Россия
Россия
Россия
Россия
Россия
Цель работы — исследование нерелятивистского приближения в 39-компонентной теории частицы со спином 2. Используется явный вид матриц Γa размерности 39×39 основного уравнения, записанного в декартовых координатах и с учетом внешних электромагнитных полей. Для выделения в волновой функции больших и малых переменных с точки зрения нерелятивистского приближения используются проективные операторы, строящиеся на основе минимального полинома 7-й степени для матрицы Γ0.Разбиение на большие и малые переменные проведено в явном виде, в каждой группе найдены независимые переменные, остальные выражены через них. В частности, среди больших переменных независимыми являются только 5. Выведено нерелятивистское уравнение для 5-компонентной волновой функции; в нем выделен член, описывающий взаимодействие магнитного момента частицы с внешним магнитным полем. Этот дополнительный член взаимодействия строится из проекций оператора спина и компонент внешнего магнитного поля.
спин 2, внешнее электромагнитное поле, нерелятивистское приближение, проективные операторы, уравнение Паули для частицы со спином 2, магнитный момент
Введение
Известная теория Паули-Фирца [1, 2] для частицы
со спином 2 основана на уравнениях второго порядка.
Ф. И. Федоровым была развита эквивалентная теория на
основе уравнений первого порядка. При этом использова-
лась 39-компонентная полевая функция [3], см. [4]. Позд-
нее им с соавторами была предложена более сложная
50-компонентная теория, которая описывает массивную
частицу со спином 2, обладающую помимо электрического
заряда аномальным магнитным моментом [5–14]. Цель на-
стоящей работы — анализ нерелятивистского приближе-
46
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
ния в 39-компонентной теории частицы со спином 2. Сле-
дует отметить, что ранее этот вопрос уже исследовался [11].
Было выведено нерелятивистское уравнение для 6-компо-
нентной волновой функции и показано, что связанные меж-
ду собой шесть уравнений содержат только пять незави-
симых. В работе [11] применялся метод обобщенных симво-
лов Кронекера и формализм элементов полной матричной
алгебры, кроме того, использовалась ict-метрика Минков-
ского. В настоящей работе этот вопрос исследован заново.
При этом мы используем явный вид матриц Γa размерно-
сти 39 × 39 основного уравнения, записанного в декар-
товых координатах. Для выделения в волновой функции
больших и малых переменных используются проективные
операторы, строящиеся на основе минимального полино-
ма для матрицы Γ0. Разбиение на большие и малые пере-
менные проведено в явном виде, в каждой группе найде-
ны независимые переменные, а остальные выражены че-
рез них. В частности, среди больших переменных незави-
симыми являются только пять. После выполнения необхо-
димых приближений получено нерелятивистское уравне-
ние для 5-компонентной волновой функции; в нем выделен
член, описывающий взаимодействие магнитного момента
частицы с внешним магнитным полем. Этот дополнитель-
ный член взаимодействия строится из проекций оператора
спина частицы со спином 2 и компонент внешнего магнит-
ного поля.
1. Представление волновой функции
Уравнение Федорова [3] имеет в матричной форме сле-
дующий вид (используем обозначения из [12])
(
Γa ∂
∂xa
− m
)
Ψ(x) = 0.
Явные выражения для всех матриц см. в [13]. Компоненты
полной волновой функции (скаляр; вектор; симметричный
тензор; тензор 3-го ранга, антисимметричный по двум ин-
дексам), перечисляем так:
Ψ = {Φ;Φl; f, c, d, f0; φ0, φ1, φ2, φ3} =
= {H;H1;H2;H3} ,
H3 = Φ[mn]l ⇒
⇒ (Φ[01]l,Φ[02]l,Φ[03]l,Φ[23]l,Φ[31]l,Φ[12]l)t ⇒
(E1k,E2k,E3k,B1k,B2k,B3k)t = φk, k = 0, 1, 2, 3,
где t обозначает транспонирование. Матрица Γ = Γ0 удо-
влетворяет минимальному уравнению Γ7 − Γ5 = 0. Это
позволяет ввести три проективных оператора с необходи-
мыми свойствами:
P+ =
1
2
Γ5(Γ + I) = P1, P− =
1
2
Γ5(Γ − I) = P2,
P0 = I − Γ6 = P3.
Находим явный вид этих трех операторов. Ввиду громозд-
кости эти выражения опускаем. Действуя проективными
операторами на волновую функцию, получаем
Ψ+ =
=
(
0, 0, 0, 0, 0, (2E11 −E22 −E33 +2f1 −f2 −f3)/6,
(−E11 + 2E22 − E33 − f1 + 2f2 − f3)/6,
(−E11 − E22 + 2E33 − f1 − f2 + 2f3)/6,
(2c1 + E23 + E32)/4, (2c2 + E13 + E31)/4,
(2c3 + E12 + E21)/4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
(2E11 − E22 − E33 + 2f1 − f2 − f3)/6,
(2c3 + E12 + E21)/4, (2c2 + E13 + E31)/4,
0, 0, 0, (2c3 + E12 + E21)/4,
(−E11 + 2E22 − E33 − f1 + 2f2 − f3)/6,
(2c1 + E23 + E12)/4, 0
)t
=
=
(
0, 0, 0, 0, 0,L1,L2,L3,L4,L5,L6, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0,L7,L8,L9, 0, 0, 0,L10,L11,L12, 0
)t
,
Ψ− =
=
(
0, 0, 0, 0, 0, (−2E11+E22+E33+2f1−f2−f3)/6,
(E11 − 2E22 + E33 − f1 + 2f2 − f3)/6,
(E11 + E22 − 2E33 − f1 − f2 + 2f3)/6,
(2c1 − E23 − E32)/4, (2c2 − E13 − E31)/4,
(2c3 − E12 − E21)/4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
(2E11 − E22 − E33 − 2f1 + f2 + f3)/6,
(−2c3 + E12 + E21)/4, (−2c2 + E13 + E31)/4,
0, 0, 0, (−2c3 + E12 + E21)/4,
(−E11 + 2E22 − E33 + f1 − 2f2 + f3)/6,
(−2c1 + E23 + E32)/4, 0
)t
=
=
(
0, 0, 0, 0, 0, S1, S2, S3, S4, S5, S6, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, S7, S8, S9, 0, 0, 0, S10, S11, S12, 0
)t
,
Ψ0 =
=
(
Φ,Φ0,Φ1,Φ2,Φ3, (f1 + f2 + f3)/3,
(f1 + f2 + f3)/3, (f1 + f2 + f3)/3, 0, 0, 0,
d1, d2, d3, f0,E10,E20,E30,B10,B20,B30,
(E11 + E22 + E33)/3, (E21 − E12)/2,
(E31 − E13)/2,B11,B21,B31,
(E12 − E21)/2, (E11 + E22 + E33)/3,
(E32 − E23)/2,B12
)t
=
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
47
=
(
s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, 0, 0, 0, s9, s10, s11, s12,
s13, s14, s15, s16, s17, s18, s19, s20, s21,
s22, s23, s24, s25, s26, s27, s28
)t
.
Ищем независимые компоненты в каждой из трех групп пе-
ременных:
Ψ+, L10, L11, L13, L14, L15,
L1 = −L11 − L15, L2 = L11, L3 = L15,
L4 = L14, L5 = L13, L6 = L10, L7 = −L11 − L15,
L8 = L10, L9 = L13, L12 = L14;
Ψ−, S10, S11, S13, S14, S15,
S6 = −S10, S7 = −S11 − S15, S8 = S10,
S9 = S13, S12 = S14;
Ψ0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s9, s10, s11, s12, s13,
s14, s15, s16, s17, s18, s19, s20, s21,
s22, s23, s24, s27, s28, s29, s30, s34, s35, s36,
s7 = s6, s8 = s6, s25 = −s20, s26 = s19,
s31 = −s21, s32 = −s27, s33 = s19.
2. Получение системы из 39 уравнений
Подставляем волновую функцию, выраженную через
независимые большие и малые переменные, в исходное
уравнение
(
Γ0D0 + Γ1D1 + Γ2D2 + Γ3D3 −M
)
Ψ = 0,
Da = (∂a + ieAa). (1)
В результате получаем систему из 39 уравнений в явном
виде. Сразу же учитываем необходимость для получения
нерелятивистских уравнений выделять энергию покоя. Это
достигается формальной заменой (здесьM вещественный
и положительный массовый параметр)
D0 ⇒ (D0 − iM), M∗ = M, M > 0.
Важно, что при осуществлении этой формальной замены
предполагается вещественность и положительность пара-
метра массы. Ниже мы убедимся, что фактически входящий
в уравнение (1) параметр M связан с физической массой
μ > 0 соотношением M = −iμ. Следовательно, в конце
нужно будет сделать замену
−iM = −i(−iμ) = −μ, μ > 0. (2)
Кроме того, при получении нерелятивистского прибли-
жения следует предполагать, что порядок малости величин
следующий:
L : 1, S : x, s : x,
1
M
Di : x,
D0
M
Di : x2. (3)
Это позволит в каждом уравнении различать большие и ма-
лые величины.
В явном виде находим 39 уравнений. Заменяем пара-
метр M в крайних членах в каждом уравнении на δiM.
Как становится ясным ниже из требования, чтобы не воз-
никали условия связи на пять независимых больших пере-
менных (см., например, анализ случаев 6–8), следует пола-
гать δ = −1. Пренебрегаем малыми компонентами Si, si
на фоне больших Li и учитываем соотношения (3). Затем
собираем в отдельные группы большие величины одного
порядка:
1. (D0−iM)s2−D1s3−D2s4−D3s5−δiMs1 = 0,
x1 : i(s1 − s2) = 0, δ = −1, s2 − s1 = 0;
2.
D1s9
3M
+
D2s10
3M
+
D3s11
3M
+
+
(
D0
M
− i
)(s1
2
− s12
3
)
− δis2 = 0,
x1 : −1
6
i(6δs2 + 3s1 − 2s12) = 0, δ = −1,
1
2
s1 − s2 − 1
3
s12 = 0;
3. D1
(
1
3
(−L11 − L15 + s6 + S11 + S15) +
s1
2
)
+
+
1
3
D2(L10 − S10) +
1
3
D3(L13 − S13)−
−1
3
(D0 − iM)s9 − δiMs3 = 0,
x1 :
D2L10
3M
+
D3L13
3M
− D1(L11 + L15)
3M
+
+
1
3
i(3s1 + s9) = 0;
4. D2
(
1
3
(L11 + s6 − S11) +
s1
2
)
+
+
1
3
D1(L10 − S10) +
1
3
D3(L14 − S14)−
−1
3
(D0 − iM)s10 − δiMs4 = 0,
x1 :
D1L10
3M
+
D2L11
3M
+
D3L14
3M
+
+
1
3
i(3s4 + s10) = 0;
5. D3
(
1
3
(L15 + s6 − S15) +
s1
2
)
+
+
1
3
D1(L13 − S13) +
1
3
D2(L14 − S14)−
−1
3
(D0 − iM)s11 − δiMs5 = 0,
x1 :
D1L13
3M
+
D2L14
3M
+
D3L15
3M
+
+
1
3
i(3s5 + s11) = 0;
48
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
6.
(
D0
M
− i
)(
1
4
(−L11 − L15 − 2s19 − S11 − S15)+
+
3
4
(−L11 − L15 + s19 − S11 − S15) +
s2
2
)
+
+
D3
M
(
−s5
2
+
s15
4
− 3s23
4
− s28
4
)
+
+
D2
M
(
−s4
2
+
s14
4
+
3s24
4
+
s34
4
)
+
+
D1
M
(
3s3
2
+
s13
4
+
s30
4
− s35
4
)
−
−δi(−L11 − L15 + s6 + S11 + S15) = 0,
x0 : 0 = 0,
x1 : −1
4
i (2s2 − 4s6 + s19 − 8(S11 + S15)) = 0,
x2 : −D0
M
(L11+L15)− D3
4M
(2s5−s15+3s23+s28)+
+
D2
4M
(−2s4 + s14 + 3s24 + s34)+
+
D1
4M
(6s3 + s13 + s30 − s35) = 0;
7.
(
D0
M
− i
)(
1
4
(L11 − 2s19 + S11)+
+
3
4
(L11 + s19 + S11) +
s2
2
)
+
+
D3
M
(
−s5
2
+
s15
4
+
s23
4
+
3s28
4
)
+
+
D2
M
(
3s4
2
+
s14
4
− s24
4
+
s34
4
)
+
+
D1
M
(
−s3
2
+
s13
4
− 3s30
4
− s35
4
)
−
−δi(L11 + s6 − S11) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −1
4
i (2s2 − 4s6 + s19 + 8S11) = 0,
x2 :
D0L11
M
+
D3
4M
(−2s5 + s15 + s23 + 3s28)+
+
D2
4M
(6s4 + s14 − s24 + s34)−
− D1
4M
(2s3 − s13 + 3s30 + s35) = 0;
8.
(
D0
M
− i
)(
1
4
(L15 − 2s19 + S15)+
+
3
4
(L15 + s19 + S15) +
s2
2
)
+
+
D3
M
(
3s5
2
+
s15
4
+
s23
4
− s28
4
)
+
+
D2
M
(
−s4
2
+
s14
4
− s24
4
− 3s34
4
)
+
+
D1
M
(
−s3
2
+
s13
4
+
s30
4
+
3s35
4
)
−
−δi(L15 + s6 − S15) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −1
4
i (2s2 − 4s6 + s19 + 8S15) = 0,
x2 :
D0L15
M
+
D3
4M
(6s5 + s15 + s23 − s28)−
− D2
4M
(2s4 − s14 + s24 + 3s34)+
+
D1
4M
(−2s3 + s13 + s30 + 3s35) = 0;
9.
(
D0
M
− i
)(
1
2
(L14 − s27 + S14)+
+
1
2
(L14 + s27 + S14)
)
+
+
D2
M
(
s5 − s28
2
)
+
D3
M
(
s4 +
s34
2
)
+
D1
M
(s29
2
− s36
2
)
− δi(L14 − S14) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −2iS14 = 0,
x2 :
D0L14
M
− D2
2M
(s28 − 2s5)+
+
D3
2M
(2s4 + s34) +
D1
2M
(s29 − s36) = 0;
10.
(
D0
M
− i
)(
1
2
(L13 − s21 + S13)+
+
1
2
(L13 + s21 + S13)
)
+
+
D1
M
(
s5 +
s23
2
)
+
D3
M
(
s3 − s35
2
)
+
+
D2
M
(s36
2
− s22
2
)
− δi(L13 − S34) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −2iS13 = 0,
x2 :
D0L13
M
+
D1
2M
(2s5 + s23)−
− D3
2M
(s35 − 2s3) +
D2
2M
(s36 − s22) = 0;
11.
(
D0
M
− i
)(
1
2
(L10 − s20 + S10)+
+
1
2
(L10 + s20 + S10)
)
+
+
D1
M
(
s4 − s24
2
)
+
D3
M
(s22
2
− s29
2
)
+
+
D2
M
(
s3 +
s30
2
)
− δi(L10 − S10) = 0,
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
49
x0 : 0 = 0, x1 : −2iS10 = 0,
x2 :
D0L10
M
− D1
2M
(s24 − 2s4)+
+
D3
2M
(s22 − s29) +
D2
2M
(2s3 + s30) = 0;
12.
D2
M
(
1
2
(L10 + s20 + S10) +
s18
2
)
+
+
D3
M
(
1
2
(L13 + s21 + S13) − s17
2
)
+
+
D1
M
(
1
2
(−L11 − L15 + s19 − S11 − S15) + s2
)
+
+
(
D0
M
− i
)(
s3 +
s13
2
)
− δis9 = 0,
x1 :
D2L10
2M
+
D3L13
2M
− D1(L11 + L15)
2M
−
−1
2
i(2s3 − 2s9 + s13) = 0;
13.
D1
M
(
1
2
(L10 − s20 + S10) − s18
2
)
+
+
D2
M
(
1
2
(L11 + s19 + S11) + s2
)
+
+
D3
M
(
1
2
(L14 + s27 + S14) +
s16
2
)
+
+
(
D0
M
− i
)(
s4 +
s14
2
)
− δis10 = 0,
x1 :
D1L10
2M
+
D2L11
2M
+
D3L14
2M
−
−1
2
i(2s4 − 2s10 + s14) = 0;
14.
D1
M
(
1
2
(L13 − s21 + S13) +
s17
2
)
+
+
D2
M
(
1
2
(L14 − s27 + S14) − s16
2
)
+
+
D3
M
(
1
2
(L15 + s19 + S15) + s2
)
+
+
(
D0
M
− i
)(
s5 +
s15
2
)
− δis11 = 0,
x1 :
D1L13
2M
+
D2L14
2M
+
D3L15
2M
−
−1
2
i(2s5 − 2s11 + s15) = 0;
15.
(
D0
M
− i
)(
1
4
(L11 + s19 + S11)+
+
1
4
(−L11 − L15 + s19 − S11 − S15)+
+
1
4
(L15 + s19 + S15) +
3s2
2
)
+
+
D3
M
(
s5
2
+
3s15
4
− s23
4
+
s28
4
)
+
+
D2
M
(
s4
2
+
3s14
4
+
s24
4
− s34
4
)
+
+
D1
M
(
s3
2
+
3s13
4
− s30
4
+
s35
4
)
− δis12 = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −1
4
i (6s2 − 4s12 + 3s19+) = 0,
x2 :
D3
4M
(2s5 + 3s15 − s23 + s28)+
+
D2
4M
(2s4 + 3s14 + s24 − s34)+
+
D1
4M
(2s3 + 3s13 − s30 + s35) = 0;
16.
D1
M
(
1
3
(−L11 − L15 + s6 + S11 + S15) − s12
)
+
+
D2
3M
(L10 − S10) +
D3
3M
(L13 − S13)+
+
(
D0
M
− i
)
2s9
3
− δis13 = 0,
x1 :
D2L10
3M
+
D3L13
3M
− D1L11 + (L15)
3M
−
−2
3
is9 + is13 = 0;
17.
D2
M
(
1
3
(L11 + s6 − S11) − s12
)
+
+
D1
3M
(L10 − S10) +
D3
3M
(L14 − S14)+
+
(
D0
M
− i
)
2s11
3
− δis14 = 0,
x1 :
D1L10
3M
+
D2L11
3M
+
D3L14
3M
−
−2
3
is10 + is14 = 0;
18.
D3
M
(
1
3
(L15 + s6 − S15) − s12
)
+
+
D1
3M
(L13 − S13) +
D2
3M
(L14 − S14)+
+
(
D0
M
− i
)
2s11
3
− δis15 = 0,
x1 :
D1L13
3M
+
D2L14
3M
+
D3L15
3M
−
−2
3
is11 + is15 = 0;
19. − D3s10 + D2s11 − δiMs16 = 0,
50
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
x1 : is16 = 0, x2 :
D2s11
M
− D3s10
M
= 0;
20. −D3s9 −D1s11 −δiMs17 = 0, x1 : is17 = 0;
21. −D2s9 +D1s19 −δiMs18 = 0, x1 : is18 = 0;
22.
(
D0
M
− i
)(
−L11 − L15 + s6 − s12
3
+ S11 + S15
)
−
−2D1s9
3M
+
D2s10
3M
+
D3s11
3M
−
−δi(−L11 − L15 + s19 − S11 − S15) = 0,
x0 : 0 = 0,
x1 : −1
3
i (3s6 − s12 − 3s19 + 6(S11 + S15)) = 0,
x2 : −D0(L11 + L15)
M
−2D1s9
3M
+
D2s10
3M
+
D3s11
3M
= 0;
23.
(
D0
M
− i
)
(L10 − S10) − D2s9
3M
−
−δi(L10 + s20 + S10) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : i(s20 + 2S10) = 0,
x2 :
D0L10
M
− D2s9
M
= 0;
24.
(
D0
M
− i
)
(L13 − S13) − D3s9
M
−
−δi(L13 + s21 + S13) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : i(s21 + 2S13) = 0,
x2 :
D0L13
M
− D3s9
M
= 0;
25.
D3
M
(L10 − S10) +
D2
M
(L13 − S13) − δis22 = 0,
δ = −1, x1 : −D3L10
M
+
D2L13
M
+ is22 = 0;
26.
D3
M
(1
3
(L15 + s6 − S15) − L11 − L15+
+s6 + S11 + S15
)
− 2
3M
D1(L13 − S13)+
+
1
3M
D2(L14−S14)− 1
3M
(D0−iM)s11−δis23 = 0,
x1 : −2D1L13
3M
+
D2L14
3M
− D3(3L11 + 2L15)
3M
+
+
1
3
i(s11 + 3s23) = 0;
27.
D2
3
M(2L11 + 3L15 − 4s6 − 2S11 − 3S15)+
+
2D1
3M
(L10 − S10) +
D3
3M
(S14 − L14)+
+
(D0 − iM)s10
3M
+ is24 = 0, δ = −1,
x1 :
2D1L10
3M
− D3L14
3M
+
D2(2L11 + 3L15)
3M
−
−1
3
i(s10 − 3s24) = 0;
28.
(
D0
M
− i
)
(L10 − S10) − D1s10
3M
−
−δi(L10 − s20 + S10) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −i(s20 − 2S10) = 0,
x2 :
D0L10
M
− D1s10
M
= 0;
29.
(
D0
M
− i
)(
L11 + s6 − s12
3
− S11
)
+
+
D1s9
3M
− 2D2s10
3M
+
D3s11
3M
−
−δi(L11 + s19 + S11) = 0,
x0 : 0 = 0,
x1 : −1
3
i (−3(s19 + 2S11) + 3s6 − s12) = 0,
x2 :
D0L11
M
+
D1s9
3M
− 2D2s10
3M
+
D3s11
3M
= 0;
30.
(
D0
M
− i
)
(L14 − S14) − D3s10
M
−
−δi(L14 + s27 + S14) = 0, x0 : 0 = 0,
x1 : i(s27 +2S14) = 0, x2 :
D0L14
M
− D3s10
M
= 0;
31.
D3
3M
(−3L11 − L15 − 4s6 + 3S11 + S15)+
+
D1
3M
(S13 − L13) +
2D2
3M
(L14 − S14)+
+
(D0 − iM)s11
3M
− δis28 = 0,
x1 : −D1L13
3M
+
2D2L14
3M
− D3(3L11 + L15)
3M
−
−1
3
i(s11 − 3s28) = 0;
32.
D3
M
(L10 − S10) +
D1
M
(S14 − L14) − δis29 = 0,
δ = −1, x1 :
D3L10
M
− D1L14
3M
+ is29 = 0;
33.
D1
M
(1
3
(−L11 − L15 + s6 + S11 + S15)+
+L11+s6−S11
)
−2D2
3M
(L10−S10)+
D3
3M
(L13−S13)−
−(D0 − iM)s9
3M
− δis30 = 0,
x1 : −2D2L10
3M
+
D3L13
3M
− D1(L15 − 2L11)
3M
+
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
51
+
1
3
i(s9 + 3s30) = 0;
34.
(
D0
M
− i
)
(L13 − S13) − D1s11
M
−
−δi(L13 − s21 + S13) = 0, x0 : 0 = 0,
x1 : −i(s21−2S13) = 0, x2 :
D0L13
M
−D1s11
M
= 0;
35.
(
D0
M
− i
)
(L14 − S14) − D2s11
M
−
−δi(L14 − s27 + S14) = 0, x0 : 0 = 0,
x1 : −i(s27−2S14) = 0, x2 :
D0L14
M
−D2s11
M
= 0;
36.
(
D0
M
− i
)
(L15 + s6 − s12
3
− S15) +
D1s9
3M
+
+
D2s10
3M
− 2D3s11
3M
− δi(L15 + s19 + S15) = 0,
x0 : 0 = 0, x1 : −1
3
i(−3(s19+2S15)+3s6−s12) = 0,
x2 :
D0L15
M
+
D1s9
3M
+
D2s10
3M
− 2D3s11
3M
= 0;
37.
D2
M
(1
3
(L11 + s6 − S11) + L15 + s6 − S15
)
+
+
D1
3M
(L10 − S10) − 2D3
3M
(L14 − S14)−
−(D0 − iM)s10
3M
− δis34 = 0,
x1 :
D1L10
3M
− 2D3L14
3M
+
D2(L11 + 3L15)
3M
+
+
1
3
i(s10 + 3s34) = 0;
38.
D1
M
(L11 − 2L15 − 4s6 − S11 + 2S15)+
+
D2
3M
(L10 − S10) +
2D3
3M
(L13 − S13)+
+
(D0 − iM)s9
3M
− δis35 = 0,
x1 : −D2L10
3M
+
2D3L13
3M
+
D1(L11 − 2L15)
3M
−
−1
3
i(s9 − 3s35) = 0;
39.
D2
M
(S13 − L13) +
D1
3M
(L14 − S14) − δis36 = 0,
x1 : −D2L13
M
+
D1L14
M
+ is36 = 0.
3. Исключение малых компонент
Эти уравнения можно распределить в три группы:
в группу I собираем линейные связи между малыми пе-
ременными, в группу II — уравнения, позволяющие выра-
зить малые переменные через большие с использованием
операторовD1,D2,D3, в группу III —уравнения, содер-
жащие оператор D0. Для получения уравнений с нереля-
тивистской структурой достаточно воспользоваться только
уравнениями из групп II и III. Решаем систему уравнений
из группы II относительно малых переменных, в результа-
те получаем
s3 = 0, s4 = 0, s5 = 0,
s9 =
i
M
(
D2L10 + D3L13 − D1(L11 + L15)
)
= s13,
s10 =
i
M
(D1L10 + D2L11 + D3L14) = s14,
s11 =
i
M
(D1L13 + D2L14 + D3L15) = s15,
s22 =
i
M
(D2L13 − D3L10),
s23 = − i
M
(
D1L13 + D3(L11 + L15)
)
,
s24 =
i
M
(
D1L10 + D2(L11 + L15)
)
,
s28 =
i
M
(D2L14 − D3L11),
s29 =
i
M
(D3L10 − D1L14),
s30 =
i
M
(D1L11 − D2L10),
s34 =
i
M
(D2L15 − D3L14),
s35 =
i
M
(D3L13 − D1L15),
s36 =
i
M
(D1L14 − D2L13).
Подставляем эти выражения для малых переменных
в уравнения из группы III. В получающихся уравнениях
группируем слагаемые по большим переменным. В резуль-
тате получаем 15 уравнений с необходимой нерелятивист-
ской структурой. Для дальнейшего их удобно пронумеро-
вать, также вводим более короткие обозначения
L10 = L1, L11 = L2, L13 = L3, L14 = L4, L15 = L5
и выделяем в уравнениях члены с производной D0:
1. iD2D1L1 + iD2D2L2 + iD3D3L2 + iD3D1L3+
+iD2D2L5 + iD3D3L5 − D0L2M − D0L5M = 0,
2. iD1D2L1 − iD1D1L2 − iD3D3L2+
+iD3D2L4 + D0L2M = 0,
52
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
3. iD1D3L3 + iD2D3L4 − iD1D1L3−
−iD2D2L3 + D0L5M = 0,
4.
1
2
iD1D3L4+
1
2
iD2D3L2+
1
2
iD1D2L3−iD1D1L4−
−1
2
iD2D2L4−1
2
iD3D3L4+
1
2
iD3D2L5+D0L4M = 0,
5.
1
2
iD2D3L1−1
2
iD1D3L2−1
2
iD1D1L3−iD2D2L3−
−1
2
iD3D3L3 +
1
2
iD2D1L4 +
1
2
iD3D1L5−
−1
2
iD1D3L5 + D0L3M = 0,
6. −1
2
iD1D1L1−1
2
iD2D2L1−iD3D3L1+
1
2
iD2D1L2−
−1
2
iD1D2L2 +
1
2
iD3D2L3 +
1
2
iD3D1L4−
−1
2
iD1D2L5 + D0L1M = 0,
7.
1
3
iD2D1L1−2
3
iD1D2L1+
2
3
iD1D1L2+
1
3
iD2D2L2+
+
1
3
iD3D1L3−2
3
iD1D3L3+
1
3
iD3D2L4+
1
3
iD2D3L4+
+
2
3
iD1D1L5 +
1
3
iD3D3L5 −D0L2M −D0L5M = 0,
8. − iD2D2L1 + iD2D1L2 − iD2D3L3+
+iD2D1L5 + D0L1M = 0,
9. − iD3D2L1 + iD3D1L2 − iD3D3L3+
+iD3D1L5 + D0L3M = 0,
10. −iD1D1L1−iD1D2L2−iD1D3L4+D0L1M = 0,
11. − 2
3
iD2D1L1 +
1
3
iD1D2L1 − 1
3
iD1D1L2−
−2
3
iD2D2L2+
1
3
iD3D1L3+
1
3
iD1D3L3+
1
3
iD3D2L4−
−2
3
iD2D3L4−1
3
iD1D1L5+
1
3
iD3D3L5+D0L2M = 0,
12. −iD3D1L1−iD3D2L2−iD3D3L4+D0L4M = 0,
13. −iD1D1L3−iD1D2L4−iD1D3L5+D0L3M = 0,
14. −iD2D1L3−iD2D2L4−iD2D3L5+D0L4M = 0,
15.
1
3
iD2D1L1 +
1
3
iD1D2L1 − 1
3
iD1D1L2+
+
1
3
iD2D2L2−2
3
iD3D1L3+
1
3
iD1D3L3−2
3
iD3D2L4+
+
1
3
iD2D3L4−1
3
iD1D1L5−2
3
iD3D3L5+D0L5M = 0.
Далее преобразуем все уравнения с учетом тождеств
DiDj =
1
2
(DiDj + DjDi) +
1
2
(DiDj − DjDi) =
=
1
2
(DiDj + DjDi) + ieFij = Dij + ieFij .
Тогда возникнут уравнения, составленные из величин
2iMD0Lk, D(11) = D2
1Lk, D(22) = D2
2Lk,
D(33) = D2
3Lk, D(23)Lk, D(32)Lk, D(12)Lk,
F(23)Lk, F(31)Lk, F(12)Lk.
Будем комбинировать эти уравнения, как указано ниже.
Сначала получаем пять уравнений с нужной структурой
10, 2iD0L1M + 2D11L1 + 2D12L2 + 2D31L4+
+2ieF12L2 − 2ieF31L4 = 0,
2 + 10, 2iD0L2M−2D12L1
3
+
4D11L2
3
+
2D22L2
3
+
+D33L2 − 2D31L3
3
− 2D23L4
3
+
D11L5
3
− D33L5
3
−
−2ieF12L1 + 2ieF23L4 = 0,
13, 2iD0L3M + 2D11L3 + 2D12L4 + 2D31L5+
+2ieF12L4 − 2ieF31L5 = 0,
14, 2iD0L4M + 2D12L3 + 2D22L4 + 2D23L5−
−2ieF12L3 + 2ieF23L5 = 0,
3, 2iD0L5M − 2D31L3 − 2D23L4 + 2D11L5+
+2D22L5 + 2ieF31L3 − 2ieF23L4 = 0. (4)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
53
4. Уравнения связи
Потом получаем уравнения связи (около каждого урав-
нения указан способ его получения) (1 + 7)+ (2 + 11)+
2 · (3)
−8D12L2
3
+
4D11L2
3
− 4D22L2
3
− 20D23L4
3
+
+
10D11L5
3
+ 2D22L5 − 10D33L5
3
= 0,
1 − 7
−8D12L2
3
+
4D11L2
3
− 4D22L2
3
−2D33L2− 8D31L3
3
+
+
4D23L4
3
+
4D11L3
3
− 2D22L5 − 4D33L5
3
3 = 0,
6 − 10
−D11L1 + D22L1 + 2D33L1 − 2D12L2 − D23L3−
−D31L4+D12L5+ieF23L3+ieF31L4+ieF12L5 = 0,
8 − 10
−D11L1 + 2D22L1 − 4D12L2 + 2D23L3 − 2D31L4−
−2D12L5 + 2ieF23L3 + 2ieF31L4 + 2ieF12L5 = 0,
2 − 11
−8D12L1
3
+
4D11L2
3
− 4D22L2
3
+2D33L2+
4D31L3
3
−
−8D23L4
3
− 2D11L5
3
+ 2D33L5 = 0,
5 − 13
−D23L1 + D31L2 − D11L3 + 2D22L3 + D33L3−
−3D12L4−2D31L5−ieF23L1−ieF31L2−ieF12L4 = 0,
9 − 13
2D23L1 − 2D31L2 − 2D11L3 + 2D33L3 − 2D12L4−
−4D31L5 − 2ieF23L1 − 2ieF31L2 − 2ieF12L4 = 0,
4 − 14
−D31L1 − D23L2 − 3D12L3 + 2D11L4 − D22L4+
+D33L4 − 3D23L5 + ieF31L1−
−ieF23L2 + ieF12L3 − ieF23L5 = 0,
12 − 14
2D31L1 + 2D23L2 − 2D12L3 − 2D22L4 + 2D33L4−
−2D23L5 + 2ieF31L1 − 2ieF23L2+
+2ieF12L3 − 2ieF23L5 = 0,
15 − 3
−4D12L1
3
+
2D11L2
3
− 2D22L2
3
+
8D31L3
3
+
+
8D23L4
3
− 4D11L5
3
− 2D22L5 +
4D33L5
3
= 0,
Запишем последнюю систему из 10 уравнений в матрич-
ной форме
A(10×15)
(
D12L1,D12L2,D12L3,D12L4,D12L5,
D31L1,D31L2,D31L3,D31L4,D31L5,D23L1,
D23L2,D23L3,D23L4,D23L5
)t
= Y(10×1). (5)
Столбец Y(10×1) имеет следующие строки
Y1 = −4D11L2
3
+
4D22L2
3
− 10D11L5
3
−
−2D22L5 +
10D33L5
3
,
Y2 = −4D11L2
3
+
4D22L2
3
+ 2D33L2 − 4D11L5
3
+
+2D22L5 +
4D33L5
3
,
Y3 = D11L1 − D22L1 − 2D33L1 − ieF23L3−
−ieF31L4 − ieF12L5,
Y4 = 2D11L1 − 2D22L1−
−2ieF23L3 − 2ieF31L4 − 2ieF12L5,
Y5 = −4D11L2
3
+
4D22L2
3
− 2D33L2+
+
2D11L5
3
− 2D33L5
3
,
Y6 = D11L3 − 2D22L3 − D33L3 + ieF23L1+
+ieF31L2 + ieF12L4,
Y7 = 2D11L3 − 2D33L3 + 2ieF23L1+
+2ieF31L2 + 2ieF12L4,
Y8 = −2D11L4+D22L4−D33L4−ieF31L1+ieF23L2−
−ieF12L3 + ieF23L5,
Y9 = 2D22L4 − 2D33L4 − 2ieF31L1 + 2ieF23L2−
−2ieF12L3 + 2ieF23L5,
Y10 = −2D11L2
3
+
2D22L2
3
+
4D11L5
3
+
+2D22L5 − 4D33L5
3
. (6)
Матрица A(10×15) в левой части уравнения (5) имеет сле-
дующие ненулевые элементы
A11 = A21 = A51 = A28 = A5,14 = −A10,8 =
= −A10,14 = −8
3
, A58 = A2,14 = −A10,1 =
4
3
,
A32 = A93 = A74 = A45 = A96 = A77 = A49 =
= A6,10 = A9,15 = −A96 = −A7,11 = −A9,12 =
= −A4,13 = −2, A83 = A64 = A39 = A8,15 = −3,
A42 = A7,10 = −4, A86 = A6,11 = A8,12 = A3,13 =
54
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
= −A35 = −A67 = −1, A18 = A1,14 = −20
3
.
Остальные элементы матрицы равны нулю.
Убеждаемся, что ранг матрицы A(10×15) равен 9, по-
скольку при отбрасывании первой строки ранг не меняет-
ся. Следовательно, первая строка должна раскладывать-
ся по девяти остальным x1 = b2x2 + b3x3 + . . . +
b10x10. Легко находим необходимые коэффициенты: b2 =
1, b3 = 0, b4 = 0, b5 = 1, b6 = 0, b7 =
0, b8 = 0, b9 = 0, b10 = −2. Убеждаемся, что такое же
разложение верно и для строк в правой части уравнения
y1 = b2y2 +b3y3 +. . .+b10y10. Следовательно, в систе-
ме 10 уравнений первое можно отбросить, поскольку оно —
это следствие остальных. Таким образом, получаем более
простую неоднородную систему из девяти уравнений
A(9×15)
(
D12L1,D12L2,D12L3,D12L4,D12L5,
D31L1,D31L2,D31L3,D31L4,D31L5,D23L1,
D23L2,D23L3,D23L4,D23L5
)t
= ˆ Y(9×1).
Строки столбца ˆ Y(9×1) совпадают со строками столбца
Y(10×1) (6) начиная со второй ˆ Yk = Yk+1, k =
1, 2, . . . , 9.
В матрице 9×15 ищем подматрицу 9×9 с ненулевым
определителем. Убеждаемся, что можно оставить столб-
цы 1, 2, . . . , 8, 14. В результате получаем эквивалентное
неоднородное уравнение. Его решение находим стандарт-
ным методом
D12L1 =
1
2
(D11L2 − D22L2 − D22L5),
D12L2 =
1
2
(−D11L1 + D22L1 + D33L1 − 2D31L4+
+ieF23L3 + ieF31L4 + ieF12L5),
D12L3 =
1
2
(D11L4 − D22L4 + D33L4 − 2D23L5+
+ieF31L1 − ieF23L2 + ieF12L3 − ieF23L5),
D12L4 =
1
2
(−D11L3 + D22L3 + D33L3 − 2D31L5−
−ieF23L1 − ieF31L2 − ieF12L4),
D12L5 = −D33L1 + D23L3 + D31L4,
D31L1 =
1
2
(−2D23L2 + D11L4 + D22L4 − D33L4−
−ieF31L1 + ieF23L2 − ieF12L3 + ieF23L5),
D31L2 =
1
2
(2D23L2 − D11L3 − D22L3 + D33L3−
2D31L5 − ieF23L1 − ieF31L2 − ieF12L4),
D31L3 =
1
2
(−D33L2 + D11L5 − D33L5),
D23L4 =
1
2
(D33L2 + D22L5).
5. Система нерелятивистских уравнений
Учтем эти равенства в уравнениях (4). В результате по-
лучаем
2iMD0L1 = −(D11 + D22 + D33)L1+
+ie{−F23L3 + F31L4 + F12(−2L3 − L5)},
2iMD0L2 = −(D11 + D22 + D33)L2+
+ie{−2F23L4 + 2F12L1},
2iMD0L3 = −(D11 + D22 + D33)L3+
+ie{F23L1 + F31(L2 + 2L5) − F12L4},
2iMD0L4 = −(D11 + D22 + D33)L4+
+ie{F23(L2 − L5) − F31L1 + F12L3},
2iMD0L5 = −(D11 + D22 + D33)L5+
+ie{2F23L4 − 2F31L3}.
С учетом замены (2), запишем эту систему в виде искомого
нерелятивистского матричного уравнения для частицы со
спином 2
iD0Ψ = − 1
2μ
(D2
1 + D2
2 + D2
3)Ψ−
− ie
2μ
(F23S1 + F31S2 + F12S3)Ψ, (7)
где
Ψ = (L1,L2,L3,L4,L5)t,
S1 =
0 0 −1 0 0
0 0 0 −2 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 −1
0 0 0 2 0
,
S2 =
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 1 0 0 2
−1 0 0 0 0
0 0 −2 0 0
,
S3 =
0 −2 0 0 −1
2 0 0 0 0
0 0 0 −1 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
.
Нетрудно убедиться, что имеют место правильные комму-
тационные соотношения для компонент оператора спина
[S1, S2] = S3, [S2, S3] = S1, [S3, S1] = S2.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
55
6. Заключение
В заключение отметим следующее. Ввиду того, что
система пяти нерелятивистских уравнений значительно
проще 39 релятивистских, выведенное нерелятивистское
уравнение позволяет решить квантовомеханические зада-
чи с участием частиц со спином 2. Это становится акту-
альной задачей в свете того, что экспериментально обна-
ружены короткоживущие массивные частицы со спином 2.
В частности, это задачи о частице в магнитном и кулонов-
ском полях. Также возникает задача об обобщении разви-
того подхода на общековариантный случай для того, что-
бы иметь возможность учитывать влияние гравитационных
эффектов на массивные частицы со спином 2.
Кроме того, полученный результат следует обобщить
на теорию частицы со спином 2, имеющей ненулевой
аномальный магнитный момент. Соответствующая реляти-
вистская теория развита на основе использования 5-ком-
понентной системы уравнений первого порядка. Понятно,
что анализ нерелятивистского предела здесь будет пред-
ставлять существенно более сложную задачу.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Pauli, W. Über relativistische Feldleichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetishen Feld / W. Pauli, M. Fierz // Helv. Phys. Acta. – 1939. – Bd. 12. – P. 297–300.
2. Fierz, M. On relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field / M. Fierz, W. Pauli // Proc. Roy. Soc. London. A. – 1939. – Vol. 173. – P. 211–232.
3. Федоров, Ф. И. К теории частицы со спином 2 / Ф. И. Фе-доров // Уч. зап. БГУ. Сер. физ.-мат. – 1951. – Вып. 12. –С. 156–173.
4. Regge, T. On properties of the particle with spin 2 / T. Regge // Nuovo Cimento. – 1957. – Vol. 5. – № 2. – P. 325–326.
5. Богуш, А. А. О матрицах уравнений для частиц со спином 2 / А. А. Богуш, Б. В. Крылов, Ф. И. Федоров // Весцi НАН Беларуси. Сер. фiз.-мат. навук. – 1968. – Т. 1. – С. 74–81.
6. Кисель, В. В. К релятивистским волновым уравнениям для частицы со спином 2 / В. В. Кисель // Весцi НАН Беларуси. Сер. фiз.-мат. навук. – 1986. – Т. 5. – С. 94–99.
7. Богуш, А. А. Об описании аномального магнитного момента массивной частицы со спином 2 в теории релятивистских волновых уравнений / А. А. Богуш, В. В. Кисель // Известия вузов. Физика. – 1988. – Т. 31, № 3. –С. 11–16.
8. Богуш, А. А. Об уравнениях для частицы со спином 2 во внешних электромагнитных и гравитационных полях / А. А. Богуш, В. В. Кисель, Н. Г. Токаревская, В. М. Редьков // Весцi НАНБ. Сер. фiз.-мат. навук. – 2003. – № 1. –С. 62–67.
9. Red’kov, V. M. Graviton in a curved spacetime background and gauge symmetry / V. M. Red’kov, N. G. Tokarevskaya, V. V. Kisel // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2003. – Vol. 6, № 3. – P. 772–778.
10. Кисель, В. В. Анализ вклада калибровочных степеней свободы в структуру тензора энергии-импульса безмассового поля со спином 2 / В. В. Кисель, Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, В. М. Редьков // Весцi НАН Беларуси. Сер.фiз.-мат. навук. – 2015. – № 2. – С. 58–63.
11. Кисель, В. В. Нерелятивистский предел в теории ча стицы со спином 2 / В. В. Кисель, Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, В. М. Редьков // Доклады НАН Беларуси. – 2015. –Т. 59, № 3. – С. 21–27.
12. Редьков, В. М. Поля частиц в римановом пространствеи группа Лоренца / В. М. Редьков. – Минск : Белорусская наука, 2009. – 486 с.
13. Ivashkevich, A. On the matrix equation for a spin 2 particle in pseudo-Riemannian space-time, tetrad method / A. Ivashkevich, A. Buryy, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Kisel, V. Red’kov / Proceedings of Balkan Society of Geometers. – 2021. – Vol. 28. – P. 45–66.
14. Ivashkevich, A. V. On new form of the 50-component theory for spin 2 particle with anomalous magnetic moment in the basis of tensors of 2-nd and 3-rd ranks / A. V. Ivashkevich, A. V. Bury, V. M. Red’kov, V. V. Kisel // Nonlinear Dynamics and Applications. – 2023. – Vol. 29. – P. 289–330.
