В статье рассматриваются проблемы устойчивости систе- мы круговых колец, связанных между собой таким обра- зом, что перемещения этих колец и углы поворота их се- чений в некоторых точках совпадают. Данная задача сво- дится к некоторой вариационной проблеме с ограничени- ями на искомые функции в виде линейных уравнений. Для конечномерной аппроксимации применяются ряды Фурье. В работе так же представлена задача устойчивости систе- мы круговых колец, подкрепленных нерастяжимыми нитя- ми, которые не выдерживают сжимающих усилий. В этом случае возникают ограничения в виде неравенств, и по- сле конечномерной аппроксимации проблема сводится к отысканию точек бифуркации задач нелинейного програм- мирования при наличии ограничений в виде неравенств.
устойчивость, вариационные задачи, точки бифуркации, кольца
Введение
От работ Эйлера по теории продольного изгиба берет
свое начало теория устойчивости упругих систем. Задачи
упругой устойчивости в классическом случае сводятся к
отысканию и исследованию точек бифуркации нелиней-
ных уравнений равновесия. Линеаризация этих уравнений
приводит к некоторой линейной краевой задаче на соб-
ственные значения. Современное состояние теории упру-
гой устойчивости изложено в монографии [1]. Задачи устой-
чивости круговых арок и колец, находящихся под действи-
ем равномерного давления, подробно изложены в рабо-
тах [2, 3]. Исследования в области устойчивости арок не
прекращаются и в настоящее время [4]. При потере устой-
чивости колец и арок происходит либо плоская дефор-
мация (все перемещения происходят в плоскости неде-
формированного кольца), либо пространственная (пере-
мещение перпендикулярно плоскости кольца, и присут-
ствует кручение). Но в случае, когда кольца связаны друг
с другом, при потере устойчивости возникают перемеще-
ния как в плоскости кольца, так и деформации, перпен-
дикулярные его плоскости, что существенно увеличивает
критическую нагрузку. В настоящей работе рассматрива-
ется задача устойчивости системы колец, подкрепленных
нерастяжимыми нитями так, что расстояние между точ-
ками прикрепления концов нити не может увеличиваться,
и они не выдерживают сжимающих усилий. При матема-
тической формализации расчет на устойчивость сводит-
ся к отысканию параметра нагрузки, при котором происхо-
дит бифуркация решения задачи вариационного исчисле-
ния при наличии ограничений на искомые функции в ви-
де неравенств. При конечномерной аппроксимации полу-
чаем задачу нахождения параметра нагрузки, при кото-
рой происходит бифуркация решений задач нелинейного
программирования. Последняя задача может быть сведена
к идентификации условной положительной определенно-
сти квадратичных форм на конусах. Аналитические крите-
рии условной положительной определенности квадратич-
28
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
ных форм в важном частном случае, когда конус представ-
ляет собой положительный ортант в Rn, приведены в [5,
6], но для их применения необходимо считать большое ко-
личество определителей, что в вычислительном отношении
является крайне неэффективным. В общем случае требует-
ся применять методы глобальной оптимизации, например
метод ветвей и границ [7]. Некоторые задачи устойчивости
и закритического поведения при наличии односторонних
ограничений на перемещения рассмотрены в работах [8–
10].
1. Пространственная деформация круговых
арок
Пусть тонкий упругий стержень, представляющий со-
бой кольцо радиусаR , находится в равновесии, силы рав-
номерно распределены по его длине. Предполагается, что
сечение стержня постоянно, и одна из главных осей инер-
ции поперечного сечения лежит в плоскости дуги. В неко-
торой точкеM0 проведем три взаимно перпендикулярные
оси (x0, y0, z0): ось y0 направлена по одной из главных
осей инерции сечения, перпендикулярного плоскости ду-
ги, ось x0, соответственно, направлена к центру кривизны
дуги, ось z0 — по касательной к дуге стержня. Пусть в ре-
зультате деформации стержня оси (x0, y0, z0) переходят
в оси (x, y, z), точка M0 переходит в точку M, проекции
перемещений точкиM0 на оси (x0, y0, z0) обозначим че-
рез u,w, v. Система координат (x, y, z) получается из си-
стемы (x0, y0, z0) путем переноса и путем поворота вокруг
осей (x0, y0, z0) на углы α, β, γ. Считая деформации ма-
лыми, можем написать уравнения Клебша [1]:
8>>>><
>>>>:
β =
du
ds
+
1
R
w,
−α =
dv
ds
,
dw
ds
− 1
R
u = 0,
(1)
где ds = Rdϑ, ϑ ∈ [−π, π] — центральный угол дуги
стержня. Третье уравнение выражает условие несжимае-
мости оси стержня.
Упругая энергия стержня в результате деформации
определяется формулой
U =
1
2
Zα1
α0
(Aδp2 + Bδq2 + Cδr2)Rdϑ, (2)
где A,B — жесткости стержня на изгиб, C — жесткость
стержня при кручении.
8><
>:
δp = 1
R(α′ + γ) = 1
R
− 1
Rv′ + γ
,
δq = 1
Rβ′ = 1
R2 (u′′ + u),
δr = 1
R(γ − α) = 1
R
γ + 1
Rv′
,
(3)
где штрих обозначает производную по ϑ.
Предположим, что кольцо нагружено давлением P,
равномерно распределенным по его оси. При любой вели-
чине давления возможна круговая (первоначальная) фор-
ма равновесия.
Если давление достаточно велико, то первоначальная
круговая форма становится неустойчивой, и арка прини-
мает другую, нетривиальную форму. Предположим, что на-
грузка P постоянно направлена к центру кривизны. В этом
случае работа внешних сил равна fW = PRW , где
W(u,w, v, γ) =
1
2
Zπ
−π
2u2 − u
′2 − v
′2 + v2
dϑ. (4)
В положении равновесия функционал полной энергии
J(u,w, v, γ) = U −W =
1
2
Zα1
α0
"
B
R2 (u
′′
+ u)2+
+
A
R2
1
R
v
′′ − γ
2
#
Rdv − fW (5)
принимает минимальное значение. В (5) A,B,C — упругие
постоянные. Система уравнений Эйлера для функционала
(5) распадается на две независимые подсистемы (6) и (7)
B
R3 (uIV + 2u
′′
+ u) + P(u
′′
+ u) = 0, (6)
Ai
R3 v(4) − Ai
R2 γ
′′ − Ci
R3 v
′′ − Ci
R2 γ
′′
+ P(v
′′
+ v) = 0,
Ai
R3 v
′′ − Ai
R2 γ +
Ci
R2 v
′′
+
Ci
R
γ
′′
= 0. (7)
Это означает, что при потере устойчивости происходит ли-
бо плоская деформация, при которой v = 0, γ = 0, либо
пространственная (u = 0, w = 0).
Для определения критического давления требуется
найти минимальное значение силы P, при котором задача
на минимум функционала (5), или, что то же самое, система
дифференциальных уравнений (6) или (7), имеет нетриви-
альное решение. Очевидно, последняя задача эквивалент-
на вариационной проблеме изопериметрического типа
J → min при ограничении W = 1. (8)
Функции u,w, v, γ должны быть 2π-периодическими. Ис-
пользуя ряды Фурье, получим значения критической силы:
— в случае плоской деформации (v = 0, γ = 0)
P1 = 4.5
B
R3 , (9)
— в пространственном случае (u = 0, v = 0)
P2 =
A
R3
12
4 + A
C
. (10)
Эти результаты содержаться в работе [2]. Критическая си-
ла будет равна минимальному из чисел P1 и P2.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 29
2. Задача устойчивости системы круговых ко-
лец с неудерживающими связями. Простран-
ственный случай
Рассмотрим систему, состоящую из m круговых ко-
лец, координаты которых в недеформированном состоянии
описываются уравнениями
8><
>:
x0i
= Rsin ϑ cos φi,
y0
i = Rsin ϑ sin φi,
z0
i = Rcos ϑ,
(11)
где i = 1, . . . , m, φi ∈ π(i−1)
m , ϑ ∈ [−π, π].
Введем следующие обозначения:ni = (−sin ϑ cos φi,
−sin ϑ sin φi,−cos ϑ) — вектор единичной норма-
ли к кривой, определяемой уравнениями (1), τi =
(cos ϑ cos φi, cos ϑ sin φi,−sin ϑ) — касательный век-
тор, bi = τi × ni = (−sin φi, cos φi, 0) — бинормаль,
ui(ϑ),wi(ϑ), vi(ϑ), i = 1, . . . ,m — перемещения точек
i-того кольца вдоль ni, τi, bi, соответственно, в результа-
те деформации. Предположим, что каждая арка нагружена
давлением P, которое остается направленным к центру
кривизны (центру сферической поверхности). В резуль-
тате деформации упругая энергия системы может быть
вычислена по формуле [2]
U =
mX
i=1
Ui =
1
2
Zπ
−π
(Aiδp2i
+ Biδq2
i + Ciδr2
i )dϑ, (12)
гдеAi,Bi — жесткости стержней на изгиб,Ci — жесткость
при кручении.
δpi = − 1
R2 v
′′
i +
1
R
γi,
δqi = − 1
R2 (u
′′
i + ui),
δri = − 1
R
γ
′
i +
1
R2 v
′
i.
Углы поворота определяются формулами
αi = − 1
R
v
′
i, βi =
1
R
(u
′
i + wi),
и выполнено условие несжимаемости ui = w′
i. В слу-
чае центральной нагрузки с учетом условия несжимаемо-
сти работа внешних сил определяется формулой
Wi =
1
2
Zπ
−π
(u
′
2
i
− 2w2
i + v
′
2
i
− v2
i )dϑ, (13)
W =
mX
i=1
Wi.
Полная энергия системы колец имеет вид
J =
mX
i=1
Ji =
mX
i=1
Ui − PR
2
·Wi
. (14)
Для определенности положим m = 3 , т.е. имеется три
кольца, связанные между собой при ϑ = 0 и ϑ = −π.
Для того, чтобы перемещения колец совпадали, долж-
ны выполняться равенства:
при ϑ = 0
w1 =
1
2
w2 −
√
3
2
v2,
v1 =
√
3
2
w2 +
1
2
v2, u1 = u2. (15)
w1 = −1
2
w3 −
√
3
2
v3,
v1 =
√
3
2
w3 − 1
2
v3, u1 = u3; (16)
при ϑ = −π
w1 = −1
2
w2 −
√
3
2
v2,
v1 = −
√
3
2
w2 +
1
2
v2, u1 = u3. (17)
w1 = −1
2
w3 +
√
3
2
v3,
v1 = −
√
3
2
w3 − 1
2
v3, u1 = u3. (18)
Для совпадения углов поворота необходимо потребовать
выполнения равенств:
при ϑ = 0
α1 = α2,
1
2
γ2 +
√
3
2
β2 = γ1,
−
√
3
2
γ2 +
1
2
β2 = β1; (19)
α1 = α3, −1
2
γ3 −
√
3
2
β3 = γ1,
−
√
3
2
γ3 − 1
2
β3 = β1; (20)
при ϑ = −π
α1 = α2,
1
2
γ2 −
√
3
2
β2 = γ1,
√
3
2
γ2 +
1
2
β2 = β1; (21)
α1 = α3, −1
2
γ3 −
√
3
2
β3 = γ1,
√
3
2
γ3 − 1
2
β3 = β1. (22)
Представим себе, что каждое кольцо подкреплено нерас-
тяжимыми нитями так, что расстояние между точками при-
крепления нити к кольцу не может увеличиваться. Пусть
30
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
концы j-ой нити прикреплены к кольцу, соответствующе-
му углам ϑ = ϵ1 и ϑ = ϵ2, ϵ1 и ϵ2 зависят от j. Обозначим
ui = ui(ϵj),wi = wi(ϵj), vi = vi(ϵj). Тогда координаты
точек кольца в некоторой неподвижной системе координат
определяются формулами
8><
>:
ϵi = (R − ui) cos ϵj − wi sin ϵj ,
ηi = (R − ui) sin ϵj − wi cos ϵj ,
ςi = vi,
(23)
где j = 1, 2. Расстояние между точками прикрепления ни-
ти равно
ρ = ρ(u1,w1, v1, u2,w2, v2) =
=
p
(ξ1 − ξ2)2 + (η1 − η2)2 + (ζ1 − ζ2)2.
Обозначим через ρ0 = ρ(0, 0, 0, 0, 0, 0). Деформации
кольца должны удовлетворять неравенству
ρ ≤ ρ0. (24)
Подставляя (23) в (24) и используя разложение в ряд Тей-
лора с точностью до линейных слагаемых, вместо (24) по-
лучим линейное неравенство
(cos ω − 1)(u1 + u2) + sin ω(w1 − w2) ≤ 0, (25)
в котором u1 = u1(j), wi = wi(j), где j — номер нити,
ω = ϵ2−ϵ1. Функцииwi, vi, γi будем искать в виде рядов
Фурье:
wi =
Xn
k=2
aki cos kϑ + bki sin kϑ,
ui =
Xn
k=2
−akik sin kϑ + bki cos kϑ,
vi =
Xn
k=2
cki cos kϑ + dki sin kϑ,
γi =
Xn
k=2
˜cki cos kϑ + ˜ dki sin kϑ.
(26)
Пусть z ∈ RN — вектор коэффициентов в (26), N =
6n × 3. Подставляя (26) в (12), (13), получим две квадра-
тичные формы f(z) = 1
2 (Gz, z) и g(z) = 1
2 (Qz, z) со-
ответственно. Равенства (15)–(22) дают 24 линейных огра-
ничения вида (ηj , z) = 0, j = 1, . . . , 24. Наконец, нера-
венства (25) дают ограничения вида (ηj , z) ≤ 0, j =
1 . . . ,m0, где m0 — число подкрепляющих нитей. Таким
образом, для определения критической нагрузки получа-
ем задачу нелинейного программирования
f(z) ⇒ 1
2
(Gz, z) → min
z
(27)
при ограничениях
g(z) =
1
2
(Qz, z) = 1, (28)
(ηj , z) = 0, j = 1 . . . , 24, (29)
(˜ηj , z) ≤ 0, j = 1 . . . ,m0. (30)
Обозначим через Γ конус, определяемый ограничения-
ми (29)–(30). Для решения экстремальной задачи (27)–(30)
применяется метод последовательных приближений: пусть
z0 ∈ Rn — некоторое начальное приближение. Пусть уже
получена такая точка zk ∈ Rn, что g(zk) = 1. Введем
множество Mk = {z ∈ Γ|(Qz0, z − z0) = 0}. Найдем
точку ˜zk+1 ∈ Mk, такую, что
f(˜zk+1) = min
z∈Mk
f(z). (31)
Далее полагаем
zk+1 =
1
Sk
˜zk+1, где Sk =
p
f(˜zk+1).
Можно показать, что f(zk) монотонно убывает, и по-
следовательность {zk} сходится к некоторой точке z∗ ,
в которой выполнены необходимые условия экстремума
(теорема Куна-Таккера).
3. Результаты численных экспериментов
Предполагается, что сечение всех колец представля-
ет собой эллипс с полуосями a и b . Тогда жесткости при
изгибе и жесткость на кручение могут быть вычислены по
формуле
A =
π
4
Ea3b, B =
π
4
Eb3a,
C =
4
E
AB
A + B
.
В последних выражениях E — модуль Юнга, который без
ограничения общности можно положить равным единице.
Также можно считать, что R = 1.
Обозначим через P0 = min(P1, P2). Пусть P — зна-
чение, полученное в результате решения задачи оптимиза-
ции (27)–(29). Тогда при a ≤ b отношение P
P0
= 1.35. Если
же a ≥ 1.5b , то P
P0
= 1.3968. В случае 1 < a
b < 1.5, от-
ношение P
P0
возрастает от значения 1.35 до 1.3968. Если же
каждое кольцо подкреплено нитями, расположенными по
сторонам правильного M-угольника, то значение крити-
ческой нагрузки зависит отM. Некоторые результаты при
a = 2.5, b = 1 приведены в таблице.
Зависимость критической нагрузки от числа подкрепляющих нитей
Dependence of the critical load on number of reinforcing threads
M 4 5 6 7 8 9
P/P0 2.89 2.91 2.59 4.08 3.94 3.94
Заключение
В работе рассмотрена задача устойчивости системы
упругих колец, подкрепленных нерастяжимыми нитями.
Данная задача является конструктивно–нелинейной, так
как уравнения равновесия не могут быть линеаризованы в
связи с тем, что содержат негладкие функции. Исследова-
на проблема поиска точек бифуркации решения некоторой
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 31
задачи нелинейного программирования при наличии огра-
ничений в виде неравенств. Численные расчеты показали,
что односторонние (неудерживающие) связи существенно
увеличивают критическую нагрузку даже при небольшом
количестве колец и нитей. Результаты работы могут ока-
заться полезными при проектировании сетчатых оболочек
и арочных систем.
1. Перельмутер, А.В. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы / А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. - Москва: Издательство СКАД СОФТ, 2010-2011. - Т. 1. - 686 с.
2. Николаи, Е.Л. Труды по механике / Е.Л. Николаи. - Москва: Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. - 584 с.
3. Динник, А.Н. Устойчивость арок / А.Н. Динник. - Москва-Ленинград: ОГИЗ, 1946. - 128 с.
4. Silveria, R.A.M. A numerical approach for equilibrium and stability analysis of slender arches and rings under contact constraints / R.A.M. Silveria, C.L. Nogueira, P.B. Goncalves // Int. J. Solids and Structures. - 2013. - № 50. - P. 147-159. http://dx.doi.org/101155/2008/786220.
5. Крепс, В.Л. О квадратичных формах неотрицательных на ортанте / В.Л. Крепс // Журн. выч. матем. и мат. физ. - 1984. - Т. 24. - № 14. - С. 497-503.
6. Рапопорт, Л.Б. Устойчивость по Ляпунову и знакоопределенность квадратичной формы на конусе / Л.Б. Рапопорт // Прикл. матем. и мех. - 1986. - Т. 50, вып. 4. - C. 674-679.
7. Сухарев, А.Г. Глобальный экстремум и методы егоотыскания / А.Г. Сухарев // Математические методы и исследования операций. - Москва: Изд-во МГУ, 1983. - 193 с.
8. Феодосьев, В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. - Москва: Наука, 1967. - 376 с.
9. Andryukova, V.Y. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V.Y. Andryukova, V.N. Tarasov // Abstr. Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” Dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. - Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - 268 p. DOIhttps://doi.org/10.1109/CNSA.2017.7973928.
10. Tarasov, V.N. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V.N. Tarasov // Abstr. Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” Dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. - Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - 268 p. DOI:https://doi.org/10.1109/CNSA.2017.7974024.
