ВведениеВ настоящей работе рассматриваются конструктивно–нелинейные задачи устойчивости и свободных колебанийколец [1], подкрепленных нерастяжимыми нитями, так чторасстояние между точками прикрепления концов нити неможет увеличиваться, и они не выдерживают сжимающихусилий. Эти задачи не могут быть линеаризованы, обла-дая нелинейностью как существенным свойством, так каких напряженно-деформированное состояние описывает-ся негладкими функциями. При математической форма-лизации расчет на устойчивость сводится к отысканиюпараметра нагрузки, при котором происходит бифуркациярешения задачи вариационного исчисления при наличииограничений на искомые функции в виде неравенств. Приконечномерной аппроксимации получаем задачу нахож-дения параметра нагрузки, при которой происходит би-фуркация решений задач нелинейного программирования.Последняя задача может быть сведена к идентификацииусловной положительной определенности квадратичныхформ на конусах. В общем случае требуется применятьметоды глобальной оптимизации, например метод ветвейи границ [2]. Некоторые задачи устойчивости и закритиче-ского поведения при наличии односторонних ограниченийна перемещения рассмотрены в работах [3–6].1. Устойчивость колец с односторонним под-креплениемРассмотрим задачу устойчивости упругих колец, под-крепленных упругими нитями, которые не воспринимаютсжимающих усилий. Пусть один конец нити прикрепленк неподвижному центру кольца, другой – к некоторой точ-ке кольца. Предположим, что нить является нерастяжимой,т.е. в результате деформации расстояние между центромкольца и точкой прикрепления не может увеличиваться.Обозначим через ϑ центральный угол, w(ϑ) – радиаль-ное перемещение (прогиб), v(ϑ)– касательное перемеще-ние точек кольца.Отметим, что из условия несжимаемости оси кольцаследует равенствоv′ = −w. (1)Пусть нити расположены так часто, что их можно счи-тать непрерывно распределенными по кольцу. Тогда зада-ча на устойчивость сводится к отысканию таких значенийИзвестия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru23силы P, при которых вариационная проблемаJ(w) =D2R3Z 2π0(w′′ + w)2dϑ−−P2Z 2π0(w′2 − w2)dϑ → minw(2)имеет нетривиальное решение при граничных условиях пе-риодичности и ограниченияхw(ϑ) ≤ 0. (3)Здесь D — жесткость на изгиб в плоскости кольца, R —радиус кольца. Первый интеграл в (2) представляет собойупругую энергию, второй — работу сил нормального дав-ления.Выпишем уравнение Эйлера для функционала (2):wIV + (2 + k2)w′′ + (1 + k2)w = 0, (4)где k2 = PR3D . Соответствующее характеристическоеуравнениеλ4 + (2 + k2)λ2 + (1 + k2) = 0имеет решенияλ1,2 = ±i; λ3,4 = ±i√1 + k2.Тогда функция прогиба представима в видеw = A1 sin ϑ+A2 cos ϑ+A3 sin αϑ+A4 cos αϑ, (5)где α =√1 + k2.Зафиксируем некоторый угол β > 0. Будем считать,что w(ϑ) < 0, ϑ ∈ (0, β) и w(ϑ) ≡ 0, ϑ ∈ (β, 2π).Первая производная w′(ϑ) должна быть непрерывной приϑ ∈ (0, 2π), тогда функция w удовлетворяет граничнымусловиямw(0) = 0, w′(0) = 0, w(β) = 0, w′(β) = 0. (6)Подставляя (5) в (6), получим систему линейных уравне-ний8>>>>><>>>>>:A2 + A4 = 0,A1 + αA3 = 0,A1 sin β + A2 cos β++A3 sin(αβ) + A4 cos(αβ) = 0,A1 cos β − A2 sin β++αA3 cos(αβ) − αA4 sin(αβ) = 0.(7)Выражая из первых двух уравнений последней системыA1и A4, получим A4 = −A2,A1 = −eαA3.(8)Третье и четвертое уравнения в системе (7) примут вид8><>:−αA3 sin β + A2 cos β++A3 sin(αβ) − A2 cos(αβ) = 0,−αA3 cos β − A2 sin β++αA3 cos(αβ) + αA2 sin(αβ) = 0.(9)После упрощения имеем8><>:A3(sin(αβ) − α sin β)++A2(cos β − cos(αβ)) = 0,A3(α cos(αβ) − α cos β)++A2(α sin(αβ) − sin β) = 0.(10)Система уравнений имеет нетривиальное решение, если ееопределитель равен нулю, т.е.Δ(α) = (sin(αβ) − α sin β)(α sin(αβ) − sin β)−−(cos β − cos(αβ))(α cos(αβ) − α cos β) == −2α + 2α cos(αβ) cos β + sin(αβ) sin β++α2 sin(αβ) sin β = 0. (11)Решая уравнение (11) относительно неизвестной α, по-лучим функцию α = α(β). При заданном β уравнениеимеет бесконечное число корней. Очевидно, что α = 1 яв-ляется корнем уравнения при любом β. Заметим, что приα = 1 параметр k = 0, значит, и сила P равна нулю.Далее находим форму прогиба по формулам (5). Неслож-но убедиться, что формула (5) при α = 1 дает переме-щение кольца как жесткого целого. Следовательно, надонаходить минимальный корень уравнения (11), удовлетво-ряющий условию α > 1. Также необходимо выполнениезнаковых ограничений (3). Чем больше угол β, тем меньшеk2, а значит и сила P. Значения критического параметра Pв зависимости от значений угла β приведены в табл. 1.Таблица 1Значения критического параметра α в зависимости от угла βTable 1Values of critical parameter α depending on angle ββπ4π23π4π5π4α 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841Численные эксперименты при β > π показали, что графикw будет менять знак на интервале (0, β), т.е. ограничениянеотрицательности на функцию w не будут выполняться.Таким образом, минимальное критическое значение па-раметра α = 3, откуда находим: k2 = 8, что соответствуетравенству P = 8D/R3. Заметим, что критическое давле-ние для неподкрепленного кольца определяется формулойP = 3D/R3.Случай центральной нагрузки. Рассмотрим сначаласлучай плоской деформации. Тогда задача с односторон-ними ограничениями на перемещения может быть сведенак вариационной проблемеe J =D2R3Z 2π0(w′′ + w)2dϑ → min (12)при ограниченияхJ1 =12Z 2π0(w′2 − 2w2)dϑ = 1, (13)w ⩾ 0. (14)Нетрудно показать, что решение задачи (12)–(14) можноискать среди функций строго положительных на некотором24Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruинтервале [0, ϑ0] и равных нулю, если ϑ /∈[0, ϑ0]. Функ-цию прогиба будем считать равнойw = A1 sin eαϑ + A2 cos eαϑ++ A3 sin eβϑ + A4 cos eβϑ, (15)гдеα =s2 + k2 −√k4 − 4k22,β =s2 + k2 +√k4 − 4k22, k2 =PEJ.Функция w(ϑ) должна удовлетворять граничным услови-ямw(0) = w(ϑ0) = 0, w′(0) = w′(ϑ0) = 0. (16)Подставляя (15) в (16), получим систему уравнений8>>>>>><>>>>>>:A2 + A4 = 0,eαA1 + eβA3 = 0,A1 sin eαϑ0 + A2 cos eαϑ0++A3 sin eβϑ0 + A4 cos eβϑ0,A1eα cos eαϑ0 − A2eα sin eαϑ0++A3 eβ cos eβϑ0 − A4 eβ sin eβϑ0.(17)Неизвестными в системе (17) будут коэффициентыA1,A2,A3,A4. Выражая из первых двух уравнений по-следней системы A1,A4, получимA4 = −A2,A1 = −eβ/eαA3.(18)Тогда последние два уравнения системы (17) можно упро-стить8>>><>>>:A3(− e βeα sin eαϑ0 + sin eβϑ0)++A2(cos eαϑ0 − cos eβϑ0) = 0,A3(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0)++A2(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0) = 0.(19)Определитель системы (19) имеет видΔ = (sin eβϑ0 −eβeαsin eαϑ0)(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0)−−(cos eαϑ0 − cos eβϑ0)(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0). (20)Для существования нетривиального решения краевой за-дачи необходимо и достаточно, чтобыΔ = Δ(k; ϑ0) = 0. (21)Нетривиальные решения системы (19) при k = k1 илиk = k2 находим следующим образом. Полагая A3 = 1,находимA2 =sin(eαk) − sin(eβk)cos(eαk) − cos(eβk).Первые два корня уравнения (21) приведены в табл. 2.Таблица 2Значения критического параметра kTable 2Critical parameter values kϑ02π33π43π4.3k1 4.3154 4.0463 4.3132k2 4.4849 4.3099 4.3132На рис. 1 представлены графики прогибов w(ϑ) приϑ0 = 2π3 . На рис. 2 – графики прогибов w(ϑ) при ϑ = 3π4 .(A) (B)Рисунок 1. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π3 , k = k1 (A); форма про-гиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π3 , k = k2 (B).Figure 1. Deflection shapew(ϑ) at ϑ0 = 2π3 , k = k1 (A); deflection shapew(ϑ) at ϑ0 = 2π3 , k = k2 (B).(A) (B)Рисунок 2. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π4 , k = k1 (A); форма про-гиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π4 , k = k2 (B).Figure 2. Deflection shape w(ϑ) at ϑ0 = 3π4 , k = k1 (A); deflectionshape w(ϑ) at ϑ0 = 3π4 , k = k2 (B).При k = k1 для ϑ0 ̸= 3π4 прогиб w(ϑ) меняет знак(рис. 2 A), следовательно, ограничение (14) не выполняется.Подходящим (т.е. удовлетворяющим односторонним огра-ничениям) является второй корень k = k2 при ϑ0 < 3π4 (рис. 2 B). Рассмотрев график производной w′(ϑ), заме-чаем, что при ϑ0 = 3π4 производная обращается в нольна интервале [a, b] ровно три раза. Это означает, что са-ма функция w(ϑ) на этом интервале имеет три точки экс-тремума, откуда следует, что функция меняет знак на этоминтервале (рис. 2 B). Если ϑ0 = 3π4.3 , то корни уравнения(21) будут кратными. С другой стороны, чем больше ϑ0, темменьше значение критического параметра k. Таким обра-зом, значение безразмерного параметра критической силыпри наличии односторонних ограничений на перемещения(14) будет равноk2 = k21 = k22 =PR3D= 18.6044. (22)В случае плоской деформации при аппроксимациисплайнами прогиба w(ϑ) при m = 72 получено следу-ющее значение безразмерного параметра:Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru25e P =PR3D= 18.5854.Сравнивая это значение с (22), находим, что точность чис-ленного решения задачи равна18.6044 − 18.585418.6044= 0.00102 = 0.1%.Отношение e PP1= 18.58544.5 = 4.1301. А из формулы (22)18.60444.5 = 4.1343. Таким образом, подкрепление нитямиувеличивает критическую нагрузку кольца в 4.13 раза.2. Колебания колецКоординаты точек деформированного кольца имеютвид(x(ϑ) = (R + w(ϑ)) cos ϑ − v(ϑ) sin ϑ,y(ϑ) = (R + w(ϑ)) sin ϑ + v(ϑ) cos ϑ.(23)Упругая энергия деформированного кольца, подкреплен-ного нитями с жесткостью c, записывается в видеU =D2R3Z 2π0(w′′ + w)2dϑ +c2Z2π0w2dϑ. (24)Кинетическая энергия кольца описывается уравнениемT =Rρ2Z2π0(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ. (25)Здесь ρ – линейная плотность материала. Условие несжи-маемости оси кольца x′2 + y′2 = R2 после преобразова-ний примет вид: v′ = −w.Для получения уравнений колебания кольца применимпринцип наименьшего действия: если T – кинетическаяэнергия системы, U – потенциальная энергия, необходи-мо найти минимум функционала действия:J =Zt1t0(T − U)dt.В нашем случаеJ =Zt1t024Rρ2Z2π0(v˙ 2 + v˙ ′2)dϑ−− D2R3Z2π0(v′′′ + v′)2dϑ − c2Z2π0v′2dϑ35 dt. (26)Выпишем уравнение Эйлера-Остроградского:Rρ(¨v − ¨v′′) =DR3 (vV I + 2vIV + v′′) + cv′′. (27)Решение уравнения (27) ищем в виде:v(ϑ, t) = ξ(t)η(ϑ). (28)Применяя метод разделения переменных, приходим к двумуравнениям:¨ξ +DR4ρλ2ξ = 0, (29)ηV I + 2ηIV + ecη′′ + λ2(η − η′′) = 0. (30)Уравнение (29) означает, что движение носит колебатель-ный характер, а уравнение (30) описывает форму колеба-ний.Решение (29) имеет видξ = C1 sin ωkt + C2 cos ωkt, (31)где ωk =qDλ2kR4ρ – частота собственных колебаний. Реше-ние уравнения (30) должно быть 2π-периодическим. Этомуусловию удовлетворяет функция вида:ηk =∞Xk=1(ak(t) sin(kϑ) + bk(t) cos(kϑ)). (32)Подставляем ряд (32) в (30) и с учетом ортогональности по-лучаемη =h−k6 + 2k4−− (ec − p2)k2 + λ2i(sin(kϑ) + cos(kϑ)). (33)Нетривиальное решение существует, если−k6 + 2k4 − (ec − p2)k2 + λ2 = 0.Откуда находим зависимость частоты колебаний от номерагармоникиλ2k =k6 − 2k4 + eck2k2 + 1. (34)Общее решение (27) дается формулой:v(ϑ, t) =∞Xk=1C1k sin(ωkt)+C2k cos(ωkt)sin(kϑ)++∞Xk=1gC1k sin(ωkt) +gC2k cos(ωkt)cos(kϑ). (35)Для определения движения необходимы начальные усло-вия при t = 0:v(ϑ, 0) = v0(ϑ), v˙(ϑ, 0) = v˙0(ϑ), (36)где v0 и v˙0 — известные значения. Разлагая их в рядФурье и используя (35), можно найти коэффициентыC1k, C2k, gC1k, gC2k.26Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruКолебания кольца, подкрепленного нитями односто-роннего действия. Предположим, что кольцо подкрепленонитями, которые не воспринимают сжимающих усилий, т.е.упругая энергия нитей определяется формулойc2Z2π0w2+dϑ, (37)где w+ — положительная срезка функцииw+ = max{0,w} =w + |w|2.В данном случае функционал J принимает видJ =Zt1t024Rρ2Z2π0(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ−− D2R3Z2π0(w′′ + v′)2dϑ − c2Z2π0w2+dϑ35 dt. (38)Перемещения точек кольца ищем в видеv =XNk=1(Ak(t) sin(kϑ) + Bk(t) cos(kϑ)), (39)w =XNk=1(kAk(t) cos(kϑ) − kBk(t) sin(kϑ)). (40)Функционал (38) принимает стационарное значение. Вы-пишем для него уравнения Эйлера относительно Ak и BkRρπ(1 + k2)A¨k +DR3 π(k3 − k)2Ak++ cZ2π0S+k cos(kϑ)dϑ = 0, (41)Rρπ(1 + k2)B¨k +DR3 π(k3 − k)2Bk−− cZ2π0S+k sin(kϑ)dϑ = 0, (42)где S+ =hPNj=1(jAj cos(jϑ) − jBj sin(jϑ))i+.Выражаем вторые производныеA¨k = − D(k3 − k)2R4ρ(1 + k2)Ak−− cRρπ(1 + k2)Z2π0S+k cos(kϑ)dϑ, (43)B¨k = − D(k3 − k)2R4ρ(1 + k2)Bk++cRρπ(1 + k2)Z2π0S+k sin(kϑ)dϑ. (44)Введем векторV = (A1, ...,AN,B1, ...,BN)T . (45)Уравнения (43), (44) запишем в виде¨ V = f(V ), (46)гдеfj = − D(k3 − k)2R4ρ(1 + k2)Ak−− cRρπ(1 + k2)Z2π0S+k cos(kϑ)dϑ (47)при j = 1, . . . ,N иfj = − D(k3 − k)2R4ρ(1 + k2)Bk++cRρπ(1 + k2)Z2π0S+k sin(kϑ)dϑ (48)при j = N+1, . . . , 2N. Система (46) эквивалентна систе-ме, состоящей из дифференциальных уравнений первогопорядка(˙V= Z,˙Z= f(V ).(49)Для решения последней использовался метод Рунге-Кутта4-го порядка.Результаты и их обсужденияНа рис. 3 представлены графики собственных форм ко-лебаний кольца радиуса R = 10 м с жесткостью нитейc = 35 Н/мм, цилиндрической жесткостью D = 66.7 Н·мпри разных начальных условиях w0 = 1.5 sin(2ϑ) дляграфиков слева и w0 = 2 cos(3ϑ) для графиков справа.(A)Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru27(B)(C)(D)(E)Рисунок 3. График собственных форм колебаний кольца при A) t = 0,B) t = 2.8, C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.Figure 3. Graph of the eigenmodes of the ring at A) t = 0, B) t = 2.8,C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.Наблюдается эффект возврата в начальное состояние (эф-фект Ферми-Паста-Улама). Энергия остается локализо-ванной в начальных и нескольких соседних гармониках.При больших значениях t наблюдается почти полный воз-врат энергии в начальную гармонику. К примеру, для ри-сунков слева разница между начальным и конечным состо-яниями равна max{v − v0} ≤ 0.039, max{w − w0} ≤0.074. Для рисунков справа max{v − v0} ≤ 0.040,max{w − w0} ≤ 0.036.Таким образом, подкрепление колец нерастяжимыминитями сможет существенно увеличить критическую на-грузку. Результаты работы могут оказаться полезными прирасчетах и проектировании на прочность и устойчивостьтонкостенных конструкций.