ВведениеЦилиндрические кристаллы создаются искусственнодля разных физико-химических приложений. Такие кри-сталлы и микрокристаллы используются как SiGe сердце-вины оптических волокон, микрорезные инструменты диа-метром до нескольких микрометров и элементы микрооп-тических и микроэлектронных систем. Применяются раз-ные методы для создания цилиндрических кристаллов,включая лазерную рекристаллизацию, обработку сфоку-сированным ионным пучком и литографию на задней сто-роне 3D-диффузора. Кроме того, цилиндрические кристал-лы выращиваются химическим осаждением из паровойфазы и зонной ростовой технологией с лазерным нагревом.Динамическая теория дифракции рентгеновских лучей(ДТД) ранее была разработана для кристаллов цилиндри-ческого сечения с использованием метода Римана-Гри-на [1, 2] и численным интегрированием уравнений Такаги-Топена без учета углового распределения интенсивностирассеяния [2]. При вычислении профилей кривых рассея-ния кристалл делился на участки в зависимости от величи-ны угла Брэгга [1]. Такое разбиение кристалла на областине только усложняет процедуру вычислений, но и делаетрасчеты достаточно приближенными.В настоящее время для исследования кристаллическихструктур широкое применение получили методы трехкри-стальной дифрактометрии [3] и брэгговской когерентнойдифракционной визуализации [4,5]. Вычисление карт в об-ратном пространстве (RSM) от латеральных совершенныхкристаллов прямоугольного сечения выполнено с исполь-зованием двумерных рекуррентных соотношений [6]. Этотформализм был обобщен на случай дифракции в дефор-мированных латеральных кристаллах [7]. Для латеральногонесовершенного кристалла рассмотрен детерминирован-ный вариант брэгговской когерентной дифракционной ви-зуализации в кинематическом приближении [4, 8]. Эффек-ты динамической дифракции в методе брэгговской коге-рентной дифракционной визуализации показаны Шабали-ным [5] с использованием уравнений Такаги-Топена [9, 10].В данной работе впервые рассмотрена возможностьвычисления рентгеновских интенсивностей волновых по-лей и RSM от кристаллов цилиндрического сечения. Вслучае динамической дифракции применялись двумерныерекуррентные соотношения. Результаты в кинематическомприближении получены на основе аналитического реше-ния.1. Динамическая дифракцияРассмотрим динамическую дифракцию рентгеновскихлучей в кристалле цилиндрического сечения (рис. 1 а), приэтом выполняется закон Брэгга 2d sin θB = λ, где d —межплоскостное расстояние отражающих атомных плоско-стей кристалла, θB — угол Брэгга, λ — длина волны падаю-щего рентгеновского излучения. Дифракция рентгеновских94Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruлучей в континуальной среде зависит от Фурье коэффи-циентов поляризуемости χg = −r0λ2Fg/(πVc). ЗдесьFg — структурный фактор, Vc — объем элементарной ячей-ки, r0 = e2/(mc2) — классический радиус электрона, e,m — заряд и масса электрона. Отметим, что коэффициен-ты a0,h = πχ0,h/(λ sin θB) в уравнениях Такаги-Топена[9,10] характеризуют взаимодействие рентгеновских полейв латерально бесконечном кристалле единичной толщины,при этом амплитуды пропускания (рассеяния вперед) r0 иотражения rh от одной атомной плоскости в модели Дарви-на связаны с данными коэффициентами как r0h = a0hd.Это означает, что в модели Дарвина вся электронная плот-ность континуальной среды, заключенная между сосед-ними атомными плоскостями, сосредоточена в бесконечнотонкой решеточной (атомной) плоскости.Мы исследуем для простоты симметричную дифракциюσ−поляризованного излучения на совершенном цилин-дрическом кристалле. Обозначим Tmn амплитуду проходя-щей волны непосредственно перед узлом (m; n), Smn —соответствующее значение амплитуды отраженной волны(рис. 1 а). С учетом динамического рассеяния для отражен-ных S и проходящих T волн можно записать следующиерекуррентные соотношения [6]:Tmn+1 = t Tm−1n + ¯r Sm−1n ,Smn = ¯t Sm−1n+1 + r Tm−1n+1 ,(1)где t = ¯t = (1 + r0) exp(iφd), ¯r = r¯h exp(iφd), r =rh exp(iφd), rg ≈ −iχgπd/(λ sin θB) (g = 0, h,¯ h),φd = i2πd/(λ sin θB).Рекуррентные соотношения (1) определяют структурудинамического взаимодействия проходящих и отраженныхрентгеновских волн. Для описания дифракции в кристаллезаданной формы необходимо исходить из граничных усло-вий.Пусть на кристалл падает рентгеновский пучок под уг-лом θ1 = θB + Δθ1 к отражающим атомным плоскостям.При прохождении рентгеновских лучей, как в вакууме, таки в объеме кристалла, происходит изменение фаз рентге-новских волн. За начало отсчета фазовых изменений вы-берем начало системы координат (x = 0; z = 0, рис. 1).В этой точке амплитуда падающей волны T00 (рис. 1) равнаединице. Для рентгеновских волн, фронт которых ограни-чен вертикальной осью z, разность хода растет с ростомn по закону nd sin θ1, а разность фаз вдоль вертикально-го направления изменяется как φnz,in = (2π/λ)nd sin θ1.Поэтому граничное условие сверху вниз вдоль оси z име-ет вид T0n = exp(iφnz,in), где n = 0, 1, 2, . . . ,Nz. Дляверхнего фронта рентгеновских волн, идущего от началакоординат и распространяющегося вдоль оси x, разностьхода растет с ростом номера узла m как mΔx cos θ1, аразность фаз вдоль горизонтального направления изменя-ется как φmx,in = (2π/λ)mΔx cos θ1. Граничное условиена этом участке задается выражением Tm0 = exp(iφmx,in),где m = 0, 1, 2, . . . ,Mx. При выше заданных граничныхусловиях распространение рентгеновских волн, как в ваку-уме, так и в объеме кристалла, может быть описано урав-нениями (1) с учетом того, что в вакууме rg ≡ 0. Поэтап-но реализуя процедуру рекуррентных вычислений, изло-женную в [6], необходимо ввести ограничения, связанныес границами раздела вакуум-кристалл. Рентгеновская вол-на, распространяясь в вакууме до первого узла кристал-лической решетки, претерпевает фазовые изменения, приэтом амплитуды отраженных рентгеновских волн от атом-ных плоскостей, как вперед, так и в направлении дифрак-ции, равны нулю. Вычисления производятся с использова-нием формулы Tmn+1 = Tm−1n exp(iφd). Как только этаволна достигает границы цилиндрического кристалла, тос увеличением n и m рекуррентные соотношения (1) бу-дут описывать динамическую дифракцию в объеме цилин-дрического кристалла. Это продолжается до тех пор, покарентгеновская волна не достигнет узел вне кристалла. Да-лее в соотношениях (1) необходимо снова принять условиеrg ≡ 0. Таким образом, вычисления проводятся по всемузлам прямоугольной решетки Mx × Nz с использовани-ем границ раздела вакуум-кристалл. Для цилиндрическогокристалла контур его сечения будет удовлетворять усло-вию x2 +z2 = R2, или (MxΔx/2)2 +(Nzd/2)2 = R2,где R — радиус цилиндра.(a)(b)Рисунок 1. Схематическое изображение динамической (a) и кинематиче-ской (b) дифракции в кристалле цилиндрического сечения.Figure 1. Schematic representation of dynamic (a) and kinematic (b) diffractionin a crystal of cylindrical cross section.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 95Для фиксированного угла падения рентгеновского пуч-ка на кристалл под углом θ1 в трехосевой дифракци-онной схеме регистрируются выходящие (дифракционныеи проходящие) пучки под разными углами, например θ2.В этом случае возникают дополнительные фазовые из-менения рентгеновских волн в вертикальном φnz,S =(2πd/λ)[nd sin θ2 − MxΔx cos θ2] и горизонтальномφmx,S = −(2πd/λ)mΔx cos θ2 направлениях для отра-женной волны S. Процедура расчетов должна быть допол-нена граничными условиями для отраженной волны: S0n,SmNz. Интенсивность отражения рентгеновской волны на-ходится из соотношения:Ih(qx, qz) = |S(qx, qz)|2 ==XMxm=0Sm0 exp(iφmx,S) +XNzn=1SMxn exp(φnz,S)2,(2)где qx = k sin θB (Δθ1−Δθ2), qz = −k sin θB (Δθ1+Δθ2). Амплитуды дифракционных рентгеновских волн Sm0и SMxn вычисляются с использованием рекуррентных со-отношений (1).2. Кинематическая дифракцияАмплитуда отраженной рентгеновской волны от ци-линдрического кристалла в кинематическом приближе-нии вблизи узла обратной решетки может быть вычис-лена применением рекуррентных соотношений (1) приусловии ¯r = 0 и r0 = 0. С другой стороны, выражение это-го коэффициента может быть представлено в аналитиче-ском виде. Выражение для амплитуды отраженной рентге-новской волны в полярной системе координат запишем какSkin(qx, qz) = iahZ R0Z 2π0exp(iq0ρ cos φ)ρ dρ dφ,(3)где q0 =p(qxR)2 + [(qz − a0)R]2. Выполняя инте-грирование (3) и используя интегральное представлениефункции Бесселя нулевого порядкаJ0(q0ρ) =1πZ π0exp(iq0ρ cos φ) dφ,получаем аналитическое решение для амплитуды отра-женной рентгеновской волны от кристалла цилиндриче-ского сеченияSkin = 2πahR2J1(q0R)/q0, (4)где J1(q0R) — функция Бесселя первого порядка.3. Численное моделированиеЧисленное моделирование динамической дифракциивыполнено для кристаллов кремния цилиндрического се-чения разного радиуса от 3 до 50 μm с применением ре-куррентной процедуры (1) и (2). Для вычисления карт RSMв кинематическом приближении использованы решение (4)и двумерные рекуррентные соотношения (1) с учетом ¯r = 0и r0 = 0. Результаты вычислений этими двумя методамисовпадают.Использованы табличные данные для симметричногоотражения σ-поляризованного рентгеновского CuKα1 —излучения с длиной волны λ = 1, 54 Å [11]. Длина первич-ной экстинкции в геометрии Брэгга есть lext = 1, 51μm,период маятниковых осцилляций в геометрии Лауэ lpen =18, 7μm. Угол Брэгга для симметричного отражения ра-вен 14,221 угл. град., межплоскостное расстояние d111 =3,1355 Å.4. Рентгеновские волновые поля внутри ци-линдрического кристаллаРанее с использованием двумерных рекуррентных со-отношений была исследована динамическая Брэгг-Лауэдифракция на латеральном кристалле прямоугольного се-чения [7]. Показано, что в таком кристалле одновременновыполняются дифракция Брэгга и дифракция Лауэ. Длякристалла, у которого толщина превышает его ширину, ре-ализуется случай Брэгга. Если ширина кристалла суще-ственно превышает его толщину, имеет место случай Лауэ.Используя двумерные рекуррентные соотношения (1),вычислим распределение интенсивностей рентгеновскихполей внутри цилиндрического кристалла при выполне-нии точного условия Брэгга для отражающих решеточныхплоскостей. Рентгеновские поля представлены в линей-ном масштабе, отношение между соседними линиями ин-тенсивностей равно 0,1. Максимальное значение интенсив-ности соответствует красному цвету, минимальное значе-ние имеет фиолетовый цвет.В случае малого радиуса цилиндрического сечения(R = 3 μm и R = 7, 5μm) распределение интенсивно-стей показано на рис. 2. Для кристалла радиусаR = 3μmинтенсивность проходящей волны медленно уменьшается(рис. 2 b), а интенсивность дифрагированной волны по-степенно увеличивается (рис. 2 a). Такое распределениеволновых полей примерно соответствует кинематическомуприближению (в строгой интерпретации кинематическаядифракция предполагает неизменную в пространстве илиуменьшающуюся только из-за поглощения интенсивностьпроходящей волны). Поэтому мы не показываем распреде-ление интенсивностей рентгеновских полей внутри цилин-дрического кристалла в случае кинематической дифрак-ции.Для цилиндрического кристалла радиусаR = 7, 5μmраспределение интенсивностей волновых полей показанона рис. 2 c, d. Пятно максимальной дифрагированной ин-тенсивности сместилось вверх (рис. 2 c). В распределениипроходящего волнового поля возникает область малой ин-тенсивности из-за первичной экстинкции (рис. 2 d). Такимобразом, в случае цилиндрических кристаллов малого ра-диуса сечения преимущественно реализуется дифракцияБрэгга.Распределение интенсивностей в объеме кристалловс большими радиусами поперечных сечений показано нарис. 3. Для таких кристаллов выполняется условие Брэг-га-Лауэ дифракции. Кроме дифракции Брэгга, в верхнейчасти кристаллов наблюдается маятниковый эффект Лауэдифракции (рис. 3).96Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru(a) (b)(c) (d)Рисунок 2. Распределение интенсивностей дифракционных (a, c) и проходящих (b, d) рентгеновских полей внутри цилиндрических кристаллов малыхрадиусов (диаметровD = 2R) поперечного сечения: (a, b) — R = 3μm, (c, d) — R = 7, 5μm.Figure 2. Intensity distribution of diffraction (a, c) and transmitted (b, d) X-ray fields inside cylindrical crystals of small radii (diametersD = 2R) of crosssection: (a, b) — R = 3μm, (c, d) — R = 7.5μm.В цилиндрических кристаллах радиуса R = 15μm внаправлении Лауэ дифракции укладывается более полу-тора периодов маятниковых осцилляций. Поэтому форми-руются две области дифракции, между которыми имеет-ся провал малой интенсивности (рис. 3 a). В распределе-нии проходящего пучка на месте этого провала формиру-ется область с максимальной интенсивностью (рис. 3 b). Подиаметру кристалла с R = 30μm укладывается три пе-риода маятниковых осцилляций (рис. 3 c, d) , а кристалла сR = 50μm таких периодов более пяти (рис. 3 e, f).ЗаключениеТаким образом, мы впервые вычислили распределениярентгеновских интенсивностей дифракционного и прохо-дящего пучков в объеме совершенного цилиндрическогокристалла и карты RSM. Это будет полезным для анализаэкспериментальных результатов. Рассмотренный подходпозволяет изучать динамическую дифракцию на кристал-лах произвольной формы. В частности, для (MxΔx/2)p+(Nzd/2)p = Rp, где p ∼ 100, имеет место ди-фракция на кристалле квадратного сечения, а в случае(MxΔx/2)2/R21 + (Nzd/2)2/R22 = 1 — дифракция накристалле эллиптического сечения, гдеR1,2 — эллиптиче-ские оси. Кроме того, с использованием двумерных рекур-рентных соотношений можно исследовать проблемы пер-вичной экстинкции и поглощения в цилиндрических кри-сталлах, а также решать задачи дифракции в таких кри-сталлах с деформациями и дефектами.Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 97(a) (b)(c) (d)(e) (f)Рисунок 3. Распределение интенсивностей дифракционных (a, c) и проходящих (b, d) рентгеновских полей внутри цилиндрических кристаллов большихрадиусов (диаметровD = 2R) поперечного сечения: (a, b) — R = 15μm, (c, d) — R = 30μm, (e, f) — R = 50μm.Figure 3. Intensity distribution of diffractive (a, c) and transmitted (b, d) X-ray fields inside cylindrical crystals of large radii (diametersD = 2R) of crosssection: (a, b) — R = 15μm, (c, d) — R = 30μm, (e, f) — R = 50μm.