, в Dm.Три плоскости (22), определяющие группы симметрийправильных многогранников, в слое x1 = a задают дис-кретную группу, порожденную отражениями относительнотрех прямыхX3j=2aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2, 3. (27)Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-мых (27) в видеx2 = kix3 + di, i = 1, 2, 3, (28)здесь (di, 0) — точки пересечения этих прямых оси x2,ki = tg ϕi = −ai3ai2. Тогда три базовых отражения Ri от-носительно этих прямых задаются формуламиRi = TOiT−1, i = 1, 2, 3, (29)где оператор сдвига теперь равенTi =0@1 · ·di 1 ·· · 11A,а оператор отражения имеет прежний видOi =0@1 · ·· cos 2ϕi sin 2ϕi· sin 2ϕi −cos 2ϕi1A.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 47Каждая пара прямых определяет дискретную подгруп-пу поворотов, задаваемую композициями R1R2, R2R3 иR1R3. Чтобы эти подгруппы были конечными, разности уг-лов между данными прямымиΔϕ12 = |ϕ1−ϕ2|,Δϕ23 =|ϕ2−ϕ3| иΔϕ31 = |ϕ3−ϕ1| должны быть равны πk1, πk2,πk3соответственно, где ki ∈ N. Имеем треугольник, обра-зованный тремя прямыми с углами πki. Так как сумма угловв треугольнике равна π, получаем уравнение на числа ki1k1+1k2+1k3= 1. (30)Оно имеет только три решения [8] в виде троек (3, 3, 3),(2, 4, 4) и (2, 3, 6). Таким образом, если углы между эти-ми прямыми равны (π3 , π3 , π3 ), (π2 , π4 , π4 ) или (π2 , π3 , π6 ), тоимеем дискретную группу, порождающую решетку на ев-клидовой плоскости в слое. Диаграммы Кокстера-Дынкинадля этих групп представлены на рис. 14.a b cРисунок 14. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп в про-странствеR3(ι1, 1).Figure 14. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups in spaceR3(ι1, 1).6. Пространство R3(ι1, ι2)Если обе прямые (23) не лежат в слое x2 = b, то урав-нения (23) можно записать в видеx3 = vix2 + di, i = 1, 2. (31)Тогда отражения R1 и R2 относительно этих прямых зада-ются формуламиRi = TiPiT−1i , R2i = 1, (32)гдеTi =0@1 · ·· 1 ·di · 11A, Pi =0@1 · ·· 1 ·· 2vi −11A.Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,имеет видR = R1R2 = TKT−1, Rn = TKnT−1, (33)гдеT =0@1 · ·· 1 ·d1 − d2 · 11A,K =0@1 · ·· 1 ·· 2(v1 − v2) 11A,и определяет бесконечную циклическую группу, изоморф-ную Z. Таким образом, в каждом слое x2 = b будет своярешетка со своим шагом, представляющая орбиту группыдиэдра D∞.Если же одна из прямых, задающих отражение, совпа-дает со слоем x2 = b, то у нас появляется еще отражениемежду слоями. Пример такой решетки изображен на рис. 10.На плоскости Галилея есть прямые двух типов [17]. Пер-вый тип — прямые вида x3 = vx2 + d, второй тип —прямые вида x2 = b. Если обозначить светлым кружкомзеркало в виде прямой первого типа, а темным кружком —зеркало, как прямую второго типа, то на плоскости Галилеяможно определить три типа диаграмм Кокстера-Дынкина(рис. 15).1a1b1cРисунок 15. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп на плос-кости Галилея.Figure 15. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups on the Galilean plane.Первый и третий типы диаграмм определяют дискрет-ные группы, орбитами которых являются решетки в слое и вбазе соответственно. В случае симметрий платоновых тел,если пересечения трех плоскостей (22) со слоем x1 = aимеют вид прямых первого типа (31), то три отражения Riдискретной группы будут иметь вид (32). Каждая пара от-ражений задает решетку в слое со своим шагом.ЗаключениеКонтракции непрерывных групп Ли, описанные в [14] спомощью коммутативных нильпотентных образующих ιk,допускают адекватное описание посредством непрерыв-ных вещественных параметров εk, которые стремятся ксвоим нулевым предельным значениям εk → 0. Предель-ный переход в непрерывной группе влечет за собой пере-ходы в соответствующих дискретных подгруппах и, соот-ветственно, изменение орбит этих групп.Отметим, что в случае контракций компактных групп Лиобычно получаются некомпактные группы. В наших при-мерах конечные дискретные группы переходят в беско-нечные дискретные группы. В случае, когда при контрак-ции исходной непрерывной группы имеется инвариантнаякомпактная подгруппа, то соответствующая ей дискретнаяподгруппа остается конечной. Этот пример возникает приконтракции в пространстве R3(ι1, 1).