Санкт-Петербург, Россия
В статье рассмотрены две формы таблицы 27 видов симметрии (без кубической сингонии): оси Li4 дана своя строка, иные инверсионные оси запрещены; использованы все возможные инверсионные оси. Второй случай особенно интересен при сопоставлении видов симметрии с гладкими геометрическими интерпретациями (конусы и цилиндры) предельных групп симметрии Кюри. Предложено различать 14, а не 7 классов симметрии. Обсуждена их номенклатура с экскурсом в историю вопроса. Статья учит творческому усвоению фундаментальных результатов, их выводу и осмыслению в деталях. Она предназначена для преподавателей, аспирантов и студентов (геологов, географов, биологов и др.), изучающих основы кристаллографии в геометрическом варианте, без теории групп и линейной алгебры. Статья посвящена профессору А. И. Глазову — последнему представителю кристаллографической школы Е. С. Федорова — А. К. Болдырева — И. И. Шафрановского в Ленинградском горном институте (ныне Санкт-Петербургском горном университете) и сопровождается уникальными фото из личного архива профессора Д. П. Григорьева.
виды и классы симметрии кристаллов, композиции элементов симметрии, истинные и ложные инверсионные оси, предельные группы симметрии Кюри
Введение
По мнению профессора Горного института в Санкт-Петербурге кристаллографа А. И. Глазова (1941–2023), профессор И. И. Шафрановский (1907–1994) до конца своих дней искал неочевидные закономерности в классической таблице 32 видов симметрии (в. с.). Его завораживало само число 32. Вероятно, он имел в виду, что 2n — число элементов в булеане (множестве всех подмножеств) n-элементного множества. В. с. кристаллов — композиции некоторых элементов множества {L1, L2, L3, L4, L6, Li4, C, P}. Задача состоит в том, чтобы выбрать его 5-элементное подмножество, булеан которого даст в точности 32 в. с. Но это лишь наша догадка.
Таблицу 32 в. с. (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) он объяснял студентам ревностно. Это и понятно, ведь он был сотрудником Федоровского института, в котором под началом А. К. Болдырева разработаны указанная таблица и символика 32 в. с., а еще номенклатура простых форм и пространственных групп симметрии (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934; Шафрановский, Франк-Каменецкий, 1954; Войтеховский, 2020, 2021). И все же мы пошевелим эту классическую таблицу, но не из праздного любопытства, а в ответ на вопросы студентов:
— Известны варианты периодической таблицы химических элементов. А есть ли варианты таблицы 32 в. с.?
— В аксиальном и планальном классах символы в. с. различаются для нечетных и четных осей. Нельзя ли их раздвинуть наподобие подгрупп периодической таблицы химических элементов?
— Можно ли поместить в. с. с осью Li4 в свою строку тетрагональной сингонии, ведь это не L4?
— Можно ли передвинуть в. с. с осью Li6 из гексагональной сингонии в тригональную, ведь это композиция L3 с ортогональной плоскостью?
— Как относиться к инверсионным осям кроме Li4? Они имеют математический смысл, но в кристаллографии вроде не нужны.
Первый вопрос простой. Варианты таблицы уже есть, достаточно сравнить учебник (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) и академическую монографию (Вайнштейн, 1979, с. 100–101). И второй вопрос несложен. В аксиальном и планальном классах сместим символы для нечетных и четных осей влево и вправо — однотипные символы выстроятся в колонки, воспринимать их действительно станет удобнее. На последний вопрос уже дан ответ: «Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти» (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153). Что до остальных вопросов, то есть уверенность, что замены обозначений и перемещения ячеек в таблице не изменят фундаментальный результат. Но могут обнаружиться любопытные нюансы. К их поиску мы и приступим. Речь пойдет только о в. с. с единичными направлениями. Кубическая сингония весьма специфична и требует отдельного рассмотрения.
Шаг 1. В разговоре о началах нельзя пройти мимо очень давней, но замечательной статьи (Шафрановский, 1945). А полагая элементы симметрии известными, алгоритм вывода в. с. с единичными направлениями найдем в учебнике (Попов, Шафрановский, 1964, с. 84–85): совмещаем оси Ln с единичным направлением и добавляем к ним в разных сочетаниях центр инверсии С, поперечную ось L2, продольную Р и поперечную П (это обозначение И. И. Шафрановского не прижилось, но здесь удобно) плоскости симметрии.
Здесь полезны два замечания. Начинать надо именно с осей Ln, ведь они есть в каждом в. с., в отличие от других элементов симметрии. В в. с. Р и С незримо присутствует L1. Фраза «в кристаллах возможны оси симметрии 2-, 3-, 4- и 6-го порядков; оси 1-го порядка не характерны и поэтому здесь не упоминаются» (Попов, Шафрановский, 1964, с. 68) приводит в недоумение. Оси 1-го порядка вездесущи, но указываются только в символе примитивного в. с. триклинной сингонии, где других элементов симметрии нет. Прочерк в ячейке таблицы некорректен.
Второе замечание — о поперечной оси L2. Почему только L2? Потому что лишь она, опрокидывая единичное направление, совмещает его с собой.
Шаг 2. После перебора всех композиций, краткого обсуждения и устранения повторов получена таблица 27 видов симметрии (Попов, Шафрановский, 1964, с. 89). Но все еще интереснее и требует неспешного анализа. Следует обращать внимание студентов на то, что преобразования симметрии далеко не всегда перестановочны[1]. А при сочетании продольных плоскостей Р и поперечных осей L2 надо следить, лежат ли L2 в Р или между ними. В табл. 1 даны композиции осей Ln (левый столбец) с дополнительными элементами симметрии (верхняя строка). Инверсионной оси Li4 отдана своя строка, другие инверсионные оси запрещены по совету А. К. Болдырева и В. В. Доливо-Добровольского. Полностью совпадающие столбцы указаны в верхней строке через запятую.
К табл. 1 нужны пояснения. 1) В строке оси 3 имеем 7 в. с., то есть запрет инверсионной оси -6 не дал экономии числа столбцов (классов симметрии). 2) В. с. –6 (3/m) из инверсионно-примитивного стал центральным, точнее — «ортопланальным», ибо нечетная ось 3 в пересечении с m истинного С не дает. 3) В. с. –6m2 (3/mm) из инверсионно-планального стал планаксиальным. 4) Комбинация РL2 дает в. с. 3/mm или –3m (3mC) при расположении L2 в Р или между ними. 5) В двух пустых клетках строки комбинация СП порождает L2, ортогональную к П и совпадающую с L3. Их содействие дает L6, неуместную в строке L3. Но ситуация напоминает нам, что менее века назад тригональная сингония входила в гексагональную как подсингония (гипосингония) (Болдырев, 1931, с. 35). Затем она стала самостоятельной, сначала с оговорками: «гексагональная и тригональная сингонии <…> имеют так много сходных простых форм, что их часто рассматривают как одну сингонию» (Флинт, 1937, с. 50) (рис. 1), а потом без них. 6) В. с. –4 из инверсионно-примитивного стал примитивным. 7) В. с. –4m2 из инверсионно-планального стал планальным или аксиальным (на выбор). 8) По характеру перемещений в таблице видно отличие в. с. с осями –4 и –6.
Шаг 3. В табл. 1 есть все 27 в. с. с единичными направлениями, но много повторов. В каких ячейках их удалить? Устраним столбцы с избыточными комбинациями добавляемых (к исходным осям) элементов симметрии и те, что поглощаются более полными столбцами. При этом добавим сингонии по известным правилам (Попов, Шафрановский, 1964, с. 93–94). Результат дан в табл. 2. В ней уже видны знакомые классы в. с., но повторов все еще 8 (в квадратных скобках). Из них 6 — следствия теорем о композициях четных осей, ортогональной плоскости П и центра инверсии С (Попов, Шафрановский, 1964, с. 78–79).
Шаг 4. Основная проблема в табл. 2 — два планальных класса П и Р. Но в столбце П почти все в. с. имеют аналоги рядом. Он может быть удален, если в. с. 3/m (–6), но тогда и 3/mm (–6m2), –4, –4m2 вернуть в инверсионные классы. При этом в моноклинной и тетрагональной сингониях будет по одной строке. Результат — табл. 3, хорошо знакомая всем изучавшим кристаллографию. И все же без нюансов не обошлось. Мы поместили в. с. 2 в столбец № 1 (оси — к осям), в. с. 2/m — в № 2 (к 4/m и 6/m), но в учебнике (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) они попали в аксиальный (№ 4) и планаксиальный (№ 5) классы. Монография (Вайнштейн, 1979, с. 100–101) оставляет выбор за читателем.
Шаг 5. Исследование не будет закончено, если мы не обратим внимание на различие символов в. с. в столбцах № 2–5. Так, в планальном (№ 3) и аксиальном (№ 4) классах нечетная ось 3 размножает Р и L2 в три таких же, что обозначено как 3m и 32. В случае четных осей Р и L2 распадаются на две группы, что отмечено в символах, например, 4mm и 422. В столбцах 2 и 5 различие еще радикальнее — сочетания нечетных осей (1 и 3) с С дают ложные инверсионные оси (в том смысле, что могут быть выражены через комбинации обычных элементов симметрии, далее в скобках): –1 (С), –3 (3С), –3m (–3m2, 3mС). По аналогии: –2 (m), –1m2 (Сm2, 2/m), –2m2 (mm2, 2mm). Возникает идея перенести все в. с. с ложными инверсионными осями в столбцы 6 и 7 (табл. 4). Для большей наглядности добавлены строки с некристаллографическими осями 5, 7, 8 и предельные группы симметрии Кюри.
Табл. 4 обладает замечательным свойством — состоит из 14 «чистых линий»[2] в. с., устроенных одинаково, за исключением порядка главной оси. Столбцы 1–5 точно соответствуют симметрии гладких геометрических интерпретаций по Кюри. Иное дело — в. с. с истинной –4 и ложными инверсионными осями. В. с. столбца 6 вкладываются как подгруппы в в. с. столбца 2 (вц), а в. с. столбца 7 — в в. с. столбца 5 (пц). Но во всех случаях есть недостача элементов симметрии по сравнению с таковыми цилиндров. Так, в линии –1, –3, –5... нет плоскости П, в линии –2, –6... нет С, в линии –4, –8... нет ни П, ни С, которые есть у вращающегося цилиндра. Аналогично в инверсионно-планальном классе относительно покоящегося цилиндра.
Особенно досадна «потеря» в предельных группах симметрии П. Кюри истинных инверсионных осей (в конусах, цилиндрах и сферах их в явном виде нет), ведь открытие оси –4 О. Браве стало выдающимся событием в кристаллографии, завершившим список элементов симметрии (Войтеховский, 2025; Voytekhovsky, 2025). Напрашивается вывод. Если пренебречь указанными нюансами и настаивать на гладких геометрических интерпретациях, то решение вопроса у П. Кюри идеально. Если же акцентировать внимание на инверсионных осях и «чистых линиях», то можно выделить новые виды симметрии, в геометрической интерпретации которых не обойтись без «шероховатых» (ребристых, гранных) призм. Заметим также, что без в. с. с нечетными главными осями столбец 2 (центральные в. с.) превратился в «ортопланальную» чистую линию. Конечно, центры инверсии не пропали. В каждом случае взаимодействие центра инверсии, четной оси и ортогональной плоскости управляются (два элемента порождают третий) тремя известными теоремами (Шафрановский, 1964, с. 78–79).
О терминах
Информативная и удобная номенклатура очень важна в науке, работающей с большим многообразием объектов. Эта методологическая проблема опирается на философскую традицию (Геллнер, 1962; Фуко, 1977; Степанов, 1981; Лосев, 1990; и др.). Кристаллография не обошла ее стороной (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934), и она не исчерпана (Войтеховский, 2024). Привычные нам логичные и удобные названия сингоний возникали и закреплялись постепенно: «агирная — триклинная, моногирная — моноклинная, дигирная — ромбическая, тригирная — тригональная, тетрагирная — тетрагональная, гексагирная — гексагональная, полигирная — кубическая» (Попов, Шафрановский, 1941, с. 60) (рис. 2–4). Любопытно, что в 1941 г. авторы учебника назвали современные термины устаревшими, но вернулись к ним в следующем издании (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92).
А вот авторитетное мнение: «Эти названия имеют педагогическое значение, так как указывают на наиболее характерную особенность кристаллов каждой сингонии в отношении симметрии, а следовательно и в отношении других свойств, связанных с симметрией. Названия сингоний — тригирной, тетрагирной и гексагирной — взяты из терминологии, принятой в свое время Федоровским институтом. Триклинная и моноклинная сингонии неправильно названы Федоровским институтом «агирной» и «моногирной» сингониями. Нами эти сингонии по указанным выше причинам названы соответственно «моногирной» и «монодигирной»» (Аншелес, 1952, с. 97) (рис. 5, 6). Им же предложены иные названия сингоний: моногирная (триклинная), монодигирная (моноклинная), тридигирная (ромбическая), тригирная (тригональная, ромбоэдрическая), тетрагирная (тетрагональная), гексагирная (гексагональная) и тетратригирная (кубическая) (там же, с. 97–98). Термины не прижились, но в них была логика — явное указание числа разных осей.
И. И. Шафрановский рекомендовал студентам запоминать устаревшие названия в. с.: 1) моноэдрический, 2) пинакоидальный... 32) гексоктаэдрический — ведь в них звучат имена общих (самых полногранных) простых форм каждого в. с. Но вот иное мнение: «Этих названий в разное время разными авторами дано так много, что их можно не запоминать, ограничившись для каждого класса [вида] формулой симметрии» (Флинт, 1937, с. 33). Вот и пойми их, классиков...
Между понятиями вида и класса есть путаница. «Многие авторы отождествляют вид с классом. Логичнее, нам кажется, придавать этим терминам различное значение, как это делает Е. С. Федоров. <…> Видом симметрии называется законченное сочетание элементов симметрии. Под „законченным“ подразумевается такое сочетание, в котором проделаны все операции сложения элементов симметрии, т. е. выведены все равнодействующие. Все кристаллы, имеющие симметрию одного и того же вида, составляют „класс“. Видов симметрии бесконечно большое число, однако число классов, как указано выше, ограничивается 32» (Флинт, 1937, с. 32). Остается неясным, совпадут ли понятия вида и класса, если ограничиться только кристаллическими в. с.? Или все равно первое относится к математическим образам, а второе — к физическим телам? На сегодня устоялось другое соотношение понятий. Виды (точечные группы) и классы симметрии — все это математические образы: первых 32, вторых 7 (примитивный... инверсионно-планальный, табл. 3). Было бы еще лучше объединять в классы изоструктурные (одинаково устроенные) в. с., отличающиеся лишь порядком главной (совпадающей с единичным направлением) оси (табл. 4).
Обратимся к современным названиям классов. Не случайно они вызывают недоумение у отдельных (они-то нам и дороги) критически думающих студентов. Первый вопрос — о «примитивной» оси L1, которая якобы оставляет фигуру на месте. Вовсе нет! Как все оси, она поворачивает фигуру, но та впервые совпадает с собой лишь после поворота на 360°. Тем самым L1 характеризует не столько себя, сколько фигуру. Поворот вокруг L1 (действие) и оставление фигуры на месте (бездействие) следует различать. Кроме того, L1 есть у любой фигуры, причем в бесконечном числе. Наконец, она единственная из осей не обязана пересекать фигуру в центре тяжести. Где здесь примитив?
В примитивном в. с. триклинной сингонии из простых форм есть только моноэдр. Может быть, это примитив? Но у таких кристаллов сколько граней, столько и различных (не переводимых друг в друга элементом симметрии L1) моноэдров. А среди 146 структурных (физических) разновидностей простых форм моноэдры самые многочисленные (Бокий, 1940; Шафрановский, 1948). Кажущийся примитив обернулся максимальным разнообразием.
Наши предшественники неудачно назвали примитивным класс, в котором в. с. содержат лишь главные оси, с которых начинается вывод комбинаций. По процедуре его следовало назвать исходным (начальным), по сути — аксиальным (табл. 4, столбец № 1). По той же логике другие классы следует назвать: № 2 — аксицентральный (аксиортопланальный), № 3 — аксипланальный, № 4 — диаксиальный, № 5 — аксидипланальный. Два инверсионных (в современном понимании) класса распадаются каждый на три «чистых линии», подходящих на роль классов. Линия –1, –3. –5... — инверсионный аксицентральный; –2, –6... — инверсионный аксиортопланальный; –4, –8... — инверсионный аксиальный; –1m2, –3m2, –5m2… — инверсионный аксипланальный; –2m2, –6m2… — инверсионный аксидипланальный; –4m2, –8m2… — инверсионный диаксипланальный.
Выводы
Путешествие по таблице 32 в. с., даже без кубической сингонии, показало множество логических тропинок и развилок, по которым прошли наши предшественники, чтобы удобно выразить этот фундаментальный результат. Наличие ее нескольких форм и исторические дискуссии о номенклатуре показывают, что, кроме самих 32 в. с., все остальное — объединение в классы, именование — это вопросы целесообразности. По результатам исследования нам кажется удобным выделять 14 чистых линий (пусть при тех же 7 классах). Заметим, что их можно найти в книге (Зоркий, 1986, с. 28–37) под названием семейств точечных групп низшей и средней категории. Однако, погружая подгруппы в группы, этот автор свел их к 5 группам Кюри, тогда как наша задача была в обратном. А главный педагогический момент видится в увлекательном путешествии, показавшем внутреннее богатство классической таблицы 32 в. с. Ведь наша цель — не в том, чтобы предложить еще одну форму таблицы или номенклатуру, а чтобы показать саму такую возможность и тем самым — живое содержание якобы «сухой науки» кристаллографии.
Мы уже отмечали немалый заряд натурфилософии в курсах кристаллографии и минералогии (Войтеховский, 2022, 2024). Его следует не прятать, а показывать студентам. Рассуждение о моноэдрах явно отсылает к философии: «Не бывает никаких двух неразличимых друг от друга отдельных вещей. <…> Полагать две вещи неразличимыми — означает полагать одну и ту же вещь под двумя именами» (Лейбниц, 1982, с. 450). «Относительно высказанного Лейбницем закона следует, однако, заметить, что различие, о котором он говорит, следует понимать не только как внешнюю и равнодушную разность, но и как различие в себе и что, следовательно, вещам самим по себе свойственно быть различными» (Гегель, 1974, с. 275). Мысль Лейбница отсылает нас к физически различным моноэдрам в смысле Г. Б. Бокия (1940) и И. И. Шафрановского (1948), мысль Гегеля — еще глубже, к геометрически различным моноэдрам. В целом же примитивный вид симметрии триклинной сингонии вовсе не примитивен, коль скоро дает замечательную иллюстрацию к столь важным философским принципам.
[1] В алгебраическом описании преобразования симметрии выражаются произведениями матриц, которые в общем случае не перестановочны. На это надо обращать внимание студентов в курсе математики, затем в лекциях по физике и кристаллографии, ибо это перекликается с некоммутативностью геологических процессов. Именно на ней основана возможность реконструкции истории земной коры. Мысленно переставьте местами два метаморфизма, пликативных или дизъюнктивных процесса — результат будет разный!
[2] В силу традиции (онтогенез — онтогения, по Д. П. Григорьеву) термин взят нами из биологии, где он означает генетическую и морфологическую идентичность.
1. Аншелес О. М. Начала кристаллографии. Л.: ЛГУ, 1952. 276 с.
2. Бокий Г. Б. Число физически различных простых форм кристаллов // Тр. Лаборатории кристаллографии. 1940. Вып. 2. С. 13–37.
3. Болдырев А. К. Кристаллография. Л.: Кубуч, 1931. 331 с.
4. Болдырев А. К., Доливо-Добровольский В. В. Классификация, номенклатура и символика 32 видов симметрии кристаллографии // Зап. ЛГИ. 1934. Т. VIII. С. 145–159.
5. Вайнштейн Б. К. Современная кристаллография. Т. 1. Симметрия кристаллов. Методы структурной кристаллографии. М.: Наука, 1979. 384 с.
6. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. IV. Три вопроса из курса кристалломорфологии // Вестник геонаук. 2020. № 5(305). С. 28–30. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2020.5.5
7. Войтеховский Ю. Л. 100 лет Федоровскому институту // Зап. РМО. 2021. № 4. С. 135–141. DOIhttps://doi.org/10.31857/S0869605521040080
8. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. XI. История и философия в курсах кристаллографии и минералогии // Вестник геонаук. 2022. 6(330). C. 44–52. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2022.6.5
9. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. XIII. Имя кристаллического полиэдра. К 130-летию со дня рождения А. Ф. Лосева и 100-летию «Философии имени» // Вестник геонаук. 2024. 1(349). C. 43–49. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2024.1.5
10. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. XVII. Бордюры и предельные группы Кюри // Вестник геонаук. 2025. № 4(364). С. 51–56. DOIhttps://doi.org/10.19110/geov.2025.4.5
11. Гегель Г. В. Ф. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. М.: Мысль, 1974. 452 с.
12. Геллнер Э. Слова и вещи. М.: Иностранная литература, 1962. 344 с.
13. Зоркий П. М. Симметрия молекул и кристаллических структур. М.: МГУ, 1986. 232 с.
14. Лейбниц Г. В. Переписка с Кларком // Сочинения в 4 т. М.: Мысль, 1982. Т. 1. С. 430–528.
15. Лосев А. Ф. Философия имени. М.: МГУ, 1990. 276 с.
16. Попов Г. М., Шафрановский И. И. Кристаллография. М.; Л.: Госгеолиздат, 1941. 242 с.
17. Попов Г. М., Шафрановский И. И. Кристаллография. М.: Высшая школа, 1964. 370 с.
18. Степанов Ю. С. Имена. Предикаты. Предложения. М.: Наука, 1981. 360 с.
19. Флинт Е. Е. Практическое руководство по геометрической кристаллографии. М.; Л.: Госгеолиздат, 1937. 156 с.
20. Фуко М. Слова и вещи. Археология гуманитарных наук. М.: Прогресс, 1977. 488 с.
21. Шафрановский И. И. К вопросу о простейшем выводе элементов симметрии // Уч. зап. ЛГУ. 1945. № 65. Сер. геол.-почв. наук. Вып. 13. С. 31–40.
22. Шафрановский И. И. Структурные разновидности простых форм кристаллов // Уч. зап. ЛГУ. Сер. геол.-почв. наук. 1948. Вып. 14. С. 3–17.
23. Шафрановский И. И., Франк-Каменецкий В. А. История вывода 32 видов симметрии кристаллов // А. В. Гадолин. Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала. Л.: Изд. АН СССР, 1954. С. 112–143.
24. Voytekhovsky Yu. L. Band and Curie limit symmetry groups // Acta Crystallographica. Section A. Foundations and Advances. 2025. A81. P. 350–352. https://doi.org/10.1107/S2053273325003341
