ВведениеМоделирование случайно-неоднородных сред слож-ной композиционной структуры является достаточно ак-туальной задачей как в фундаментальной физике, таки в прикладных областях и технических приложениях втечение многих лет [1–4]. Исследование статистическихраспределений электромагнитных полей различных типовпри их распространении в случайно-неоднородных средахопределяется исключительными возможностями в изуче-нии земной атмосферы, гидродинамических потоков, тур-булентности плазмы и других сложных динамических за-дачах [5, 6]. Не менее важное значение в фундаменталь-ных исследованиях, связанных с многократным рассеяни-ем света в случайно-неоднородных средах, имеет много-образие физических эффектов, к которым можно отнести,например, когерентное рассеяние назад, угловые, а такжевpeменные корреляции рассеянного излучения [7, 8]. Изу-чение распространения сигналов в стохастических средахпринципиально важно и для многих технических прило-жений. В частности, создание систем радио, спутниковой,лазерной связи и локации, работающих в различных сло-ях атмосферы, должно опираться на знание основных за-кономерностей распространения света в турбулизованнойсреде [6].В рамках данной работы невозможно привести все мно-жество конкретных проблем статистической радиофизикии акустики, в которых важную роль играет модель случай-но-неоднородной среды, однако кратко можно обозначитьследующие направления: физика плазмы, физика твердо-го тела, магнитная гидродинамика и другие области [1, 6].Кроме того, отметим, что широкое применение оптических(с использованием электромагнитных волн самого широко-го спектрального диапазона) и акустических методов ди-агностики в современной медицине также опирается наособенности распространения сигналов в стохастическихсистемах [5, 9].В литературе, цитированной выше, задача о распро-странении электромагнитных волн в случайно-неоднород-ных средах решается различными полуаналитическими,качественными методами, что требует весьма значитель-ных усилий по разработке соответствующей модели и уста-100Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruновлении границ ее применимости. Кроме того, данныеприближенные методы могут представить только некуюусредненную картину явления, которая, вообще говоря, су-щественно отличается от возможной реализации в каждойконкретной ситуации.Таким образом, весьма актуальным направлением ис-следования является разработка удобных численных ме-тодов, позволяющих наглядно и относительно просто пред-ставить процесс распространения сигналов в конкретныхстохастических системах. В настоящее время существу-ет множество подобных численных схем, но мы не будемостанавливаться на их обзоре. Заметим только, что наибо-лее широкое распространение получили сеточные методы.Их основой являются процедура дискретизации простран-ства-времени и переход от дифференциальных уравненийдля непрерывных функций к конечно-разностным урав-нениям для функций дискретных переменных. Одной изосновополагающих статей в этом направлении была ра-бота Кейна Йи [10], в которой впервые был описан методконечных разностей во временной области (FDTD, FiniteDifference Time Domain). Данная статья в свое время неполучила широкого отклика в научной среде в силу высо-кой ресурсоемкости разработанного метода и чрезвычай-ных затрат машинного времени, требуемых для его реали-зации, однако на текущий момент времени метод FDTD пе-реживает «второе рождение» [11, 12]. Это связано с суще-ственным прогрессом в современной электронике и вычис-лительной технике. Имеется обширная литература по ис-пользованию и развитию метода FDTD в области электро-динамики случайно-неоднородных сред [13–18]. Вместе стем данное направление не только не исчерпало себя, но инапротив — продолжает оставаться очень привлекатель-ным, так как потенциально может стимулировать изучениемножества самых разнообразных эффектов.В качестве конкретных примеров, в которых разработ-ка эффективного FDTD-алгоритма моделирования распро-странения электромагнитного излучения в случайно-неод-нородных средах может оказаться полезной, отметим сле-дующие задачи:• определение законов распространения цифровых ианалоговых сигналов в композитных наноструктури-рованных материалах;• исследование динамических характеристик матери-алов, содержащих различные примеси или имеющихдефекты;• количественное определение помех, возникающихпри прохождении электромагнитных волн различныхдиапазонов в нестационарной неоднородной средепри неблагоприятных погодных условиях.Таким образом, целью данной работы является разра-ботка простого и эффективного FDTD-алгоритма для де-монстрации особенностей распространения электромаг-нитных волн в случайно-неоднородных средах. Рассмот-рим простейший случай одномерных слоисто-неоднород-ных структур, который не даст, конечно, возможности изу-чить все электродинамические свойства, но тем не менееможет служить отправной точкой для более сложных ис-следований.1. Краткая теория и расчетный алгоритмКак известно, система макроскопических уравненийМаксвелла имеет следующий общий вид∇ × E = −∂B∂t, ∇ ×H = Jext +∂D∂t, (1)∇ · D = ρext, ∇ · B = 0. (2)Совместно с материальными уравнениямиD = εε0E, B = μμ0H (3)равенства (1) и (2) полностью определяют все электроди-намические свойства системы.Рассмотрим систему в отсутствии сторонних зарядовρext = 0, для которой Jext, ε и μ — заданные функциипространственно-временных переменных. При этом мате-матическое описание задачи сводится к законам Фарадеяи Ампера (1) и материальным соотношениям (3).Пусть электромагнитное излучение распространяетсявдоль декартовой оси Ox в изотропном магнитном мате-риале c ε = ε(r, t), μ = μ(r, t), когда Jext = Jez. В си-лу сделанных предположений очевидно, что E = Ezez,H = Hyey, а основная система уравнений (1) и (3) при-нимает вид∂Ez∂x= μ0∂(μHy)∂t,∂Hy∂x= J + ε0∂(εEz)∂t. (4)Таким образом, наша задача свелась к исследованиюдинамики двух скалярных функций Ez(x, t) и Hy(x, t),связанных равенствами (4). При этом все электродинами-ческие свойства среды полностью определяются характе-ром стохастических функций ε(x, t) и μ(x, t).Далее дискретизируем пространство и время, вводя то-чечные функцииf(x, t) = f(mΔx, qΔt) = fq[m],гдеΔx,Δt — фиксированные шаги пространственно-вре-менной сетки, а m и q — соответствующие индексы, зада-ющие ее узел.После введем две сетки для электрического Eqz [m] имагнитного Hqy [m] полей, смещенные по отношению другк другу в шахматном порядке, как было предложено в клас-сической работе [10]. Это позволяет записать конечно-раз-ностный аналог уравнений (4) в следующем видеHq+12yhm +12i==1μq+12m + 12nμq−12hm +12iHq−12yhm +12i++Δtμ0ΔxEqz [m + 1] − Eqz [m]o, (5)Eq+1z [m] =1εq+1[m]nεq[m]Eqz [m] − ΔtJq+12[m]++Δtε0ΔxHq+12yhm +12i− Hq+12yhm − 12io. (6)Уравнения (5) и (6) позволяют реализовать итераци-онный алгоритм Йи [10–12], определяющий всю динамикуИзвестия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ru 101электромагнитного поля в рассматриваемом случае немаг-нитной изотропной случайно-неоднородной среды. Полу-ченные равенства отличает от известных аналогов [13–18]то, что они позволяют описывать динамику таких неодно-родных слоистых структур, как магнитные и магнитно-ди-электрические нанокомпозитные пленки. Кроме того, раз-работанный алгоритм применим не только для стационар-ных, но и для нестационарных стохастических систем. Оче-видно, что определяющую роль в успехе реализации сфор-мулированного метода играют «правильно подобранные»параметры пространственно-временной сетки, а именно,необходимым условием работы алгоритма являются нера-венстваΔx ≪ λ, Δt ≪ 1/ν, (7)где λ — длина волны, а ν — частота.2. Результаты моделированияДля демонстрации состоятельности разработанногометода проведен численный эксперимент по схеме, пред-ставленной на рис. 1.0 50 100 400 450 mAr As AtEzL1 2 3Lr Ls LtРисунок 1. Схема численного эксперимента (пояснения в тексте).Figure 1. Numerical experiment scheme (explanation in the text).Как следует из рис. 1, рассматривается последователь-ность из трех слоев: 1 и 3 — полубесконечные воздушныепространства (ε = μ = 1), окружающие случайно-неод-нородную среду 2 общей протяженностью L. В среде 1 рас-положены две антенны: передающая As и приемная Ar.АнтеннаAs формирует однонаправленный сигнал, распро-страняющийся в сторону среды 2. Антенна At, размещен-ная в среде 3, принимает сигнал, прошедший через среду 2;Ar улавливает отраженный сигнал.Основные геометрические параметры схемы такжеуказаны на рис. 1. Граница раздела сред 1 и 2 находится нарасстоянии Ls от источника сигнала As, а приемная ан-тенна At расположена на дистанции Lt от границы раз-дела сред 2 и 3. Приемник Ar находится левее источникана расстоянии Lr. Перечисленные параметры трассы оче-видным образом влияют на временные задержки τr и τtпоявления сигнала на соответствующих антеннах.Таким образом, в области x < Lr имеется только отра-женный сигнал; x > Ls + L — только прошедший; в ин-тервале Lr ⩽ x ⩽ Ls + L согласно принципу суперпози-ции имеет место полное поле, являющееся суммой падаю-щей и рассеянной волны. Программная реализация пред-ложенной схемы учитывает это с помощью техники, из-вестной как TF/SF (Total-field/scattered field) [11, 12].Среда 2 предполагается непроводящей, многокомпо-нентной и слабонеоднородной, так что основной матери-ал среды (заполняющая матрица) имеет диэлектрическуюпроницаемость εm = 4. Компоненты, формирующие неод-нородности среды 2, моделируются совокупностью отрез-ков длины d(i)j∼ L−1 c магнитной проницаемостью μj иотносительной линейной концентрацией nj , такой, чтоXid(i)j = njL,XNj=1μjnj = μeff, (8)где N — это общее число компонент, формирующих маг-нитные неоднородности среды 2. Для любых значенийконцентраций неоднородностей nj величины μj подби-рались так, чтобы эффективная магнитная проницаемостьсреды 2 всегда была одинаковой и равной μeff = 3.В ходе моделирования по алгоритму, разработанному врамках данного исследования, были построены временныедиаграммы различных типов сигналов на передающей Asи приемных антеннах Ar, At для разных случайно-неод-нородных магнитных нанокомпозитных пленок.Пример распределения значений материальных пара-метров по толщине пленки в случае состава из двух маг-нитных компонент (N = 2) с сопоставимыми магнитны-ми проницаемостями μ1 ∼ μ2 и суммарной концентраци-ей n = n1 + n2 = 0.25, n1 = n2 показан на рис. 2. Здесьприведены графики для случайно-неоднородных магнит-ных нанокомпозитных пленок двух типов: со случайнымраспределением неоднородностей по всей толщине плен-ки (a) и их «плотной упаковкой» в центре (b).012345100 4001591317" m(a)012345100 4001591317" m(b)Рисунок 2. Распределение материальных параметров по толщине пленкив случае диэлектрической матрицы с двумя магнитными компонентамис сопоставимыми магнитными проницаемостями μ1 ∼ μ2 и суммарнойконцентрацией n = 0.25.Figure 2. Distribution of material parameters over the film thickness in thecase of dielectric matrix with two magnetic components with comparablemagnetic permeabilities μ1 ∼ μ2 and total concentration n = 0.25.Рис. 3 иллюстрирует временные диаграммы в случаераспространения сигнала типа меандр при параметрахтрассы, соответствующих рис. 2. На нем видно, что приуказанных выше параметрах трассы подавляющая часть102Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022www.izvestia.komisc.ruэнергии электромагнитной волны проходит через среду 2(как этого и следовало ожидать, так как ее эффективныйимпеданс слабо отличается от импеданса сред 1 и 3), од-нако форма прошедшего сигнала существенно искажается.Характер искажений в первую очередь определяется ха-рактером распределения магнитных неоднородностей. Ин-тересно и то, что для рассматриваемой модели случайно-неоднородной магнитной нанокомпозитной пленки форми-руется отраженный сигнал весьма существенной ампли-туды, в пике достигающей значений Ar ≈ 0.8 для слу-чая (a) и Ar ≈ 0.95 для случая (b).0:00:51:0At (a)0:00:51:0At (b)􀀀1:00:01:0Ar (a)􀀀1:00:01:0Ar (b)0:01:00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Asq 103Рисунок 3. Временные диаграммы сигналов на передающей и приемныхантеннах в случае распространения сигнала типа меандр при параметрахтрассы, соответствующих рис. 2.Figure 3. Timing diagrams of signals on the transmitting and receiving antennasin the case of square wave signal propagation at the trace parameters,corresponding to fig. 2.Аналог рис. 3 построен и для ситуации, когда компо-ненты пленки 2 существенно друг от друга отличаютсяпо величине магнитной проницаемости μ1 ≫ μ2. Соответ-ствующие графики приведены на рис. 4.0:00:51:0At (a)0:00:51:0At (b)􀀀1:00:01:0Ar (a)􀀀1:00:01:0Ar (b)0:01:00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Asq 103Рисунок 4. Временные диаграммы сигналов на передающей и приемныхантеннах в случае распространения сигнала типа меандр при параметрахтрассы, отличных от рис. 2 тем, что μ1 ≫ μ2.Figure 4. Timing diagrams of signals on the transmitting and receiving antennasin the case of square wave signal propagation with the trace parameters,different from fig. 2 in that μ1 ≫ μ2.Сопоставление диаграмм на рис. 3 и 4 показывает, что вобщих чертах временные характеристики двух описывае-мых трасс схожи (так как их эффективные импедансы, какранее обсуждалось, совпадают), но вместе с тем имеютсясущественные отличия, обусловленные конкретным харак-тером распределения неоднородностей в среде 2. Особен-но заметно то, что изменение формы как прошедших, так иотраженных сигналов при переходе от ситуации μ1 ∼ μ2к μ1 ≫ μ2 наиболее существенно в случае (b). Это об-стоятельство потенциально может быть использовано приисследовании характера распределения рассеивателей потолщине случайно-неоднородной среды.ЗаключениеТаким образом, в ходе данного исследования был раз-работан алгоритм численного моделирования прохожде-ния электромагнитных волн через случайно-неоднород-ные среды с магнитными рассеивателями различных ти-пов, с помощью которого можно относительно просто инаглядно изучать электродинамические характеристикимагнитно-диэлектрических композитных пленок различ-ных составов в достаточно широком диапазоне частот.