Saint Petersburg, Russian Federation
We shortly report on the combinatorial variety of C62 to C150 fullerenes, obtained and characterized by symmetry point groups using original computer algorithms. It is established that all 28 symmetry point groups allowed for fullerenes are already realized in the range C20 to C140. The criteria of internal verification of the results are proposed.
fullerene, combinatorial diversity, automorphism group order, symmetry point group
Введение
После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].
Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: [1] — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.
Методика и результаты
Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С62; — С68; 622 — С72; — C92; 235 — C140. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С20 — С140. Из них 6 некристаллографических: 52, , , , 235, . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4, 422, 4/m, 4mm, 4/mmm, гексагональные — 6, 6/m, 6mm и кубические 432, .
Обсуждение
Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.
В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h2 + ht + t2, h ≥ t = 0, 1, 2…[2] Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h2 и Т = 3h2, h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С20, С80 и С60 получены при генерировании ранее. Следующие за ними С180 и С240 выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С140, С260. Фуллерен С140 получен при генерировании в этом исследовании, С260 выходит за изученный диапазон.
Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.
Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4, 422, 4/m, 4mm, 4/mmm и кубические 432, . т. г. с.
Невозможность гексагональных т. г. с. 6, 6/m, 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 11, 12, 21 и 22. Построением проверяется, что в подтипах 11 (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 21 (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 12 — с т. г. с.6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором). Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.
Заключение
Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.
1. Voytekhovsky Yu. L. Iz opyta prepodavaniya. III. Kristallografiya ikosaedricheskikh virusov (From teaching experience. III. Crystallography of icosahedral viruses). Vestnik of Geosciences, 2020, 4, pp. 40-44. DOI:https://doi.org/10.19110/geov.2020.4.6.
2. Voytekhovsky Yu. L., Stepenshchikov D. G. Fullereny C20-C60: katalog kombinatornykh tipov i tochechnykh grupp simmetrii (C20 to C60 fullerenes: combinatorial types and symmetry point groups catalogue). Apatity: K & M, 2002, 55 p.
3. Voytekhovsky Yu. L., Stepenshchikov D. G. Fullereny C62-C100: katalog kombinatornykh tipov i tochechnykh grupp simmetrii (C62 to C100 fullerenes: combinatorial types and symmetry point groups catalogue). Apatity: K & M, 2003, 50 pp.
4. Stepenshchikov D. G. O transformatsii fullerenov (On the transformation of fullerenes). Vestnik KSC RAS, 2016, 24, pp. 32-37.
5. Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses. Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol., 1962, v. 27, pp. 1-24.
6. Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6. Comm. Math. Comput. Chem., 2009, v. 61, pp. 589-602.
7. Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995, 392 p.
8. Goldberg M. A class of multi-symmetric polyhedral. Tohoku Math. J., 1937, v. 43, pp. 104-108.
9. Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules. Nature, 1986, v. 323, pp. 703-706.
10. Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70. Nature, 1987, v. 329, pp. 529-531.
11. Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene. Nature, 1985, v. 318, pp. 162-163.
12. Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen. Math. Ann., 1971, v. 192, pp. 279-303.
13. Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species. Chem. Phys. Letters, 1986, v. 128, pp. 501-503.
14. Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals. J. Chem. Soc., 1997, v. 93, pp. 3289-3294.
