Введение
Предметом теории адаптивного управления, зародив-
шейся в 1960-х гг., являются задачи управления система-
ми с неизвестными параметрами. Один из двух известных
подходов к синтезу адаптивного управления заключает-
ся в прямой настройке по данным измерений параметров
регулятора и называется прямым адаптивным управлени-
ем. Другой подход базируется на онлайн оценивании неиз-
вестных параметров объекта управления с последующей
настройкой регулятора. Этот подход называют идентифи-
кационным или непрямым адаптивным управлением. Алго-
ритмами оценивания в рамках идентификационного под-
хода служат различные модификации градиентного (про-
екционного) алгоритма минимизации невязки в уравнении
модели управляемого объекта или модификации метода
наименьших квадратов. В середине 1980-х гг. в знамени-
той статье [1] было показано, что полученные к тому вре-
мени алгоритмы адаптивной стабилизации не гарантируют
устойчивости даже при малых внешних или операторных
возмущениях (немоделируемой динамике). Это стимулиро-
вало, с одной стороны, разработку модификаций алгорит-
мов оценивания для обеспечения устойчивости адаптив-
ных систем при наличии возмущений и, с другой стороны,
развитие теории робастного управления, посвященной си-
стемам с операторными возмущениями и ставшей главным
направлением теории автоматического управления с кон-
ца 1970-х гг. на последующие два десятилетия [2]. Одна-
10
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
ко последующие результаты в теории робастного адап-
тивного управления базировались в основном на аппа-
рате функций Ляпунова, ограничивались задачами обес-
печения устойчивости и не коррелировали с результата-
ми теории робастного управления, в основе которой лежа-
ла теорема о малом коэффициенте усиления (small gaim
theorem).
Модель внешних ограниченных возмущений породила
направление в теории идентификации систем, основан-
ное на использовании множественных оценок неизвестных
параметров. Почти все многочисленные публикации это-
го направления относятся к системам, аффинным относи-
тельно неизвестных параметров, и предполагают извест-
ными верхние границы возмущений. Множества не сфаль-
сифицированных данными измерений неизвестных пара-
метров таких систем описываются ограниченными много-
гранниками. Поскольку число линейных неравенств в опи-
сании этих многогранников может неограниченно возрас-
тать с ростом числа измерений, основные усилия в этом
подходе направлены на получение верхних по включению
множественных оценок, имеющих описание ограниченной
сложности (параллелотопы, зонотопы, многогранники с за-
данными направлениями граней, эллипсоиды и т.п.). Одна-
ко до настоящего времени нет приложений этих исследо-
ваний к адаптивному управлению со строгим математиче-
ским обоснованием.
В начале 1990-х гг. были получены фундаментальные
результаты по устойчивости и робастному качеству систем
с неопределенностью и ограниченным внешним возмуще-
нием [3]. Позднее были получены явные представления
для асимптотических показателей качества таких систем,
в том числе для систем слежения [4–7]. Теория робастного
управления для таких систем получила название ℓ1-тео-
рии, поскольку индуцированные нормы линейных стацио-
нарных операторов на пространстве ограниченных после-
довательностей ℓ∞ выражаются через ℓ1-нормы их им-
пульсных характеристик. Полученные результаты позво-
лили сформулировать общий метод синтеза адаптивного
оптимального робастного управления, основанный на иде-
ях множественного оценивания и использования показа-
теля качества задачи управления как идентификацион-
ного критерия [8]. Трудность применения метода заключа-
ется в сложности онлайн минимизации невыпуклого в об-
щем случае показателя качества на текущих оценках мно-
жеств не сфальсифицированных измерениями неизвест-
ных параметров. Однако такая минимизация оказывается
возможной для специальных систем.
В статье [9] решалась задача адаптивной оптимальной
стабилизации авторегрессионного объекта с неизвестны-
ми параметрами номинального объекта, внешнего возму-
щения и неопределенностей по выходу и управлению при
специальном дополнительном предположении о непред-
намеренности неопределенности по управлению. Более
сложная по сравнению со стабилизацией задача опти-
мального слежения решалась в работе [10] для объек-
та с дробно-рациональной передаточной функцией без
неопределенности по управлению. Для указанных объ-
ектов показатель качества задачи управления является
дробно-линейной функцией неизвестных параметров, что
делает возможной его онлайн минимизацию. В настоящей
статье более сложная задача адаптивного слежения рас-
сматривается для авторегрессионного объекта с неизвест-
ными параметрами номинального объекта и неизвестным
смещением внешнего возмущения. Для обеспечения дроб-
но-рационального вида показателя качества верхние гра-
ницы внешнего несмещенного возмущения и коэффициен-
ты усиления неопределенностей предполагаются извест-
ными. Известно, что задача минимизации дробно-рацио-
нальных функций при линейных ограничениях сводится к
линейному программированию [11], что позволяет приме-
нять современное программное обеспечение для синтеза
адаптивного оптимального управления для рассматривае-
мого объекта управления.
Используемые обозначения:
|φ| — евклидова норма вектора φ ∈ Rn;
ℓe — линейное пространство вещественных последова-
тельностей x = (. . . , x−2, x−1, x0, x1, x2, . . .),
xt
s = (xs, xs+1, . . . , xt) для x ∈ ℓe;
|xt
s
| = maxs⩽k⩽t |xk|;
ℓ∞ — нормированное пространство ограниченных веще-
ственных последовательностей x = (x0, x1, x2, . . .)
с нормой ∥x∥∞ = supt
|xt|;
∥x∥ss = lim supt→+∞ |xt|;
ℓ1 — нормированное пространство абсолютно суммируе-
мых последовательностей с нормой ∥x∥1 =
P+∞
k=0
|xk|;
∥G∥ =
P+∞
k=0
|gk| = ∥g∥1 — индуцированная норма
устойчивой линейной стационарной системы G : ℓ∞ →
ℓ∞ с передаточной функцией G(λ) =
P+∞
k=0 gkλk.
1. Постановка задачи
Рассмотрим объект управления с дискретным време-
нем, описываемый уравнением
a(q−1)yt = b1ut−1 + vt , t = 1, 2, 3, . . . , (1)
где yt ∈ R— выход объекта в момент времени t, ut ∈ R—
управление, vt ∈ R — суммарное возмущение в объекте,
a(q−1) = 1 + a1q−1 + . . . + anq−n
и q−1 — оператор сдвига назад (q−1yt = yt−1) на ли-
нейном пространстве ℓe. Начальные значения y0
1−n =
(y1−n, . . . , y0) произвольные, yk = 0 при k < 1 − n
и uk = 0 при k < 0.
Априорная информация об объекте управления состоит
из четырех априорных предположений АП1–АП4.
АП1. Вектор коэффициентов
ξ := (a1, . . . , an, b1)T (2)
номинальной модели (т.е. модели без суммарного возмуще-
ния v) принадлежит известному ограниченному многогран-
нику Ξ,
ξ ∈ Ξ = { ˆξ | P ˆξ ⩾ p } ⊂ Rn+1 , (3)
где P ∈ Rl×(n+m), p ∈ Rl и b1 ̸= 0 для любого ξ ∈ Ξ.
АП2. Суммарное возмущение v имеет вид
vt = cw + δwwt + δyΔ1(y)t + δuΔ2(u)t , (4)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
11
где w ∈ ℓ∞ — неизвестная последовательность,
∥w∥∞ ⩽ 1 , (5)
δw ⩾ 0 — верхняя граница несмещенного внешнего возму-
щения δww, cw — смещение ограниченного внешнего воз-
мущения cw+δww. ОператорыΔ1 : ℓe → ℓe иΔ2 : ℓe →
ℓe удовлетворяют при всех t ограничениям
|Δ1(y)t| ⩽ |yt−1
t−μ
|, |Δ2(u)t| ⩽ |ut−1
t−μ
| . (6)
Параметры δy ⩾ и δu ⩾ 0 в (4) — верхние границы ин-
дуцированных норм (коэффициентов усиления) оператор-
ных возмущений (неопределенностей) Δ1 и Δ2 по выходу
и управлению соответственно. Параметр μ в неравенствах
(6) характеризует память неопределенностей. Она может
быть выбрана конструктором сколь угодно большой, но не
бесконечной, без ущерба для качества синтезируемого ни-
же адаптивного управления.
АП3. Набор верхних границ
δ = (δw, δy, δu) (7)
предполагается известным, вектор параметров
θ = (ξT, cw)T ∈ Rn+2 (8)
— неизвестным, и |cw| ⩽ Cw с известной верхней грани-
цей Cw > 0.
Предположение об известной верхней границе Cw
в АП3 используется только для упрощения доказательств
и не ограничительно, поскольку Cw может быть выбрано
сколь угодно большим.
В разделе 2 будет сформулировано дополнительное
необходимое априорное предположение о робастной ста-
билизируемости объекта (1).
Априорное предположение АП2 сформулировано в тер-
минах теории робастного управления в ℓ1 постановке
для удобства последующих ссылок. Согласно этой тео-
рии, предположение АП2 для классов линейных нестаци-
онарных или нелинейных операторов Δ1 и Δ2 может быть
представлено в следующем компактном виде:
|vt − cw| ⩽ δw + δypy
t + δuput
, (9)
где
py
t = |yt−1
t−μ
|, put
= |ut−1
t−μ
| . (10)
Содержательная постановка рассматриваемой в ста-
тье задачи заключается в построении причинной обратной
связи вида ut = Ut(yt1
−n, ut−1
0 ) (но с конечной памятью),
гарантирующей как можно меньшую верхнюю границу для
асимптотического показателя качества
Jμ(θ, δ) = sup
v
lim sup
t→+∞
|yt − rt| , (11)
где r — заданный командный сигнал, т.е. желаемая по-
следовательность выходов объекта управления (1), и sup
берется на множестве возмущений v, удовлетворяющих
предположению АП2. То есть задача заключается в мини-
мизации гарантированной асимптотической верхней гра-
ницы для модуля ошибки слежения
et = yt − rt (12)
в классе возмущений, удовлетворяющих неравенствам (9).
Главная сложность сформулированной оптимальной
задачи заключается в неидентифицируемости неизвест-
ного вектора параметров θ.
Строгая формулировка задачи приведена в конце раз-
дела 2 после получения представления для неконсерва-
тивной верхней оценки показателя качества Jμ.
2. Оптимальная система с известной номи-
нальной моделью
Для объекта с известным вектором ξ параметров номи-
нальной модели и при известном смещении cw регулятор
ut =
1
b1
[(a(q−1) − 1)yt+1 + rt+1 − cw] (13)
гарантирует при всех t равенства
yt+1 − rt+1 = vt+1 − cw =
= δwwt+1 + δyΔ1(y)t+1 + δuΔ2(u)t+1 . (14)
Из непредсказуемости и произвольности значений правой
части (14) в момент вычисления управления ut следует, что
регулятор (13) является оптимальным для показателя ка-
чества (11). Введем обозначение для передаточной функ-
ции от y к u регулятора (13) :
Gξ(λ) =
a(λ) − 1
b1λ
=
1
b1
Xn
k=1
ak λk−1 ,
благодаря чему регулятор (13) принимает вид
ut = Gξ(q−1)yt + rt+1/b1 − cw/b1 , (15)
и
∥Gξ∥ =
1
|b1|
Xn
k=1
|ak| . (16)
Определение 1. Замкнутая система (1), (13) называется
робастно устойчивой в классе возмущений (4), если значе-
ние показателя качества (11) конечно.
Определение 2. Будем говорить, что последователь-
ность |r| равномерно часто попадает в окрестности верх-
него предела ∥r∥ss, если для любого ε > 0 существуют
T > 0 и возрастающая последовательность (t1, t2, . . .)
такие, что
∀j ∈ N 0 < tj+1 − tj ⩽ T ∧ |rtj+1
| ⩾ ∥r∥ss − ε .
Качество оптимальной системы (1), (13) представлено
в теореме 1.
Теорема 1. Для замкнутой системы (1), (13) справедливы
следующие утверждения.
1. Система робастно устойчива при μ = +∞ тогда
и только тогда, когда
δy + δu∥Gξ∥ < 1 . (17)
12
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Для системы с нулевыми начальными данными y0
1−n
J+∞(θ, δ) =
δw + δy∥r∥ss +
δu
|b1| (|cw| + ∥r∥ss)
1 − δy − δu∥Gξ∥ .
(18)
2. Для системы с любыми начальными данными y0
1−n
Jμ(θ, δ) ⩽ J+∞(θ, δ)
для любой памяти μ > 0. Если в любую окрестность верх-
него предела ∥r∥ss последовательность |r| попадает рав-
номерно часто, то при любых начальных данных
Jμ(θ, δ) ↗ J+∞(θ, δ) =: J(θ, δ) , (19)
где знак ↗ означает монотонную сходимость снизу при
μ → +∞.
Доказательство теоремы 1. Для доказательства теоре-
мы представим замкнутую систему (1), (13) в стандартной
M − Δ форме, изображенной на рис. 1 и описываемой
уравнениями

e
z

= M
0
@
f
w
ξ
1
A , ξ = Δz , (20)
где e — ошибка слежения (12), z и ξ — соответственно вход
и выход структурированной неопределенности Δ,
zt =

yt
ut

, ξ =

Δ1 0
0 Δ2

z =

Δ1(y)
Δ2(u)

,
f — фиксированный входной сигнал, включающий отсле-
живаемый сигнал r и постоянный сигнал, равный 1 :
f =

r1

, 1 := (1, 1, . . .) ∈ ℓ∞ .
Рисунок 1.M − Δ форма системы (1), (13).
Figure 1. M − Δ form of system (1), (13)
Матрицу M в (20) представим в блочной форме, соот-
ветствующей входным и выходным сигналам на рис. 1:
M =

Mef Mew Meξ
Mzr Mzw Mzξ

. (21)
Для системы (1), (13) эта блочная форма имеет вид
M =
0
B@
0 0 δw δy δu
1 0 δw δy δu
q
b1
−cw
b1
δwGξ δyGξ δuGξ
1
CA
, (22)
где q — оператор сдвига вперед (qrt = rt+1). Первая стро-
ка матрицы M в (22) соответствует правой части равен-
ства (14), а вторая строка получается переносом rt в пра-
вую часть этого равенства. Третья строкаM соответствует
представлению оптимального регулятора в виде (15).
Необходимое и достаточное условие робастной устой-
чивости (17) следует из теоремы 7 в [6], примененной к си-
стеме (1), (13).
Для доказательства представления (18) для показателя
качества J+∞(θ, δ) достаточно применить теоремы 5 и 6
из статьи [6] (или теоремы 2.18 и 2.22 работы [7]). Введем
обозначение
[A]1 :=
0
B@
∥A11∥1 · · · ∥A1q∥1 ...
...
...
∥Ap1∥1 · · · ∥Apq∥1
1
CA
для произвольной p × q матрицы A импульсных откликов
Aij ∈ ℓ1. Для блочной матрицыM из (21) положим
Mss(f) :=

[Mef f]ss + [Mew]1 [Meξ]1
[Mzf r]ss + [Mzw]1 [Mzξ]1

.
Согласно теореме 5 из [6],
J+∞(θ, δ) = [Merr]ss + [Mew]1+ (23)
+ [Myξ]1(I − [Mzξ]1)−1([Mzrr]ss + [Mzw]1) .
Для рассматриваемой системы с матрицей (22) матрица
Mss(f) принимает вид
0
@
δw δy δu
∥r∥ss + |δw| δy δu
(∥r∥ss + |cw|)/b1 + δw∥Gξ∥ δy∥Gξ∥ δu∥Gξ∥
1
A.
(24)
Применив формулу (23) к матрице (24), получаем
J(θ, δ) =
=δw + (δy δu)

I −

δy δu
δy∥Gξ∥ δu∥Gξ∥
−1
×
×

∥rss∥ + δw
(∥r∥ss + |cw|)/b1 + δw∥Gξ∥

=
=δw +
1
1 − δy − δu∥Gξ∥ (δy δu)×
×

1 − δu∥Gξ∥ δu
δy∥Gξ∥ 1 − δy

×
×

∥rss∥ + δw
(∥r∥ss + |cw|)/b1 + δw∥Gξ∥

.
Учитывая, что
(δy δu)

1 − δu∥Gξ∥ δu
δy∥Gξ∥ 1 − δy

= (δy δu) ,
получаем представление (18)
J(θ, δ) = δw +
1
1 − δy − δu∥Gξ∥
×
× (δy δu)

∥rss∥ + δw
(∥r∥ss + |cw|)/b1 + δw∥Gξ∥

=
=
δw + δy∥r∥ss + δu∥r∥ss/|b1| + δu|cw/b1|)
1 − δy − δu∥Gξ∥ .
(25)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
13
Неравенство Jμ(θ, δ) ⩽ J+∞(θ, δ) во втором утвер-
ждении теоремы 1 очевидно следует из того, что множество
операторных возмущений с ограниченной памятью μ явля-
ется подмножеством операторных возмущений с бесконеч-
ной памятью. Монотонность последовательности Jμ(θ, δ)
относительно μ следует из строгого возрастания по μ мно-
жеств допустимых операторных возмущений. Наконец, схо-
димость Jμ(θ, δ) к J(θ, δ) гарантируется теоремой 6 из [6].
Теорема 1 доказана.
Последнее априорное предположение АП4 об управля-
емом объекте диктуется условием робастной стабилизиру-
емости (17).
АП4. Неизвестный вектор параметров θ удовлетворяет
неравенству
δy + δu∥Gξ∥ ⩽ ¯δ < 1 (26)
с известным числом ¯δ.
Число ¯δ > 0 может быть сколь угодно близким к
1 и выбирается конструктором на основе априорной ин-
формации или вовсе без нее и исключает из рассмотре-
ния неприемлемые для практических приложений модели,
слишком близкие к границе области робастно стабилизи-
руемых объектов.
Задача. Требуется построить обратную связь вида ut =
Ut(yt1
−n, ut−1
0 ), имеющую конечную память и гарантиру-
ющую выполнение с заданной точностью неравенства
lim sup
t→+∞
|yt − rt| ⩽ J(θ, δ) (27)
при справедливости априорных предположений АП1–АП4.
Главная сложность задачи заключается в неидентифи-
цируемости вектора коэффициентов ξ номинальной моде-
ли и смещения cw, необходимых для использования опти-
мального регулятора (13).
3. Субоптимальное слежение
Решение поставленной задачи базируется на опти-
мальном оценивании, в котором показатель качества за-
дачи управления используется как идентификационный
критерий и минимизируется на текущих оценках множе-
ства неизвестных параметров, согласованных с данными
измерений. Вычисление множественных оценок основано
на следующем простом утверждении.
Лемма 1. Если для некоторой оценки
ˆθ = (ˆξT , ˆcw)T , ˆξ = (ˆa1, . . . , ˆan,ˆb1)T ∈ Ξ
неизвестного вектора θ при всех t справедливы неравен-
ства
|ˆa(q−1)yt − ˆb1ut−1 − ˆcw| ⩽ δw + δypy
t + δuput
, (28)
то объект управления (1) с вектором параметров ˆθ удовле-
творяет уравнению (1) и априорным предположениям АП1,
АП2 при всех t.
Лемма 1 является частным случаем Леммы 1 работы [9],
в которой дополнительно предполагаются неизвестными
параметры δw, δy, δu.
Из Леммы 1 следует, что при любом управлении объек-
том (1) полная информация о векторе неизвестных пара-
метров θ к моменту времени t имеет вид включения
θ ∈ St = { ˆθ ∈ Θ0

|ˆa(q−1)yk −ˆb1uk−1 − ˆcw| ⩽
⩽ δw + δypy
k + δupuk
∀k ⩽ t } ,
где
Θ0 = { ˆθ = (ˆξT , ˆcw)T

ˆξ ∈ Ξ , |cw| ⩽ Cw,
ˆδy + ˆδu∥G
ˆξ∥ ⩽ ¯δ } (29)
— априорное множество допустимых параметров θ.
Заметим, что никаким ограниченным управлением
нельзя обеспечить сходимости множеств St к множеству
с одним элементом θ, поскольку априорные верхние гра-
ницы δw, δy, δu, как правило, являются неточными, и кон-
кретные реализации всех возмущений даже при точных
верхних границах только в исключительных случаях неод-
нократно и одновременно принимают значения, соответ-
ствующие их верхним границам. Это означает, что вектор
неизвестных параметров θ не идентифицируем с помощью
ограниченного управления.
Метод рекуррентных целевых неравенств синтеза
адаптивного управления заключается в построении схо-
дящейся последовательности оценок θt → θ∞ при t →
+∞, достаточно точно удовлетворяющих целевым нера-
венствам (28) при всех достаточно больших t. В отличие от
задач адаптивной стабилизации, этого недостаточно для
решения поставленной оптимальной задачи. Действитель-
но, если θt → θ∞ и выполнены целевые неравенства, то
в силу теоремы 1 и непрерывности функции J(θ, δ) следу-
ет неравенство
lim sup
t→+∞
|yt| ⩽ J(θ∞, δ) .
Однако для решения поставленной оптимальной зада-
чи этого неравенства недостаточно и необходимо гаранти-
ровать выполнение с заданной точностью дополнительно-
го неравенства
J(θ∞, δ) ⩽ J(θ, δ) (30)
с неизвестным и не идентифицируемым вектором θ. Из это-
го следует необходимость использования показателя ка-
чества J(θ, δ) задачи управления в роли идентификаци-
онного критерия, т.е. использования оптимального оцени-
вания вида
θt = argmin
ˆθ∈St
J(ˆθ) . (31)
Непосредственное использование оптимальной иден-
тификации (31) в режиме онлайн невозможно, ввиду воз-
можного неограниченного роста числа целевых нера-
венств в описании множеств St. Для преодоления этой
трудности будут использованы верхние по включению
оценки множеств St с ограниченным числом обновлений
за счет введения мертвой зоны при обновлении оценок.
Выберем число ε > 0 в качестве параметра мертвой
зоны, при этом точность решения поставленной оптималь-
ной задачи слежения будет пропорциональна ε. В каждый
14
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
момент времени t будут вычисляться векторные оценки
θt = (ξT
t , cwt
)T , ξt = (at
1, . . . , at
n, bt
1)
и множественные оценки Θt неизвестного вектора ξ.
Адаптивный регулятор. Управление ut в момент t опре-
деляется адаптивным регулятором
ut =
1
bt
1
(at
1yt + . . . + at
nyt−n+1 + rt+1 − cwt
) . (32)
Выберем в качестве начальной множественной оценки
множество Θ0, определенное в (29), а качестве начальной
векторной оценки
θ0 = argmin
ˆθ∈Θ0
J(ˆθ, δ) .
Введем следующие обозначения. После подачи управле-
ния ut в момент времени t и измерения выхода yt+1 в мо-
мент t + 1 положим
φTt
= (−yt,−yt−1, . . . ,−yt−n+1, ut),
ηt+1 = sign(yt+1 − φTt
ξt − cwt
) ,
ψt+1 = (ηt+1φTt
, ηt+1)T ,
ht+1 = δw + δypy
t+1 + δuput
+1 .
Заметим, что значения всех введенных переменных вы-
числяются по данным измерений, доступных к моменту
t + 1. Во введенных обозначениях целевое неравенство
(28) в момент t + 1 для текущей оценки θt принимает вид
|yt+1 − φTt
ξt − cwt
| =
= ηt+1yt+1 − ψT
t+1θt ⩽ ηt+1ht+1 ,
что эквивалентно
ψT
t+1θt ⩾ ηt+1(yt+1 − ht+1) . (33)
Алгоритм обновления векторных оценок θt и множе-
ственных оценок Θt имеет следующий вид:
θt+1 = θt , Θt+1 = Θt , (34)
если ψT
t+1θt ⩾ ηt+1(yt+1 − ht+1) − ε|ψt+1| . (35)
В противном случае положим
Θt+1 = Θt ∩ Ωt+1 , (36)
Ωt+1 = { ˆθ

ψT
t+1
ˆθ ⩾ ηt+1(yt+1 − ht+1 } , (37)
θt+1 = argmin
ˆθ∈Θt+1
J(ˆθ, δ) . (38)
Алгоритм оптимального оценивания (34)–(38) имеет
простую геометрическую интерпретацию. Каждое целевое
неравенство (28) представляет собой полоску в Rn+1, за-
данную парой линейных неравенств относительно векто-
ра ˆθ. Только одно из этих неравенств, именно неравенство
(33), может нарушаться для вектора θt. Неравенство в (35)
означает, что евклидово расстояние от вектора θt до по-
лупространства Ωt+1, определенного в (37), не больше ε,
и тогда, согласно (34), векторная оценка θt и множествен-
ная оценкаΘt не обновляются. В противном случае желае-
мое неравенство (37) добавляется к списку неравенств, за-
дающих множественную оценку Θt, образуя обновленную
оценку Θt+1. При этом некоторые неравенства из старо-
го списка могут оказаться лишними. Один из эффективных
алгоритмов удаления лишних неравенств описан в рабо-
те [12].
Замечание 1. Введение мертвой зоны с параметром ε
гарантирует ограниченность числа возможных обновлений
оценок θt и Θt и тем самым сходимость оценок за конеч-
ное время. Формула (38) вычисления оптимальной оценки
θt+1 является главной в задаче синтеза адаптивного оп-
тимального управления в условиях неидентифицируемо-
сти вектора параметров θ. Она обеспечивает выполнение
требуемого неравенства (30) с заданной точностью, про-
порциональной параметру мертвой зоны ε.
Субоптимальность адаптивного регулятора (32) уста-
навливается следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть выполнены априорные предположе-
ния А1-А4, и параметр мертвой зоны ε в (35) выбран из ин-
тервала
0 < ε <
1 − ¯ √ δ
n + Gu
, Gu = max
ξ∈Ξ
∥Gξ∥ .
Тогда для замкнутой системы управления, включающей
объект (1), адаптивный регулятор (32) и алгоритм оценива-
ния (34)–(38) справедливы утверждения:
1) Множественные оценки Θt и векторные оценки θt
сходятся к своим предельным значениям Θ∞ и θ∞ за ко-
нечное время и
J(θ∞, δ) ⩽ J(θ, δ) , (39)
2)
lim sup
t→+∞
|yt| ⩽ J(θ∞, δ) + O(ε) , (40)
где O(ε) → 0 при ε → 0.
Доказательство Теоремы 2 аналогично доказательству
Теоремы 2 в статье [10]. Приведем его краткую схему. Со-
гласно данной выше геометрической интерпретации ал-
горитма оценивания, при нарушениях неравенства (35) из
множественных оценок Θt заведомо удаляются шары ра-
диуса ε с центрами θt и в описание Θt+1 добавляются
неравенства из (37). В результате этого шары радиуса ε/2
с центрами θt не пересекаются. В силу оптимизации (38)
J(θt, δ) ⩽ J(θ, δ)
при всех t, так что оценки θt остаются в ограниченном мно-
жестве в Rn+2 . Поэтому число исключаемых из оценок
Θt не пересекающихся шаров радиуса ε/2 конечно ввиду
ограниченности множества векторов ˆθ, удовлетворяющих
неравенству J(ˆθt, δ) ⩽ J(θ, δ). Следовательно конечно
и число возможных обновлений оценок Θt и θt.
Для доказательства неравенства (40) заметим, что по-
сле сходимости θt к θ∞ за конечное время для оценки θ∞
выполняются неравенства (35). Нетрудно показать, что
ε|ψt+1| ⩽ ε(
√
n py
t+1 + put
+1 + 1) . (41)
Из (41) и (35) теперь следует, что для оценки θ∞ выполня-
ются неравенства (28) с правой частью
δw + ε + (δy + ε
√
n)py
t + (δu + ε)put
, (42)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
15
которой соответствует набор верхних границ возмущений
δε = (δw + ε, δy + ε
√
n, δu + ε) .
Тогда в силу Леммы 1 выход yt можно считать выходом объ-
екта (1) с вектором параметров θ∞ = (ξT∞
, cw
∞)T , набором
верхних границ δε и управляемого соответствующим оцен-
ке θ∞ оптимальным регулятором. Далее по Теореме 1
lim sup
t→+∞
|yt − rt| ⩽ Jθ∞, δε) . (43)
Остается заметить, что J(θ∞, δε) = Jθ∞, δ)+O(ε). Ана-
логично [10] можно вычислить постояннуюK, представля-
ющую величину O(ε) в прямой форме Kε.
Замечание 2. Показатель качества J(θ, δ), определен-
ный в (18), запишем, используя (16), в виде
J(θ, δ) =
(δw + δy∥r∥ss)|b1| + δu∥r∥ss + δu|cw|)
(1 − δy)|b1| − δu
Pn
k=1
|ak| .
(44)
Нетрудно заметить, что этот показатель является дроб-
но-линейной функцией оцениваемого вектора θ (для этого
каждую абсолютную величину |x| следует записать в виде
x = x+ − x−, где x+ ⩾ 0, x− ⩾ 0. Из этого следует,
что оптимизация (38) представляет собой задачу дробно-
линейного программирования при линейных ограничениях.
Эта задача стандартным образом сводится к задаче ли-
нейного программирования [11], для решения которой име-
ется высокоэффективное современное программное обес-
печение. В статье [10] приведены примеры численного мо-
делирования, иллюстрирующие эффективность алгорит-
мов множественного оценивания для объектов управления
с девятью неизвестными параметрами. Заметим, что он-
лайн уменьшение параметра ε для повышения гарантиро-
ванной точности решения оптимальной задачи (38) влечет
рост числа возможных обновлений оценок и числа нера-
венств в описании множественных оценок Θt, т.е. к повы-
шению вычислительной сложности оптимальной задачи.
Замечание 3. Главное достоинство рассмотренного
адаптивного управления заключается в обеспечении оп-
тимальной с заданной точностью асимптотической верх-
ней оценки показателя качества для любого допустимо-
го и не идентифицируемого вектора θ. Главный же недо-
статок заключается в единой области допустимых значе-
ний коэффициентов усиления неопределенностей δy и δu
в виде неравенства (26). В то же время эта единая (универ-
сальная) для всех допустимых θ область является сколь
угодно близкой к оптимальной универсальной области за
счет выбора достаточно близкого к единице параметра ¯δ.
Традиционные алгоритмы оценивания на базе градиентно-
го алгоритма или метода наименьших квадратов не только
не могли гарантировать никакой оптимальности адаптив-
ного управления, но и допускали только достаточно ма-
лые области робастной устойчивости, поскольку обосно-
вывались с помощью метода функций Ляпунова, вносив-
шего значительный консерватизм в результаты по устой-
чивости по сравнению с ℓ1-теорией робастного управле-
ния. Это проявлялось, в частности, и в том, что в тради-
ционном робастном адаптивном управлении вместо струк-
турированной неопределенности по выходу и управлению
рассматривалась неструктурированная неопределенность
δ = max(δy, δu), вносившая дополнительный консерва-
тизм. Для такой неструктурированной неопределенности
наиболее продвинутый результат на основе градиентно-
го алгоритма оценивания был получен в статье [13] именно
в контексте ℓ1-теории при центрированном внешнем воз-
мущении (т.е. при cw = 0) для авторегрессионного объекта
с запаздыванием в управлении.
Заключение
Традиционные алгоритмы оценивания неизвестных па-
раметров объекта управления с детерминированными воз-
мущениями представляют собой модификации градиент-
ного алгоритма или алгоритма метода наименьших квадра-
тов и не могут гарантировать оптимальности адаптивно-
го управления. Более сложные алгоритмы множественно-
го оценивания открывают возможности синтеза адаптив-
ного оптимального управления при использовании пока-
зателя качества задачи управления как идентификацион-
ного критерия. В данной работе рассмотрена задача оп-
тимального робастного слежения для авторегрессионного
объекта с неизвестной номинальной моделью и неизвест-
ным смещением ограниченного внешнего возмущения, но
с известными коэффициентами усиления неопределенно-
стей по выходу и управлению и известной верхней грани-
цей несмещенного внешнего возмущения. Благодаря дроб-
но-линейному виду показателя качества в виде асимпто-
тически наихудшего возможного отклонения выхода объ-
екта от отслеживаемого сигнала, вычисление текущих оп-
тимальных оценок сводится к линейному программирова-
нию и реализуемо в режиме онлайн по крайней мере для
объектов невысокого порядка.

1. Rohrs, C.E. Robustness of continuous-time adaptive control algorithms in the presence of unmodeled dynamics / C.E. Rohrs, L. Valavani, M. Athans, G. Stein // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1985. - Vol. 30. - № 9. - P. 881-889.

2. Zhou, K. Essentials of robust control / K. Zhou, G.C. Doyle // Prentice Hall, 1998. - 430 p.

3. Khammash, M. Performance robustness of discrete-time systems with structured uncertainty / M. Khammash, J. Pearson // IEEE Transactions on Automatic Control. -1991. - Vol. 36, № 4. - P. 398-412.

4. Khammash, M. Robust steady-state tracking / M. Khammash // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1995. - Vol. 40, № 11. - P. 1872-1880.

5. Khammash, M. Robust performance: unknown disturbances and known fixed inputs / M. Khammash // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1997. - Vol. 42, № 12. - P. 1730-1734.

6. Sokolov, V.F. ℓ1 robust performance of discrete-time systems with structured uncertainty / V.F. Sokolov // Syst. Control Lett. - 2001. - Vol. 42, № 5. - P. 363-377.

7. Соколов, В.Ф. Робастное управление при ограниченных возмущениях / В.Ф. Соколов. - Сыктывкар: Коми научный центр УрО РАН, 2011. - 218 с.

8. Sokolov, V.F. Adaptive ℓ1 robust control for SISO system / V.F. Sokolov // Systems and Control Letters. - 2001. - Vol. 42, № 5. - P. 379-393.

9. Соколов, В.Ф. Адаптивная оптимальная робастная ста- билизация авторегрессионного объекта со смещенным внешним возмущением / В.Ф. Соколов // Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук. Серия «Физико-математические науки». - 2022. - № 5 (57). - С. 20-27.

10. Соколов, В.Ф. Адаптивное оптимальное слежение для дискретного минимально-фазового объекта с неопределенностью в канале выхода / В.Ф. Соколов // Авто матика и телемеханика. - 2021. - № 8. - C. 108-128.

11. Boyd, S. Convex optimization / S. Boyd, L. Vandenberghe. - New York: Cambridge University Press, 2004. - 742 p.

12. Walter, E. Exact recursive polyhedral description of the feasible parameter set for bounded error / E. Walter, H. Piet-Lahanier // IEEE Transactions on Automatic Control. 1989. - Vol. 34, № 8. - P. 911-915.

13. Weyer, E. Limitations of robust adaptive pole placement control / E. Weyer, I. Mareels, J. Polderman // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1994.- Vol. 39, № 8. - P. 1665-1671.