УДК 519.633 Дифференциальные уравнения второго порядка параболического и гиперболического типов
УДК 004.942 Исследование поведения объекта на основе его математической модели
В работе обсуждается FDTD-алгоритм моделирования рас- пространения электромагнитных волн в случайно-неодно- родных магнитных средах. Приведены результаты моде- лирования распространения сигналов типа меандр в ста- ционарных нанокомпозитных пленках с магнитными неод- нородностями двух типов: со случайным распределением неоднородностей по всей толщине пленки и их «плотной упаковкой» в центре.
электродинамика, случайно-неоднородные среды, моде- лирование, численный эксперимент, метод FDTD
Введение
Моделирование случайно-неоднородных сред слож-
ной композиционной структуры является достаточно ак-
туальной задачей как в фундаментальной физике, так
и в прикладных областях и технических приложениях в
течение многих лет [1–4]. Исследование статистических
распределений электромагнитных полей различных типов
при их распространении в случайно-неоднородных средах
определяется исключительными возможностями в изуче-
нии земной атмосферы, гидродинамических потоков, тур-
булентности плазмы и других сложных динамических за-
дачах [5, 6]. Не менее важное значение в фундаменталь-
ных исследованиях, связанных с многократным рассеяни-
ем света в случайно-неоднородных средах, имеет много-
образие физических эффектов, к которым можно отнести,
например, когерентное рассеяние назад, угловые, а также
вpeменные корреляции рассеянного излучения [7, 8]. Изу-
чение распространения сигналов в стохастических средах
принципиально важно и для многих технических прило-
жений. В частности, создание систем радио, спутниковой,
лазерной связи и локации, работающих в различных сло-
ях атмосферы, должно опираться на знание основных за-
кономерностей распространения света в турбулизованной
среде [6].
В рамках данной работы невозможно привести все мно-
жество конкретных проблем статистической радиофизики
и акустики, в которых важную роль играет модель случай-
но-неоднородной среды, однако кратко можно обозначить
следующие направления: физика плазмы, физика твердо-
го тела, магнитная гидродинамика и другие области [1, 6].
Кроме того, отметим, что широкое применение оптических
(с использованием электромагнитных волн самого широко-
го спектрального диапазона) и акустических методов ди-
агностики в современной медицине также опирается на
особенности распространения сигналов в стохастических
системах [5, 9].
В литературе, цитированной выше, задача о распро-
странении электромагнитных волн в случайно-неоднород-
ных средах решается различными полуаналитическими,
качественными методами, что требует весьма значитель-
ных усилий по разработке соответствующей модели и уста-
100
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
новлении границ ее применимости. Кроме того, данные
приближенные методы могут представить только некую
усредненную картину явления, которая, вообще говоря, су-
щественно отличается от возможной реализации в каждой
конкретной ситуации.
Таким образом, весьма актуальным направлением ис-
следования является разработка удобных численных ме-
тодов, позволяющих наглядно и относительно просто пред-
ставить процесс распространения сигналов в конкретных
стохастических системах. В настоящее время существу-
ет множество подобных численных схем, но мы не будем
останавливаться на их обзоре. Заметим только, что наибо-
лее широкое распространение получили сеточные методы.
Их основой являются процедура дискретизации простран-
ства-времени и переход от дифференциальных уравнений
для непрерывных функций к конечно-разностным урав-
нениям для функций дискретных переменных. Одной из
основополагающих статей в этом направлении была ра-
бота Кейна Йи [10], в которой впервые был описан метод
конечных разностей во временной области (FDTD, Finite
Difference Time Domain). Данная статья в свое время не
получила широкого отклика в научной среде в силу высо-
кой ресурсоемкости разработанного метода и чрезвычай-
ных затрат машинного времени, требуемых для его реали-
зации, однако на текущий момент времени метод FDTD пе-
реживает «второе рождение» [11, 12]. Это связано с суще-
ственным прогрессом в современной электронике и вычис-
лительной технике. Имеется обширная литература по ис-
пользованию и развитию метода FDTD в области электро-
динамики случайно-неоднородных сред [13–18]. Вместе с
тем данное направление не только не исчерпало себя, но и
напротив — продолжает оставаться очень привлекатель-
ным, так как потенциально может стимулировать изучение
множества самых разнообразных эффектов.
В качестве конкретных примеров, в которых разработ-
ка эффективного FDTD-алгоритма моделирования распро-
странения электромагнитного излучения в случайно-неод-
нородных средах может оказаться полезной, отметим сле-
дующие задачи:
• определение законов распространения цифровых и
аналоговых сигналов в композитных наноструктури-
рованных материалах;
• исследование динамических характеристик матери-
алов, содержащих различные примеси или имеющих
дефекты;
• количественное определение помех, возникающих
при прохождении электромагнитных волн различных
диапазонов в нестационарной неоднородной среде
при неблагоприятных погодных условиях.
Таким образом, целью данной работы является разра-
ботка простого и эффективного FDTD-алгоритма для де-
монстрации особенностей распространения электромаг-
нитных волн в случайно-неоднородных средах. Рассмот-
рим простейший случай одномерных слоисто-неоднород-
ных структур, который не даст, конечно, возможности изу-
чить все электродинамические свойства, но тем не менее
может служить отправной точкой для более сложных ис-
следований.
1. Краткая теория и расчетный алгоритм
Как известно, система макроскопических уравнений
Максвелла имеет следующий общий вид
∇ × E = −∂B
∂t
, ∇ ×H = Jext +
∂D
∂t
, (1)
∇ · D = ρext, ∇ · B = 0. (2)
Совместно с материальными уравнениями
D = εε0E, B = μμ0H (3)
равенства (1) и (2) полностью определяют все электроди-
намические свойства системы.
Рассмотрим систему в отсутствии сторонних зарядов
ρext = 0, для которой Jext, ε и μ — заданные функции
пространственно-временных переменных. При этом мате-
матическое описание задачи сводится к законам Фарадея
и Ампера (1) и материальным соотношениям (3).
Пусть электромагнитное излучение распространяется
вдоль декартовой оси Ox в изотропном магнитном мате-
риале c ε = ε(r, t), μ = μ(r, t), когда Jext = Jez. В си-
лу сделанных предположений очевидно, что E = Ezez,
H = Hyey, а основная система уравнений (1) и (3) при-
нимает вид
∂Ez
∂x
= μ0
∂(μHy)
∂t
,
∂Hy
∂x
= J + ε0
∂(εEz)
∂t
. (4)
Таким образом, наша задача свелась к исследованию
динамики двух скалярных функций Ez(x, t) и Hy(x, t),
связанных равенствами (4). При этом все электродинами-
ческие свойства среды полностью определяются характе-
ром стохастических функций ε(x, t) и μ(x, t).
Далее дискретизируем пространство и время, вводя то-
чечные функции
f(x, t) = f(mΔx, qΔt) = fq[m],
гдеΔx,Δt — фиксированные шаги пространственно-вре-
менной сетки, а m и q — соответствующие индексы, зада-
ющие ее узел.
После введем две сетки для электрического Eq
z [m] и
магнитного Hq
y [m] полей, смещенные по отношению друг
к другу в шахматном порядке, как было предложено в клас-
сической работе [10]. Это позволяет записать конечно-раз-
ностный аналог уравнений (4) в следующем виде
H
q+1
2
y
h
m +
1
2
i
=
=
1
μq+1
2
m + 1
2
n
μq−12
h
m +
1
2
i
H
q−1
2
y
h
m +
1
2
i
+
+
Δt
μ0Δx
Eq
z [m + 1] − Eq
z [m]
o
, (5)
Eq+1
z [m] =
1
εq+1[m]
n
εq[m]Eq
z [m] − ΔtJq+12
[m]+
+
Δt
ε0Δx
H
q+1
2
y
h
m +
1
2
i
− H
q+12
y
h
m − 1
2
io
. (6)
Уравнения (5) и (6) позволяют реализовать итераци-
онный алгоритм Йи [10–12], определяющий всю динамику
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 101
электромагнитного поля в рассматриваемом случае немаг-
нитной изотропной случайно-неоднородной среды. Полу-
ченные равенства отличает от известных аналогов [13–18]
то, что они позволяют описывать динамику таких неодно-
родных слоистых структур, как магнитные и магнитно-ди-
электрические нанокомпозитные пленки. Кроме того, раз-
работанный алгоритм применим не только для стационар-
ных, но и для нестационарных стохастических систем. Оче-
видно, что определяющую роль в успехе реализации сфор-
мулированного метода играют «правильно подобранные»
параметры пространственно-временной сетки, а именно,
необходимым условием работы алгоритма являются нера-
венства
Δx ≪ λ, Δt ≪ 1/ν, (7)
где λ — длина волны, а ν — частота.
2. Результаты моделирования
Для демонстрации состоятельности разработанного
метода проведен численный эксперимент по схеме, пред-
ставленной на рис. 1.
0 50 100 400 450 m
Ar As At
Ez
L
1 2 3
Lr Ls Lt
Рисунок 1. Схема численного эксперимента (пояснения в тексте).
Figure 1. Numerical experiment scheme (explanation in the text).
Как следует из рис. 1, рассматривается последователь-
ность из трех слоев: 1 и 3 — полубесконечные воздушные
пространства (ε = μ = 1), окружающие случайно-неод-
нородную среду 2 общей протяженностью L. В среде 1 рас-
положены две антенны: передающая As и приемная Ar.
АнтеннаAs формирует однонаправленный сигнал, распро-
страняющийся в сторону среды 2. Антенна At, размещен-
ная в среде 3, принимает сигнал, прошедший через среду 2;
Ar улавливает отраженный сигнал.
Основные геометрические параметры схемы также
указаны на рис. 1. Граница раздела сред 1 и 2 находится на
расстоянии Ls от источника сигнала As, а приемная ан-
тенна At расположена на дистанции Lt от границы раз-
дела сред 2 и 3. Приемник Ar находится левее источника
на расстоянии Lr. Перечисленные параметры трассы оче-
видным образом влияют на временные задержки τr и τt
появления сигнала на соответствующих антеннах.
Таким образом, в области x < Lr имеется только отра-
женный сигнал; x > Ls + L — только прошедший; в ин-
тервале Lr ⩽ x ⩽ Ls + L согласно принципу суперпози-
ции имеет место полное поле, являющееся суммой падаю-
щей и рассеянной волны. Программная реализация пред-
ложенной схемы учитывает это с помощью техники, из-
вестной как TF/SF (Total-field/scattered field) [11, 12].
Среда 2 предполагается непроводящей, многокомпо-
нентной и слабонеоднородной, так что основной матери-
ал среды (заполняющая матрица) имеет диэлектрическую
проницаемость εm = 4. Компоненты, формирующие неод-
нородности среды 2, моделируются совокупностью отрез-
ков длины d(i)
j
∼ L−1 c магнитной проницаемостью μj и
относительной линейной концентрацией nj , такой, что
X
i
d(i)
j = njL,
XN
j=1
μjnj = μeff, (8)
где N — это общее число компонент, формирующих маг-
нитные неоднородности среды 2. Для любых значений
концентраций неоднородностей nj величины μj подби-
рались так, чтобы эффективная магнитная проницаемость
среды 2 всегда была одинаковой и равной μeff = 3.
В ходе моделирования по алгоритму, разработанному в
рамках данного исследования, были построены временные
диаграммы различных типов сигналов на передающей As
и приемных антеннах Ar, At для разных случайно-неод-
нородных магнитных нанокомпозитных пленок.
Пример распределения значений материальных пара-
метров по толщине пленки в случае состава из двух маг-
нитных компонент (N = 2) с сопоставимыми магнитны-
ми проницаемостями μ1 ∼ μ2 и суммарной концентраци-
ей n = n1 + n2 = 0.25, n1 = n2 показан на рис. 2. Здесь
приведены графики для случайно-неоднородных магнит-
ных нанокомпозитных пленок двух типов: со случайным
распределением неоднородностей по всей толщине плен-
ки (a) и их «плотной упаковкой» в центре (b).
0
1
2
3
4
5
100 400
1
5
9
13
17
"
m
(a)
0
1
2
3
4
5
100 400
1
5
9
13
17
"
m
(b)
Рисунок 2. Распределение материальных параметров по толщине пленки
в случае диэлектрической матрицы с двумя магнитными компонентами
с сопоставимыми магнитными проницаемостями μ1 ∼ μ2 и суммарной
концентрацией n = 0.25.
Figure 2. Distribution of material parameters over the film thickness in the
case of dielectric matrix with two magnetic components with comparable
magnetic permeabilities μ1 ∼ μ2 and total concentration n = 0.25.
Рис. 3 иллюстрирует временные диаграммы в случае
распространения сигнала типа меандр при параметрах
трассы, соответствующих рис. 2. На нем видно, что при
указанных выше параметрах трассы подавляющая часть
102
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
энергии электромагнитной волны проходит через среду 2
(как этого и следовало ожидать, так как ее эффективный
импеданс слабо отличается от импеданса сред 1 и 3), од-
нако форма прошедшего сигнала существенно искажается.
Характер искажений в первую очередь определяется ха-
рактером распределения магнитных неоднородностей. Ин-
тересно и то, что для рассматриваемой модели случайно-
неоднородной магнитной нанокомпозитной пленки форми-
руется отраженный сигнал весьма существенной ампли-
туды, в пике достигающей значений Ar ≈ 0.8 для слу-
чая (a) и Ar ≈ 0.95 для случая (b).
0:0
0:5
1:0
At (a)
0:0
0:5
1:0
At (b)
1:0
0:0
1:0
Ar (a)
1:0
0:0
1:0
Ar (b)
0:0
1:0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
As
q 103
Рисунок 3. Временные диаграммы сигналов на передающей и приемных
антеннах в случае распространения сигнала типа меандр при параметрах
трассы, соответствующих рис. 2.
Figure 3. Timing diagrams of signals on the transmitting and receiving antennas
in the case of square wave signal propagation at the trace parameters,
corresponding to fig. 2.
Аналог рис. 3 построен и для ситуации, когда компо-
ненты пленки 2 существенно друг от друга отличаются
по величине магнитной проницаемости μ1 ≫ μ2. Соответ-
ствующие графики приведены на рис. 4.
0:0
0:5
1:0
At (a)
0:0
0:5
1:0
At (b)
1:0
0:0
1:0
Ar (a)
1:0
0:0
1:0
Ar (b)
0:0
1:0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
As
q 103
Рисунок 4. Временные диаграммы сигналов на передающей и приемных
антеннах в случае распространения сигнала типа меандр при параметрах
трассы, отличных от рис. 2 тем, что μ1 ≫ μ2.
Figure 4. Timing diagrams of signals on the transmitting and receiving antennas
in the case of square wave signal propagation with the trace parameters,
different from fig. 2 in that μ1 ≫ μ2.
Сопоставление диаграмм на рис. 3 и 4 показывает, что в
общих чертах временные характеристики двух описывае-
мых трасс схожи (так как их эффективные импедансы, как
ранее обсуждалось, совпадают), но вместе с тем имеются
существенные отличия, обусловленные конкретным харак-
тером распределения неоднородностей в среде 2. Особен-
но заметно то, что изменение формы как прошедших, так и
отраженных сигналов при переходе от ситуации μ1 ∼ μ2
к μ1 ≫ μ2 наиболее существенно в случае (b). Это об-
стоятельство потенциально может быть использовано при
исследовании характера распределения рассеивателей по
толщине случайно-неоднородной среды.
Заключение
Таким образом, в ходе данного исследования был раз-
работан алгоритм численного моделирования прохожде-
ния электромагнитных волн через случайно-неоднород-
ные среды с магнитными рассеивателями различных ти-
пов, с помощью которого можно относительно просто и
наглядно изучать электродинамические характеристики
магнитно-диэлектрических композитных пленок различ-
ных составов в достаточно широком диапазоне частот.
1. Кляцкин, В.И. Стохастические уравнения глазами физика / В.И. Кляцкин. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 528 с.
2. Кляцкин, В.И. Распространение электромагнитных волн в случайно-неоднородной среде как задача статистической математической физики / В.И. Кляцкин // УФН. - 2004. - Т. 174. - С. 177-195.
3. Шарангович, С.Н. Взаимодействие света с пропускающими многослойными неоднородными фотополимерными голографическими дифракционными структурами / С.Н. Шарангович, Д.И. Дудник // Изв. РАН. Сер. физ. - 2021. - Т. 85. - С. 14-21.
4. Ву, К.Т.Ч. Моделирование структур типа металл-диэлектрик-металл для детектирования терагерцового излучения / К.Т.Ч. Ву, Г.М. Казарян, В.Л. Саввин // Изв.РАН. Сер. физ. - 2021. - Т. 85. - С. 85-90.
5. Скипетров, С.Е. Диффузионно-волновая спектроскопия в случайно-неоднородных средах с локализованными в пространстве потоками рассеивателей / С.Е. Скипетров, И.В. Меглинский // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 113. - № 4. - С. 1213-1222.
6. Прохоров, А.М. Распространение лазерного излучения в случайно-неоднородных средах / А.М. Прохоров, Ф.В. Бункин, К.С. Гочелашвили, В.И. Шишов // УФН. - 1974. - Т. 114. - С. 415-456.
7. Кравцов, Ю.А. Эффекты двукратного прохождения волн в случайно-неоднородных средах / Ю.А. Кравцов, А.И. Саичев // УФН. - 1982. - Т. 137. - С. 501-527.
8. Кузьмин, В.Л. Когерентные эффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах / В.Л. Кузьмин, В.П. Романов // УФН. - 1996. - Т. 166. - С. 247-278.
9. Тучин, В.В. Исследование биотканей методами светорассеяния / В.В. Тучин // УФН. - 1997. - Т. 167. - С. 517-539.
10. Yee, K. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media / K. Yee // IEEE Trans. on Ant. and Prop. - 1966. - Vol. 14. - № 3. - P. 302-307.
11. Inan, U.S. Numerical electromagnetics. The FDTD method / U.S. Inan, R.A. Marshall. - Cambridge: Cambridge University Press, 2011. - 406 p.
12. Taflove, A. Advances in FDTD computational electrodynamics photonics and nanotechnology / A. Taflove, A. Oskooi, S.G. Johnson. - Boston: Artech House, 2013. - 639 p.
13. Moss, C.D. Finite-difference time-domain simulation of scattering from objects in continuous random media / C.D. Moss, F.L. Teixeira, Y.E. Yang, J.A. Kong // IEEE Trans. GRS. - 2002. - Vol. 40. - № 1. - P. 178-186.
14. Tseng, S.H. Exact solution of Maxwell’s equations for optical interactions with a macroscopic random medium / S.H. Tseng, J.H. Greene, A. Taflove, D. Maitland, V. Backman [et al.] // Optics Letters. - 2004. - Vol. 29. - № 12. - P. 1393-1395.
15. Li, J. Investigation of composite electromagnetic scattering from ship-like target on the randomly rough sea surface using FDTD method / J. Li, L.X. Guo, H. Zeng, X.B. Han // Chinese Physics B. - 2009. - Vol. 18. - № 7. - P. 2757-2763.
16. Miyazaki, Y. FDTD analysis of spatial filtering of scattered waves for optical CT of medical diagnosis / Y. Miyazaki, K. Kouno // IEEJ Trans. FM. - 2009. - Vol. 129. - № 10. - P. 693-698.
17. Li, J. Investigation on wide-band scattering of a 2D target above 1D randomly rough surface by FDTD method / J. Li, L.X. Guo, H. Zeng, X.B. Han // Optics Express. - 2011. - Vol. 19. - № 2. - P. 1091-1100.
18. Tan, T. Single realization stochastic FDTD for weak scattering waves in biological random media / T. Tan, A. Taflove, Vol. Backman // IEEE Trans. AP. - 2013. - Vol. 61. - № 2. - P. 818-828.
