Введение
Современная теория элементарных частиц и их взаи-
модействий — стандартная модель — с приемлемой точно-
стью объясняет имеющиеся экспериментальные данные.
Она была подтверждена открытием бозона Хиггса в экс-
периментах на Большом адронном коллайдере (далее —
БАК). Стандартная модель представляет собой калибро-
вочную теорию, в основе которой лежит группа симметрии
SU(3) × SU(2) × U(1), являющейся прямым произве-
дением унитарных групп. Каждый множитель прямого про-
изведения отвечает за определенный вид частиц и их вза-
имодействий. Сильные взаимодействия кварков описыва-
ются квантовой хромодинамикой с калибровочной группой
SU(3) и характерной температурой 0.2 ГэВ. В электро-
слабой модели с калибровочной группой SU(2) × U(1)
группа SU(2) отвечает за слабые взаимодействия с ха-
рактерной температурой 100 ГэВ, тогда как группа U(1)
ассоциирована с дальнодействующими электромагнитны-
ми взаимодействиями. Вследствие нулевой массы фотона –
переносчика этого взаимодействия – его характерная тем-
пература простирается до планковской энергии 1019 ГэВ,
т.е. до того предела, где становятся существенными грави-
тационные взаимодействия.
Несмотря на наличие в теории большого количества
свободных параметров [1], среди них нет параметра, свя-
занного с температурой Вселенной и регулирующего по-
рядок энергий, при которых стандартная модель адекват-
но описывает мир элементарных частиц и их взаимодей-
ствий. На заре ее формирования была выдвинута гипоте-
за [2, 3], получившая название теории великого объедине-
ния (далее — ТВО), согласно которой при некоторой боль-
шой энергии (температуре) Вселенной все три взаимодей-
ствия — сильное, слабое и электромагнитное — объеди-
няются в одно гипотетическое взаимодействие в рамках
более сложной калибровочной группы SU(5) или ей по-
36
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
добных. Несмотря на обилие за последние полвека впечат-
ляющих теоретических разработок, предсказания ТВО не
подтвердились в современных экспериментах, в том чис-
ле в экспериментах на БАК [4].
Опираясь на значение характерных энергий, выдвину-
та [5–7] новая гипотеза: калибровочная группа стандарт-
ной модели становится проще с увеличением температу-
ры Вселенной. Иными словами, по мере остывания Вселен-
ной микромир эволюционирует естественным образом от
простых структур к более сложным. В качестве механиз-
ма изменения калибровочной группы предложена опера-
ция контракции группы SU(3) × SU(2) × U(1), пара-
метр которой уменьшается при увеличении температуры.
Поскольку средняя энергия (температура T) горячей Все-
ленной связана с ее возрастом [8], то параметр контракции
ϵ ∼ T−q, q > 0 стремится к нулю при T → ∞, т.е. при
приближении к моменту ее рождения в результате Боль-
шого взрыва.
Операция контракции (или предельного перехода)
групп (алгебр) Ли давно известна в физике [9]. В резуль-
тате предельного процесса исходная группа (алгебра) ста-
новится проще, часть коммутационных соотношений обра-
щается в ноль, в частности, простая группа преобразуется
в неполупростую. Позднее понятие контракции было рас-
пространено [10] на алгебраические структуры, такие как
квантовые группы, алгебры Вирасоро, супергруппы и су-
пералгебры Ли, а также на фундаментальные представ-
ления унитарных групп, которые имеют непосредственное
отношение к стандартной модели. Для симметричной фи-
зической системы контракция группы симметрии означа-
ет переход к некоторому предельному состоянию системы.
В случае сложной системы, каковой является стандартная
модель, изучение ее предельных состояний при тех или
иных предельных значениях физических параметров поз-
воляет лучше понять поведение системы в целом. Мы обсу-
дим на уровне классических калибровочных полей [11] мо-
дифицированную стандартную модель с контрактирован-
ной калибровочной группой.
Деформация в широком смысле слова есть опера-
ция обратная к контракции. Нетривиальная деформация
алгебраической структуры означает, вообще говоря, ее
неочевидное обобщение и зачастую представляет собой
значительное достижение в теории алгебраических струк-
тур. Ярким примером является открытие квантовых групп
[12], т.е. таких обобщений алгебр Хопфа, которые являют-
ся одновременно некоммутативными и некокоммутативны-
ми, тогда как ранее были известны алгебры Хопфа, об-
ладающие только одним из этих свойств. Предложенным
в этой классической работе методом построены квантовые
аналоги простых групп (алгебр) Ли. Оказалось, что в слу-
чае полупростых групп (алгебр) метод не работает, поэтому
квантовые аналоги этой категории групп (алгебр) Ли были
получены методом контракций соответствующих простых
групп (алгебр) [10]. Однако если сначала производится кон-
тракция некоторой математической структуры, то исход-
ная структура может быть восстановлена с помощью де-
формации в узком смысле, выполняемой в обратном по от-
ношению к контракции направлении.
Мы используем эту возможность для того, чтобы вос-
становить эволюцию частиц в ранней Вселенной, опираясь
на достигнутый к настоящему времени уровень знаний. Для
этого рассмотрим поведение стандартной модели в пре-
деле «бесконечной» температуры, порожденное, в соот-
ветствии с нашей гипотезой, контракцией калибровочных
групп SU(2) и SU(3) [5–7]. Подобные высокие темпе-
ратуры могут существовать в ранней Вселенной в первые
мгновения после Большого взрыва [8].
Оказывается, что в результате контракции калибровоч-
ной группы лагранжиан стандартной модели распадается
на ряд слагаемых, которые различаются степенями стре-
мящегося к нулю контракционного параметра ϵ → 0. По-
скольку температура в горячей Вселенной связана с ее
возрастом, то, двигаясь вперед во времени, т.е. в обратном
к высокотемпературной контракции направлении, мы за-
ключаем, что после рождения Вселенной частицы и их вза-
имодействия проходят ряд стадий в эволюции от предель-
ного состояния с «бесконечной» температурой до состоя-
ния, описываемого стандартной моделью. Эти стадии фор-
мирования кварк-глюонной плазмы, восстановления элек-
трослабой и цветовой симметрий различаются по степеням
контракционного параметра и, следовательно, по времени
их возникновения.
Из контракции стандартной модели можно классифи-
цировать указанные стадии по принципу «раньше–позже»,
но нельзя определить время, прошедшее после рождения
Вселенной. Для установления абсолютного времени ис-
пользуем дополнительные предположения, а именно тот
факт, что электрослабая эпоха начинается при характер-
ной температуре 100 ГэВ, а эпоха квантовой хронодина-
мики (далее — КХД) при температуре 0.2 ГэВ. Иначе го-
воря, принимаем, что полная реконструкция электрослабой
модели, лагранжиан которой включает слагаемые пропор-
циональные четвертой степени контракционного парамет-
ра ϵ, и восстановление КХД с минимальными слагаемыми
в лагранжиане порядка восьмой степени параметра ϵ про-
исходят при указанных температурах.
В рассматриваемом подходе расширяющаяся Вселен-
ная является фоном, на котором развивается история ча-
стиц, а ее температура служит внешним параметром, обес-
печивающим контракцию калибровочной группы стан-
дартной модели. Более того, как будет показано далее,
оценка «бесконечной» температуры 107 ГэВ меньше план-
ковской энергии 1019 ГэВ, при которой необходимо учи-
тывать гравитационные эффекты. Таким образом, резуль-
тирующая эволюция элементарных частиц не выходит за
рамки проблем, описываемых электрослабым и сильным
взаимодействиями.
Поскольку изменение калибровочной группы в процес-
се контракции происходит непрерывно, в том числе и в са-
мом начале предельного перехода, можно попытаться уло-
вить влияние эффекта контракции, сравнив полученные
на БАК данные по сечению рождения бозона Хиггса при
разных энергиях с теоретической зависимостью сечения
от температуры Вселенной. Анализ доминантного механиз-
ма рождения и регистрации бозонов Хиггса на БАК в че-
тырехлептонном процессе с точки зрения зависимости от
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
37
температуры соответствующей диаграммы Фейнмана при-
водит к заключению о том, что гипотеза о контракции ка-
либровочной группы стандартной модели как минимум не
противоречит имеющимся экспериментальным данным по
сечениям рождения бозонов Хиггса [13].
Калибровочная группа действует в пространстве по-
лей, поэтому контракция калибровочной группы модели не
затрагивает пространственно-временные переменные, от
которых зависят поля. Следовательно, не меняется проце-
дура квантования полей. Единственное изменение состоит
в появлении той или иной степени контракционного пара-
метра в качестве множителя перед амплитудой, отвечаю-
щей исходной фейнмановской диаграмме процесса.
1. Электрослабая модель
Часть теории элементарных частиц, описывающая
электромагнитные и слабые взаимодействия — электро-
слабая модель — представляет собой калибровочную тео-
рию с калибровочной группой SU(2) × U(1), действую-
щей в пространстве C2 фундаментального представления
группы SU(2). Векторы из C2 (или SU(2)-дублеты) опи-
сывают три поколения лептонов:

νe
e

,

νμ
μ

,

ντ
τ

,
где e есть электрон, μ — мюон и τ — лептон, νe, νμ, ντ —
соответствующие нейтрино, а также три поколения квар-
ков: 
u
d

,

c
s

,

t
b

.
Координаты векторов (или SU(2)-синглеты) представ-
ляют собой двухкомпонентные (или четырехкомпонент-
ные, если учитывать античастицы) лорентцевы спиноры.
В дальнейшем будем рассматривать только первые поко-
ления лептонов и кварков. Электрослабая модель включа-
ет калибровочные бозоны, реализующие взаимодействия
между частицами, а именно: переносчик электромагнитно-
го взаимодействия фотон γ, связанный с группой SU(1),
заряженныеW± и нейтральный Z бозоны, ответственные
за слабые взаимодействия, связанный с группой SU(2).
Имеется также специальная частица, ответственная в тео-
рии за появление массы у всех частиц — это бозон Хиггсаχ.
В полную теорию — стандартную модель — дополнитель-
но включают глюоны Ak, k = 1, . . . , 8, которые перено-
сят сильные взаимодействия. Глюоны связаны с группой
SU(3), действующей в пространстве C3 цветовых квар-
ковых состояний.
В этом разделе кратко опишем в нужном нам виде элек-
трослабую модель, следуя монографии [11]. Лагранжиан
модели, равный сумме бозонного, лептонного и кварково-
го лагранжианов L = LB + LL + LQ, выбирается ин-
вариантным относительно действия калибровочной груп-
пы SU(2) × U(1) в пространстве C2:
SU(2) : ⃗z ′ = G⃗z,

z′
1
z′
2

=

α β
−¯ β ¯α

z1
z2

, |α|2 + |β|2 = 1,
U(1) : ⃗z ′ = eiω/2⃗z = eiωY ⃗z, ω ∈ R. (1)
Генератор Y группы U(1) пропорционален единичной
матрице Y = 1
21. Генераторы группы SU(2)
T1 =
1
2

0 1
1 0

=
1
2
τ1, T2 =
1
2

0 −i
i 0

=
1
2
τ2,
T3 =
1
2

1 0
0 −1

=
1
2
τ3, (2)
где τk, k = 1, 2, 3 есть матрицы Паули, удовлетворяющие
коммутационным соотношениям
[T1, T2] = iT3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1 (3)
и образующие алгебру Ли su(2).
Бозонный сектор LB = LW + Lϕ состоит из двух ча-
стей: лагранжиана калибровочных полей
LW = −1
4
[(W1
μν)2+(W2
μν)2+(W3
μν)2]−1
4
(Bμν)2, (4)
и лагранжиана полей материи
Lϕ =
1
2
(Dμϕ)†Dμϕ − λ
4
􀀀
ϕ†ϕ − v2
2
,
ϕ =

ϕ1
ϕ2

∈ C2. (5)
Ковариантные производные равны
Dμϕ = ∂μϕ − ig
 
X3
k=1
TkWk
μ
!
ϕ − ig′Y Bμϕ, (6)
где константы g и g′ являются зарядами. Калибровочные
поля
Wμ(x) =
X3
k=1
TkWk
μ (x), Bμ(x) (7)
принимают значения в алгебрах Ли su(2), u(1) соответ-
ственно, а их тензоры напряженности определяются фор-
мулами
Wμν(x) = Wμν(x) + g[Wμ(x),Wν(x)],
Wk
μν(x) = ∂μWk
ν (x) − ∂νWk
μ (x),
Bμν(x) = Bμν(x) = ∂μBν(x) − ∂νBμ(x). (8)
Вместо полей (7) вводятся новые калибровочные поля
Zμ(x) =
1 p
g2 + g′2
􀀀
gW3
μ(x) − g′Bμ(x)


,
Aμ(x) =
1 p
g2 + g′2
􀀀
g′W3
μ(x) + gBμ(x)


,
W±
μ (x) =
√1
2
􀀀
W1
μ(x) ∓ iW2
μ(x)


, (9)
имеющие непосредственный физический смысл.
Для генерации масс векторных бозонов вводится спе-
циальный механизм спонтанного нарушения симметрии.
Одно из основных состояний лагранжиана LB
ϕvac =
√1
2

0
v

, Wk
μ = Bμ = 0, k = 1, 2, 3, (10)
38
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
где v = const, выбирается в качестве вакуума моде-
ли, и затем рассматриваются малые возбуждения полей
√1
2
v + χ(x) относительно этого вакуума.
После спонтанного нарушения симметрии бозонный
лагранжиан (4), (5) принимает вид
LB = L(2)
B + Lint
B =
=
1
2
(∂μχ)2 − 1
2
m2
χχ2 − 1
4
ZμνZμν +
1
2
m2
ZZμZμ−
−1
4
FμνFμν − 1
2
W+
μν
W−
μν + m2
WW+
μ W−
μ + Lint
B , (11)
где Fμν(x) = ∂μAν(x) − ∂νAμ(x), Zμν(x) =
∂μZν(x) − ∂νZμ(x), W±
μν(x) = ∂μW±
ν (x) −
∂νW±
μ (x). Как обычно, слагаемые второго порядка опи-
сывают бозонные частицы модели, а слагаемые более вы-
сокого порядкаLint
B рассматриваются как взаимодействия
частиц. Таким образом, лагранжиан (11) включает скаляр-
ный бозон Хиггса χ с массой mχ =
√
2λv, нейтральный
Z бозон с массой mZ = v
2
p
g2 + g′2, безмассовый фо-
тон Aμ и заряженные W± бозоны с одинаковыми масса-
ми mW = 1
2gv. Все эти частицы экспериментально об-
наружены и имеют следующие массы: mW = 80 ГэВ,
mZ = 91 ГэВ, mχ = 125 ГэВ.
Лагранжиан Lint
B , описывающий взаимодействия ча-
стиц, имеет вид
Lint
B =
gmz
2 cos θW
(Zμ)2χ−λvχ3+
g2
8 cos2 θW
(Zμ)2χ2−
−λ
4
χ4 − 1
2
W+
μν
W−
μν + m2
WW+
μ W−
μ
−
−2ig
􀀀
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν


(Fμν sin θW +
+Zμν cos θW) − i
2
e

Aμ
􀀀
W+
μνW−
ν
−W−
μνW+
ν


−
−Aν
􀀀
W+
μνW−
μ
−W−
μνW+
μ


+
+gW+
μ W−
μ χ−ig
2
cos θW

Zμ
􀀀
W+
μνW−
ν
−W−
μνW+
ν


−
−Zν
􀀀
W+
μνW−
μ
−W−
μνW+
μ


+
+
g2
4
􀀀
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν

2
+
g2
4
W+
μ W−
ν χ2−
−e2
4
nh􀀀
W+
μ

2
+
􀀀
W−
μ

2
i
(Aν)2 −
−2
􀀀
W+
μ W+
ν +W−
μ W−
ν


AμAν+
+
h􀀀
W+
ν

2
+
􀀀
W−
ν

2
i
(Aμ)2
o
−
−g2
4
cos θW
nh􀀀
W+
μ

2
+
􀀀
W−
μ

2
i
(Zν)2−
−2
􀀀
W+
μ W+
ν +W−
μ W−
ν


ZμZν+
+
h􀀀
W+
ν

2
+
􀀀
W−
ν

2
i
(Zμ)2
o
−
−eg cos θW

W+
μ W−
μ AνZν +W+
ν W−
ν AμZμ−
−1
2
􀀀
W+
μ W−
ν +W+
ν W−
μ


(AμZν + AνZμ)

. (12)
Фермионный сектор включает в себя лептонный LL
и кварковый LQ лагранжианы. Для первого поколения
лептонный лагранжиан выбирается в виде
LL = L
†
l i˜τμDμLl + e†
riτμDμer−
−he[e†
r(ϕ†Ll) + (L
†
l ϕ)er], (13)
где Ll =

νl
el

есть SU(2)-дублет, поле правого элек-
трона er — SU(2)-синглет, he — константа связи Юка-
вы, τ0 = ˜ τ0 = 1, ˜ τk = −τk — матрицы Паули,
er, el, νl — двухкомпонентные лорентцевы спиноры. (Мы
ограничиваемся рассмотрением только частиц. Для уче-
та античастиц поля должны быть четырехкомпонентны-
ми биспинорами Дирака.) Поле ϕ выбирается в виде ϕ =
0
√v
2
+ χ

, аDμ обозначают ковариантные производ-
ные левых и правых лептонных полей
DμLl = ∂μLl − i
√g
2
􀀀
W+
μ T+ +W−
μ T−


Ll−
−i
g
cos θw
Zμ
􀀀
T3 − Qsin2 θw


Ll − ieAμQLl,
Dμer = ∂μer − ig′QAμer cos θw + ig′QZμer sin θw,
(14)
где T± = T1 ± iT2, Q = Y + T3 есть генератор элек-
тромагнитной подгруппы U(1)em, Y = 1
21 — гиперзаряд,
e = gg′(g2+g′2)−1
2 — заряд электрона и sin θw = eg−1.
Согласно современным воззрениям, все известные
лептоны и кварки образуют три поколения. Следующие два
поколения лептонов вводятся аналогично (13). Они являют-
ся левыми SU(2)-дублетами

νμ
μ

l
,

ντ
τ

l
, Y = −1
2
(15)
и правыми SU(2)-синглетами: μr, τr, Y = −1. Помимо
u и d кварков первого поколения существуют кварки (c, s)
и (t, b) следующих поколений, левые поля которых

cl
sl

,

tl
bl

, Y =
1
6
(16)
описываются SU(2)-дублетами, а правые поля являются
SU(2)-синглетами: cr, tr, Y = 2
3 ; sr, br, Y = −1
3 .
Лагранжианы всех поколений кварков вводятся единооб-
разно по правилу лагранжианов лептонов. Полные лептон-
ные и кварковые лагранжианы получаются суммировани-
ем по всем поколениям. В дальнейшем мы будем обсуждать
только первые поколения лептонов и кварков.
В терминах полей электронов и нейтрино лептонный
лагранжиан (13) записывается в виде
LL = e
†
l i˜τμ∂μel + e†
riτμ∂μer−
−me(e†
rel + e
†
l er) − heχ(e†
rel + e
†
l er)+
+
g cos 2θw
2 cos θw
ν
†
l ˜τμZμνl+eν
†
l ˜τμAμνl+g′ cos θwe†
rτμAμer−
−g′ sin θwe†
rτμZμer +ν
†
l i˜τμ∂μνl − g
2 cos θw
e
†
l ˜τμZμel+
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
39
+
√g
2
h
ν
†
l ˜τμW+
μ el + e
†
l ˜τμW−
μ νl
i
, (17)
гдеme = he
√v
2
— масса электрона в хиггсовском вакууме.
Кварковый лагранжиан строится аналогично лептонно-
му лагранжиану
LQ = Q
†
l i˜τμDμQl + u†
riτμDμur + d†
riτμDμdr−
−hd[d†
r(ϕ†Ql) + (Q
†
l ϕ)dr]−
−hu[u†
r( ˜ϕ†Ql) + (Q
†
l
˜ϕ)ur], (18)
где левые кварковые поля образуют SU(2)-дублет Ql =
ul
dl

, правые поля ur, dr являются SU(2)-синглета-
ми, ˜ϕi = ϵik ¯ϕk, ϵ00 = 1, ϵii = −1 образуют сопряженное
представление группы SU(2), hu, hd есть юкавские кон-
станты связи. Для частиц все поля ul, dl, ur, dr являют-
ся двухкомпонентными лорентцевыми спинорами. Ковари-
антные производные кварковых полей равны
DμQl =
 
∂μ − ig
X3
k=1
τk
2
Wk
μ
− ig′ 1
6
Bμ
!
Ql,
Dμur =

∂μ − ig′ 2
3
Bμ

ur,
Dμdr =

∂μ + ig′ 1
3
Bμ

dr. (19)
Кварковый лагранжиан (18) в терминах полей u и d
кварков можно записать в виде
LQ = d
†
l i˜τμ∂μdl + d†
riτμ∂μdr − md(d†
rdl + d
†
l dr)−
−hdχ(d†
rdl + d
†
l dr) − e
3
d
†
l ˜τμAμdl−
−

g
2
cos θw +
g′
6
sin θw

d
†
l ˜τμZμdl−
−1
3
g′ cos θwd†
rτμAμdr +
1
3
g′ sin θwd†
rτμZμdr+
+u
†
l i˜τμ∂μul + u†
riτμ∂μur − mu(u†
rul + u
†
l ur)−
−huχ(u†
rul + u
†
l ur)+
+

g
2
cos θw − g′
6
sin θw

u
†
l ˜τμZμul +
2e
3
u
†
l ˜τμAμul+
+
√g
2
h
u
†
l ˜τμW+
μ dl + d
†
l ˜τμW−
μ ul
i
+
+
2
3
g′ cos θwu†
rτμAμur − 2
3
g′ sin θwu†
rτμZμur, (20)
где mu = hu
√v
2
, md = hd
√v
2
обозначают массы u и d
кварков в хиггсовском вакууме.
2. Электрослабая модель при высоких энер-
гиях
Известно два способа описать действие контрактиро-
ванной группы в пространстве с вырожденной метрикой.
Традиционный способ заключается в рассмотрении дей-
ствия матричной группы с вещественными или комплекс-
ными элементами на векторы с такими же компонентами

z′
1
z′
2

=

α ϵ2β
−¯ β ¯α

z1
z2

,
det u(ϵ) = |α|2 + ϵ2|β|2 = 1, u(ϵ)u†(ϵ) = 1,
|z1|2 + ϵ2|z2|2 = inv. (21)
В пределе ϵ → 0 матрица имеет вид
u(0) =

α 0
−¯ β ¯α

, α = eiγ , γ ∈ R
и очевидно принадлежит евклидовой группе E(2).
Другой способ состоит в рассмотрении контрактиро-
ванной группы SU(2; ϵ) и соответствующего пространства
C2(ϵ) путем согласованного переопределения элементов
группы SU(2) и компонент векторов пространстваC2 ви-
да 
z′
1
ϵz′
2

=

α ϵβ
−ϵ ¯ β ¯α

z1
ϵz2

,
det u(ϵ) = |α|2 + ϵ2|β|2 = 1, u(ϵ)u†(ϵ) = 1,
|z1|2 + ϵ2|z2|2 = inv. (22)
Наш подход основан на действии матриц с элементами,
зависящими от параметра контракции ϵ, на векторы, ком-
поненты которых также зависят от этого параметра. В этом
случае при ϵ → 0 необходимо дополнительно учиты-
вать бесконечно малые соотношения первого порядка по
ϵ. Стремящийся к нулю контракционный параметр удобен
для физических приложений, но его использование в фор-
ме (22) вызывает иллюзию исчезновения ряда групповых
параметров. Математически этого можно избежать, приняв
параметр равным нильпотентной единице ι, которая сама
отлична от нуля ι ̸= 0, но ее квадрат обращается в нуль
ι2 = 0. Тогда контрактированная матрица
u(ι) =

α ιβ
−ι ¯ β ¯α

, α = eiγ , γ ∈ R
будет явно содержать все параметры группы, но часть из
них будет нильпотентными элементами. Этот подход де-
тально рассмотрен в работе [10].
После перехода к пределу ϵ → 0 группа SU(2; ϵ = 0)
становится изоморфной евклидовой группе E(2), а про-
странство C2(ϵ = 0) разбивается на базу, натянутую на
координату {z1}, и слой, порождаемый координатой {z2}.
(Широко известное нерелятивистское пространство–время
является примером расслоенного пространства с одномер-
ной базой, физически интерпретируемой как ось време-
ни, и трехмерным слоем, рассматриваемым как абсолют-
ное собственно пространство.) Унитарная группаU(1) и ее
40
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
действие в пространстве C2(ϵ = 0) не изменяются при
контракции и описываются формулами (1).
Пространство C2(ϵ) получается из C2 заменой z2 на
ϵz2. Замена матричного элемента β на ϵβ индуцирует
замену генераторов алгебры Ли T1 → ϵT1, T2 →
ϵT2, T3 → T3. Эти новые генераторы подчиняются ком-
мутационным соотношениям
[T1, T2] = iϵ2T3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1 (23)
алгебры Ли su(2; ϵ), которая при ϵ = 0 представля-
ет собой полупрямую сумму абелевой подалгебры t2 =
{T1, T2} и одномерной подалгебры u(1) = {T3} :
su(2; ϵ = 0) = t2+⊃ u(1).
Поскольку калибровочные поля принимают значения
в алгебре Ли, можно вместо преобразования генераторов
произвести замену калибровочных полей, а именно:
W1
μ
→ ϵW1
μ, W2
μ
→ ϵW2
μ,
W3
μ
→ W3
μ, Bμ → Bμ. (24)
Действительно, из свойств коммутативности и ассоциатив-
ности умножения на скаляр имеем
su(2; ϵ) ∋

W1
μ(ϵT1) +W2
μ(ϵT2) +W3
μT3
    
=
=

(ϵW1
μ)T1 + (ϵW2
μ)T2 +W3
μT3
    
. (25)
Подстановка β → ϵβ индуцирует преобразование стан-
дартных калибровочных полей (9) вида
W±
μ
→ ϵW±
μ , Zμ → Zμ, Aμ → Aμ. (26)
Левые лептонные Ll =

νl
el

и кварковые Ql =

ul
dl

поля являются SU(2)-дублетами, поэтому их ле-
вые и правые компоненты преобразуются так же, как ком-
поненты вектора z, а именно:
el → ϵel, er → ϵer, dl → ϵdl, dr → ϵdr,
νl → νl, ul → ul ur → ur. (27)
Отдельно от групповой структуры вводится специаль-
ный механизм спонтанного нарушения симметрии, кото-
рый используется для генерации масс векторных бозонов
и других частиц модели. В этом механизме одно из ос-
новных состояний (10) лагранжиана LB выбирается в ка-
честве вакуума модели и затем рассматриваются малые
возбуждения относительно второй компоненты вакуумно-
го вектора. При этом поле бозона Хиггса χ, константа v,
а также зависящие от v массы частиц на параметр кон-
тракции не умножаются. В результате преобразований по-
лей бозонный лагранжиан можно записать в виде
LB(ϵ) = LB,0+ϵ2LB,2+Lint
B,0+ϵ2Lint
B,2+ϵ4Lint
B,4, (28)
где
LB,0 = −1
4
F2
μν
− 1
4
Z2
μν +
1
2
m2
Z (Zμ)2 +
+
1
2
(∂μχ)2 − 1
2
m2
χχ2, (29)
LB,2 = −1
2
W+
μν
W−
μν + m2
WW+
μ W−
μ , (30)
Lint
B,0 = −λ
4
χ4 − λvχ3 +
gmz
2 cos θW
χ (Zμ)2 +
+
g2
8 cos2 θW
χ2 (Zμ)2 , (31)
Lint
B,2 = gχW+
μ W−
μ +
g2
4
χ2W+
μ W−
ν
−
−2ig
􀀀
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν


Fμν sin θW+Zμν cos θW

−
−i
2
e

Aμ
􀀀
W+
μνW−
ν
−W−
μνW+
ν


−
−Aν
􀀀
W+
μνW−
μ
−W−
μνW+
μ


−
−i
2
g cos θW

Zμ
􀀀
W+
μνW−
ν
−W−
μνW+
ν


−
−Zν
􀀀
W+
μνW−
μ
−W−
μνW+
μ


−
−e2
4
nh􀀀
W+
μ

2
+
􀀀
W−
μ

2
i
(Aν)2−
−2
􀀀
W+
μ W+
ν +W−
μ W−
ν


AμAν+
+
h􀀀
W+
ν

2
+
􀀀
W−
ν

2
i
(Aμ)2
o
−
−g2
4
cos θW
nh􀀀
W+
μ

2
+
􀀀
W−
μ

2
i
(Zν)2−
−2
􀀀
W+
μ W+
ν +W−
μ W−
ν


ZμZν+
+
h􀀀
W+
ν

2
+
􀀀
W−
ν

2
i
(Zμ)2
o
−
−eg cos θW

W+
μ W−
μ AνZν +W+
ν W−
ν AμZμ−
−1
2
􀀀
W+
μ W−
ν +W+
ν W−
μ


(AμZν + AνZμ)

, (32)
Lint
B,4 =
g2
4
􀀀
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν

2
. (33)
Лептонный лагранжиан (13), (17) в терминах полей элек-
тронов и нейтрино принимает вид
LL(ϵ) = LL,0 + Lint
L,0 + ϵ2(LL,2 + Lint
L,2), (34)
где
LL,0 = ν
†
l i˜τμ∂μνl, (35)
Lint
L,0 = eν
†
l ˜τμAμνl +
g cos 2θw
2 cos θw
ν
†
l ˜τμZμνl, (36)
LL,2 = e
†
l i˜τμ∂μel + e†
ri˜τμ∂μer−
−me(e†
rel + e
†
l er) − heχ(e†
rel + e
†
l er), (37)
Lint
L,2 = − g
2 cos θw
e
†
l ˜τμZμel+
+g′ cos θwe†
r˜τμAμer − g′ sin θwe†
r˜τμZμer+
+
√g
2

ν
†
l ˜τμW+
μ el + e
†
l ˜τμW−
μ νl

. (38)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
41
Кварковый лагранжиан (18), (20) в терминах полей u и d
кварков записывается в виде
LQ(ϵ) = LQ,0 + ϵ2LQ,2 + Lint
Q,0 + ϵ2Lint
Q,2, (39)
где
LQ,0 = u
†
l i˜τμ∂μul + u†
ri˜τμ∂μur−
−mu(u†
rul + u
†
l ur) − huχ(u†
rul + u
†
l ur), (40)
Lint
Q,0 =
2e
3
u
†
l ˜τμAμul+
+

g
2
cos θw − g′
6
sin θw

u
†
l ˜τμZμul+
+
2
3
g′ cos θwu†
rτμAμur − 2
3
g′ sin θwu†
rτμZμur, (41)
LQ,2 = d
†
l i˜τμ∂μdl + d†
riτμ∂μdr−
−md(d†
rdl + d
†
l dr) − hdχ(d†
rdl + d
†
l dr), (42)
Lint
Q,2 = −

g
2
cos θw +
g′
6
sin θw

d
†
l ˜τμZμdl+
+
√g
2

u
†
l ˜τμW+
μ dl + d
†
l ˜τμW−
μ ul

−
−e
3
d
†
l ˜τμAμdl − 1
3
g′ cos θwd†
rτμAμdr+
+
1
3
g′ sin θwd†
rτμZμdr. (43)
Полный лагранжиан электрослабой модели с контрак-
тированной калибровочной группой получается суммиро-
ванием бозонного, лептонного и кваркового лагранжианов
и представляется в виде разложения по степеням контрак-
ционного параметра
LEWM(ϵ) = L(ϵ) + Lint(ϵ) =
= L0 + ϵ2L2 + Lint
0 + ϵ2Lint
2 + ϵ4L4, (44)
где
L0 = LB,0 + LL,0 + LQ,0,
Lint
0 = Lint
B,0 + Lint
L,0 + Lint
Q,0,
L2 = LB,2 + LL,2 + LQ,2,
Lint
2 = Lint
B,2 + Lint
L,2 + Lint
Q,2, Lint
4 = Lint
B,4. (45)
Мы предполагаем, что параметр контракции является
монотонной функцией ϵ(T) = AT−q, q > 0 температуры
(средней энергии) Вселенной со свойством ϵ(T) → 0 при
T → ∞. Когда ϵ → 0, слагаемые с более высокими сте-
пенями ϵ вносят меньший вклад в лагранжиан по сравне-
нию со слагаемыми с меньшими степенями. Таким образом,
электрослабая модель демонстрирует три стадии поведе-
ния при движении назад во времени к моменту рождения
Вселенной, которые отличаются степенями контракцион-
ного параметра.
3. Квантовая хромодинамика
Сильные взаимодействия частиц описываются кван-
товой хромодинамикой, которая является калибровочной
теорией, основанной на локальных цветовых степенях сво-
боды кварков [1]. Калибровочная группа SU(3) КХД дей-
ствует в трехмерном комплексном пространстве C3 цве-
товых кварковых состояний q =
0
@
q1
q2
q3
1
A ≡
0
@
qR
qG
qB
1
A ∈
C3, где q(x) есть поля кварков q = u, d, s, c, b, t, а R
(красный), G (зеленый), B (голубой) обозначают цветовые
степени свободы. Калибровочные бозоны группы SU(3)
называются глюонами. Всего имеется восемь разных глю-
онов, обмен которыми обеспечивает сильные взаимодей-
ствия кварков. Лагранжиан КХД выбирается в виде
L =
X
q
􀀀
¯qi(iγμ)(Dμ)ijqj − mq ¯qiqi


−
−1
4
X8
α=1
Fα
μνFμν α, (46)
где Dμq есть ковариантные производные кварковых по-
лей
Dμq =

∂μ − igs

λα
2

Aαμ

q. (47)
Здесь gs обозначает сильную константу связи, ta = λa/2
— это генераторы группы SU(3), λa есть матрицы Гелл-
Манна
λ1 =
0
@
0 1 0
1 0 0
0 0 0
1
A, λ2 =
0
@
0 −i 0
i 0 0
0 0 0
1
A,
λ3 =
0
@
1 0 0
0 −1 0
0 0 0
1
A, λ4 =
0
@
0 0 1
0 0 0
1 0 0
1
A,
λ5 =
0
@
0 0 −i
0 0 0
i 0 0
1
A, λ6 =
0
@
0 0 0
0 0 1
0 1 0
1
A,
λ7 =
0
@
0 0 0
0 0 −i
0 i 0
1
A, λ8 =
√1
3
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 −2
1
A.
(48)
Глюонный тензор напряженности имеет стандартный вид
Fα
μν = ∂μAαν
− ∂νAαμ
+ gsfαβγAβ
μAγν
, (49)
где fαβγ есть структурные постоянные алгебры su(3):
[tα, tβ] = ifαβγtγ, α, β, γ = 1, . . . , 8. Они антисиммет-
ричны по всем индексам, а их ненулевые значения таковы:
f123 = 1, f147 = f246 = f257 = f345 =
1
2
,
f156 = f367 = −1
2
, f458 = f678 =
√
3
2
. (50)
42
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Выбор матриц Гелл-Манна в виде (48) фиксирует базис
в алгебре su(3), что дает возможность выписать ковари-
антные производные (47) в явной форме
Dμ = I∂μ−
−i
gs
2
0
B@
A3
μ + √1
3
A8
μ A1
μ
− iA2
μ A4
μ
− iA5
μ
A1
μ + iA2
μ
√1
3
A8
μ
− A3
μ A6
μ
− iA7
μ
A4
μ + iA5
μ A6
μ + iA7
μ
−√2
3
A8
μ
1
CA
=
= I∂μ − i
gs
2
0
@
ARR
μ ARG
μ ARB
μ
AGR
μ AGG
μ AGB
μ
ABR
μ ABG
μ ABB
μ
1
A, (51)
где
ARR
μ =
√1
3
A8
μ + A3
μ, AGG
μ =
√1
3
A8
μ
− A3
μ,
ABB
μ = − 2 √
3
A8
μ, ARR
μ + AGG
μ + ABB
μ = 0,
AGR
μ = A1
μ + iA2
μ = A¯RG
μ ,
ABR
μ = A4
μ + iA5
μ = A¯RB
μ ,
ABG
μ = A6
μ + iA7
μ = A¯GB
μ . (52)
Лагранжиан (46) принимает вид
L =
􀀀
¯ui(iγμ)(Dμ)ijuj − mu¯uiui


+. . .−1
4
Fα
μνFμν α ≡
≡ Lu + . . . − 1
4
Fα
μνFμν α, (53)
где выписаны только слагаемые, характеризующие
u кварк. Отметим, что в КХД отсутствует механизм спон-
танного нарушения симметрии, поэтому глюоны являются
безмассовыми частицами.
Лагранжиан КХД имеет богатое динамическое содер-
жание. Он описывает сложный спектр адронов, цветовой
конфайнмент кварков, асимптотическую свободу и много
других эффектов.
4. КХД с контрактированной калибровочной
группой
В данном разделе будем рассматривать только два
вида кварков q = u, d и учитывать преобразования
(27). Контрактированная специальная унитарная группа
SU(3; ϵ) определяется согласованным действием мат-
ричного элемента группы на вектор в цветовом простран-
стве C3(ϵ)
q′(ϵ) = U(ϵ)q(ϵ),
0
@
q′
1
ϵq′
2
ϵ2q′
3
1
A =
0
@
u11 ϵu12 ϵ2u13
ϵu21 u22 ϵu23
ϵ2u31 ϵu32 u33
1
A
0
@
q1
ϵq2
ϵ2q3
1
A
(54)
при ϵ → 0, где q1 = u1, ϵd1, q2 = u2, ϵd2, q3 = u3, ϵd3.
При таком действии остаются инвариантными предельные
эрмитовы формы
u†(ϵ)u(ϵ) = |u1|2 + ϵ2 |u2|2 + ϵ4 |u3|2 ,
d†(ϵ)d(ϵ) = |d1|2 + ϵ2 |d2|2 + ϵ4 |d3|2 . (55)
Переход от классической группы SU(3) и пространства
C3 к группе SU(3; ϵ) и пространству C3(ϵ) достигает-
ся преобразованием калибровочных полей (52) и цветовых
компонент кварков вида
u1 → u1, u2 → ϵu2, u3 → ϵ2u3,
d1 → ϵd1, d2 → ϵ2d2, d3 → ϵ3d3,
AGR
μ
→ ϵAGR
μ , ABG
μ
→ ϵABG
μ , ABR
μ
→ ϵ2ABR
μ . (56)
При этом диагональные калибровочные поля ARR
μ , AGG
μ ,
ABB
μ не изменяются.
Подстановки (27), (56) приводят к следующему раз-
ложению кварковой части лагранжиана КХД по степеням
контракционного параметра
Lq(ϵ) = Lq(ϵ) + Lint
q (ϵ) =
=
X3
k=0
ϵ2k 􀀀
Lq,2k + Lint
q,2k


, (57)
где
Lq,0 = Lu,0, Lq,2 = Lu,2 + Ld,0,
Lq,4 = Lu,4 + Ld,2, Lq,6 = Ld,4. (58)
Здесь
Lu,0 = i¯u1γμ∂μu1 − mu |u1|2 , (59)
Lint
u,0 = +
gs
2
|u1|2 γμ

√1
3
A8
μ + A3
μ

, (60)
Lu,2 = i¯u2γμ∂μu2 − mu |u2|2 , (61)
Lint
u,2 =
gs
2
"
|u2|2 γμ

√1
3
A8
μ
− A3
μ

+
+u1¯u2γμ 􀀀
A1
μ + iA2
μ


+ ¯u1u2γμ 􀀀
A1
μ
− iA2
μ


#
, (62)
Lu,4 = i¯u3γμ∂μu3 − mu |u3|2 , (63)
Lint
u,4 =
gs
2
"
−√2
3
|u3|2 γμA8
μ+
+u1¯u3γμ 􀀀
A4
μ + iA5
μ


+ ¯u1u3γμ 􀀀
A4
μ
− iA5
μ


+
+u2¯u3γμ 􀀀
A6
μ + iA7
μ


+ ¯u2u3γμ 􀀀
A6
μ
− iA7
μ


#
. (64)
Слагаемые Ld,2k, Lint
d,2k, k = 0, 1, 2 описываются фор-
мулами (60)–(64) с заменой up на dp, p = 1, 2, 3.
Глюонная часть Lgl = −1
4Fα
μνFμν α лагранжиана
приобретает вид
Lgl(ϵ) = L(0)
gl +ϵ2L(2)
gl +ϵ4L(4)
gl +ϵ6L(6)
gl +ϵ8L(8)
gl , (65)
где
L(0)
gl = −1
4
􀀀
∂μA3
ν
− ∂νA3
μ

2
+
􀀀
∂μA8
ν
− ∂νA8
μ

2

,
(66)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
43
L(2)
gl = −1
4
(
∂μA1
ν
−∂νA1
μ+gs
􀀀
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν

2
+
+

∂μA6
ν
− ∂νA6
μ +
gs
2
􀀀
A3
μA7
ν
− A7
μA3
ν


+
+
√
3
􀀀
A7
μA8
ν
− A8
μA7
ν

i2
+
+

∂μA2
ν
− ∂νA2
μ
− gs
􀀀
A1
μA3
ν
− A3
μA1
ν

2
+
+

∂μA7
ν
− ∂νA7
μ
− gs
2

A3
μA6
ν
− A6
μA3
ν+
+
√
3
􀀀
A6
μA8
ν
− A8
μA6
ν

i2
+
+gs

2
􀀀
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν


−
−A6
μA7
ν + A7
μA6
ν
 􀀀
∂μA3
ν
− ∂νA3
μ


+
+
√
3
􀀀
A6
μA7
ν
− A7
μA6
ν

􀀀
∂μA8
ν
− ∂νA8
μ

)
, (67)
L(4)
gl = −1
4
(
􀀀
∂μA4
ν
− ∂νA4
μ

2
+
􀀀
∂μA5
ν
− ∂νA5
μ

2
+
+gs

A4
μA7
ν
−A7
μA4
ν
−A5
μA6
ν+A6
μA5
ν
 􀀀
∂μA1
ν
− ∂νA1
μ


+
+

A4
μA6
ν
−A6
μA4
ν+A5
μA7
ν
−A7
μA5
ν
 􀀀
∂μA2
ν
− ∂νA2
μ


−
−

A1
μA7
ν
−A7
μA1
ν +A2
μA6
ν
−A6
μA2
ν +A3
μA5
ν
−A5
μA3
ν
−
−
√
3
􀀀
A5
μA8
ν
− A8
μA5
ν

 􀀀
∂μA4
ν
− ∂νA4
μ


+
+

A1
μA6ν
−A6
μA1
ν
−A2
μA7
ν +A7
μA2
ν +A3
μA4
ν
−A4
μA3
ν
−
−
√
3
􀀀
A4
μA8
ν
− A8
μA4
ν

 􀀀
∂μA5
ν
− ∂νA5
μ


+
+

A2
μA4ν
−A4
μA2
ν
−A1
μA5
ν+A5
μA1
ν
 􀀀
∂μA6
ν
− ∂νA6
μ


+
+

A1
μA4
ν
−A4
μA1
ν+A2
μA5
ν
−A5
μA2
ν
 􀀀
∂μA7
ν
− ∂νA7
μ


+
+
√
3
􀀀
A4
μA5
ν
− A5
μA4
ν

􀀀
∂μA8
ν
− ∂νA8
μ


+
+g2
s
􀀀
A1
μA2
ν
− A2
μA1ν

2
+
􀀀
A6
μA7
ν
− A7
μA6
ν

2 −
−
􀀀
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν

􀀀
A6
μA7
ν
− A7
μA6
ν


−
−
􀀀
A1
μA3
ν
− A3
μA1
ν


A4
μA6
ν
−A6
μA4
ν+A5
μA7
ν
−A7
μA5ν

+
+
􀀀
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν


A4
μA7
ν
−A7
μA4
ν
−A5
μA6
ν+A6
μA5
ν

+
+
1
2

A3
μA7
ν
− A7
μA3
ν +
√
3
􀀀
A7
μA8
ν
− A8
μA7
ν


×
×

A2
μA4ν
− A4
μA2
ν
− A1
μA5
ν + A5
μA1
ν

−
−1
2

A3
μA6
ν
− A6
μA3
ν +
√
3
􀀀
A6
μA8
ν
− A8
μA6
ν


×
×

A1
μA4ν
− A4
μA1
ν + A2
μA5
ν
− A5
μA2
ν

+
+
1
2

A1
μA7
ν
− A7
μA1
ν + A2
μA6
ν
− A6
μA2
ν+
+A3
μA5
ν
− A5
μA3
ν
−
√
3
􀀀
A5
μA8
ν
− A8
μA5
ν

2
+
+
1
2

A1
μA6
ν
− A6
μA1
ν
− A2
μA7
ν + A7
μA2
ν+
+A3
μA4
ν
− A4
μA3
ν
−
√
3
􀀀
A4
μA8
ν
− A8
μA4
ν

2
)
, (68)
L(6)
gl = −g2
s
16
(
A4
μA7
ν
− A7
μA4
ν
− A5
μA6
ν + A6
μA5
ν
2
+
+

A4
μA6
ν
− A6
μA4
ν + A5
μA7
ν
− A7
μA5
ν
2
+
+

A2
μA4
ν
− A4
μA2
ν
− A1
μA5
ν + A5
μA1
ν
2
+
+

A1
μA4
ν
− A4
μA1
ν + A2
μA5
ν
− A5
μA2
ν
2
+
+4

A1
μA2
ν
−A2
μA1
ν+A6
μA7
ν
−A7
μA6
ν
 􀀀
A4
μA5
ν
− A5
μA4
ν


)
,
(69)
L(8)
gl = −g2
s
4
􀀀
A4
μA5
ν
− A5
μA4
ν

2
. (70)
В результате объединения (57) и (65) лагранжиан моди-
фицированной КХД может быть представлен в виде разло-
жения по степеням контракционного параметра
LQCD(ϵ) = Lq(ϵ) + Lint
q (ϵ) + Lgl(ϵ) =
= L(0) + ϵ2L(2) + ϵ4L(4) + ϵ6L(6) + ϵ8L(8), (71)
где
L(0) = Lu,0 + Lint
u,0 + L(0)
gl , L(8) = L(8)
gl ,
L(2p) = Lu,2p + Ld,2(p−1) + Lint
u,2p + Lint
d,2(p−1)+
+L(2p)
gl , p = 1, 2, 3. (72)
В соответствии с нашей гипотезой контракционный пара-
метр является монотонной функцией температуры ϵ → 0
при T → ∞. Согласно современной концепции возникно-
вения Вселенной [8], очень высокие («бесконечные») тем-
пературы могут существовать на первых стадиях Большого
взрыва сразу после инфляции в доэлектрослабую эпоху.
44
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
5. Оценка границ между эпохами в эволюции
Вселенной
Объединяя лагранжианы электрослабой модели (44)
и вантовой хромодинамики (71), получаем лагранжиан
стандартной модели, представленный в виде разложения
по степеням контракционного параметра
LSM(ϵ) = LEWM(ϵ) + LQCD(ϵ) =
= L(ϵ) + Lq(ϵ) + Lint(ϵ) + Lint
q (ϵ) + Lgl(ϵ) =
= L0 + ϵ2L2 + ϵ4L4 + ϵ6L6 + ϵ8L8, (73)
где с учетом выражений (45) и (72) имеем
Lp = Lp + Lint
p + L(p), p = 0, 2, 4,
L6 = L(6), L8 = L(8). (74)
Таким образом, в зависимости от степени контракцион-
ного параметра стандартная модель демонстрирует пять
стадий поведения при движении назад во времени к мо-
менту рождения Вселенной. Как уже отмечалось, контрак-
ция калибровочной группы стандартной модели обеспе-
чивает возможность упорядочить во времени различные
стадии развития Вселенной, но не позволяет определить
абсолютные даты этих эпох. Для этого требуются допол-
нительные предположения. В частности, мы предположим,
что контракционный параметр одинаков для электросла-
бой модели и КХД.
Далее мы принимаем, что электрослабая модель,
лагранжиан которой включает минимальные слагаемые,
пропорциональные ϵ4, восстанавливается в стандартном
виде при своей характерной температуре T4 = 100 ГэВ,
а полная реконструкция КХД с минимальными слагаемы-
ми в лагранжиане порядка ϵ8 происходит при температуре
T8 = 0.2 ГэВ.
Обозначим через Δ уровень обрезания для ϵk, k =
2, 4, 6, 8, т.е. при ϵk < Δ все слагаемые в лагранжи-
ане, пропорциональные ϵk, считаем пренебрежимо малы-
ми. Наконец, предположим, что контракционный параметр
зависит от температуры
ϵ(T) =

A
T
q
, q > 0, (75)
гдеA— постоянная размерности T. Из уравнения для КХД
ϵ8(T8) = (AT
−1
8 )8q = Δ получаем A = T8Δ1/8q =
0, 2Δ1/8q ГэВ. Из подобного уравнения для электрослабой
модели находим уровень обрезания Δ = (T8T
−1
4 )8q =
(0, 2 · 10−2)8q ≈ (10−22)q, а также размерную константу
A = T2
8 T
−1
4 = 4 · 10−4 ГэВ. Используя уравнение для k-
ой степени ϵk(Tk) = (AT
−1
k )qk = Δ, имеем
Tk = T8

T8
T4
1−8k
(76)
и легко находим граничные значения (ГэВ):
T2 = 107, T4 = 102, T6 = 1, T8 = 2 · 10−1, (77)
не зависящие от степени q, связывающей параметр кон-
тракции и температуру (75). Оценка «бесконечной» тем-
пературы T2 ≈ 107 ГэВ намного меньше энергии Планка
≈ 1019 ГэВ, при которой становится существенным влия-
ние гравитации. Таким образом, полученная эволюция эле-
ментарных частиц не выходит за пределы проблем, описы-
ваемых электрослабыми и сильными взаимодействиями.
6. Зависимость сечения рождения бозонов
Хиггса от температуры
Диаграмма Фейнмана, описывающая доминантный ме-
ханизм рождения и регистрации бозонов Хиггса в экспери-
ментах на Большом адронном коллайдере, после преобра-
зования полей калибровочных бозонов (26), дополненных
преобразованием полей лептонов и кварков (27), (56), при-
нимает вид, изображенный на рис. 1, где L обозначает пару
электронов или мюонов [13].
p
p
g
g
t, b
ǫ
ǫ2
ǫ2
χ
Z
Z
¯L
L
¯L
L
Рисунок 1. Модифицированная диаграмма рождения бозона Хиггса в че-
тырехлептонном процессе.
Figure 1. Modified diagram of Higgs boson production in a four-lepton process.
Подсчет контракционных множителей в правой части
диаграммы дает ϵ4. Этот множитель учитывает вклад элек-
трослабых взаимодействий в рассматриваемый механизм.
Оставшуюся часть диаграммы можно изобразить в виде
петли виртуальных кварков (рис. 2), зависящей только от
сильных взаимодействий.
p
p
g
g
t, b ǫ4+
Рисунок 2. Диаграмма рождения бозона Хиггса, зависящая от сильных
взаимодействий кварков. Здесь α = 1 для t-кварка и α = 2 для b-
кварка.
Figure 2. Higgs boson production diagram dependent on strong quark interactions.
Here α = 1 for the t-quark and α = 2 for the b-quark.
В результате контракции калибровочной группы КХД
происходит «расщепление» процессов образования бозо-
нов Хиггса при взаимодействии кварков на разные кана-
лы, связанные с разной зависимостью цветов (компонент)
кварков и глюонов от ϵ. Амплитуды Mik процессов рож-
дения бозона Хиггса домножаются на контракционный па-
раметр в различных степенях в зависимости от того, ка-
кие цветовые компоненты виртуальных кварков участву-
ют в его образовании. Сечение процесса пропорционально
квадрату амплитуды σik = |Mik|2. В силу малости пара-
метра ϵ = (AT−1)q, q > 0 основной вклад в общее се-
чение при увеличении T дают каналы, пропорциональные
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
45
параметру контракции с отрицательными степенями. Мак-
симальный вклад вносит каналM31(ϵ) (рис. 3) с участием
первой и третьей компонент t-кварка
σt(T) = T8qσin
t , (78)
где σin
t — непреобразованное сечение при ϵ = 1.
p
p
q1
q3
ǫ
−4
¯q3
ǫ
−4
1
ǫ
−4
ǫ
−4
u31
u13 ǫ
4
ǫ
4
ǫ
−8
· ǫ
4+ = ǫ
−4
Рисунок 3. Петля виртуальных кварков с компонентами q1, q3 и антиквар-
ка с компонентой ¯q3. Амплитуда каналаM31(ε).
Figure 3. A loop of virtual quarks with components q1, q3 and an antiquark
with component ¯q3. Channel amplitudeM31(ε).
Результаты измерений сечения рождения бозонов
Хиггса в четырехлептонном распаде, полученные на БАК
в течение ряда лет при столкновении протонных пучков
разных энергий, приведены в обзоре [14]: σtot = 17 при
E = 7, σtot = 22 при E = 8, σtot = 56 при E = 13,
σtot = 57 при E = 14. Здесь E дано в ТэВ, а σtot —
в пикобарн. Из этих данных следует, что измеренные се-
чения демонстрируют квадратичную зависимость от энер-
гии σtot ∼ E2. Логично предположить, что температура
T Вселенной и энергия E столкновения протонных пуч-
ков в БАК пропорциональны друг другу T ∼ E, тогда
σtot ∼ T2.
Сечение (78) для канала рождения t-кварка с ампли-
тудой M31(ϵ) имеет квадратичную зависимость σt(T) ∼
T2 при q = 1
4 . Другие растущие сечения пропорцио-
нальны ∼ T (тот же канал M31(ϵ) для b-кварка и ка-
налM32(ϵ) для t-кварка). Вопрос о соотношении вкладов
этих и других процессов в общее сечение σtot остается
открытым. Экспериментальные сечения рождения бозонов
Хиггса σtot содержат вклад как обоих t- и b-кварков, так
и всех их цветов (компонент). Поэтому для прямого срав-
нения с теоретическими значениями необходимы допол-
нительные предположения о доле t- и b-петлевых вкладов
в целом, о вкладах каждой цветовой компоненты кварков
в общее сечение и др. Однако можно утверждать, что ги-
потеза о контракции калибровочной группы стандартной
модели согласована с полученными экспериментальными
данными по сечениям рождения бозонов Хиггса.
7. Изменения частиц и взаимодействий в про-
цессе эволюции
Разложение (73) лагранжиана стандартной модели по
степеням контракционного параметра открывает возмож-
ность для построения промежуточных предельных моде-
лей с разными частицами и взаимодействиями между ни-
ми. Можно взять лагранжиан L0 в качестве первоначаль-
ной предельной системы при T > 107 ГэВ, затем добавить
L2 и получить вторую предельную модель с лагранжианом
L(2)
SM = L0 + L2 при 107 > T > 102 (ГэВ). После это-
го можно добавить L4 и получить следующую предельную
модель L(4)
SM = L0 + L2 + L4 при 102 > T > 1 (ГэВ)
и так далее до полного восстановления лагранжиана стан-
дартной модели при T < 2 · 10−1 ГэВ. По мере перехода
от одной эпохи к другой изменяются значимые слагаемые
в лагранжианах, что позволяет сделать некоторые выводы
о частицах на разных стадиях эволюции Вселенной уже на
уровне классических полей.
В пределе «бесконечной» температуры (ϵ = 0, T >
107 ГэВ) получаем лагранжиан L0 стандартной модели,
квадратичные слагаемые которого содержат: безмассовые
нейтрино и фотон, массивные Z-бозон и бозон Хиггса (29),
(35), массивный монохроматический u-кварк (40) с первой
(R) компонентой (59), (60). Слагаемые более высокого по-
рядка описывают самодействие бозона Хиггса и его взаи-
модействие с Z-бозоном (31), слабые и электромагнитные
взаимодействия нейтрино и u-кварка с фотоном и Z-бозо-
ном (36), (41), а также взаимодействия диагональных глюо-
нов (66). Отметим, что поля заряженных бозоновW±
μ , соот-
ветствующие подгруппе трансляций, не входят в предель-
ный лагранжиан L0.
Из явного выражения лагранжиана взаимодействия
следует, что частицы разного сорта не взаимодействуют
между собой. Взаимодействуют только частицы одного ви-
да, например, нейтрино взаимодействуют друг с другом по-
средством нейтральных токов. Все другие частицы явля-
ются заряженными и взаимодействуют посредством обме-
наZ бозонами и фотонами. Это выглядит как некая страти-
фикация электрослабой модели с частицами одного вида
в каждом слое.
При T > 107 ГэВ остаются отличными от нуля только
две компоненты глюонного тензора напряженности F3
μν =
∂μA3
ν
− ∂νA3
μ = 1
2
􀀀
FRR
μν
− FGG
μν


и F8
μν = ∂μA8
ν
−
∂νA8
μ =
√
3
2
􀀀
FRR
μν + FGG
μν


, так что, используя (59), (60),
(66), можно выписать предельный КХД лагранжиан в явной
форме
L(0) = Lu,0 + Lint
u,0 + L(0)
gl =
= i¯uRγμ∂μuR +
gs
2
|uR|2 γμARR
μ
−
−1
4
􀀀
FRR
μν

2 − 1
4
􀀀
FGG
μν

2 − 1
4
FRR
μν FGG
μν . (79)
Отсюда заключаем, что в этом пределе выживают только
динамические слагаемые для одной цветовой компонен-
ты u-кварка, т.е. кварки становятся монохроматически-
ми. Также остаются ненулевыми слагаемые, описывающие
взаимодействие этой компоненты с R-глюонами. Помимо
R-глюонов присутствуют G-глюоны, которые не взаимо-
действуют с uR. Таким образом, стратификация присут-
ствует и в секторе КХД.
При температурах 107 ГэВ ≥ T > 102 ГэВ к лагранжи-
ану добавляется L2, которое содержит кинетические сла-
гаемыеW±-бозонов (30), электронов (37) и d-кварков (42),
а также описывает слабые взаимодействияW± с другими
калибровочными бозонами (32) и бозоном Хиггса. Появля-
ются взаимодействия нейтрино с электроном (38) и меж-
ду u- и d-кварками (43). u-кварк обретают вторую цвето-
вую степень свободы (61), которая взаимодействует с пер-
46
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
вой (62). У d-кварка активируется первая цветовая степень
свободы. Основная часть электрослабых и значительная
часть цветовых взаимодействий восстанавливаются в эту
эпоху.
При дальнейшем остывании до температур 102 ГэВ ≥
T > 1 ГэВ к лагранжиану добавляется слагаемоеL4, кото-
рое обеспечивает слабые взаимодействия калибровочных
бозонов между собой (33). Восстанавливаются все цвето-
вые компоненты u-кварков (63) и взаимодействия между
ними (64). У d-кварка появляется вторая цветовая степень
свободы, сильно взаимодействующая с первой. Активизи-
руется большое количество взаимодействий между глюо-
нами (68).
В интервале температур 1 ГэВ ≥ T > 0, 2 ГэВ появля-
ется третья цветовая степень свободы d-кварка (63), при-
сутствуют все цветовые взаимодействия за исключением
(70). Наконец, при T ≤ 0, 2 ГэВ в полном объеме восста-
навливается стандартная модель.
Заключение
Рассмотрен предельный случай стандартной модели,
соответствующий контракции ее калибровочной группы.
Предполагается, что математический параметр контрак-
ции уменьшается при возрастании температуры Вселен-
ной, а его нулевой предел соответствует «бесконечной»
температуре, не превышающей планковскую энергию 1019
ГэВ. т.е. предел, где становятся существенными гравита-
ционные взаимодействия. Другими словами, эволюция ча-
стиц не выходит за рамки проблем, описываемых элек-
трослабыми и сильными взаимодействиями. Прослежены
стадии развития стандартной модели в процессе эволю-
ции Вселенной по мере ее остывания, которые различа-
ются степенями контракционного параметра. Промежуточ-
ные лагранжианы Lk находятся с помощью уровня обре-
зания Δ с учетом типичных энергий КХД и электрослабой
модели. Их явный вид для каждой стадии развития стан-
дартной модели получен из разложений (44),(71),(73) пол-
ных лагранжианов, что позволяет сделать выводы о раз-
витии взаимодействий и свойств частиц в каждую из рас-
смотренных эпох.
Полученная схема эволюции частиц не противоречит
разработанной из других соображений истории Вселенной
[1, 8], согласно которой обусловленные КХД фазовые пере-
ходы происходят позже электрослабых фазовых перехо-
дов. Кроме того, она дает основу для более детального ана-
лиза этапов становления лептонов и кварк-глюонной плаз-
мы, учитывая тот факт, что слагаемые L(6)
gl (69) и L(8)
gl (70)
в глюонном лагранжиане Lgl (65) пренебрежимо малы при
температурах от 0.2 до 100 ГэВ.
С другой стороны, в отличие от ТВО, наличие непре-
рывно изменяющегося параметра позволяет анализиро-
вать полученные результаты с точки зрения их зависимо-
сти от температуры. В частности, экспериментальные дан-
ные, полученные на Большом адронном коллайдере по се-
чениям рождения бозонов Хиггса при энергиях 7, 8, 13 и 14
ТэВ, не противоречат предложенной гипотезе.

1. Емельянов, В.М. Стандартная модель и еерасширения / В.М. Емельянов. - Москва: Физматлит, 2007. - 584 с.

2. Georgi, H. Unity of all elementary particle forces / H. Georgi, S.L. Glashow // Phys. Rev. Lett. - 1974. - Vol. 8. - P. 438. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.32.438.

3. Pati, J. Lepton number as the fourth color / J. Pati, A. Salam // Phys. Rev. D. - 1974. - Vol. 1. - P. 275. DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevD.10.275.

4. Croon, D. GUT physics in the era of the LHC / D. Croon, T.E. Gonzalo, L. Graf, N. Košnik, G. White // Front. Phys. - 2019. DOI:https://doi.org/10.3389/fphy.2019.00076.

5. Gromov, N.A. Elementary particles in the early Universe / N.A. Gromov // J. Cosmol. Astropart. Phys. - 2016. - Vol. 03. - P. 053.

6. Gromov, N.A. Particles in the early Universe: high-energy limit of the Standard Model from the contraction of its gauge group / N.A. Gromov. - Singapure: World Scientific, 2020. - 159 p.

7. Громов, Н.А. Стандартная модель при высоких энергиях из контракции калибровочной группы / Н.А. Громов // Физика элемент. частиц и атом. ядра. - 2020. - Т. 51, вып. 4. - С. 601-610.

8. Горбунов, Д.С. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва / Д.С. Горбунов, В.А. Рубаков. - Москва: ЛЕНАНД, 2022. - 616 с.

9. Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E.P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1953. - Vol. 39. - P. 510-524.

10. Громов, Н.А. Контракции классических и квантовых групп / Н.А. Громов. - Москва: Физматлит, 2012. - 318 с.

11. Рубаков, В.А. Классические калибровочные поля / В.А. Рубаков. - Москва: Эдиториал УРСС, 1999. - 336 с.

12. Решетихин, Н.Ю. Квантование групп Ли и алгебр Ли / Н.Ю. Решетихин, Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев // Ал гебра и анализ. - 1989. - Т. 1. - С. 178-206.

13. Громов, Н.А. Гипотеза о контракции калибровочной группы Стандартной модели и экспериментальные данные БАК // Известия Коми НЦ УрО РАН. Сер.«Физ.-мат. науки». - 2022. - Вып. 5(57). - С. 34-41. DOI:https://doi.org/10.19110/1994-5655-2022-5-34-41.

14. Zyla, P.A. The review of particle physics / P.A. Zyla et al. (Particle Date Group) // Prog. Theor. Exp. Phys. - 2020. - P. 083C01. DOI:https://doi.org/10.1093/ptep/ptaa104.