ВведениеВ настоящей работе будут найдены точные решенияуравнения Даффина-Кеммера для частицы со спином 1и дополнительной электромагнитной характеристикой —аномальным магнитным моментом [1–7]. Используется де-картовая сиcтема координат. Для 10-компонентного полявводятся три проективных оператора [8], которые позволя-ют разложить волновую функцию в сумму трех частей. Од-на из составляющих, зависящая от четырех функций, яв-ляется основной, две другие могут быть выражены черезнее. Для этих четырех функций выведено линейное усло-вие связи, в результате возникает система из трех связан-ных дифференциальных уравнений 2-го порядка для трехфункций. Эта система после специального линейного пре-образования приводится к трем несвязанным уравнениямИзвестия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 51для трех новых функций. Их решения построены в терми-нах вырожденных гипергеометрических функций.1. Обобщенное уравнение Даффина-Кеммера,разделение переменныхИсходим из общего уравнения для частицы со спином 1и аномальным магнитным моментомnβc(∂c − ieAc) + λ12Fab(x)JabP −MoΨ = 0,P =I4 00 0, (1)где P — проективный оператор, выделяющий векторнуюкомпоненту из волновой функции. В однородном электри-ческом поле At = −Ez, Ftz = F03 = E уравнениезаписывается в видеβ0∂∂z+ iEz+ β1 ∂∂x+ β2 ∂∂y++β3 ∂∂z+ ΓJ03P −MΨ = 0, (2)где размерности величин такие:[M] = 1/L, Γ = iλE, |, [Γ] = 1/L,[E] = 1/L2, [t] = 1/L;величина Γ — чисто мнимая. Для волновой функции ис-пользуем подстановкуΨ = e−iϵteiaxeibyH1H2,H1 = (h0(z), h1(z), h2(z), h3(z))t,H2 = (E1(z),E2(z),E3(z),B1(z),B2(z),B3(z))t,где t обозначает транспонирование. Соответственно, урав-нение принимает видi(Ez − ϵ)β0 + iaβ1 + ibβ2++β3 ddz+ Γj03P −MΨ(z) = 0. (3)При использовании блочной формыβa =0 LaKa 0имеем два уравненияi(Ez − ϵ)L0 + iaL1 + ibL2++L3 ddzH2 + Γj031 H1 −MH1 = 0, (4)i(Ez − ϵ)K0 + iaK1 + ibK2++K3 ddzH1 −MH2 = 0. (5)Приводим явный вид всех матриц в декартовом базисеL0 =0B@0 0 0 0 0 0−1 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 00 0 −1 0 0 01CA,L1 =0B@−1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 −1 01CA,L2 =0B@0 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 −10 0 0 0 0 00 0 0 1 0 01CA,L3 =0B@0 0 −1 0 0 00 0 0 0 +1 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 01CA,K0 =0BBBBB@0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 01CCCCCA,K1 =0BBBBB@−1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 −10 0 1 01CCCCCA,K2 =0BBBBB@0 0 0 0−1 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 00 −1 0 01CCCCCA,K3 =0BBBBB@0 0 0 00 0 0 0−1 0 0 00 0 −1 00 1 0 00 0 0 01CCCCCA,j031 =0B@0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 01CA,j032 =0BBBBB@0 0 0 0 1 00 0 0 −1 0 00 0 0 0 0 00 −1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 01CCCCCA.52Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruПосле простых вычислений получаем систему уравненийпо переменной z−iaE1 − ibE2 + Γh3 − E′3 = mh0,−ibB3 − i(Ez − ϵ)E1 + B′2 = Mh1,iaB3 − i(Ez − ϵ)E2 − B′1 = Mh2,ibB1 − iaB2 − i(Ez − ϵ)E3 + Γh0 = Mh3,−iah0 + i(Ez − ϵ)h1 = ME1,−ibh0 + i(Ez − ϵ)h2 = ME2,i(Ez − ϵ)h3 − h0′ = ME3,ibh3 − h′2 = MB1,−iah3 + h′1 = MB2,−ibh1 + iah2 = MB3,(6)где штрих обозначает производную по z.2. Проективные операторы, метод Федорова-ГронскогоНиже будем использовать метод Федорова-Гронского[8]. ПустьY =j031 00 J032.Убеждаемся, что выполняется минимальное уравнениеY (Y − 1)(Y + 1) = 0. Это уравнение позволяет ввеститри проективных оператораΠ1 =12Y (Y + 1), Π2 =12Y (Y − 1),Π3 = 1 − Y 2. (7)С учетом их явного вида получаем выражения для трехпроективных составляющихΨ1 = Π1Ψ == (h0,12h1,12h2, h3,E1,E2,12E3,B1,B2,12B3)t,Ψ2 = Π2Ψ == (0,−12h1,−12h2, 0, 0, 0,−12E3, 0, 0,−12B3)t,Ψ3 = Π3Ψ = (0, h1, h2, 0, 0, 0,E3, 0, 0,B3)t.Будем рассматривать переменную Ψ3 как основ-ную, она зависит от функций h1, h2,E3,B3. Снача-ла шесть уравнений из системы (6) решаем как ал-гебраические относительно неосновных переменныхh0, h3,E1,E2,B1,B2, это даетh0 = − 1(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2−ah1(a2+b2+M2)··(Ez −ϵ)−a2bEzh2 +a2bϵh2 +a2ME′3 +iaΓMh′1++b3(−E)zh2+b3ϵh2+b2ME′3−bM2Ezh2+bM2ϵh2++ibΓMh′2 +M3E′3 + iΓM2E3(Ez − ϵ),h3 = − 1(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2i(a3h′1 +ME3××(a2+b2+M2)(Ez−ϵ)+b(a2+b2+M2)h′2+ab2h′1++aM2h′1 + iaΓMh1(Ez − ϵ) + ibΓMEzh2−−ibΓMϵh2 − iΓM2E3)],E1 = − 1M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3i(a(bh2××(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) −M((a2 + b2 +M2)E′3++iΓ(ah′1+bh2)))−h1(Ez−ϵ)((b2+M2)(a2+b2+M2)−−Γ2M2) − iaΓM2E3(Ez − ϵ)),E2 = − 1M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3i(a4Ezh2−−a4ϵh2 − abh1(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ)++a2b2Ezh2 − a2b2ϵh2 + a2bME′3++2a2M2Ezh2 − 2a2M2ϵh2 + iabΓMh′1++b3ME′3 + b2M2Ezh2 − b2M2ϵh2 + ib2ΓMh′2++bM3E′3 + ibΓM2E3(Ez − ϵ) +M4Ezh2−−M4ϵh2 − Γ2M2Ezh2 + Γ2M2ϵh2),B1 =1M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3bM((Ez − ϵ)××(E3(a2 + b2 +M2) + iΓ(ah1 + bh2)) − iΓME′3)−−ah′2((a2 +M2)(a2 + b2 +M2) − Γ2M2)++ab(a2 + b2 +M2)h′1,B2 =1M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3 [−aME3××(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) − ab(a2 + b2 +M2)h′2++a2b2h′1 + a2M2h′1− ia2ΓMh1(Ez − ϵ)−−iabΓMEzh2 + iabΓMϵh2 + iaΓM2E′3++b4h′1 + 2b2M2h′1 +M4h′1− Γ2M2h′1.Полученные выражения подставляем в оставшиеся четыреуравнения; в результате находим уравнения для основныхфункций h1, h2,E3,B3. Будем использовать новые пере-менныеG = ah1 + bh2, H = bh1 − ah2, (8)тогда уравнения для функций G,H,E3,B3 запишутсятак:1) −a􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3++iaΓM(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E′′3++aM(a2 + b2 − Γ2 +M2)(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G′′+Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 53+b(a2 + b2)MH′′ − b􀀀M2 − (ϵ − Ez)2M(a2 + b2)H−− 1(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2aa4M++a2(2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE) + b4M++b2(2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE)+M(M−Γ)(Γ+M)××􀀀M2 − (ϵ − Ez)2G − ibB3 = 0,2) − b􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3++iaΓM(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E′′3++bM(a2 + b2 − Γ2 +M2)(a2 + b2)((a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2)G′′−− aM(a2 + b2H′′+a(M2 − (ϵ − Ez)2)M(a2 + b2)H−− 1(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2ba4M++a2􀀀2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE+ b4M++b2􀀀2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE+M(M−Γ)(Γ+M)××􀀀M2 − (ϵ − Ez)2G + iaB3 = 0,3)M(a2 + b2 +M2)(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E′′3++1(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M−a4 + a2(−2b2−−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)++M􀀀−M3 +M􀀀Γ2 + (ϵ − Ez)2+ iΓEE3++iΓM(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G′′−−􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,4) −MB3 − iH = 0 ⇒ B3 = − iMH.Складываем и вычитаем уравнения 1) и 2), в результате по-лучаемiΓM(a + b)(a2 + b2 +M2) − Γ2M2E′′3−−(a + b)􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3++(b − a)M(a2 + b2)H′′+(a − b)􀀀M2 − (ϵ − Ez)2M(a2 + b2)H++M(a + b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G′′++1(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2) − Γ2M2(a+b)a4(−M)++a2􀀀−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE− b4M++b2􀀀−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE−M(M2 − Γ2)××(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)G + i(a − b)B3 = 0;iΓM(a − b)(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E′′3−−(a − b)􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3++(a + b)a2M + b2MH′′ − (a + b)􀀀M2 − (ϵ − Ez)2M(a2 + b2)H++M(a − b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G′′++1(a2 + b2)􀀀(a2 + b2 +M2) − Γ2M2(a+b)a4(−M)++a2􀀀−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE− b4M++b2􀀀−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE−M(M2 − Γ2)××(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)G − i(a + b)B3 = 0.Данные уравнения можно записать в более короткойформе, если использовать обозначенияK =iΓMD,L =a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2D,N = − 1M(a2 + b2), P =M2 − (ϵ − Ez)2M(a2 + b2),O =M(a2 + b2 − Γ2 +M2)(a2 + b2)D,T =1(a2 + b2)D−Ma4 + a2􀀀−2b2M − 2M3++M(ϵ−Ez)2−iΓE−b4M+b2􀀀−2M3+M(ϵ−Ez)2−−iΓE−M(M2 − Γ2)􀀀M2 − (ϵ − Ez)2,D = (a2 + b2 +M2) − Γ2M2.Тогда они примут вид(a + b)Kd2dz2− LE3 + (a − b)Nd2dz2 + PH++(a + b)Od2dz2 + TG + i(a − b)B3 = 0,(a − b)Kd2dz2− LE3 − (a + b)Nd2dz2 + PH++(a − b)Od2dz2 + TG − i(a + b)B3 = 0. (9)54Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruВ (9) первое уравнение разделим на (a+b) , а второе — на(a − b)Kd2dz2− LE3 +a − ba + bNd2dz2 + PH++Od2dz2 + TG + ia − ba + bB3 = 0,Kd2dz2− LE3 − a + ba − bNd2dz2 + PH++Od2dz2 + TG − ia + ba − bB3 = 0 (10)и вычтем результаты, получимa − ba + b+a + ba − b(Nd2dz2 + PH + iB3)= 0.Откуда следуетNd2dz2 + PH + iB3 = 0. (11)Из (11), учитывая четвертое уравнениеiB3 =HM, (12)находим уравнение для функции H:Nd2dz2 + P +1MH = 0. (13)Теперь первое уравнение в (9) разделим на (a − b) , авторое — на (a + b)a + ba − bKd2dz2− LE3 +Nd2dz2 + PH++a + ba − bOd2dz2 + TG + iB3 = 0,a − ba + bKd2dz2− LE3 −Nd2dz2 + PH++a − ba + bOd2dz2 + TG − iB3 = 0. (14)Складывая два последних уравнения, получаемKd2dz2− LE3 +Od2dz2 + TG = 0. (15)Осталось неиспользованным третье уравнение3)M(a2 + b2 +M2)(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E′′3++1(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M−a4 + a2(−2b2−−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)++M􀀀−M3 +M􀀀Γ2 + (ϵ − Ez)2+ iΓEE3++iΓM(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G′′−−􀀀a2E + b2E +M􀀀ME − iΓ(ϵ − Ez)2(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,его можно записать так:O′ d2dz2 + T′E3 +Kd2dz2− LG = 0, (16)где учитываем прежние и добавленные обозначенияO′=1DM(a2 + b2 +M2),T′=1Dh−Ma4−2Ma2b2−2M3a2+Ma2(ϵ−Ez)2−−Mb4 +Mb2(ϵ − Ez)2 − 2M3b2 −M5++M3Γ2 +M3(ϵ − Ez)2 + iM2ΓEi.Выпишем уравнения для функций E3,G (пусть E3 = F):Kd2dz2− LF +Od2dz2 + TG = 0,O′ d2dz2 + T′F +Kd2dz2− LG = 0. (17)Умножаем первое уравнение в (17) на некоторый параметрα, второе — на параметр β и результаты складываем. Естьдве возможности.Первая возможность:αK + βO′= 1, αO + βK = 0 ⇒⇒ d2dz2 F + (−αL + βT′)F + (αT − βL)G = 0,при этомα =KK2 − OO′ = −iΓ(a2 + b2)M,β = − OK2 − OO′ =a2 + b2 − Γ2 +M2M(18)и уравнение 2-го порядка принимает видd2dz2 F +−a2 − b2 + Γ2 −M2++iΓEM+W2F +− EM+ iΓG = 0. (19)Вторая возможность:αK + βO′= 0, αO + βK = 1 ⇒⇒ (−αL + βT′)F +d2dz2G + (αT − βL)G = 0,при этомα =O′OO′ − K2 =(a2 + b2)(a2 + b2 +M2)M,β = − KOO′ − K2 = −iΓ(a2 + b2)M(20)Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 55и уравнение 2-го порядка примет вид−(a2 + b2)(E − iΓM)MF +d2dz2G++(−a2 − b2 −M2 +W2)G = 0. (21)После необходимых вычислений находим явный вид урав-нений (19) и (21):d2dz2 +W2 − a2 − b2 −M2F == −ΓΓ +iEMF − iΓ +iEMG,d2dz2 +W2 − a2 − b2 −M2G == −i(a2 + b2)Γ +iEMF. (22)Введем обозначенияΔ =d2dz2 +W2 − a2 − b2 −M2,a2 + b2 = p2, Γ +iEM= σ = iλE +iEM,тогда система принимает видΔF = −σΓF − iσG, ΔG = −iσp2F,илиΔFG= −σAFG, A =Γ iip2 0. (23)Найдем преобразование, диагонализирующее матрицусмешивания A:ΔΨ = −σAΨ, Ψ′= SΨ, S−1ψ′= Ψ ⇒ΔΨ′= −σSAS−1Ψ′, Ψ′=¯ F¯G,т. е. получаем уравнениеSAS−1 = A′=λ1 00 λ2⇒⇒s11 s12s21 s22Γ iip2 0=λ1 00 λ2s11 s12s21 s22,или Γ − λ1 ip2i −λ1s11s12= 0,Γ − λ2 ip2i −λ2s21s22= 0.С учетом уравнения для диагональных элементов −Γλ +λ2 + p2 = 0 находим следующее решение:λ1 =12Γ−pΓ2 − 4p2=i2λE−pλ2E2 + 4p2,is11 = λ1s12, s11 = −i ⇒ s12 =1λ1;λ2 =12Γ+pΓ2 − 4p2=i2λE+pλ2E2 + 4p2,is21 = λ2s22, s21 = −i ⇒ s22 =1λ2. (24)Таким образом, матрица преобразования S задается соот-ношениямиS =0B@−i1λ1−i1λ21CA,S−1 =0B@iλ1λ1 − λ2− iλ2λ1 − λ2− λ1λ2λ1 − λ2λ1λ2λ1 − λ21CA. (25)После выполненного преобразования имеем два раздель-ных уравнения:(Δ + σλ1) ¯ F = 0, (Δ + σλ2)¯G = 0,Δ =d2dz2 +W2 − p2 −M2. (26)Их решения будут приведены в следующем разделе.3. Построение решений основного уравненияУравнения (26) имеют ту же структуру, что и в случаеобычной скалярной частицы во внешнем электрическомполе d2dz2 + (Ez + ϵ)2 − μ2Φ(z) = 0. (27)Преобразуем уравнение (27) к новой переменной (предпо-лагаем, что E > 0): Z = i(Ez + ϵ)2/E, σ = μ2/4E, врезультате получаемd2dZ2 +1/2ZddZ− 14+iσZΦ(Z) = 0. (28)Это уравнение с двумя особыми точками. Точка Z = 0 ре-гулярная, поведение решений около нее задается форму-лами Z → 0, Φ(Z) = ZA, A = 0, 12 . Точка Z = ∞нерегулярная, ее ранг равен 2. Действительно, переходя кобратной переменной y = Z−1, получимd2dy2 +3/2yddy− 14y4 +iσy3Φ = 0. (29)Асимптотическое поведение при y → 0 должно иметьструктуру Φ = yCeD/y, откуда следуетD1 =12, C1 =14+ iσ;D2 = −12, C2 =14− iσ. (30)На бесконечности возможны два типа асимптотик:Z → ∞, Φ = Z−CeDZ =56Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru=(Z−C1eD1Z = Z−1/4−iσeZ/2Z−C2eD2Z = Z−1/4+iσe−Z/2,(31)где (используем главную ветвь логарифмической функции)Z = i(ϵ + Ez)2E= iZ0,Z0 > 0, e±Z/2 = e±iZ0/2,Z−1/4∓iσ = (elniZ0)−1/4∓iσ =elnZ0+iπ/2−1/4∓iσ.Найдем решения во всей области изменения пере-менной Z. Для этого применим подстановку Φ(Z) =ZAeBZf(Z), что приводит кZd2dZ2 +2A +12+ 2BZ ddZ+ σf(Z) = 0.Учитывая ограничения A = 0, 1/2, B = −1/2, упроща-ем уравнение до следующего:Zd2dZ2+2A+1/2−Z ddy−A+1/4−iσf(Z) = 0,Данное уравнение вырожденного гипергеометрическоготипа с параметрамиa = A +14− iσ, c = 2A +12,f(Z) = ZAe−Z/2F(a, c;Z). (32)Без потери общности полагаемA = 0, a =14− iσ, c =12,Φ(Z) = e−Z/2f(Z). (33)Уравнение вырожденного гипергеометрического типаимеет разные наборы линейно независимых решений. Сна-чала рассмотрим следующую пару:Y1(Z) = F(a, c;Z) = eZF(c − a, c;−Z), (34)Y2(Z) = Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) == Z1−ceZF(1 − a, 2 − c;−Z). (35)Это приводит к полным решениям в видеΦ1 = e−Z/2F(a, c;Z) = eZ/2F(c − a, c;−Z), (36)Φ2 = e−Z/2Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) == Z1−ce+Z/2F(1 − a, 2 − c;−Z). (37)Учитывая тождестваc =12, a =14− iσ,c − a =14+ iσ = a∗, c = c∗=12, Z∗= −Z,a−c+1 =34−iσ = (1−a)∗, (2−c) = (2−c)∗=32,заключаем, что решение для Φ1(Z) задается веществен-ной функцией, а второе решение Φ2(Z) обладает простойсимметрией относительно комплексного сопряжения:Φ1(Z) = [Φ1(Z)]∗, Φ2(Z) = i[Φ2(Z)]∗. (38)Это свойство можно представить иначе, если воспользо-ваться другой нормировкой:¯Φ2(Z) =1 − √ i2Φ2(Z) ==1√− i2Φ2(Z)∗=􀀀¯Φ2(Z)∗. (39)При малых Z решения ведут себя так:Y1(Z) ≈ 1, Y2(Z) ≈√Z ==piZ0 =rieE(ϵ + eEz); (40)Φ1(Z) ≈ 1, Φ2(Z) ≈√Z ==piZ0 =rieE(ϵ + eEz). (41)При больших Z = iZ0, Z0 → +∞ имеем следующуюасимптотическую формулу:F(a, c,Z) =Γ(c)Γ(c − a)(−Z)−a + . . .++Γ(c)Γ(a)eZZa−c + . . .. (42)Учитывая тождества(−Z)−a = (−iZ0)−1/4+iσ =eln Z0−iπ/2−1/4+iσ== e−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0 ,Γ(c)Γ(c − a)=Γ(1/2)Γ(1/4 + iσ),Γ(c)Γ(a)=Γ(1/2)Γ(1/4 − iσ),получаемY1(Z) = F(a, c,Z) = eiZ0/2Γ(1/2)Γ(1/4 + iσ)××e−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e−iZ0/2+ (43)+Γ(1/2)Γ(1/4 − iσ)e(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2.Отсюда, после перехода к полной функции Φ1(Z), полу-чимΦ1(Z) =Γ(1/2)Γ(1/4 + iσ)××e−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e−iZ0/2+ (44)+Γ(1/2)Γ(1/4 − iσ)e+(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 57В (44) можно увидеть два сопряженных друг другу слага-емых. Аналогично исследуется поведение и второго реше-нияF(a − c + 1, 2 − c,Z) =Γ(2 − c)Γ(1 − a)(−Z)−a+c−1++Γ(2 − c)Γ(a − c + 1)eZZa−1. (45)Отсюда, с учетом равенств(−Z)−a+c−1 == (−iZ0)−3/4+iσ = (eln Z0−iπ/2)−3/4+iσ == e−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0 ,Za−1 = (iZ0)−3/4−iσ = (eln Z0+iπ/2)−3/4−iσ == e(−3/4−iσ)iπ/2e(−3/4−iσ) ln Z0 ,Γ(2 − c)Γ(1 − a)=Γ(3/2)Γ(3/4 + iσ),Γ(2 − c)Γ(a − c + 1)=Γ(3/2)Γ(3/4 − iσ),получаем следующее поведение на бесконечностиF(a − c + 1, 2 − c,Z) = eiZ0/2Γ(3/2)Γ(3/4 + iσ)××e−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0e−iZ0/2++Γ(3/2)Γ(3/4 − iσ)e(−3/4−iσ)iπ/2××e(−3/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2. (46)Соотвественно, для функции Φ2(Z) находим выражение(учтем, что√Z = e(1/2)(ln Z0+iπ/2)Φ2(Z) =√ZZ1/2F(a − c + 1, 2 − c,Z) == eiπ/4Γ(3/2)Γ(3/4 + iσ)e−(−3/4+iσ)iπ/2××e(−1/4+iσ) ln Z0e−iZ0/2++Γ(3/2)Γ(3/4 − iσ)e(−3/4−iσ)iπ/2××e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2. (47)Можно построить два решения, которые на бесконечно-сти будут вести себя как комплексно сопряженные функ-ции. Для этого нужно использовать другую пару решенийгипергеометрического уравнения:Y5(Z) = Ψ(a, c;Z), Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z).Две пары {Y5, Y7} и {Y1, Y2} связаны преобразованиямиКеммераY5 =Γ(1 − c)Γ(a − c + 1)Y1 +Γ(c − 1)Γ(a)Y2,Y7 =Γ(1 − c)Γ(1 − a)Y1 − Γ(c − 1)Γ(c − a)eiπcY2. (48)С учетом этого легко находим поведение функций при|Z| → ∞Y5 = Ψ(a, c;Z) = Z−a == (iZ0)−1/4+iσ =eln Z0+iπ/2−1/4+iσ,Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z) = eZ (−iZ0)a−c == eiZ0 (−iZ0)−1/4−iσ == eiZ0eln Z0−iπ/2−1/4−iσ(49)илиΦ5 = e−Z/2Y5 == e−iZ0/2eln Z0+iπ/2−1/4+iσ,Φ7 = e−Z/2Y7(Z) == e+iZ0/2eln Z0−iπ/2−1/4−iσ. (50)Эти функции комплексно сопряжены друг другу.ЗаключениеРешенная задача допускает обобщение по несколькимнаправлениям. Так, можно построить решения с цилиндри-ческой симметрией. При этом возникает система из 10 урав-нений в частных производных. Зависимость 10 функций отполярной координаты r может быть зафиксирована с ис-пользованием проективных операторов, строящихся на ос-нове генератора j12, после чего система из 10 уравнений покоординате z решается с применением метода, использо-ванного в настоящей работе. Можно аналогичным спосо-бом исследовать уравнение для такой частицы в присут-ствии внешнего однородного электрического поля, а такжеучесть два внешних поля одновременно. Наконец, похожийметод исследования применим и в ситуации, когда учиты-ваются две дополнительные характеристики — аномаль-ный магнитный момент и квадрупольный электрическиймомент. По существу, во всех этих ситуациях срабатываетодин и тот же метод Федорова-Гронского, впервые приме-ненный в работе 1960 г. [8]. Можно добавить, что такой под-ход с использованием проективных операторов применими в теориях частиц с более высокими значениями спинов,в частности со спинами 3/2 и 2.