Устойчивость треугольника Рёло под действием нормальной нагрузки
Аннотация и ключевые слова
Аннотация (русский):
Фигурой постоянной ширины называется такая фигура, у которой расстояние между любыми параллельными опорными прямыми одно и то же. Ясно, что таким свойством обладает круг, но не только. Простешей фигурой постоянной ширины (кроме круга) является треугольник Рёло. В настоящей работе решается задача устойчивости треугольника Рёло, находящегося под действием нормальной нагрузки. Получено значение критического давления.

Ключевые слова:
критическая сила, радиус кривизны, треугольник Рёло, упругая энергия, работа внешних сил, уравнение Эйлера
Текст
Текст произведения (PDF): Читать Скачать

Введение
Исследование задач устойчивости гибких элементов
конструкций и упругих систем в настоящее время зани-
мает одно из центральных мест в механике деформиру-
емого твердого тела и представляет значительный инте-
рес. Теория устойчивости упругих систем берет свое нача-
ло с работ Эйлера по теории продольного изгиба (см. об-
зор Е. И. Николаи «О работах Л. Эйлера по теории про-
дольного изгиба» в [1]). Проблемы упругой устойчивости ис-
следовались многими авторами [2–5]. На основе вариаци-
онного подхода можно доказать теорему существования
решения уравнений равновесия. Также можно убедиться,
что в устойчивом положении равновесия функционал пол-
ной энергии достигает локального минимума. Общая кон-
цепция упругой бифуркационной устойчивости предложе-
на в монографии В. В. Новожилова [6]. В связи со стреми-
тельным развитием вычислительной техники и появлением
универсальных численных алгоритмов для решения крае-
вых задач (методы граничных и конечных элементов) к на-
стоящему времени имеются комплексы программ, позволя-
ющие рассчитывать упругие конструкции на устойчивость,
например [4]. Некоторые новые задачи устойчивости упру-
гих систем при наличии ограничений в форме неравенств
рассмотрены в [7–9].
В общем случае проблемы упругой устойчивости сво-
дятся к нахождению точек бифуркации нелинейных урав-
нений или нахождению параметров, при которых некото-
рая вариационная задача имеет несколько решений.
1. Постановка задачи
Представим себе круговое кольцо радиуса ˜R, сжатое
нормальным давлением P, равномерно распределенным
по длине кольца. Круговая форма кольца будет устойчивой,
если сила давления P не превосходит некоторого преде-
ла, который называется критическим давлением. Обозна-
чим через μ — жесткость на изгиб кольца. Тогда критиче-
ское давление в случае нормальной нагрузки (сила давле-
ния направлена все время по нормали к деформированной
оси кольца) вычисляется по формуле
P =

˜R
3
. (1)
Прямая называется опорой к выпуклой плоской фигуре,
если она имет общие точки с этой фигурой, и вся фигура
лежит по одну сторону от прямой. Фигурой постоянной ши-
рины называется такая любая выпуклая фигура, у которой
расстояние между двумя любыми параллельными опорны-
ми прямыми одно и то же. Очевидно таким свойством об-
ладает круг. Но кроме круга существует еще много фи-
гур постоянной ширины. Простейшей из них является тре-
угольник Рёло. Треугольник Рёло — пересечение трех рав-
ных кругов радиуса R с центрами в вершинах правильно-
го треугольника. Таким образом, треугольник Рёло состоит
из трех дуг окружностей радиуса R с центральным углом
π
3 (рис. 1).
16
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Представим, что тонкий упругий стержень, ось которого
в недеформированном состоянии представляет собой дугу
окружности радиусаR, находится под действием сил и на-
грузки, распределенной по ее оси. Введем в точке M на
оси стержня систему координат (x,y,z), ось z направлена
по касательной к оси стержня, оси x и y — по главным осям
инерции поперечного сечения (ось x направлена к центру
кривизны дуги, т. е. к соответсвующей вершине треуголь-
ника). ds — элемент длины стержня, s — длина, отсчиты-
ваемая от некоторой точкиM0. Пусть точкаM движется с
единичной скоростью ( ds
dt = 1), тогда система координат
(x,y,z) будет вращаться с некоторой угловой скоростью Ω,
проекции которой на оси (x,y,z) обозначим через (p,q,r).
В точкеM приложены силы (Vx, Vy, Vz) и моменты (Lx,
Ly, Lz), а также вектор внешней нагрузки (Fx, Fy, Fz). То-
гда уравнения равновесия Кирхгофа [1] имеют вид


dVx
ds
− rVy + qVz + Fx = 0,
dVy
ds
− pVz + rVx + Fy = 0,
dVz
ds
− qVx + pVy + Fz = 0,
(2)


dLx
ds
− rLy + qLz − Vy = 0,
dLy
ds
− pLz + rLx + Vx = 0,
dLz
ds
− qLx + pLy = 0.
(3)
В недеформированном (первоначальном) состоянии оси x,
y, z обозначим через x0, y0, z0. Соответствующую угловую
скорость обозначим через Ω0 с проекциями (p0, q0, r0) на
оси (x0, y0, z0) соответственно.
В результате деформации стержня точка M получает
перемещение, проекции которого на оси (x0, y0, z0) обо-
значим через (u, v, w). Векторы (p, q, r) и (p0, q0, r0) харак-
теризуют изменения кривизны стержня в результате де-
формации. Считая деформации малыми, можно записать
уравнение Клебша [1]:
p = p0 + δp, q = q0 + δq, r = r0 + δr,


δp = dα
ds
− r0β + q0γ,
δq = dβ
ds
− p0γ + r0α,
δr = dγ
ds
− q0α + p0β,
(4)
где (α, β, γ) — косинусы углов между осями (x, y, z) и (x0,
y0, z0).
Таблица 1
Косинусы углов, заключенных между осями (x, y, z) и (x0, y0, z0)
Table 1
Cosines of angles between the axes (x, y, z) and (x0, y0, z0)
x y z
x0 1 −α β
y0 α 1 −α
z0 −β α 1
Углы α, β, γ связаны с перемещением уравнениями:


β = du
ds + q0w − r0v,
−α = dv
ds + r0u − p0w,
0 = dw
ds + p0v − q0u.
(5)
В табл. 1 приведены косинусы углов между осями x, y, z
и x0, y0, z0. Так как ось стержня в недеформированном
состоянии представляет собой дугу окружности, то p0 =
0, q0 = 1
R, r0 = 0 и, поскольку дуги нагружены нор-
мальным давлением, то Fy = 0. Пусть ds = Rdϑ, где
ϑ — центральный угол дуги окружности. В нашем случае
деформация кольца плоская, т. е. p = 0, q = q0, r =
0, Fy = 0, Fz = 0, Vy = 0, Lx = 0, Lz = 0 . Таким
образом, уравнения Кирхгофа-Клебша упрощаются:
dVx
ds
+ qVz + Fx = 0,
dVz
ds
− qVx = 0,
dLy
ds
+ Vx = 0. (6)
Поскольку деформации предполагаются малыми, то можно
написать [1]
q = q0 + δq, δq =

ds
, Ly = μδq,
β =
du
ds
+ q0w, δq =
1
R2
(
d2u
dϑ2 + u
)
, u =
dw

.
При всякой величине давления на дуги возможна пер-
воначальная, недеформированная форма равновесия. Для
этой формы имеем
Vx = 0, Vy = 0, Vz = −RP.
Полагая в уравнениях (6)
Vz = −RP + δVz
и отбрасывая в этих уравнениях нелинейные слагаемые,
получим 


dVx
dϑ + δVz − RPδq = 0,
dδVz

− Vx + RPz = 0,
dLy
dϑ + RVx = 0.
(7)
Из уравнений (7) легко имеем
d2Vx
dϑ2 +
(
1 +
R3P
μ
)
Vx − RPz = 0.
Если давление остается нормальным к оси дуги, тоPz = 0.
Из третьего уравнения (7) получаем
Vx = − 1
R
dLy

= − μ
R3
(
d3u
dϑ3 +
du

)
.
С учетом условия несжимаемости u = w′ окончательно
находим уравнение равновесия:
d6w
dϑ6 + 2
d4w
dϑ4 +
d2w
dϑ2 + ρ
(
d4w
dϑ4 +
d2w
dϑ2
)
= 0, (8)
где введено обозначение ρ = PR3
μ . Для функции u урав-
нение (8) принимает вид
d4u
dϑ4 +2
d2u
dϑ2 +u+ρ
(
d2u
dϑ2 +u
)
+
1
2 + ρ
(c5ϑ+c6) = 0.
(9)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
17
Уравнение (8) является уравнением Эйлера для функ-
ционала
J =
∫ ϑ1
ϑ0
[
1
2
(
w′′′ + w′
)2
− ρ
2
(
w′′2 − w′2
)]
dϑ.
(10)
Заметим, что первое слагаемое пропорционально потенци-
альной (упругой) энергии деформированной дуги
U =
μ
2R3
∫ ϑ1
ϑ0
(
w′′′ + w′
)2

а второе — пропорционально работе внешних сил
W =
P
2
∫ ϑ1
ϑ0
(
w′′2 − w′2
)
dϑ.
Общее решение уравнения (8) имеет вид:
w = c1 sin ϑ + c2 cos ϑ + c3 sin(

ρ + 1ϑ)+
+c4 cos(

ρ + 1ϑ) +
1
2 + ρ
(c5ϑ + c6) . (11)
2. Решение задачи
Треугольник Рёло состоит из трех дуг окружности ра-
диуса R, точки пересечения этих дуг являются верши-
нами правильного треугольника, центры кривизны дуг
находятся в вершинах, поэтому центральный угол дуг
равен π
3 (рис. 1).
Рисунок 1. Треугольник Рёло. Направления перемещений вершин треуголь-
ника Рёло в результате деформации.
Figure 1. Reuleaux triangle. Directions of movement of the vertices of the
Reuleaux triangle as a result of deformation.
Пусть каждая дуга нагружена нормальным давлением
P, тогда касательное и нормальное перемещения точек
каждой дуги определяются формулами:
u = w′ = c1 cos ϑ − c2 sin ϑ+
+c3

ρ + 1 cos(

ρ + 1ϑ)−
−c4 sin(

(p + 1)ϑ)

(ρ + 1) + c5
1
2 + ρ
, (12)
u′ = w′′ = −c1 sin ϑ − c2 cos ϑ−
−c3(ρ + 1) sin(

(ρ + 1)ϑ)−
−c4 cos(

(ρ + 1)ϑ)(ρ + 1), (13)
β =
1
R
(
−c3ρ sin(

(ρ + 1)ϑ)−
−c4ρ cos(

(ρ + 1)) +
c5ϑ + c6)
(2 + ρ)
)
, (14)
u′′ = −c1 cos ϑ + c2 sin ϑ−
−c3 cos(

ρ + 1ϑ)(ρ + 1)3/2+
+c4 sin(

ρ + 1ϑ)(ρ + 1)3/2. (15)
Подставляя (12)–(15) в (10), получим выражение полной
энергии для деформированных дуг.
Постоянные интегрирования не могут быть совершенно
произвольными: проекции перемещений дуг треугольника
Рёло на направления g1, g2, g4, g5, g7, g8 на концах дуг
должны совпадать. Также должны совпадать углы поворо-
та:
β(0) = g3 для дуги I , β
(
π
3
)
= g3 для дуги III ,
β
(
π
3
)
= g6 для дуги I , β(0) = g6 для дуги II ,
β
(
π
3
)
= g9 для дуги II , β(0) = g9 для дуги III .
Таким образом, для дуги III w( π
3 ) и u( π
3 ) должны опреде-
лятся через перемещения g1, g2 вершиныA. Для дуги I че-
рез эти же перемещения определяются w(0), u(0). Ана-
логично, для дуги I величиныw( π
3 ), u( π
3 ) должны опреде-
лятся через перемещения g4, g5 вершины B. Через эти же
перемещения определяются w(0), u(0) для дуги II. Зна-
чения w( π
3 ), u( π
3 ) для дуги II определяются через пере-
мещения g7, g8 вершины C. Через эти же перемещения
определяются величины w(0), u(0) для дуги III.
Для дуги I постоянные интегрирования обозначим че-
рез c1, c2, ..., c6, для дуги II — через c7, c8, ..., c12, а для
дуги III — через c13, c14, ..., c18. В результате имеем три
вектора Ci ∈ R6, i = 1, 2, 3.
Введем в рассмотрение матрицу H с элементами
hij , i, j ∈ 1, . . . , 6 вида
h11 = 0, h12 = 1, h13 = 0,
h14 = 1, h15 = 0, h16 =
1
2 + ρ
,
h21 = 1, h22 = 0, h23 =

ρ + 1,
h24 = 0, h25 =
1
2 + ρ
, h26 = 0,
h31 = 0, h32 = 0, h33 = 0,
h34 = −ρ2 + 2ρ
2 + ρ
, h35 = 0, h36 =
1
2 + ρ
,
18
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
h41 =

3
2
, h42 =
1
2
, h43 = sin
(
π

ρ + 1
3
)
,
h44 = cos
(
π

ρ + 1
3
)
, h45 =
π
3(2 + ρ)
,
h46 =
1
2 + ρ
, h51 =
1
2
, h52 = −

3
2
,
h53 = cos
(
π

ρ + 1
3
)√
ρ + 1,
h5,4 = −sin
(
π

ρ + 1
3
)√
ρ + 1,
h55 =
1
(2 + ρ)
, h56 = 0,
h61 = 0, h62 = 0,
h63 =
−3 sin
(
π

ρ+1
3
)
ρ2 − 6 sin
(
π

ρ+1
3
)
ρ
3(2 + ρ)
,
h64 =
−3 cos
(
π

ρ+1
3
)
ρ2 − 6 cos
(
π

ρ+1
3
)
ρ
3(2 + ρ)
,
h65 =
π
3(2 + ρ)
, h66 =
1
2 + ρ
.
Введем матрицу поворотаMp
Mp =



3
2
1
2 0 0 0 0
−1
2

3
2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0

3
2
−1
2 0
0 0 0 1
2

3
2 0
0 0 0 0 0 1


и обозначим черезMb матрицу
Mb = H−1Mp.
Пусть g1 g2 перемещения вершины треугольника A,
причем g1 направлено к центру треугольника, а g2 — пер-
пендикулярно к g1 так, что поворот от g2 к g1 происходит
против часовой стрелки; g3 есть угол поворота вершины A.
Аналогично g4, g5 перемещения вершины B, а g6 угол по-
ворота вершиныB. Величины g7, g8, соответствующие пе-
ремещения вершины C, а g9 угол поворота этой вершины
(см. рис. 1).
Деформация дуги I определяется уравнениями (12)–(15),
произвольные постоянные c1, c2, . . . , c6 могут быть одно-
значно выражены через g1, g2, . . . , g6. Для того, чтобы ис-
ключить перемещения треугольника Рёло как жесткого це-
лого, следует положить g5 = 0, g7 = 0, g8 = 0.
Введем новые переменные
d1 = g1, d2 = g2, d3 = g3, d4 = g4, d5 = g6, d6 = g9.
Рассмотрим три вектора
l1 = (d1, d2, d3, d4, 0, d6), l2 = (d4, 0, d6, 0, 0, d6),
l3 = (0, 0, d6, d1, d2, d3).
Векторы C1, C2, C3 выражаются через переменные
d1, d2, ..., d6 по формулами
Ci = Mbli, i = 1, 2, 3. (16)
Подставляя (16) в (12)–(15) для дуг I, II, III, находим вы-
ражения для полной энергии деформированных дуг
Ji =
∫ π/3
0
[
1
2
(
w′′′
i + w′
i
)2
− ρ
2
(
w′′2
i
− w′2
i
)]
dϑ.
(17)
Полная энергия деформированного треугольника равна
J = J1 + J2 + J3.
Заметим, что J представляет собой квадратичную форму
от переменных d = (d1, d2, d3, d4, d5, d6). Матрицу этой
квадратичной формы обозначим через D. Таким образом,
получаем функцию
f(d) =
1
2
(Dd, d).
МатрицаDзависит от безразмерного параметра ρ = PR3
μ ,
который в свою очередь определяется давлением P, ра-
диусом R и жескостью дуги на изгиб μ = EJy вокруг оси
перпендикулярной плоскости дуги. ЗдесьE — модуль Юн-
га, Jy — момент инерции поперечного сечения.
Рисунок 2. График функции δ(ρ)10−6.
Figure 2. Graph of function δ(ρ)10−6.
В положении равновесия функция f(d) принимает ми-
нимальное значение, следовательно,
∂f(d)
∂d
= Dd = 0. (18)
В уравнении (18) ∂f(d)
∂d есть градиент функции f(d). Для
того, чтобы система уравнений (18) имела нетривиальное
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
19
решение, необходимо и достаточно, чтобы
δ(ρ) = det(D) = 0. (19)
На рис. 2 представлен график определителя матрицы
D в зависимости от безразмерного параметра ρ = PR3
μ .
Функция δ обращается в 0 при ρ = 13.05 и 14.945. Ясно,
что минимальная критическая нагрузка будет равна
P∗ =
13.05μ
R3 .
Радиус дуг, составляющих тругольник Рёло, равен R и ра-
вен диаметру треугольника. Если рассмотреть круг диамет-
раR = 2˜R, то, согласно (1), критическая сила для него бу-
дет равна 24μ
R3 . Таким образом, круг выдерживает бо́льшую
нагрузку по сравнению с треугольником Рёло. Если рас-
сматривать замкнутое кольцо, радиус которого равен ра-
диусу кривизны дуг, составляющих треугольник Рёло, то
треугольник Рёло будет выдерживать в 13.05
3 = 4.35 боль-
шую нормальную нагрузку. Наконец, рассмотрим кольцо,
описанное вокруг треугольника ABC (см. рис. 1). Радиус
его равен R0 = R

3
3 , следовательно, критическая сила
для него равна 3μ
R3
0
=


R3 , т. е. в

3 раз меньше.
3. Заключение
Получено значение критического нормального давле-
ния P∗ для фигуры постоянной ширины — треугольника
Рёло. Задача решалась аналитическим методом. Для урав-
нений равновесия дуг, из которых состоит треугольник Рё-
ло, выписывалось общее решение. Произвольные постоян-
ные определялись из условий непрерывности перемеще-
ний и углов поворота концов дуг.
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Список литературы

1. Николаи, Е. Л. Труды по механике / Е. Л. Николаи. –Москва : Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 583 с.

2. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. – Москва : Наука, 1967. – 984 с.

3. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения // под ред: Дж. Б. Келлера и С. Антмана. – Москва : Мир, 1974. – 254 с.

4. Перельмутер, А. В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. – Москва : Издательство СКАД СОФТ, 2010. – 686 с.

5. Феодосьев, В. И. Избранные задачи и вопросы по со противлению материалов / В. И. Феодосьев. – Москва : Наука, 1967. – 376 c.

6. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. – Москва : Гостехиздат, 1948. – 211 с.

7. Тарасов, В. Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем / В. Н. Тарасов. – Сыктывкар : Коми научный центр УрО РАН, 2013. – 238 с.

8. Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.

9. Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint- Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.

Войти или Создать
* Забыли пароль?