ВведениеПерманент матрицы A = (aij) n-го порядка опреде-ляется следующим образом:PerA =Σσ∈SnΠni=1aiσ(i)(суммирование ведется по всем перестановкам n-го по-рядка). Перманент нашел широкое применение в комбина-торике, так как его можно рассматривать в качестве пере-числяющей функции различных объектов дискретной ма-тематики: совершенных паросочетаний двудольных гра-фов, перестановок с ограниченными позициями и т. д. Об-ширный материал, касающийся перманента можно найтив ставшей уже классической монографии [1].Понятие перманента можно обобщить и на случай мно-гомерных матриц. Эта тематика стала разрабатыватьсясравнительно недавно. Подробный обзор, посвященныйданной теме, можно найти в статье [2]. В нашей работе мызатрагиваем некоторые дополнительные вопросы, связан-ные с перманентом многомерных матриц, не отраженные,насколько нам известно, в литературе.Рассмотрим ассоциативную алгебру над полем F, по-рожденную элементами ιk, связанными следующими опре-деляющими соотношениями: ι2k = 0, ιkιl = ιlιk, k, l =1, 2, . . . , n. Хорошо известно [1, с. 110], что перманент мат-рицы можно выразить через произведение однородныхэлементов первой степени данной алгебры. Точнее, пустьдана матрица A = (aij) n-го порядка c элементами из F.Тогда, как нетрудно заметить,PerAι1ι2 . . . ιn =Πni=1(ai1ι1 + ai2ι2 + · · · + ainιn).В первом разделе мы распространяем данную конструк-цию на многомерный случай. С помощью техники, осно-ванной на данной взаимосвязи, мы доказываем некоторыепростейшие свойства перманента многомерных матриц.Хорошо известно, что перманент можно использоватьдля перечисления перестановок с ограниченными позици-ями [3]. Во втором разделе мы рассматриваем многомерныйаналог данной взаимосвязи на примере многомерных бес-порядков.1. Перманент многомерных матриц и некото-рые его свойстваd-Мерной матрицей A порядка n над полем F назы-вается d-мерный массив элементов из F, каждый индекскоторого пробегает значения от 1 до n:A = (ai1i2...id), ik ∈ {1, 2, . . . , n}, ai1i2...id∈ F.Множество элементов матрицы A c фиксированными зна-чениями d − k индексов называется k-мерной гранью,(d − 1)-мерную грань называют гипергранью [2]. Диаго-налью матрицы A называется любой набор из n ее эле-Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru11ментов, отличающихся друг от друга в каждом индексе:(a1σ2(1)...σd(1), . . . , anσ2(n)...σd(n)), σi ∈ Sn.Обозначим через L(A) множество всех диагоналей мат-рицы A. Перманент матрицы A определяется следующимобразом:PerA =Σl∈L(A)Πa∈la.Очевидно, что еслиA— двумерная матрица, то мы получимобычное определение перманента.Пример. Рассмотрим трехмерную матрицу 2-го порядка:A = (aijk), i, j, k = 1, 2. Графически ее можно изоб-разить в виде 2 × 2 × 2 куба или двух обычных 2 × 2матриц:A ={(a111 a112a121 a122),(a211 a212a221 a222)}.Здесь первый индекс отвечает за номер матрицы, второй —за номер строки в матрице, третий — за номер столбца.Перманент данной матрицы имеет следующий вид:PerA = a111a222 + a112a221 + a121a212 + a122a211.Рассмотрим ассоциативную алгебру над полем F, по-рожденную образующими ιjk, j, k = 1, 2, удовлетворяю-щими следующим определяющим соотношениям:ιjkιst ={0 , если j = s или k = t,ιstιjk , в противном случае.Данная алгебра, как нетрудно видеть, является шестимер-ной. Каждый ее элемент однозначно разлагается по базис-ным элементам ι11, ι12, ι21, ι22, ι11ι22, ι12ι21, составлен-ным из образующих и их всевозможных ненулевых про-изведений с точностью до порядка сомножителей. Назо-вем такой базис основным. Пусть дана трехмерная матри-ца 2-го порядка A = (aijk), i, j, k = 1, 2. Рассмотримследующие два элемента указанной выше алгебры:ai = ai11ι11 + ai12ι12 + ai21ι21 + ai22ι22, i = 1, 2.Коэффициенты элемента a1 соответствуют гиперграниматрицы A, образованной элементами с первым индек-сом, равным 1, а коэффициенты элемента a2 — гипергра-ни, образованной элементами с первым индексом, равным2. Рассмотрим произведение этих элементов:a1a2 = (a111a222 + a122a211)ι11ι22++ (a112a221 + a121a212)ι12ι21.Нетрудно видеть, что сумма коэффициентов элемента a1a2в разложении по основному базису равна перманенту мат-рицы A. Таким образом, если через sc(a) обозначить сум-му коэффициентов элемента a в разложении по основномубазису, то sc(a1a2) = PerA.Можно рассмотреть элементы алгебры, соответствую-щие другим гиперграням, например, следующие:bi = a1i1ι11 + a1i2ι12 + a2i1ι21 + a2i2ι22, i = 1, 2.Их произведениеb1b2 = (a111a222 + a121a212)ι11ι22++ (a112a221 + a211a122)ι12ι21в общем случае будет отличаться от a1a2, но сумма коэф-фициентов произведения также будет равна перманентуматрицы A: sc(b1b2) = PerA.Пусть теперь в общем случае дана (d+1)-мерная мат-рица n-го порядка A = (ai1i2...id+1) над полем F. Рас-смотрим алгебру Pd,n(ι) над F с образующими ιj1j2...jd,j1, j2, . . . , jd = 1, . . . , n, удовлетворяющими коммутаци-онным соотношениям:{ιj1...jd· ιj′1...j′d= 0 , ∃s : js = j′s,ιj1...jd· ιj′1...j′d= ιj′1...j′d· ιj1...jd , иначе.(1)Как и в трехмерном случае, ее основным базисом назовембазис, составленный из образующих и их всевозможныхненулевых произведений с точностью до порядка сомно-жителей. Рассмотрим в этой алгебре следующие элементы:ai =Σi1,...,idaii1...idιi1...id, i = 1, 2, . . . , n.Тогда нетрудно видеть, чтоsc(a1a2 . . . an) = Per A. (2)Аналогично трехмерному случаю, в общем случае в каче-стве сомножителей можно брать элементы алгебры, соот-ветствующие и другим гиперграням матрицы.Соотношение (2) позволяет, например, доказыватьсвойства перманента многомерных матриц в терминах пре-образования элементов алгебры Pd,n(ι). Прежде чем при-вести пример, рассмотрим два простейших свойства функ-циии sc.1. Линейность. Если α, β ∈ F, a, b ∈ Pd,n(F), тоsc(αa + βb) = αsc(a) + βsc(b). (3)2. Мультипликативность. Предположим, что элементыa, b, ab ∈ Pd,n(ι), рассматриваемые как элементы век-торного пространства, имеют m, n и mn ненулевых коор-динат в основном базисе соответственно. Это возможно то-гда и только тогда, когда произведение любого базисногоэлемента, входящего в разложение a с ненулевым коэф-фициентом, на любой базисный элемент, входящий в раз-ложение b с ненулевым коэффициентом, не равно нулю.Нетрудно видеть, что в этом случаеsc(ab) = sc(a)sc(b). (4)Например, пусть a = 2ι11 + 3ι12, b = 3ι23 − 4ι33 — дваэлемента алгебры P2,3(ι) над R. Тогдаab = 6ι11ι23 + 9ι12ι23 − 8ι11ι33 − 12ι12ι33.При этом sc(a) = 5, sc(b) = −1, sc(ab) = −5, и свой-ство (4) выполняется.В качестве примера использования соотношения (2)докажем формально аналог свойства разложения перма-нента по строке (столбцу) для многомерных матриц. Пусть12Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ruдана d-мерная матрица A = (ai1i2...id) n-го порядка. То-гдаPerA = sc(Πni1=1Σni2,...,id=1ai1i2...idιi2...id)== sc(Σni2,...,id=1a1i2...idιi2...id××(Πnj1=2Σnj2,...,jd=1aj1j2...jdιj2...jd)).Принимая во внимание первое из определяющих соотно-шений (1), а также свойства (3), (4), мы можем продолжитьпреобразования следующим образом:PerA = sc(Σni2,...,id=1a1i2...idιi2...id××Πnj1=2Σjk̸=ikk=2,...,naj1j2...jdιj2...jd==Σni2,...,id=1a1i2...idscΠnj1=2Σjk̸=ikk=2,...,naj1j2...jdιj2...jd==Σni2,...,id=1a1i2...idPer (A{1, i2, . . . , id}) .Здесь через A{1, i2, . . . , id} мы обозначили дополни-тельную матрицу элемента a1i2...id, т. е. матрицу, получае-мую из матрицы A вычеркиванием всех элементов, лежа-щих с a1i2...id в одной гиперграни. Очевидно, что в дока-зательстве можно проводить суммирование и относительноэлементов других гиперграней. Таким образом, перманентмногомерной матрицы равен сумме произведений элемен-тов некоторой гиперграни на перманенты дополнительныхматриц этих элементов.Прежде чем перейти к доказательству следующегосвойства, введем дополнительные обозначения. Обозна-чим через Qk,n — множество всех k-элементных неупо-рядоченных подмножеств множества {1, 2, . . . , n}. ПустьA = (ai1i2...id) — d-мерная матрица n-го порядка и α1,α2,. . . ,αd ∈ Qk,n. Через A[αl=1,...,d] обозначим d-мер-ную матрицу k-го порядка, которая состоит из элементовai1i2...id матрицы A таких, что i1 ∈ α1, i2 ∈ α2, . . . , id ∈αd, а через A{αl=1,...,d} — d-мерную матрицу (n − k)-гопорядка, получаемую из A удалением элементов ai1i2...id таких, что i1 ∈ α1, i2 ∈ α2,. . . , id ∈ αd. МатрицыA[αl=1,...,d] и A{αl=1,...,d} будем называть дополнитель-ными друг другу.Рассмотрим перманент суммы двух матриц. Пусть A =(ai1i2...id) иB = (bi1i2...id) — две d-мерные матрицы по-рядка n. ТогдаPer(A + B) == sc(Πni1=1Σni2,...,id=1(ai1i2...id + bi1i2...id) ιi2...id)== sc(Πni1=1(Σni2,...,id=1ai1i2...idιi2...id ++Σni2,...,id=1bi1i2...idιi2...id))== scΣnk=0Σαl∈Qk,nl=1,...,d(Σd∈D(A[αl=1,...,d])Πa∈daιa)××(Σd∈D(B{αl=1,...,d})Πb∈dbιb))==Σnk=0Σαl∈Qk,nl=1,...,d[sc(Σd∈D(A[αl=1,...,d])Πa∈daιa)×× sc(Σd∈D(B{αl=1,...,d})Πb∈dbιb)]==Σnk=0Σαl∈Qk,nl=1,...,dPer(A[αl=1,...,d])Per(B{αl=1,...,d}).Таким образом, перманент суммы двух матриц равен сум-ме по всем подматрицам первой матрицы (включая пустую)произведений перманента подматрицы на перманент до-полнительной матрицы аналогичной подматрицы во второйматрице.2. Перечисление многомерных перестановокОбычное понятие перестановки легко обобщается намногомерный случай. Пусть, например, числа 1, 2, . . . , nрасположены в матрице n × n так, что в каждой строкеи каждом столбце стоит ровно по одному числу. Назовем та-кое расположение двумерной (квадратичной) перестанов-кой n-го порядка. За тождественную можно принять пе-рестановку, при которой каждое число i расположено напересечении i-й строки и i-го столбца.Пример. Квадратичные перестановки 2-го порядка:(1 ·· 2),(2 ·· 1),(· 12 ·),(· 21 ·).Квадратичные перестановки 3-го порядка:1 · ·· 2 ·· · 3,1 · ·· · 3· 2 ·, . . .Аналогично можно рассмотреть трехмерные (кубические)(т. е. расположение чисел от 1 до n в кубе n × n × n),четырехмерные, пятимерные и т. д. перестановки. Вооб-ще, d-мерную перестановку можно определить как набор dИзвестия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024Серия «Физико-математические науки»www.izvestia.komisc.ru13обычных перестановок (π1, π2, . . . , πd) [4]. Первая отве-чает за перестановку чисел 1, 2, . . . , n в одном «направ-лении», вторая — в другом и т. д. Как и в обычном (одно-мерном) случае, каждой такой перестановке можно поста-вить в соответствие (d + 1)-мерную (0, 1)-матрицу (мат-рицу перестановки). В этой матрице элементы на позици-ях (i, π1(i), π2(i), . . . , πd(i)) будут равны единице, а всеостальные элементы равны нулю. В такой матрице каждаягипергрань будет содержать ровно одну единицу.Отметим, что существуют и другие подходы к понятиюмногомерной перестановки. Так, в работах [5, 6] рассмат-риваются многомерные перестановки, которые задаютсямногомерными (0, 1)-матрицами, содержащими ровно поодной единице в каждой одномерной грани. В работе [6]такие перестановки называют плотными (англ. dense) в от-личие от рассмотренных выше разреженных (англ. sparse).Плотные перестановки однозначно ассоциируются с ла-тинскими квадратами размерности n. В дальнейшем подмногомерной перестановкой мы будем понимать разрежен-ную перестановку.В качестве примера рассмотрим многомерное обобще-ние перестановок без неподвижных точек (беспорядков).Напомним, что беспорядком (англ. derangement) называ-ется перестановка π ∈ Sn такая, что π(i) ̸= i для лю-бого i = 1, 2, . . . , n. При обобщении таких перестано-вок на многомерный случай возникают сразу несколько ва-риантов. Частичным d-мерным беспорядком n-го порядканазовем такую d-мерную перестановку (π1, π2, . . . , πd),что для любого i ∈ {1, 2, . . . , n} найдется k такое,что πk(i) ̸= i. Применяя метод включений-исключенийнетрудно показать, что общее число таких перестановокравноpd(n) =Σnk=0(−1)kCkn [(n − k)!]d .Пусть m ≤ d. d-Мерным беспорядком n-го по-рядка по m индексам назовем d-мерную переста-новку (π1, π2, . . . , πd), в которой найдутся индексыk1, k2, . . . , km такие, что для любого i ∈ {1, 2, . . . , n}πk1(i) ̸= i, πk2(i) ̸= i, . . . , πkm(i) ̸= i. Опять же, ис-пользуя принцип включения-исключения, можно показать,что общее число таких беспорядков равноld(n) = (n!)d(Σnk=0(−1)kk!)m.Как и в классическом случае, любая (d + 1)-мерная(0, 1)-матрица A задает целый класс d-мерных переста-новок. А именно, в этот класс попадают те перестановки,для матриц инцидентности P которых выполняется нера-венство P ≤ A, т. е. каждый элемент матрицы P не боль-ше соответствующего элемента матрицы A. Тогда перма-нент матрицы A, как и в классическом случае, будет ра-вен числу перестановок в этом классе. Например, если рас-смотреть (d+1)-мерную матрицу n-го порядкаAd+1n , у ко-торой диагональные элементы aii...i, i = 1, 2, . . . , n рав-ны нулю, а все остальные элементы — единице, то перма-нент такой матрицы будет равен числу частичных d-мер-ных беспорядков n-го порядка (ср. [2]):PerAd+1n = pd(n).Рассмотрим (d + 1)-мерную (0, 1)-матрицу n-го порядкаBd+1n , в которой элемент равен нулю тогда и только тогда,когда его первый индекс совпадает с одним из m другихиндексов под номерами k1, k2, . . . , km. Тогда перманентэтой матрицы равен числу беспорядков по m индексам:PerBd+1n = ld(n).В данных примерах, зная количество перестановок в клас-се, мы говорили о значении перманента. Но это соотноше-ние можно использовать и в обратную сторону: вычисляя(оценивая) перманент многомерной (0, 1)-матрицы, полу-чать характеристику количества соответствующих много-мерных перестановок.3. ЗаключениеВ работе рассмотрено выражение перманента много-мерных матриц через произведение однородных элемен-тов коммутативной ассоциативной алгебры с нильпотент-ными индекса 2 образующими. На основе этой взаимосвя-зи доказаны некоторые простейшие свойства перманента.Рассмотрена его связь с перечислением многомерных пе-рестановок. В частности, более подробно разобран случаймногомерных беспорядков.Отметим, что перманент обычных (двумерных) матрицзадается сходным образом с определителем, но, по срав-нению с последним, является менее «удобной» для изуче-ния функцией, так как обладает значительно меньшей сим-метрией с точки зрения преобразований матриц. Многиезадачи, связанные с перманентом, не имеют «хорошего»решения в общем виде и сводятся к рассмотрению частныхслучаев. В многомерном варианте сложность, естественно,еще более возрастает. Тем не менее переход в высшие раз-мерности полезен с той точки зрения, что помимо самосто-ятельного интереса позволяет с другого ракурса взглянутьи на «базовый» двумерный случай.Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.