The paper considers the problems on the stability of a system of circular rings interconnected in such a way that the displacements of these rings and the rotation angles of their sections coincide at some points. This problem is reduced to some variational problem with restrictions on the desired functions in the form of linear equations. The Fourier series are used for a finite-dimensional approximation. The paper also presents the problem on the stability of a system of circular rings reinforced with inextensible threads that do not withstand compressive forces. In this case, there are constraints in the form of inequalities, and after a finite-dimensional approximation, the problem is reduced to finding bifurcation points for nonlinear programming problems in the presence of constraints in the form of inequalities.
stability, variational problems, bifurcation points, rings
Введение
От работ Эйлера по теории продольного изгиба берет
свое начало теория устойчивости упругих систем. Задачи
упругой устойчивости в классическом случае сводятся к
отысканию и исследованию точек бифуркации нелиней-
ных уравнений равновесия. Линеаризация этих уравнений
приводит к некоторой линейной краевой задаче на соб-
ственные значения. Современное состояние теории упру-
гой устойчивости изложено в монографии [1]. Задачи устой-
чивости круговых арок и колец, находящихся под действи-
ем равномерного давления, подробно изложены в рабо-
тах [2, 3]. Исследования в области устойчивости арок не
прекращаются и в настоящее время [4]. При потере устой-
чивости колец и арок происходит либо плоская дефор-
мация (все перемещения происходят в плоскости неде-
формированного кольца), либо пространственная (пере-
мещение перпендикулярно плоскости кольца, и присут-
ствует кручение). Но в случае, когда кольца связаны друг
с другом, при потере устойчивости возникают перемеще-
ния как в плоскости кольца, так и деформации, перпен-
дикулярные его плоскости, что существенно увеличивает
критическую нагрузку. В настоящей работе рассматрива-
ется задача устойчивости системы колец, подкрепленных
нерастяжимыми нитями так, что расстояние между точ-
ками прикрепления концов нити не может увеличиваться,
и они не выдерживают сжимающих усилий. При матема-
тической формализации расчет на устойчивость сводит-
ся к отысканию параметра нагрузки, при котором происхо-
дит бифуркация решения задачи вариационного исчисле-
ния при наличии ограничений на искомые функции в ви-
де неравенств. При конечномерной аппроксимации полу-
чаем задачу нахождения параметра нагрузки, при кото-
рой происходит бифуркация решений задач нелинейного
программирования. Последняя задача может быть сведена
к идентификации условной положительной определенно-
сти квадратичных форм на конусах. Аналитические крите-
рии условной положительной определенности квадратич-
28
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
ных форм в важном частном случае, когда конус представ-
ляет собой положительный ортант в Rn, приведены в [5,
6], но для их применения необходимо считать большое ко-
личество определителей, что в вычислительном отношении
является крайне неэффективным. В общем случае требует-
ся применять методы глобальной оптимизации, например
метод ветвей и границ [7]. Некоторые задачи устойчивости
и закритического поведения при наличии односторонних
ограничений на перемещения рассмотрены в работах [8–
10].
1. Пространственная деформация круговых
арок
Пусть тонкий упругий стержень, представляющий со-
бой кольцо радиусаR , находится в равновесии, силы рав-
номерно распределены по его длине. Предполагается, что
сечение стержня постоянно, и одна из главных осей инер-
ции поперечного сечения лежит в плоскости дуги. В неко-
торой точкеM0 проведем три взаимно перпендикулярные
оси (x0, y0, z0): ось y0 направлена по одной из главных
осей инерции сечения, перпендикулярного плоскости ду-
ги, ось x0, соответственно, направлена к центру кривизны
дуги, ось z0 — по касательной к дуге стержня. Пусть в ре-
зультате деформации стержня оси (x0, y0, z0) переходят
в оси (x, y, z), точка M0 переходит в точку M, проекции
перемещений точкиM0 на оси (x0, y0, z0) обозначим че-
рез u,w, v. Система координат (x, y, z) получается из си-
стемы (x0, y0, z0) путем переноса и путем поворота вокруг
осей (x0, y0, z0) на углы α, β, γ. Считая деформации ма-
лыми, можем написать уравнения Клебша [1]:
8>>>><
>>>>:
β =
du
ds
+
1
R
w,
−α =
dv
ds
,
dw
ds
− 1
R
u = 0,
(1)
где ds = Rdϑ, ϑ ∈ [−π, π] — центральный угол дуги
стержня. Третье уравнение выражает условие несжимае-
мости оси стержня.
Упругая энергия стержня в результате деформации
определяется формулой
U =
1
2
Zα1
α0
(Aδp2 + Bδq2 + Cδr2)Rdϑ, (2)
где A,B — жесткости стержня на изгиб, C — жесткость
стержня при кручении.
8><
>:
δp = 1
R(α′ + γ) = 1
R
− 1
Rv′ + γ
,
δq = 1
Rβ′ = 1
R2 (u′′ + u),
δr = 1
R(γ − α) = 1
R
γ + 1
Rv′
,
(3)
где штрих обозначает производную по ϑ.
Предположим, что кольцо нагружено давлением P,
равномерно распределенным по его оси. При любой вели-
чине давления возможна круговая (первоначальная) фор-
ма равновесия.
Если давление достаточно велико, то первоначальная
круговая форма становится неустойчивой, и арка прини-
мает другую, нетривиальную форму. Предположим, что на-
грузка P постоянно направлена к центру кривизны. В этом
случае работа внешних сил равна fW = PRW , где
W(u,w, v, γ) =
1
2
Zπ
−π
2u2 − u
′2 − v
′2 + v2
dϑ. (4)
В положении равновесия функционал полной энергии
J(u,w, v, γ) = U −W =
1
2
Zα1
α0
"
B
R2 (u
′′
+ u)2+
+
A
R2
1
R
v
′′ − γ
2
#
Rdv − fW (5)
принимает минимальное значение. В (5) A,B,C — упругие
постоянные. Система уравнений Эйлера для функционала
(5) распадается на две независимые подсистемы (6) и (7)
B
R3 (uIV + 2u
′′
+ u) + P(u
′′
+ u) = 0, (6)
Ai
R3 v(4) − Ai
R2 γ
′′ − Ci
R3 v
′′ − Ci
R2 γ
′′
+ P(v
′′
+ v) = 0,
Ai
R3 v
′′ − Ai
R2 γ +
Ci
R2 v
′′
+
Ci
R
γ
′′
= 0. (7)
Это означает, что при потере устойчивости происходит ли-
бо плоская деформация, при которой v = 0, γ = 0, либо
пространственная (u = 0, w = 0).
Для определения критического давления требуется
найти минимальное значение силы P, при котором задача
на минимум функционала (5), или, что то же самое, система
дифференциальных уравнений (6) или (7), имеет нетриви-
альное решение. Очевидно, последняя задача эквивалент-
на вариационной проблеме изопериметрического типа
J → min при ограничении W = 1. (8)
Функции u,w, v, γ должны быть 2π-периодическими. Ис-
пользуя ряды Фурье, получим значения критической силы:
— в случае плоской деформации (v = 0, γ = 0)
P1 = 4.5
B
R3 , (9)
— в пространственном случае (u = 0, v = 0)
P2 =
A
R3
12
4 + A
C
. (10)
Эти результаты содержаться в работе [2]. Критическая си-
ла будет равна минимальному из чисел P1 и P2.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 29
2. Задача устойчивости системы круговых ко-
лец с неудерживающими связями. Простран-
ственный случай
Рассмотрим систему, состоящую из m круговых ко-
лец, координаты которых в недеформированном состоянии
описываются уравнениями
8><
>:
x0i
= Rsin ϑ cos φi,
y0
i = Rsin ϑ sin φi,
z0
i = Rcos ϑ,
(11)
где i = 1, . . . , m, φi ∈ π(i−1)
m , ϑ ∈ [−π, π].
Введем следующие обозначения:ni = (−sin ϑ cos φi,
−sin ϑ sin φi,−cos ϑ) — вектор единичной норма-
ли к кривой, определяемой уравнениями (1), τi =
(cos ϑ cos φi, cos ϑ sin φi,−sin ϑ) — касательный век-
тор, bi = τi × ni = (−sin φi, cos φi, 0) — бинормаль,
ui(ϑ),wi(ϑ), vi(ϑ), i = 1, . . . ,m — перемещения точек
i-того кольца вдоль ni, τi, bi, соответственно, в результа-
те деформации. Предположим, что каждая арка нагружена
давлением P, которое остается направленным к центру
кривизны (центру сферической поверхности). В резуль-
тате деформации упругая энергия системы может быть
вычислена по формуле [2]
U =
mX
i=1
Ui =
1
2
Zπ
−π
(Aiδp2i
+ Biδq2
i + Ciδr2
i )dϑ, (12)
гдеAi,Bi — жесткости стержней на изгиб,Ci — жесткость
при кручении.
δpi = − 1
R2 v
′′
i +
1
R
γi,
δqi = − 1
R2 (u
′′
i + ui),
δri = − 1
R
γ
′
i +
1
R2 v
′
i.
Углы поворота определяются формулами
αi = − 1
R
v
′
i, βi =
1
R
(u
′
i + wi),
и выполнено условие несжимаемости ui = w′
i. В слу-
чае центральной нагрузки с учетом условия несжимаемо-
сти работа внешних сил определяется формулой
Wi =
1
2
Zπ
−π
(u
′
2
i
− 2w2
i + v
′
2
i
− v2
i )dϑ, (13)
W =
mX
i=1
Wi.
Полная энергия системы колец имеет вид
J =
mX
i=1
Ji =
mX
i=1
Ui − PR
2
·Wi
. (14)
Для определенности положим m = 3 , т.е. имеется три
кольца, связанные между собой при ϑ = 0 и ϑ = −π.
Для того, чтобы перемещения колец совпадали, долж-
ны выполняться равенства:
при ϑ = 0
w1 =
1
2
w2 −
√
3
2
v2,
v1 =
√
3
2
w2 +
1
2
v2, u1 = u2. (15)
w1 = −1
2
w3 −
√
3
2
v3,
v1 =
√
3
2
w3 − 1
2
v3, u1 = u3; (16)
при ϑ = −π
w1 = −1
2
w2 −
√
3
2
v2,
v1 = −
√
3
2
w2 +
1
2
v2, u1 = u3. (17)
w1 = −1
2
w3 +
√
3
2
v3,
v1 = −
√
3
2
w3 − 1
2
v3, u1 = u3. (18)
Для совпадения углов поворота необходимо потребовать
выполнения равенств:
при ϑ = 0
α1 = α2,
1
2
γ2 +
√
3
2
β2 = γ1,
−
√
3
2
γ2 +
1
2
β2 = β1; (19)
α1 = α3, −1
2
γ3 −
√
3
2
β3 = γ1,
−
√
3
2
γ3 − 1
2
β3 = β1; (20)
при ϑ = −π
α1 = α2,
1
2
γ2 −
√
3
2
β2 = γ1,
√
3
2
γ2 +
1
2
β2 = β1; (21)
α1 = α3, −1
2
γ3 −
√
3
2
β3 = γ1,
√
3
2
γ3 − 1
2
β3 = β1. (22)
Представим себе, что каждое кольцо подкреплено нерас-
тяжимыми нитями так, что расстояние между точками при-
крепления нити к кольцу не может увеличиваться. Пусть
30
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
концы j-ой нити прикреплены к кольцу, соответствующе-
му углам ϑ = ϵ1 и ϑ = ϵ2, ϵ1 и ϵ2 зависят от j. Обозначим
ui = ui(ϵj),wi = wi(ϵj), vi = vi(ϵj). Тогда координаты
точек кольца в некоторой неподвижной системе координат
определяются формулами
8><
>:
ϵi = (R − ui) cos ϵj − wi sin ϵj ,
ηi = (R − ui) sin ϵj − wi cos ϵj ,
ςi = vi,
(23)
где j = 1, 2. Расстояние между точками прикрепления ни-
ти равно
ρ = ρ(u1,w1, v1, u2,w2, v2) =
=
p
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2 + (ζ1 − ζ2)2.
Обозначим через ρ0 = ρ(0, 0, 0, 0, 0, 0). Деформации
кольца должны удовлетворять неравенству
ρ ≤ ρ0. (24)
Подставляя (23) в (24) и используя разложение в ряд Тей-
лора с точностью до линейных слагаемых, вместо (24) по-
лучим линейное неравенство
(cos ω − 1)(u1 + u2) + sin ω(w1 − w2) ≤ 0, (25)
в котором u1 = u1(j), wi = wi(j), где j — номер нити,
ω = ϵ2−ϵ1. Функцииwi, vi, γi будем искать в виде рядов
Фурье:
wi =
Xn
k=2
aki cos kϑ + bki sin kϑ,
ui =
Xn
k=2
−akik sin kϑ + bki cos kϑ,
vi =
Xn
k=2
cki cos kϑ + dki sin kϑ,
γi =
Xn
k=2
˜cki cos kϑ + ˜ dki sin kϑ.
(26)
Пусть z ∈ RN — вектор коэффициентов в (26), N =
6n × 3. Подставляя (26) в (12), (13), получим две квадра-
тичные формы f(z) = 1
2 (Gz, z) и g(z) = 1
2 (Qz, z) со-
ответственно. Равенства (15)–(22) дают 24 линейных огра-
ничения вида (ηj , z) = 0, j = 1, . . . , 24. Наконец, нера-
венства (25) дают ограничения вида (ηj , z) ≤ 0, j =
1 . . . ,m0, где m0 — число подкрепляющих нитей. Таким
образом, для определения критической нагрузки получа-
ем задачу нелинейного программирования
f(z) ⇒ 1
2
(Gz, z) → min
z
(27)
при ограничениях
g(z) =
1
2
(Qz, z) = 1, (28)
(ηj , z) = 0, j = 1 . . . , 24, (29)
(˜ηj , z) ≤ 0, j = 1 . . . ,m0. (30)
Обозначим через Γ конус, определяемый ограничения-
ми (29)–(30). Для решения экстремальной задачи (27)–(30)
применяется метод последовательных приближений: пусть
z0 ∈ Rn — некоторое начальное приближение. Пусть уже
получена такая точка zk ∈ Rn, что g(zk) = 1. Введем
множество Mk = {z ∈ Γ|(Qz0, z − z0) = 0}. Найдем
точку ˜zk+1 ∈ Mk, такую, что
f(˜zk+1) = min
z∈Mk
f(z). (31)
Далее полагаем
zk+1 =
1
Sk
˜zk+1, где Sk =
p
f(˜zk+1).
Можно показать, что f(zk) монотонно убывает, и по-
следовательность {zk} сходится к некоторой точке z∗ ,
в которой выполнены необходимые условия экстремума
(теорема Куна-Таккера).
3. Результаты численных экспериментов
Предполагается, что сечение всех колец представля-
ет собой эллипс с полуосями a и b . Тогда жесткости при
изгибе и жесткость на кручение могут быть вычислены по
формуле
A =
π
4
Ea3b, B =
π
4
Eb3a,
C =
4
E
AB
A + B
.
В последних выражениях E — модуль Юнга, который без
ограничения общности можно положить равным единице.
Также можно считать, что R = 1.
Обозначим через P0 = min(P1, P2). Пусть P — зна-
чение, полученное в результате решения задачи оптимиза-
ции (27)–(29). Тогда при a ≤ b отношение P
P0
= 1.35. Если
же a ≥ 1.5b , то P
P0
= 1.3968. В случае 1 < a
b < 1.5, от-
ношение P
P0
возрастает от значения 1.35 до 1.3968. Если же
каждое кольцо подкреплено нитями, расположенными по
сторонам правильного M-угольника, то значение крити-
ческой нагрузки зависит отM. Некоторые результаты при
a = 2.5, b = 1 приведены в таблице.
Зависимость критической нагрузки от числа подкрепляющих нитей
Dependence of the critical load on number of reinforcing threads
M 4 5 6 7 8 9
P/P0 2.89 2.91 2.59 4.08 3.94 3.94
Заключение
В работе рассмотрена задача устойчивости системы
упругих колец, подкрепленных нерастяжимыми нитями.
Данная задача является конструктивно–нелинейной, так
как уравнения равновесия не могут быть линеаризованы в
связи с тем, что содержат негладкие функции. Исследова-
на проблема поиска точек бифуркации решения некоторой
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 31
задачи нелинейного программирования при наличии огра-
ничений в виде неравенств. Численные расчеты показали,
что односторонние (неудерживающие) связи существенно
увеличивают критическую нагрузку даже при небольшом
количестве колец и нитей. Результаты работы могут ока-
заться полезными при проектировании сетчатых оболочек
и арочных систем.
1. Perelmuter, A.V. Ustoychivost’ ravnovesiya konstruktsiy i rodstvennyye problemy [Structural equilibrium stability of structures and related problems] / A.V. Perelmuter, V.I. Slivker. - M.: Izdatel’stvo SKAD SOFT [Publishing house SKAD SOFT], 2010-2011. - Vol. 1. - 686 p.
2. Nikolai, E.L. Trudy po mekhanike [Works on mechanics] / E.L. Nikolai. - Moscow: Izdatel’stvo tekhniko-teoreticheskoy literatury [Publishing house of technical and theoretical literature], 1955. - 584 p.
3. Dinnik, A.N. Ustoychivost’ arok [Stability of arches] / A.N. Dinnik. - Moscow-Lenongrad: OGIZ [OGIZ], 1946. -128 p.
4. Silveria, R.A.M. A numerical approach for equilibrium and stability analysis of slender arches and rings under contact constraints / R.A.M. Silveria, C.L. Nogueira, P.B. Goncalves // Int. J. Solids and Structures. - 2013. - № 50. - P. 147-159. http://dx.doi.org/101155/2008/786220.
5. Kreps, V.L. O kvadratichnykh formakh neotritsatel’nykh na ortante [On quadratic forms that are nonnegative on the orthant] / V.L. Kreps// ZHVMiMF. - 1984. - Vol. 24. - № 14. - P. 497-503.
6. Rapoport, L.B. Ustoychivost’ po Lyapunovu i znakoopredelennost’ vadratichnoy formy na konuse [Lyapunov stability and sign-definiteness of a quadratic form on a cone] / L.B. Rapoport // PMM. - 1986. - Vol. 50, Iss. 4. - P. 674-679.
7. Sukharev, A.G. Global’nyy ekstremum i metody yego otyskaniya [Global extremum and methods for finding it] / A.G. Sukharev // Matematicheskiye metody i issledovaniya operatsiy. [Mathematical methods and operations research].- Izdatel’stvo MGU [Moscow: Publishing House of Moscow State University]. - 1983. - P. 4-37.
8. Feodos’ev, V.I. Izbrannyye zadachi i voprosy po soprotivleniyu materialov [Selected problems and questions on the strength of materials] / V.I. Feodos’ev. - Moscow:
9. Nauka, 1967. - 376 p.Andryukova, V.Y. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V.Y. Andryukova, V.N. Tarasov // Abstr. Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” Dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. - Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - 268 p. DOIhttps://doi.org/10.1109/CNSA.2017.7973928.
10. Tarasov, V.N. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V.N. Tarasov // Abstr. Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” Dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. - Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - 268 p. DOI:https://doi.org/10.1109/CNSA.2017.7974024.
