Разработана теория Лауэ-дифракции рентгеновских мик- ропучков в мультислоях (МС). Получено решение для вы- числения рентгеновских карт в обратном пространстве. Показан маятниковый эффект (Pendellösung effect) для совершенного и несовершенного МС. Выполнено числен- ное моделирование Лауэ-дифракции в мультислое Mo/Si с граничными условиями в случае геометрической оптики и приближения Френеля. Показано, что при работе с рентге- новскими микропучками необходимо учитывать эффекты дифракции рентгеновских волн на краях щелей и колли- маторов исследовательской установки.
Лауэ-дифракция, рентгеновские пучки, маятниковый эф- фект, многослойные структуры
Введение
Многослойные структуры (МС) применяются в установ-
ках синхротронного излучения для транспортировки рент-
геновских пучков, фокусирования излучения, при экстре-
мальной ультрафиолетовой литографии (EUVL) и в астро-
номии. Преимущественно МС выполняют функции отража-
телей скользящего рентгеновского излучения. Для фокуси-
ровки жестких рентгеновских лучей предложено создать
многослойные Лауэ линзы [1]. Теоретические основы рент-
геновской дифракции такими линзами описаны в [2]. Из-
готовление многослойных Лауэ линз представляет собой
сложную задачу, и первым шагом в этом направлении яв-
ляется изучение Лауэ-дифракции в МС с постоянным пе-
риодом [3]. Поэтому в данной работе рассмотрена теория
Лауэ-дифракции рентгеновских микропучков в МС с ис-
пользованием формализма для пространственно-ограни-
ченных рентгеновских полей [4, 5].
1. Динамическая Лауэ-дифракция ограничен-
ных рентгеновских пучков в мультислое
Рассмотрим динамическую Лауэ-дифракцию рентге-
новских лучей в секционированном мультислое с постоян-
ным периодом d (рис. 1). Введем декартову систему коорди-
нат: ось z направим вдоль облучаемой поверхности МС, а
ось x — нормально к ней. На пути распространения исход-
ной плоской волны на расстоянии LS1 от поверхности МС
расположен пространственный ограничитель S1 (коллима-
тор, щель), который выделяет микропучок шириной w1, па-
дающий на поверхность МС под углом θ = θB+ω, где ω —
малый угол отклонения. Амплитуду излучения на входной
поверхности обозначим через E(in)
0 ; амплитуду проходя-
щей и дифракционной волн на выходной поверхности МС
обозначим E0 и E1 соответственно. Дифракционная ин-
тенсивность регистрируется позиционно-чувствительным
детектором (PSD), расположенным на расстоянии LPSD от
выходной поверхности МС.
Уравнения дифракции рентгеновских лучей в про-
странственно-периодических структурах [4, 5], с учетом
граничных условий Лауэ-дифракции, дают решение для
амплитуды дифракционного микропучка в обратном про-
странстве
E0(qx, qz) =
exp(iψLx)
2π
F0(qx, qz)
E1(qx, qz) = i
a1f exp(iψLx)
2π
F1(qx, qz),
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 89
F0 =
∞ Z
−∞
cos(
Lxξ
2
) − i
ζ sin(Lxξ
2 )
ξ/2
!
ˆ Yin(κ)dκ
F1 =
∞ Z
−∞
sin(Lxξ
2 )
ξ/2
ˆ Yin(κ) ˆ Yex(κ − qz)dκ,
(1)
где ξ = −
p
ζ2 + 4fa1a−1, ζ = qx − (qz − 2κ) tan θB,
a0 = πχ0/(λ cos θB), a1 = Cπχ1/(λ cos θB), a−1 =
a1, θB — угол Брэгга, λ — длина волны рентгеновского
излучения в вакууме, C — поляризационный фактор, f —
фактор затухания, зависящий от дефектов в МС.
Рисунок 1. Схема Лауэ-дифракции в мультислое глубины Lx и толщи-
ны Lz: w1,2 — поперечная ширина падающего и выходящего пучков;
L(in),(ex)
z — проекции на ось z (направлена вдоль входной грани) по-
перечной ширины пучка для падающего излучения и для вышедшего из
мультислоя соответственно; LS1 — расстояние от щели S1 до входной
грани мультислоя (x = 0); LPSD — расстояние от выходной грани
(x = Lx) до позиционно-чувствительного детектора PSD.
Figure 1. Laue diffraction scheme in a multilayer structure withLx depth and
Lz thickness: w1,2 — cross-section width of incident and output beams;
L(in),(ex)
z — cross-section projections of incident and the output beams
onto the z axis (directed along the input face), respectively; LS1 — a distance
from a S1 slit to the multilayer’s input face (x = 0); LPSD — a
distance between the output face (x = Lx) and the position-sensitive detector
PSD.
Если период МС, как на рис. 1, образован бислоем вида
d = dt+db, то Фурье коэффициенты рентгеновской поля-
ризуемости χ0,1 в направлении прохождения и дифракции
равны
χ0 =
χtdt + χbdb
d
,
χ1 =
χt − χb
π
sin
πdt
d
.
Здесь χt,b и dt,b — Фурье коэффициенты поляризуемостей
и толщины верхнего (t) и нижнего (b) слоев.
Распределение интенсивности рентгеновских волн в
обратном пространстве при трехосевой схеме регистрации
зависит от угловых положений образца ω и анализатора
ε [6, 7]. В симметричной геометрии Лауэ эти углы связа-
ны с проекциями отклонения вектора дифракции от век-
тора обратной решетки в горизонтальном и вертикальном
направлениях соотношениями qx = k sin θB(2ω − ε) и
qz = −k cos θBε. Множитель ˆ Yin(κ) в интеграле (1) выра-
жает граничные условия дифракционной задачи на вход-
ной поверхности МС и имеет вид
ˆ Yin(κ) = P(κ,LS1)
sin(κ
2L(in)
z )
κ
2
, (2)
где L(in)
z = w1/ cos θB — ширина области на входной
поверхности МС, засвечиваемая падающим микропучком;
P(κ,LS1) — пропагатор поля рентгеновской волны в Фу-
рье пространстве [8], который в приближении Френеля ра-
вен
P(κ,LS1) = exp
−iλ
LS1κ2
4π cos2 θB
.
Второй множитель
ˆ Yex(κ−qz) = P(κ−qz,LPSD)
sin
κ−qz
2 L(ex)
z
κ−qz
2
(3)
является коэффициентом пропускания дифракционной
волны в Фурье пространстве. Он зависит от ширины отра-
женного рентгеновского пучка L(ex)
z и выражается через
пропагатор
P(κ − qz,LPSD) = exp
−iλ
LPSD(κ − qz)2
4π cos2 θB
!
,
описывающий распространение рентгеновского излучения
от выходной поверхности МС до PSD. Важно отметить,
что в приближении геометрической оптики пропагаторы
P(κ,LS1) и P(κ − qz,LPSD) равны единице.
Окончательное выражение для дифракционной интен-
сивности в обратном пространстве, регистрируемой PSD
при рассеянии ограниченного фронта рентгеновской вол-
ны в МС, запишется как
I1(qx, qz) = |E1(qx, qz)|2. (4)
Решения (1) с учетом (4) являются основными соотношени-
ями для расчета карт рассеяния в обратном пространстве
(RSM).
2. Численное моделирование
Выполним численное моделирование углового распре-
деления интенсивности рассеяния рентгеновских лучей от
МСMo/Si. Структурные параметры МС и характеристики
падающего синхротронного излучения соответствуют па-
раметрам и условиям работы [3]. Длина волны падающе-
го синхротронного излучения λ = 0.1305 нм, период МС
d = dMo + dSi = 7 нм, dMo = dSi = 3.5 нм, угол Брэг-
га θB = 2.25 мкрад. Оптические константы компонент МС
получены с помощью онлайн сервиса рентгеновского сер-
вера [9].
Динамическая Лауэ-дифракция рентгеновских лучей в
МС сопровождается маятниковым эффектом (Pendellösung
effect), когда интенсивность рентгеновского пучка прохо-
дящей волны перекачивается в дифракционный и далее,
90
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
с увеличением глубины, наоборот, интенсивность дифра-
гированной волны передается в направление проходяще-
го. При выполнении точного условия Брэгга выражения ин-
тенсивности для проходящей и дифракционной рентгенов-
ских волн в МС равны
I0(x) = e
−μ0x
cos2 (far
1x) + sinh2
fai
1x
,
I1(x) = e
−μ0x
sin2 (far
1x) + sinh2
fai
1x
,
ar
1 =
Cπχr
1
λ cos θB
, ai
1 =
Cπχim
1
λ cos θB
,
(5)
где μ0 = 2 Im(a0) — линейный коэффициент по-
глощения, lPen — период маятниковых осцилляций, ко-
торый в симметричной геометрии Лауэ равен lPen =
λ |cos θB| /C/|χ1|. При малых углах Брэгга cos θB ≈ 1,
период маятниковых осцилляций обратно пропорционален
Фурье коэффициенту рентгеновской поляризуемости χ1.
Для рассматриваемого МСMo/Si и длины волны рентге-
новского пучка λ = 0.1305 нм период маятниковых коле-
баний равен lMoSi
P = 38.2 мкм.
На рис. 2 представлены распределения интенсивно-
сти проходящей и дифракционной волн по глубине, иллю-
стрирующие маятниковый эффект при соблюдении точно-
го условия Брэгга: пунктирными линиями показаны резуль-
таты в совершенном МС с фактором затухания f = 1, а
сплошными линиями — в дефектном с f = 0.8. Толщина
МС составляет Lx = 2 lPen = 76.4 мкм, что соответ-
ствует двум полным периодам маятниковых осцилляций.
Рис. 2 (a) показывает, что при распространении рентгенов-
ского пучка в МС интенсивность проходящей волны пере-
качивается в дифракционную. На глубине x = 19.1 мкм,
отвечающей половине маятникового периода, проходящая
волна переходит полностью (с поправкой на фотоэлектри-
ческое поглощение) в дифракционную, которая достигает
здесь локального максимума. С дальнейшим ростом x про-
исходит обратный процесс. Рис. 2 (b) демонстрирует влия-
ние дефектов. И него следует, что наличие дефектов в МС
ведет к увеличению периода маятниковых осцилляций и
смещению взаимного положения максимумов и минимумов
интенсивностей I0(x) и I1(x). Эти изменения объясняют-
ся тем, что дефекты в МС снижают отражательную способ-
ность периодической структуры. Аналогичное влияние де-
фектов на маятниковые осцилляции наблюдается в случае
динамической Лауэ-дифракции в кристалле [10].
Зная глубину залегания максимумов и минимумов ди-
фракционной интенсивности в МС Mo/Si, приступим к
численному моделированию RSM. Расчеты выполним для
МС с секционной толщиной Lx = argmax(I1(x)) =
lMoSi
P /2 = 19.2 мкм Lx, при которой интенсивность ди-
фракционной волны достигает максимума, и с толщиной
Lx = argmin(I1(x)) = lMoSi
P = 38.2 мкм, отвечаю-
щей минимуму (рис. 2).
Результаты моделирования в рамках геометрической
оптики для МС с Lx = lMoSi
P /2 приведены на рис. 3 (a),
для МС с Lx = lMoSi
P — на рис. 3 (b). Сравнивая между со-
бой полученные карты, можно заметить, что для МС с сек-
ционной глубиной, равной полному периоду маятниковых
осцилляций, возникает расщепление главного дифракци-
(a)
(b)
Рисунок 2. Маятниковый эффект (Pendelösung effect) в совершенном (a)
и несовершенном (b) мультислоеMo/Si: кривые I0,f , I1,f — прохо-
дящая и дифракционная интенсивности в несовершенном мультислое c
фактором затухания f = 0.8; кривые I0, I1 — проходящая и дифрак-
ционная интенсивости в совершенном мультислое c фактором затухания
f = 1.
Figure 2. Pendelösung effect within perfect (a) and imperfect (b)Mo/Si
multilayers: curves I0,f , I1,f — transmission and diffraction intensities in
an imperfect multilayer with damping factor f = 0.8; curves I0, I1 —
transmission and diffraction intensities in a perfect multilayer with damping
factor f = 1.
онного пика рис. 3 (b). Данное расщепление объясняется
тем фактом, что в точных условиях Брэгга qx = qz = 0 на
глубине x = Lx = lMoSi
P основная часть дифракционной
интенсивности перекачивается в проходящий пучок, из-за
чего на RSM вблизи точки qx = qz = 0 возникает про-
вал, но поскольку I1(lMoSi
P ) не достигает нуля, то и зна-
чения интенсивности в окрестности данной точки не нуле-
вые. Однако если угол падения будет отклоняться от точ-
ного условия Брэгга, то будет меняться характер распреде-
ления маятниковых осцилляций по глубине МС, в частно-
сти сократятся амплитуда и длина периода. В результате
таких изменений интенсивность дифракционной волны в
точке x = lMoSi
P не будет соответствовать положению ми-
нимума, что повлечет рост регистрируемой интенсивности.
При определенных значениях угла ω может сложиться си-
туация, при которой там, где при точном соблюдении усло-
вия Брэгга наблюдался минимум, расположится локальный
максимум.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 91
(a)
(b)
Рисунок 3. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционной ин-
тенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мультислоя
Mo/Si с граничными условиями в приближении геометрической опти-
ки: (a) — Lx = lMoSi
P /2; (b) — Lx = lMoSi
P .
Figure 3. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayer
with a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of the boundary
conditions in the geometrical optics approximation: (a) —Lx = lMoSi
P /2;
(b) — Lx = lMoSi
P .
Аналогичные расчеты выполним для пространственно-
ограниченной рентгеновской волны с граничными услови-
ями в приближении Френеля. Расстояние от щели до по-
верхности МС равно LS1 = 30 мм, расстояние от выход-
ной поверхности до PSD LP = 40 мм, ширина падающего
пучка w1 ≈ Lz = 14 мкм (см. рис. 1). Результаты мо-
делирования представлены на рис. 4. Сравнивая получен-
ные RSM с картами, представленными на рис. 3, легко за-
метить, что угловые распределения интенсивности рассе-
яния рентгеновских лучей в случае геометрической оптики
и в приближении Френеля сильно отличаются. Тем не ме-
нее характерное расщепление центрального пика МС тол-
щиной Lx = lMoSi
P сохранилось.
Заключение
Таким образом, мы теоретически исследовали Лауэ-ди-
фракцию рентгеновских микропучков в секционированных
мультислоях. Как в геометрии Брэгга [4], так и для случая
Лауэ-дифракции микропучков при выполнении расчетов
RSM всегда необходимо правильно выбирать граничные
условия в приближении Френеля. Важно, что решение (1)
справедливо только для мультислоев с постоянным пери-
(a)
(b)
Рисунок 4. Карты рассеяния в обратном пространстве дифракционной
интенсивности синхротронного излучения с энергией 9.5 кэВ от мульти-
слоя Mo/Si с граничными условиями в приближении Френеля: (a) —
Lx = lMoSi
P /2; (b) — Lx = lMoSi
P ; LS1 = 30 мм и LP = 40 мм.
Figure 4. Calculated RSMs of diffraction intensity from aMo/Si multilayer
with a synchrotron radiation energy of 9.5 keV in the case of Fresnel boundary
conditions: (a) —Lx = lMoSi
P /2; (b) —Lx = lMoSi
P ;LS1 = 30 mm,
LPSD = 40 mm.
одом. При исследовании апериодических многослойных
структур необходимо численно интегрировать уравнения
рентгеновской дифракции [2].
1. Maser, J. Multilayer Laue lenses as high-resolution X-ray optics / J. Maser, G.B. Stephenson, S. Vogt, Y. Wenbing, A. Macrander [et al.] // Proceedings of SPIE. - 2004. - Vol. 5539. - P. 185-194.
2. Пунегов, В.И. Влияние рассогласования толщин слоев на фокусировку рентгеновских лучей многослойными Лауэ линзами / В.И. Пунегов // Письма в ЖЭТФ. - 2020. - T. 111. - № 7. - С. 448-454.
3. Kang, H.C. High-efficiency diffractive x-ray optics from sectioned multilayers / H.C. Kang, G.B. Stephenson, C. Liu, R. Conley, A.T. Macrander [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 2005. - Vol. 86. - P. 151109 (1-3).
4. Punegov, V.I. X-ray microbeam diffraction in a crystal / V.I. Punegov, A.V. Karpov // Acta Crystallogr. A. - 2021. - Vol. 77. - P. 117-125.
5. Punegov, V.I. Applications of dynamical theory of X-ray diffraction by perfect crystals to reciprocal space map ping / V.I. Punegov, K.M. Pavlov, A.V. Karpov, N.N. Faleev // J. Appl. Crystallogr. - 2017. - Vol. 50. - P. 1256-1266.
6. Пунегов, В.И. Высокоразрешающая рентгеновская дифракция в кристаллических структурах с квантовыми точками / V.I. Punegov // УФН. - 2015. - Т. 185. - № 5. - С. 449-478.
7. Iida, A. Separate measurements of dynamical and kinematical X-ray diffractions from silicon crystals with a triple crystal diffractometer / A. Iida, K. Kohra, A.V. Karpov, N.N. Faleev // Physica Status Solidi (A). - 1979. - Vol. 51. - P. 533-542.
8. Kohn, V.G. Theory of imaging a perfect crystal under the conditions of X-ray spherical wave dynamical diffraction / V.G. Kohn, I. Snigireva, A. Snigirev, N.N. Faleev // Physica Status Solidi (B). - 2000. - Vol. 222. - P. 407-423.
9. Stepanov, S. Fitting dynamical X-ray diffraction data over the World Wide Web / S. Stepanov, R. Forrest // J. Appl. Crystallogr. - 2008. - Vol. 41. - P. 958-962.
10. Пунегов, В.И. Влияние дефектов структуры на угловое распределение рентгеновской Лауэ-дифракции в тонком кристалле / В.И. Пунегов, К.М. Павлов // Письма в ЖТФ. - 1992. - Т. 18. - № 12. - С. 60-64.
