Россия
Фигурой постоянной ширины называется такая фигура, у которой расстояние между любыми параллельными опорными прямыми одно и то же. Ясно, что таким свойством обладает круг, но не только. Простешей фигурой постоянной ширины (кроме круга) является треугольник Рёло. В настоящей работе решается задача устойчивости треугольника Рёло, находящегося под действием нормальной нагрузки. Получено значение критического давления.
критическая сила, радиус кривизны, треугольник Рёло, упругая энергия, работа внешних сил, уравнение Эйлера
Введение
Исследование задач устойчивости гибких элементов
конструкций и упругих систем в настоящее время зани-
мает одно из центральных мест в механике деформиру-
емого твердого тела и представляет значительный инте-
рес. Теория устойчивости упругих систем берет свое нача-
ло с работ Эйлера по теории продольного изгиба (см. об-
зор Е. И. Николаи «О работах Л. Эйлера по теории про-
дольного изгиба» в [1]). Проблемы упругой устойчивости ис-
следовались многими авторами [2–5]. На основе вариаци-
онного подхода можно доказать теорему существования
решения уравнений равновесия. Также можно убедиться,
что в устойчивом положении равновесия функционал пол-
ной энергии достигает локального минимума. Общая кон-
цепция упругой бифуркационной устойчивости предложе-
на в монографии В. В. Новожилова [6]. В связи со стреми-
тельным развитием вычислительной техники и появлением
универсальных численных алгоритмов для решения крае-
вых задач (методы граничных и конечных элементов) к на-
стоящему времени имеются комплексы программ, позволя-
ющие рассчитывать упругие конструкции на устойчивость,
например [4]. Некоторые новые задачи устойчивости упру-
гих систем при наличии ограничений в форме неравенств
рассмотрены в [7–9].
В общем случае проблемы упругой устойчивости сво-
дятся к нахождению точек бифуркации нелинейных урав-
нений или нахождению параметров, при которых некото-
рая вариационная задача имеет несколько решений.
1. Постановка задачи
Представим себе круговое кольцо радиуса ˜R, сжатое
нормальным давлением P, равномерно распределенным
по длине кольца. Круговая форма кольца будет устойчивой,
если сила давления P не превосходит некоторого преде-
ла, который называется критическим давлением. Обозна-
чим через μ — жесткость на изгиб кольца. Тогда критиче-
ское давление в случае нормальной нагрузки (сила давле-
ния направлена все время по нормали к деформированной
оси кольца) вычисляется по формуле
P =
3μ
˜R
3
. (1)
Прямая называется опорой к выпуклой плоской фигуре,
если она имет общие точки с этой фигурой, и вся фигура
лежит по одну сторону от прямой. Фигурой постоянной ши-
рины называется такая любая выпуклая фигура, у которой
расстояние между двумя любыми параллельными опорны-
ми прямыми одно и то же. Очевидно таким свойством об-
ладает круг. Но кроме круга существует еще много фи-
гур постоянной ширины. Простейшей из них является тре-
угольник Рёло. Треугольник Рёло — пересечение трех рав-
ных кругов радиуса R с центрами в вершинах правильно-
го треугольника. Таким образом, треугольник Рёло состоит
из трех дуг окружностей радиуса R с центральным углом
π
3 (рис. 1).
16
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Представим, что тонкий упругий стержень, ось которого
в недеформированном состоянии представляет собой дугу
окружности радиусаR, находится под действием сил и на-
грузки, распределенной по ее оси. Введем в точке M на
оси стержня систему координат (x,y,z), ось z направлена
по касательной к оси стержня, оси x и y — по главным осям
инерции поперечного сечения (ось x направлена к центру
кривизны дуги, т. е. к соответсвующей вершине треуголь-
ника). ds — элемент длины стержня, s — длина, отсчиты-
ваемая от некоторой точкиM0. Пусть точкаM движется с
единичной скоростью ( ds
dt = 1), тогда система координат
(x,y,z) будет вращаться с некоторой угловой скоростью Ω,
проекции которой на оси (x,y,z) обозначим через (p,q,r).
В точкеM приложены силы (Vx, Vy, Vz) и моменты (Lx,
Ly, Lz), а также вектор внешней нагрузки (Fx, Fy, Fz). То-
гда уравнения равновесия Кирхгофа [1] имеют вид
dVx
ds
− rVy + qVz + Fx = 0,
dVy
ds
− pVz + rVx + Fy = 0,
dVz
ds
− qVx + pVy + Fz = 0,
(2)
dLx
ds
− rLy + qLz − Vy = 0,
dLy
ds
− pLz + rLx + Vx = 0,
dLz
ds
− qLx + pLy = 0.
(3)
В недеформированном (первоначальном) состоянии оси x,
y, z обозначим через x0, y0, z0. Соответствующую угловую
скорость обозначим через Ω0 с проекциями (p0, q0, r0) на
оси (x0, y0, z0) соответственно.
В результате деформации стержня точка M получает
перемещение, проекции которого на оси (x0, y0, z0) обо-
значим через (u, v, w). Векторы (p, q, r) и (p0, q0, r0) харак-
теризуют изменения кривизны стержня в результате де-
формации. Считая деформации малыми, можно записать
уравнение Клебша [1]:
p = p0 + δp, q = q0 + δq, r = r0 + δr,
δp = dα
ds
− r0β + q0γ,
δq = dβ
ds
− p0γ + r0α,
δr = dγ
ds
− q0α + p0β,
(4)
где (α, β, γ) — косинусы углов между осями (x, y, z) и (x0,
y0, z0).
Таблица 1
Косинусы углов, заключенных между осями (x, y, z) и (x0, y0, z0)
Table 1
Cosines of angles between the axes (x, y, z) and (x0, y0, z0)
x y z
x0 1 −α β
y0 α 1 −α
z0 −β α 1
Углы α, β, γ связаны с перемещением уравнениями:
β = du
ds + q0w − r0v,
−α = dv
ds + r0u − p0w,
0 = dw
ds + p0v − q0u.
(5)
В табл. 1 приведены косинусы углов между осями x, y, z
и x0, y0, z0. Так как ось стержня в недеформированном
состоянии представляет собой дугу окружности, то p0 =
0, q0 = 1
R, r0 = 0 и, поскольку дуги нагружены нор-
мальным давлением, то Fy = 0. Пусть ds = Rdϑ, где
ϑ — центральный угол дуги окружности. В нашем случае
деформация кольца плоская, т. е. p = 0, q = q0, r =
0, Fy = 0, Fz = 0, Vy = 0, Lx = 0, Lz = 0 . Таким
образом, уравнения Кирхгофа-Клебша упрощаются:
dVx
ds
+ qVz + Fx = 0,
dVz
ds
− qVx = 0,
dLy
ds
+ Vx = 0. (6)
Поскольку деформации предполагаются малыми, то можно
написать [1]
q = q0 + δq, δq =
dβ
ds
, Ly = μδq,
β =
du
ds
+ q0w, δq =
1
R2
(
d2u
dϑ2 + u
)
, u =
dw
dϑ
.
При всякой величине давления на дуги возможна пер-
воначальная, недеформированная форма равновесия. Для
этой формы имеем
Vx = 0, Vy = 0, Vz = −RP.
Полагая в уравнениях (6)
Vz = −RP + δVz
и отбрасывая в этих уравнениях нелинейные слагаемые,
получим
dVx
dϑ + δVz − RPδq = 0,
dδVz
dϑ
− Vx + RPz = 0,
dLy
dϑ + RVx = 0.
(7)
Из уравнений (7) легко имеем
d2Vx
dϑ2 +
(
1 +
R3P
μ
)
Vx − RPz = 0.
Если давление остается нормальным к оси дуги, тоPz = 0.
Из третьего уравнения (7) получаем
Vx = − 1
R
dLy
dϑ
= − μ
R3
(
d3u
dϑ3 +
du
dϑ
)
.
С учетом условия несжимаемости u = w′ окончательно
находим уравнение равновесия:
d6w
dϑ6 + 2
d4w
dϑ4 +
d2w
dϑ2 + ρ
(
d4w
dϑ4 +
d2w
dϑ2
)
= 0, (8)
где введено обозначение ρ = PR3
μ . Для функции u урав-
нение (8) принимает вид
d4u
dϑ4 +2
d2u
dϑ2 +u+ρ
(
d2u
dϑ2 +u
)
+
1
2 + ρ
(c5ϑ+c6) = 0.
(9)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
17
Уравнение (8) является уравнением Эйлера для функ-
ционала
J =
∫ ϑ1
ϑ0
[
1
2
(
w′′′ + w′
)2
− ρ
2
(
w′′2 − w′2
)]
dϑ.
(10)
Заметим, что первое слагаемое пропорционально потенци-
альной (упругой) энергии деформированной дуги
U =
μ
2R3
∫ ϑ1
ϑ0
(
w′′′ + w′
)2
dϑ
а второе — пропорционально работе внешних сил
W =
P
2
∫ ϑ1
ϑ0
(
w′′2 − w′2
)
dϑ.
Общее решение уравнения (8) имеет вид:
w = c1 sin ϑ + c2 cos ϑ + c3 sin(
√
ρ + 1ϑ)+
+c4 cos(
√
ρ + 1ϑ) +
1
2 + ρ
(c5ϑ + c6) . (11)
2. Решение задачи
Треугольник Рёло состоит из трех дуг окружности ра-
диуса R, точки пересечения этих дуг являются верши-
нами правильного треугольника, центры кривизны дуг
находятся в вершинах, поэтому центральный угол дуг
равен π
3 (рис. 1).
Рисунок 1. Треугольник Рёло. Направления перемещений вершин треуголь-
ника Рёло в результате деформации.
Figure 1. Reuleaux triangle. Directions of movement of the vertices of the
Reuleaux triangle as a result of deformation.
Пусть каждая дуга нагружена нормальным давлением
P, тогда касательное и нормальное перемещения точек
каждой дуги определяются формулами:
u = w′ = c1 cos ϑ − c2 sin ϑ+
+c3
√
ρ + 1 cos(
√
ρ + 1ϑ)−
−c4 sin(
√
(p + 1)ϑ)
√
(ρ + 1) + c5
1
2 + ρ
, (12)
u′ = w′′ = −c1 sin ϑ − c2 cos ϑ−
−c3(ρ + 1) sin(
√
(ρ + 1)ϑ)−
−c4 cos(
√
(ρ + 1)ϑ)(ρ + 1), (13)
β =
1
R
(
−c3ρ sin(
√
(ρ + 1)ϑ)−
−c4ρ cos(
√
(ρ + 1)) +
c5ϑ + c6)
(2 + ρ)
)
, (14)
u′′ = −c1 cos ϑ + c2 sin ϑ−
−c3 cos(
√
ρ + 1ϑ)(ρ + 1)3/2+
+c4 sin(
√
ρ + 1ϑ)(ρ + 1)3/2. (15)
Подставляя (12)–(15) в (10), получим выражение полной
энергии для деформированных дуг.
Постоянные интегрирования не могут быть совершенно
произвольными: проекции перемещений дуг треугольника
Рёло на направления g1, g2, g4, g5, g7, g8 на концах дуг
должны совпадать. Также должны совпадать углы поворо-
та:
β(0) = g3 для дуги I , β
(
π
3
)
= g3 для дуги III ,
β
(
π
3
)
= g6 для дуги I , β(0) = g6 для дуги II ,
β
(
π
3
)
= g9 для дуги II , β(0) = g9 для дуги III .
Таким образом, для дуги III w( π
3 ) и u( π
3 ) должны опреде-
лятся через перемещения g1, g2 вершиныA. Для дуги I че-
рез эти же перемещения определяются w(0), u(0). Ана-
логично, для дуги I величиныw( π
3 ), u( π
3 ) должны опреде-
лятся через перемещения g4, g5 вершины B. Через эти же
перемещения определяются w(0), u(0) для дуги II. Зна-
чения w( π
3 ), u( π
3 ) для дуги II определяются через пере-
мещения g7, g8 вершины C. Через эти же перемещения
определяются величины w(0), u(0) для дуги III.
Для дуги I постоянные интегрирования обозначим че-
рез c1, c2, ..., c6, для дуги II — через c7, c8, ..., c12, а для
дуги III — через c13, c14, ..., c18. В результате имеем три
вектора Ci ∈ R6, i = 1, 2, 3.
Введем в рассмотрение матрицу H с элементами
hij , i, j ∈ 1, . . . , 6 вида
h11 = 0, h12 = 1, h13 = 0,
h14 = 1, h15 = 0, h16 =
1
2 + ρ
,
h21 = 1, h22 = 0, h23 =
√
ρ + 1,
h24 = 0, h25 =
1
2 + ρ
, h26 = 0,
h31 = 0, h32 = 0, h33 = 0,
h34 = −ρ2 + 2ρ
2 + ρ
, h35 = 0, h36 =
1
2 + ρ
,
18
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
h41 =
√
3
2
, h42 =
1
2
, h43 = sin
(
π
√
ρ + 1
3
)
,
h44 = cos
(
π
√
ρ + 1
3
)
, h45 =
π
3(2 + ρ)
,
h46 =
1
2 + ρ
, h51 =
1
2
, h52 = −
√
3
2
,
h53 = cos
(
π
√
ρ + 1
3
)√
ρ + 1,
h5,4 = −sin
(
π
√
ρ + 1
3
)√
ρ + 1,
h55 =
1
(2 + ρ)
, h56 = 0,
h61 = 0, h62 = 0,
h63 =
−3 sin
(
π
√
ρ+1
3
)
ρ2 − 6 sin
(
π
√
ρ+1
3
)
ρ
3(2 + ρ)
,
h64 =
−3 cos
(
π
√
ρ+1
3
)
ρ2 − 6 cos
(
π
√
ρ+1
3
)
ρ
3(2 + ρ)
,
h65 =
π
3(2 + ρ)
, h66 =
1
2 + ρ
.
Введем матрицу поворотаMp
Mp =
√
3
2
1
2 0 0 0 0
−1
2
√
3
2 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0
√
3
2
−1
2 0
0 0 0 1
2
√
3
2 0
0 0 0 0 0 1
и обозначим черезMb матрицу
Mb = H−1Mp.
Пусть g1 g2 перемещения вершины треугольника A,
причем g1 направлено к центру треугольника, а g2 — пер-
пендикулярно к g1 так, что поворот от g2 к g1 происходит
против часовой стрелки; g3 есть угол поворота вершины A.
Аналогично g4, g5 перемещения вершины B, а g6 угол по-
ворота вершиныB. Величины g7, g8, соответствующие пе-
ремещения вершины C, а g9 угол поворота этой вершины
(см. рис. 1).
Деформация дуги I определяется уравнениями (12)–(15),
произвольные постоянные c1, c2, . . . , c6 могут быть одно-
значно выражены через g1, g2, . . . , g6. Для того, чтобы ис-
ключить перемещения треугольника Рёло как жесткого це-
лого, следует положить g5 = 0, g7 = 0, g8 = 0.
Введем новые переменные
d1 = g1, d2 = g2, d3 = g3, d4 = g4, d5 = g6, d6 = g9.
Рассмотрим три вектора
l1 = (d1, d2, d3, d4, 0, d6), l2 = (d4, 0, d6, 0, 0, d6),
l3 = (0, 0, d6, d1, d2, d3).
Векторы C1, C2, C3 выражаются через переменные
d1, d2, ..., d6 по формулами
Ci = Mbli, i = 1, 2, 3. (16)
Подставляя (16) в (12)–(15) для дуг I, II, III, находим вы-
ражения для полной энергии деформированных дуг
Ji =
∫ π/3
0
[
1
2
(
w′′′
i + w′
i
)2
− ρ
2
(
w′′2
i
− w′2
i
)]
dϑ.
(17)
Полная энергия деформированного треугольника равна
J = J1 + J2 + J3.
Заметим, что J представляет собой квадратичную форму
от переменных d = (d1, d2, d3, d4, d5, d6). Матрицу этой
квадратичной формы обозначим через D. Таким образом,
получаем функцию
f(d) =
1
2
(Dd, d).
МатрицаDзависит от безразмерного параметра ρ = PR3
μ ,
который в свою очередь определяется давлением P, ра-
диусом R и жескостью дуги на изгиб μ = EJy вокруг оси
перпендикулярной плоскости дуги. ЗдесьE — модуль Юн-
га, Jy — момент инерции поперечного сечения.
Рисунок 2. График функции δ(ρ)10−6.
Figure 2. Graph of function δ(ρ)10−6.
В положении равновесия функция f(d) принимает ми-
нимальное значение, следовательно,
∂f(d)
∂d
= Dd = 0. (18)
В уравнении (18) ∂f(d)
∂d есть градиент функции f(d). Для
того, чтобы система уравнений (18) имела нетривиальное
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
19
решение, необходимо и достаточно, чтобы
δ(ρ) = det(D) = 0. (19)
На рис. 2 представлен график определителя матрицы
D в зависимости от безразмерного параметра ρ = PR3
μ .
Функция δ обращается в 0 при ρ = 13.05 и 14.945. Ясно,
что минимальная критическая нагрузка будет равна
P∗ =
13.05μ
R3 .
Радиус дуг, составляющих тругольник Рёло, равен R и ра-
вен диаметру треугольника. Если рассмотреть круг диамет-
раR = 2˜R, то, согласно (1), критическая сила для него бу-
дет равна 24μ
R3 . Таким образом, круг выдерживает бо́льшую
нагрузку по сравнению с треугольником Рёло. Если рас-
сматривать замкнутое кольцо, радиус которого равен ра-
диусу кривизны дуг, составляющих треугольник Рёло, то
треугольник Рёло будет выдерживать в 13.05
3 = 4.35 боль-
шую нормальную нагрузку. Наконец, рассмотрим кольцо,
описанное вокруг треугольника ABC (см. рис. 1). Радиус
его равен R0 = R
√
3
3 , следовательно, критическая сила
для него равна 3μ
R3
0
=
√
3μ
R3 , т. е. в
√
3 раз меньше.
3. Заключение
Получено значение критического нормального давле-
ния P∗ для фигуры постоянной ширины — треугольника
Рёло. Задача решалась аналитическим методом. Для урав-
нений равновесия дуг, из которых состоит треугольник Рё-
ло, выписывалось общее решение. Произвольные постоян-
ные определялись из условий непрерывности перемеще-
ний и углов поворота концов дуг.
Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.
1. Николаи, Е. Л. Труды по механике / Е. Л. Николаи. –Москва : Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 583 с.
2. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. – Москва : Наука, 1967. – 984 с.
3. Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения // под ред: Дж. Б. Келлера и С. Антмана. – Москва : Мир, 1974. – 254 с.
4. Перельмутер, А. В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. – Москва : Издательство СКАД СОФТ, 2010. – 686 с.
5. Феодосьев, В. И. Избранные задачи и вопросы по со противлению материалов / В. И. Феодосьев. – Москва : Наука, 1967. – 376 c.
6. Новожилов, В. В. Основы нелинейной теории упругости / В. В. Новожилов. – Москва : Гостехиздат, 1948. – 211 с.
7. Тарасов, В. Н. Методы оптимизации в исследовании конструктивно-нелинейных задач механики упругих систем / В. Н. Тарасов. – Сыктывкар : Коми научный центр УрО РАН, 2013. – 238 с.
8. Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.
9. Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint- Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.
