Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
In the frames of general formalism by Gel’fand–Yaglom, starting with an extended set of representations of the Lorentz group, we have constructed relativistic equation for a spin 1/2 particle with two additional electromagnetic characteristics. We take into account the presence of external electromagnetic fields. After eliminating the supplementary variables of the complete wave function we have derived a generalized Dirac-like equation, which includes two additional interaction terms, they are related to anomalous magnetic moment and polarizability.
spin 1/2 particle, external electromagnetic field, anomalous magnetic moment, polarizability
Введение
В рамках метода Гельфанда-Яглома [1–3] рассмотре-
но релятивистское обобщенное уравнение для частицы со
спином 1/2. Исходя из расширенного набора представлений
группы Лоренца, строится уравнение для частицы со спи-
ном 1/2 и двумя дополнительными характеристиками: ано-
мальным магнитным моментом [4–7] и поляризуемостью.
В работе [8] изучался тот же набор неприводимых пред-
ставлений группы Лоренца, но авторы ограничились толь-
ко теорией свободной частицы. В настоящей работе учтено
наличие внешних электромагнитных полей. Это приводит
к появлению дополнительных членов взаимодействия.
1. Формализм Гельфанда–Яглома
Будем строить P-инвариантное релятивистское урав-
нение первого порядка для частицы c массойM и спином
S = 1=2
(@ +M) = 0 (1)
на основе использования набора представлений группы
Лоренца со следующей схемой зацепления (тройки впере-
ди означают кратность используемых представлений):
3(1=2; 0) ! 3(0; 1=2)
↕ ↕
(1; 1=2) ! (1=2; 1):
Соответствующая система спинорных уравнений имеет вид
@ _ ab(1 b+2φb+3b)+4@b_
cf( _a_ c)
b +M _a = 0; (2)
@a_b
(1
_b
+2φ
_b
+3
_b
)+4@c_b
f
_b
(ac)+M a = 0; (3)
@ _ ab(5 b+6φb+7b)+8@b_
cf( _a_ c)
b +Mφ_a = 0; (4)
@a_b
(5
_b
+6φ
_b
+7
_b
)+8@c_b
f
_b
(ac)+Mφa = 0; (5)
@ _ ab(9 b +10φb +11b)+12@b_
cf( _a _ c)
b +M_a = 0;
(6)
@a_b
(9
_b
+ 10φ
_b
+ 11
_b
) + 12@c_b
f
_b
(ac) +Ma = 0;
(7)
1
2
[
@ _a
c (13
_b
+ 14φ
_b
+ 15
_b
)+
+@
_b
c (13 _a + 14φ_a + 15_a)
]
+
+
1
2
16
[
@k _af
_b
(kc) + @k_b
f _a
(kc)
]
+Mf( _a_ b)
c = 0; (8)
1
2
[
@ _ca
(13 b + 14φb + 15b)+
+@ _ c
b (13 a + 14φa + 15a)
]
+
+
1
2
16
[
@_k
af(_k
_ c)
b + @_k
bf(_k
_ c)
a
]
+Mf _ c
(ab) = 0: (9)
Здесь i — коэффициенты, ограничения на которые бу-
дут накладываться в соответствии с наличием у частицы
единственного массового параметра и единственного спи-
на S = 1=2. Используем обозначения
@_ ab =
1
i
@(1) _ ab; (1) _ ab =
(
0 1
1 0
)
;
(2) _ ab =
(
0 i
i 0
)
; (3) _ ab =
(
1 0
0 1
)
;
(4) _ ab =
(
i 0
0 i
)
:
Операция P-отражения задается соотношениями
_a $ a; φ_a $ φa; _a $ a; f( _a_ b)
c
$ f _ c
ab:
Система уравнений (2)–(9) может быть представлена в фор-
ме (1). Перечислим компоненты полной волновой функции
spinor =
= ( _1
; _2
; 1; 2; φ_1
; φ_2
; φ1; φ2;_1
;_2
;1;2;
f _1
(11); f _1
(12); f _1
(22); f _2
(11); f _2
(12); f _2
(22); f(_1
_1)
1 ; f(_1
_2)
1 ; f(_2
_2)
1 ;
f(_1
_1)
2 ; f(_1
_2)
2 ; f(_2
_2)
2 )t;
где t — знак транспонирования.
После выполнения необходимых вычислений с перехо-
дом сначала к каноническому базису
canon =
(
(1=2;0)
(1=2;0); (1=2;0)
(1=2;0); (0;1=2)
(0;1=2); (0;1=2)
(0;1=2);
φ(1=2;0)
(1=2;0); φ(1=2;0)
(1=2;0); φ(0;1=2)
(0;1=2); φ(0;1=2)
(0;1=2);
(1=2;0)
(1=2;0);(1=2;0)
(1=2;0);(0;1=2)
(0;1=2);(0;1=2)
(0;1=2);
f(1=2;1)
(1=2;1) ; f(1=2;1)
(1=2;1); f(1=2;1)
(1=2;0) ; f(1=2;1)
(1=2;0);
f(1=2;1)
(1=2;1); f(1=2;1)
(1=2;1); f(1;1=2)
(1;1=2) ; f(1;1=2)
(1;1=2);
f(1;1=2)
(0;1=2) ; f(1;1=2)
(1;1=2); f(1;1=2)
(0;1=2); f(1;1=2)
(1;1=2)
)t
;
а затем к модифицированному базису Гельфанда–Яглома
canon = B spinor:
Это преобразование задается общей формулой
(l;l
′
)
(l3;l3
′ ) =
[
(2l)!
(l + l3)!(l l3)!
1=2
]
[
(2l′)!
(l′ + l3)!(l′ l3)!
1=2
]
(_1
:::_1
_2::: _2)
(1:::12:::2):
Здесь параметры (l3; l3′) определяют составляющие
функции, преобразующейся по неприводимому представ-
лению (l; l′) собственной группы Лоренца. Число спинор-
ных индексов _1
в правой части формулы равно (l + l3);
число индексов типа _2
равно (l l3); число индексов ти-
па 1 равно (l′ + l3′); а типа 2 составляет (l′ l3′).
В результате приходим к спинорной форме представ-
ления матрицы (G:Y:)
4 (это выражение можно предста-
вить в компактном виде, что является преимуществом мо-
дифицированного базиса Гельфанда–Яглома):
(G:Y:)
4 =
(
(1=2)
4 0
0 (3=2)
I2
4
)
; (10)
где
(1=2) =
=
0
BBBBBB@
1 2 3
√
3
24
5 6 7
√
3
28
9 10 11
√
3
212 √
3
213
√
3
214
√
3
215
1
216
1
CCCCCCA
;
(3=2) = 16; 4 =
0
B@
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
1
CA
: (11)
Убеждаемся в выполнении условия P-инвариантности
уравнения, поскольку
(G:Y:)
4 P = P(G:Y:)
4 ;
P =
(
P(1=2)
4 0
0 P(3=2)
I2
4
)
;
P(1=2) = I4; P(3=2) = 1:
В модифицированном базисе Гельфанда–Яглома мат-
рица билинейной формы задается в виде
=
(
(1=2)
4 0
0 (3=2)
I2
4
)
;
(1=2) =
0
B@
k1 0 0 0
0 k2 0 0
0 0 k3 0
0 0 0 k4
1
CA
;
(3=2) = k4; ki = 1:
Из стандартного соотношения (4)
y
= 4 получаем
1 = 1;
6 = 6;
11 = 11;
16 = 16;
5 = k1k22;
9 = k1k33;
10 = k2k37;
13 = k1k44;
14 = k2k48;
15 = k3k412:
Например, если k1 = +1; k2 = k3 = k4 = 1, то
5 = 2;
9 = 3;
10 = 7;
13 = 4;
14 = 8;
15 = 12:
Найдем ограничения на параметры i, обусловленные
требованием, чтобы частица имела единственное массо-
вое состояние M и единственное значение спина S =
1=2 (последнее означает, что состояния со спином S =
3=2 отсутствуют). Таким образом, структура спиновых бло-
ков имеет вид (11) при 16 = 0. Кроме того, посколь-
ку матрица (1=2) должна иметь одно собственное значе-
ние, равное (+1), а остальные — нулевые (они могут быть
и кратными), то должны выполняться ограничения
1 + 6 + 11 = 1; (12)
25 + 39 + 710 16 111 611
3
2
(413 + 814 + 1215); (13)
(16 + 111 + 611) (1611 + 125+
+139 + 256 + 279 + 3510+
+3911 + 6710 + 71011)+
+
3
2
(1413 + 2813 + 31213 + 4514+
+6814 + 71214 + 81015 + 111215) = 0;
(14)
13(2712 + 4611 + 3810 4710
3612 2811) + 14(479 + 3512+
+1811 1712 4511 389)+
+15(1612 + 4510 + 289 469
2512 1810) = 0: (15)
В приведенных соотношениях отражается тот факт, что
след матрицы ( (1=2))n равен 1, а определитель (1=2) ра-
вен 0.
Соотношения (12)–(15) выглядят громоздко. Их можно
упростить, если учесть, что зацепления между использу-
емыми кратными представлениями группы Лоренца можно
разорвать [1]. При этом физическое содержание результа-
тов не меняется. Разрыв указанных зацеплений фактиче-
ски означает зануление соответствующих постоянных i.
В рассматриваемом случае имеем 2 = 3 = 5 = 7 =
= 9 = 10 = 0. Соответственно, получаем
1 + 6 + 11 = 1; (16)
16 + 111 + 611+
+
3
2
(413 + 814 + 1215) = 0; (17)
(16 + 111 + 611) 1611+
+
3
2
(1413 + 6814 + 111215) = 0; (18)
461113 + 181114 + 161215 = 0: (19)
С учетом ограничений на параметры i минимальный
полином для матрицы (1=2) (11) при 16 = 0 принимает
вид
( (1=2))3[ (1=2) 1] = 0;
а минимальный полином для матрицы 4 следующий:
34
(24
1) = 0:
2. Спин-тензорная форма уравнений
Для дальнейшего анализа перейдем к спин-тензорной
форме записи системы уравнений (2)–(9) (при этом исполь-
зуем условия (16)–(19)). Будем учитывать соотношения
f(_k
n_ )
m = (_k
n_ )
(r_s_) ()r_
mf _ s
; f _ m
(kn) = (rs)
(kn)() _ mr
fs;
(20)
где (_k
n_ )
(r_s_) ; (rs)
(kn)— обобщенные спинорные символы Кро-
некера
(_k
n_ )
(r_s_) =
1
2
(
_k_
r ) _ n_
s +
_k_
s ) _ n_
r
)
;
(rs)
(kn) =
1
2
(rk
sn
+ rn
sk
) :
Два первых спинорных уравнения представимы в форме
1@ _ ab b +
4
2
[
@c_b
() _ac
f
_b
+ @c_b
()
_b cf _a
]
+M _a = 0;
1@a_b
_b
+
4
2
[
@b_
c () _ c
afb + @b_
c () _cb
fa
]
+M a = 0
или
1
i
@() _ ab b 4
2i
@
[
() _ ac()c_b
f
_b
+
+()
_bc()c_b
f _a
]
+M _a = 0;
1
i
@()a_b
_b
4
2i
@
[
()a _ c() _ cbfb+
+()b _ c() _ cbfa
]
+M a = 0:
С учетом тождества () _ ab()b _a = ()a_b
()_ba =
= 2 получаем
1
i
@() _ ab b +
4
2i
@
[
() _ ac()c_b
f
_b
+
+2f _a
]
+M _a = 0;
1
i
@()a_b
_b
+
4
2i
@
[
()a_ c() _ cbfb+
+2fa
]
+M a = 0:
Объединим два последних уравнения в одно
1
i
@
(
0 () _ ab
()a_b
0
)(
_b
b
)
+
+
4
2i
@
(
() _ ac()c_b
+ 2 _a_b
0
0
() _ ac()c_b
+ 2a
b
)(
f _b
fb
)
+
+M
(
_b
b
)
= 0:
Поскольку выполняются два тождества
() _ ab()b _ c + () _ ab()b _ ca = 2 _a_
c ;
() _ab()b _ c + () _ab()b _ ca = 2ca
; (21)
то конструкция
1
i
(
0 () _ ab
() _ ab 0
)
совпадает с видом матрицы Дирака . Следовательно,
уравнение записывается так
1 ^@ + 4
2i @ ( + 2) f +M = 0;
1 ^@ 2i4
(
@ 1
4
^@
)
f +M = 0; (22)
где – биспинор, f – вектор-биспинор. Аналогичным об-
разом получаем
6 ^@φ 2i8
(
@ 1
4
^@
)
f +Mφ = 0;
11 ^@ 2i12
(
@ 1
4
^@
)
f +M = 0: (23)
Рассмотрим теперь уравнение
1
2
[
@ _a
c
(
13
_b
+ 14φ
_b
+ 15
_b
)
+
+@
_b
c
(
13 _a + 14φ_a + 15_a)]
+Mf( _a_ b)
c = 0:
С учетом (20) имеем
1
2
[
@ _a
c
(
13
_b
+ 14φ
_b
+ 15
_b
)
+
+@
_b
c
(
13 _a + 14φ_a + 15_a)]
+
+
1
2
M
[
() _ac
f
_b
+ ()
_b
cf _a
]
= 0:
Свернем приведенное уравнение с ()c_
a по спинорным
индексам
1
2
13
[
() _ ac@c _a
_b
@
_bc()c _a _a
]
+
+
1
2
14
[
() _ ac@c _aφ
_b
@
_bc()c _aφ_a
]
+
+
1
2
15
[
() _ ac@c _a
_b
@
_bc()c _a_a
]
+
+
1
2
M
[
() _ ac()c _af
_b
()
_bc()c _af _a
]
= 0:
С учетом приведенных выше соотношений имеем
13
[
2
i
@
_b
@
_bc()c _a _a
]
+
+14
[
2
i
@φ
_b
@
_bc()c _aφ_a
]
+
+15
[
2
i
@
_b
@
_bc()c _a_a
]
+
+M
[
2f
_b
()
_bc()c _af _a
]
= 0
или
13
1
i
@
[
2
_b
()
_bc()c _a _a
]
+
+14
1
i
@
[
2φ
_b
()
_bc()c _aφ_a
]
+
+15
1
i
@
[
2
_b
()
_bc()c _a_a
]
+
+M
[
2f
_b
()
_bc()c _af _a
]
= 0: (24)
Аналогично можно показать, что уравнение
1
2
[
@ _ca
(13 b + 14φb + 15b)+
+@ _ c
b (13 a + 14φa + 15a)
]
+Mf _ c
(ab) = 0
сводится к виду
13
1
i
@
[
2 b ()b _ c() _ ca a
]
+
+14
1
i
@
[
2φb ()b _ c() _ caφa
]
+
+15
1
i
@
[
2b ()_bc()c _aa
]
+
+M
[
2fb ()b _ c() _ cafa
]
= 0: (25)
Уравнения (24), (25) объединяем в одно
1
i
@
(
2_b_
a
()_bc()c _a 0
0 2a
b
()b _ c() _ ca
)[
13
(
_a
a
)
+ 14
(
φ_a
φa
)
+ 15
(
_a
a
)]
+
+M
(
2_b_
a
()_bc()c _a 0
0 2a
b
()b _ c() _ ca
)(
f _a
a
)
= 0
или
M
(
2 1
4
)
i
(
@ 1
4
^@
)
= 0; (26)
где = 13 + 14φ + 15. Таким образом, система
спин-тензорных уравнений имеет вид (22), (23), (26). При
этом нужно учитывать ограничения на постоянные i .
3. Минимальная система в свободном случае
Выразим из уравнения (26) величину
(
1
4
)
f
(
1
4
)
f =
i
M
(
@ 1
4
^@
)
:
Отсюда получаем
(
@ 1
4
^@
)
f =
3i
4M : (27)
Учтем соотношение (27) в уравнениях (22), (23):
(
M + 1 ^@
)
+
3
2M
4 = 0; (28)
(
M + 6 ^@
)
φ +
3
2M
8 = 0; (29)
(
M + 11 ^@
)
+
3
2M
12 = 0: (30)
Подействуем на уравнения (28)-(30) соответственно следу-
ющими операторами
13(M + 6 ^@)(M + 11 ^@);
14(M + 1 ^@)(M + 11 ^@);
15(M + 1 ^@)(M + 6 ^@)
и просуммируем результаты. В результате приходим к
уравнению
{
M3 +M2 ^@ +M(16 + 111 + 611) + 1611^@
}
+
+
3
2M
{
(413 + 814 + 1215)M2 +M[413(6 + 11) + 814(1 + 11) + 1215(1 + 6)] ^@+
+(461113 + (181114 + 161215)
}
= 0:
Далее с учетом ограничений (16)–(19) получаем
M2{
M + ^@
}
= 0;
т. е. приходим к уравнению Дирака для свободной части-
цы, описываемой функцией
(
^@ +M
)
= 0; = 13 + 14φ + 15:
4. Взаимодействие с внешним полем
Исходим из системы уравнений
(
M + 1 ^D
)
2i4
(
D 1
4
^D
)
f = 0; (31)
(
M + 6 ^D
)
φ 2i8
(
D 1
4
^D
)
f = 0; (32)
(
M + 11 ^D
)
2i12
(
D 1
4
^D
)
f = 0; (33)
M
(
1
4
)
f i
(
D 1
4
^D)
= 0; (34)
где D = @ ieA, A – 4-потенциал электромаг-
нитного поля. Определим из последнего уравнения систе-
мы (31)–(34) величину
(
1
4
)
f =
i
M
(
D 1
4
^D
)
:
Подействуем на последнее уравнение оператором D
(
D 1
4
^D
)
f =
i
M
(
D2 1
4
^D
^D
)
; (35)
где D2 = DD. С учетом (35) уравнения (31)–(33) пред-
ставляем в виде
(
M + 1 ^D
)
+
2
M
4
(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0; (36)
(
M + 6 ^D
)
φ +
2
M
8
(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0; (37)
(
M + 11 ^D
)
+
2
M
12
(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0: (38)
На уравнения системы (36)–(38) соответственно подей-
ствуем операторами
13
(
M + 6 ^D
)(
M + 11 ^D
)
;
14
(
M + 1 ^D
)(
M + 11 ^D
)
;
15
(
M + 1 ^D
)(
M + 6 ^D
)
в результате получаем
13 ^M
+
2
M
413
{
M2 +M(6 + 11)^D
+
+611 ^D
^D
}(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0;
14 ^M
ϕ +
2
M
814
{
M2 +M(1 + 11)^D
+
+111 ^D
^D
}(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0;
15 ^M
+
2
M
1215
{
M2 +M(1 + 6)^D
+
+16 ^D
^D
}(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0;
где
^M
= M3 +M2 ^D
+M(16 + 111+
+611)^D
^D
+ +1611 ^D
^D
^D
:
Суммируем эти три уравнения
{
M3 +M2 ^D
+M(16 + 111 + 611)^D
^D
+
+1611 ^D
^D
^D
}
+
2
M
{
M2(413+814+1215)+
+M
[
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6)
]
^D
+
[
461113 + 181114+
+161215
]
^D
^D
}(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0: (39)
Отметим, что последнее слагаемое в уравнении (39) в силу
ограничения (19) обращается в нуль. Следовательно, полу-
чаем
{
M3 +M2 ^D
+M(16 + 111 + 611)^D
^D
+
+1611 ^D
^D
^D
+ 2M(413 + 814 + 1215)+
+2
[
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6)
]}
^D
(
D2 1
4
^D
^D
)
= 0:
Воспользуемся соотношениями (матрицы J[] представ-
ляют генераторы биспинорного поля)
^D
^D
= D2 ieF[]J[]; F[] = @A @A;
J[] =
1
4
( ) );
тогда уравнение принимает вид
{
M3 +M2 ^D
+M(16 + 111 + 611)D2+
+
3
2
M(413 + 814 + 1215)D2
ieM(16 + 111 + 611)F[]J[]+
+
ie
2
M(413 + 814 + 1215)F[]J[]+
+
[
1611 +
3
2
(
413(6 +11)+814(1 +11)+
+1215(1 + 6
)]
^D
D2 + ie
[
1611+
+
1
2
(
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6
)]
^D
F[]J[]
}
= 0
или
{
M3+M2 ^D
+2ieM(413+814+1215)F[]J[]+
+
[
(16 + 111 + 611) +
3
2
(
1413+
+6814 + 111215
)
+
3
2
(
413(6 + 11)+
+814(1 + 11) + 1215(1 + 6
)]
^D
D2+
+ie
[
(16 + 111 + 611) 3
2
(
1413+
+6814 + 111215
)
+
1
2
(
413(6 + 11)+
+814(1+11)+1215(1+6
)]
^D
F[]J[]
}
= 0:
Таким образом, получаем следующее уравнение:
{
M3+M2 ^D
+2ieM
(
413+814+1215
)
F[]J[]+
+2ie
[
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6)
]
^D
F[]J[]
}
= 0:
Следовательно, при наличии взаимодействия с внешним
электромагнитным полем приходим к обобщенному урав-
нению Дирака
{
^D
+M +2
ie
M
(
413 +814 +1215
)
F[]J[]+
+2
ie
M2
[
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6)
]
^D
F[]J[]
}
= 0 (40)
относительно функции = 13 + 14φ + 15 . Урав-
нение (40) содержит два дополнительных слагаемых. Сла-
гаемое
2
ie
M
(
413 + 814 + 1215
)
F[]J[]
описывает аномальный магнитный момент частицы. Второе
слагаемое
2
ie
M2
[
413(6 + 11) + 814(1 + 11)+
+1215(1 + 6)
]
^D
F[]J[] = ie ^D
F[]J[]
будем связывать с дополнительной электромагнитной ха-
рактеристикой частицы – поляризуемостью. Итоговое
уравнение может быть кратко представлено так:
{
^D
+M + ieF[]J[] + ie ^D
F[]J[]
}
= 0:
5. Заключение
Построено обобщенное релятивистское уравнение для
частицы со спином 1/2 с двумя дополнительными характе-
ристиками в присутствии внешних электромагнитных по-
лей. Оно включает два дополнительных члена взаимо-
действия, интерпретируемых как связанные с аномаль-
ным магнитным моментом и поляризуемостью частицы. Это
уравнение может служить основой для экспериментальной
проверки внутренней структуры частицы со спином 1/2.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Gelfand, I. M. Obshchiye relyativistski invariantnyye uravneniya i beskonechnomernyye predstavleniya gruppy Lorentsa [General relativistically invariant equations and infinite-dimensional representations of the Lorentz group] / I. M. Gelfand, A. M. Yaglom // Zhurnal Eksperimentalnoy i Teoreticheskoy Fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. – 1948. – Vol. 18, № 8. – P. 703–733.
2. Pletukhov, V. A. Relyativistskie volnovye uravneniya i vnutrennie stepeni svobody [Relativistic wave equations and intrinsic degrees of freedom] / V. A. Pletukhov, V. M. Red’kov, V. I. Strazhev. – Minsk: Belorusskaya nauka [Belarusian Science], 2015. – 327 p.
3. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol. I, II / V. V. Kisel, E. M. Ovsiyuk, V. Balan, [et al.] – New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. – 418, 414 pp.
4. Petraš, M. A note to Bhabha’s equation for a particle with maximum spin / M. Petraš // Czech. J. Phys. – 1955. – Vol. 5, № 3. – P. 418–419.
5. Spin 1/2 particle with anomalous magnetic moment in a uniform magnetic field, exact solutions / E. M. Ovsiyuk, V. V. Kisel, Ya. A. Voynova, [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2016. – Vol. 19, № 2. – P. 153– 165.
6. Ovsiyuk, E. M. Spin 1/2 particle with anomalous magnetic moment in presence of external magnetic field, exact solutions / E. M. Ovsiyuk, V. V. Kisel, V. M. Red’kov // Chapter in the book: Relativity, Gravitation, Cosmology: Beyond Foundations / Ed. V. V. Dvoeglazov. – New York: Nova Science Publishers Inc., 2019. – P. 65–80.
7. On P-noninvariant wave equation for a spin 1/2 particle with anomalous magnetic moment / V. V. Kisel, V. A. Pletyukhov, E. M. Ovsiyuk, [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2019. – Vol. 22, № 1. – P. 18–40.
8. Santhaman, T. S. Bhabha equations for unique mass and spin / T. S. Santhaman, A. R. Tekumalla // Fortsch. Phys. – 1974. – Vol. 22, № 8. – P. 431–452.
