The groups of motions of two-dimensional space-time models from a geometric point of view are groups of motions of two-dimensional homogeneous spaces of a constant curvature. When quantizing these models, discrete subgroups of these groups play an important role. The standard model is based on the gauge groups U(1), SU(2) and SU(3). Discrete subgroups of these groups are now also in the center of attention in the elementary particle physics. In this paper we present contractions of the discrete dihedron group D3 induced by limit transitions in the continuous groupO(2) and O(3). The resulting groups are D4 and infinite groups D∞, generating discrete lattices of two-dimensional spacetime models. We also discuss transitions of discrete symmetry groups of the Platonic solids.
discrete groups, contractions of Lie groups
Введение
Дискретные симметрии играют важную роль в физи-
ке. Одним из примеров является CPT-инвариантность —
фундаментальная симметрия физических законов. В ка-
либровочных теориях дискретные симметрии возникают в
различных аспектах. Многие фундаментальные характе-
ристики полей и элементарных частиц могут описываться
не группами Ли, как принято, а дискретными группами сим-
метрий. Например, группу диэдра D3 с образующими R1 и
R2 и соотношениямиR2
i = 1 и (R1R2)3 = 1 можно взять
в качестве симметрии триплета SU(3) кварков [1].
Неабелевы дискретные симметрии играют заметную
роль в моделях смешивания лептонов и могут появиться
при спонтанном нарушении симметрии неабелевой непре-
рывной калибровочной теории [2–7].
Дискретные группы движений пространств постоянной
кривизны (пространств Евклида En, Лобачевского Hn,
сфер Sn) возникают и в различных областях математики и
ее приложений [8]. Например, группы симметрии правиль-
ных многогранников и кристаллов и т.д.
Е.С. Федоров получил правильные системы точек на
двумерной сфере — тела Платона, Архимеда и две бес-
конечные серии полуправильных призм и полуправильных
антипризм, которые являются орбитами соответствующих
дискретных групп. Например, электроны на сфере приоб-
ретают устойчивое состояние только тогда, когда они за-
нимают вершины какой-либо из этих правильных систем
[9]. Примером сферического кристалла является фуллерен
C60. Он обладает группой симметрии икосаэдра и его мож-
но считать двумерным сферическим алмазом, а графит —
двумерным евклидовым алмазом. В качестве примера дву-
мерного алмаза на плоскости Лобачевского приведем кри-
сталл доломита. В пространстве Лобачевского квазикри-
сталл можно считать идеальным кристаллом [10].
Дискретные подгруппы группы Лоренца возникают при
построении теории квантованного пространства-времени,
которое обладало бы некоторой дискретной симметрией,
переходящей в лоренцеву симметрию в континуальном
пределе. При таком дискретном преобразовании простран-
ство-время, представлямое 1+3-мерной решеткой, должно
переходить само в себя [11]. Например, в работе Дирака [12]
42
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
изучалась дискретная подгруппа группы Лоренца, кото-
рая в сочетании с дискретными подгруппами трансляций
давала дискретную подгруппу группы Пуанкаре, и были
рассмотрены простейшие четырехмерные пространствен-
но-временные решетки.
Дискретные группы позволяют находить точные реше-
ния квантовых систем. Например, принцип инвариантности
относительно дискретной подгруппы Лоренца, действую-
щей независимо на состояния частиц с различными им-
пульсами, приводит к определению всех элементов двух-
частичной S-матрицы, удовлетворяющей уравнению тре-
угольников (или уравнению Янга-Бакстера) [13].
Группа диэдра D3 может рассматриваться как дис-
кретная подгруппа непрерывных групп O(2) или O(3),
контракции которых хорошо изучены [14]. Мы приведем
несколько примеров, куда перейдет D3 при некоторых
контракциях непрерывных групп O(2) и O(3) и как при
этом выглядят орбиты этих дискретных групп в соответ-
ствующих одно- и двумерных пространствах Кэли-Клейна.
1. Дискретные группы в одномерных про-
странствах Кэли-Клейна
Одномерные группы вращения Галилея и Минковского
можно записать единым образом [14], используя параметр
контракции j = 1, ι, i, ι2 = 0, i2 = −1
G =
cos jϕ −j sin jϕ
1
j sin jϕ cos jϕ
. (1)
Они являются группами симметрии соответствующих
окружностей S1(j) на плоскостях R2(j) = (x1, jx2)
x21
+ j2x22
= a2 (2)
и сохраняют метрику
ds2 = dx21
+ j2dx22
. (3)
Вышеприведенные формулы описывают одномерные про-
странства и группы Кэли-Клейна. В случае j = 1, формула
(1) дает обычные вращения, при j = ι или j = i получим
G =
1 0
ϕ 1
или G =
ch ϕ sh ϕ
sh ϕ ch ϕ
, (4)
определяющие группу поворотов (сдвигов) на плоскости
Галилея и группу лоренцевых вращений на плоскости Мин-
ковского. В последних двух случаях x1 интерпретируется
как время t, а x2 — как одномерное пространство r.
Опишем дискретные подгруппы этих групп. Рассмот-
рим группу симметрии правильного n-угольника, или груп-
пу диэдраDn. Ее можно реализовать как дискретную под-
группуO(2), состоящую из группы вращений с образующей
R =
cos 2π
n
−sin 2π
n
sin 2π
n cos 2π
n
, Rn = 1 (5)
и образующей
R1 =
1 0
0 −1
, R2
1 = 1, (6)
являющейся отражением относительно оси x1.
x2
x1
B A ′ C′
C B
R1
R2
Рисунок 1. Правильный треугольник (n = 3) на окружности S1 евкли-
довой плоскости.
Figure 1. Regular triangle (n = 3) on the circle S1 of the Euclidean plane.
Данная группа изоморфна полупрямому произведению
Z2 и Zn. Генетический код этой группы можно задавать
разными способами, выбирая разные образующие [15]. На-
пример, R2
1 = 1, Rn = 1, (R1R)2 = 1 или R2
1 =
1, R2
2 = 1, (R1R2)n = 1, где R2 можно выбрать как
отражение относительно прямой, повернутой на угол π
n от-
носительно оси x1
R2 =
cos 2π
n
−sin 2π
n
−sin 2π
n
−cos 2π
n
,
R2
2 = 1, R1R2 = R.
Действуя на начальную точку A преобразованиями,
задаваемыми элементами всей группы, можно получить
остальные точки правильного n-угольника. На рис. 1 изоб-
ражен случай треугольника n = 3.
Для эллиптической геометрии на прямой с бельтрами-
евой координатой ξ = ax2
x1
отражения R1 и R2 из группы
диэдра D3 выглядят следующим образом
ξ
′
= R1 · ξ = −ξ,
ξ
′
= R2 · ξ = −ξ +
√
3a
1 −
√
3ξ
a
,
а действие образующейR = R1R2 циклической подгруп-
пы вращения имеет вид
ξ
′
= R · ξ =
ξ +
√
3a
1 −
√
3ξ
a
= −R2 · ξ.
Орбита представленной группы состоит из точек A,B′,C′
с координатами ξB′ = −
√
3a, ξA = 0, ξC′ =
√
3a
(рис. 1). При этом отражение R2 оставляет на месте точку
C′ и меняет местами точки A и B′. Отражение R1 остав-
ляет на месте точку A и меняет местами точки B′ и C′.
Поворот R точку B′ переводит в A, точку A переводит в
C′ и точку C′ — в B′.
Теперь посмотрим, куда перейдет группа симметрий
правильного n-угольника при j = ι в формулах (1), (2). Об-
разующие R1 и R2 при этом будут иметь вид
R1 =
1 0
0 −1
, R2 =
1 0
v −1
,
R2
1 = R2
2 = 1.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 43
Здесь мы обозначили v = −2π
n . R1 — отражение относи-
тельно оси x1, R2 — отражение относительно прямой, па-
раллельной оси x1, находящейся на расстоянии v
2 от нее.
При непрерывном аналоге j = ε → 0 контракции j =
ι можно считать, что совершается непрерывное устремле-
ние радиуса окружности к бесконечности a → ∞, при ко-
тором прямые, пересекающиеся в центре окружности под
углом ϕ становятся параллельными. Произведение двух
отражений относительно параллельных осей, разделенных
расстоянием v
2 , будет сдвигом («вращением» на плоскости
Галилея) на v. Матрица сдвига, являющаяся в этом случае
и образующей подгруппы сдвигов («вращений») на плоско-
сти Галилея, имеет вид
R = R1R2 =
1 0
v 1
, Rn =
1 0
nv 1
. (7)
Подгруппа с образующей R изоморфна Z, а вся группа
D∞, построенная на двух образующих R1 и R2 или R1
и R, изоморфна полупрямому произведению Z2 и Z. Стар-
туя с начальной точки A, действуя отражениями R1 и R2,
можно получить всю решетку на окружности плоскости Га-
лилея (рис. 2).
x2
x1
A
R1 R2
Рисунок 2. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-
ствием R1,R2.
Figure 2. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action of
R1,R2.
Возможен еще один выбор образующих, а именно — R
и R′
1
R
′
1 =
−1 0
0 1
. (8)
Тогда, начиная с точки A, действуя R′
1 и R, получим ре-
шетку на всей окружности (рис. 3).
x2
x1
A
Рисунок 3. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-
ствием R
′
1,R.
Figure 3. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action of
R
′
1,R.
Все то же самое можно проделать и на гиперболиче-
ской прямой (j = i). В этом случае
R1 =
1 0
0 −1
, R2 =
ch v −sh v
sh v −ch v
, (9)
R2
1 = R2
2 = 1, R1R2 = R.
Образующая подгруппы ”вращений”
R = R1R2 =
ch v −sh v
−sh v ch v
,
Rn =
ch nv −sh nv
−sh nv ch nv
.
Здесь мы имеем пример фуксовой группы, т.е. дискретной
подгруппы группы движений гиперболической плоскости.
Ее действие на окружности в пространстве Минковского
изображено на рис. 4, 5.
Таким образом, дискретные подгруппы диэдра Dn
группы O(2) при контракциях переходят в подгруппы ди-
эдра D∞ групп Галилея и Лоренца. Отметим, что груп-
пыD∞ являются и группами симметрии пространственно-
временных решеток на плоскостях Галилея и Минковского,
изображенных на рис. 6 и 7.
x2
x1
A
Рисунок 4. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученная
действием R1,R2.
Figure 4. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action of
R1,R2.
x2
x1
A
Рисунок 5. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученная
действием R
′
1,R.
Figure 5. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action of
R
′
1,R.
44
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
x2
x1
Рисунок 6. Пространственно-временная решетка на плоскости Галилея.
Figure 6. Space-time lattice on the Galilean plane.
x2
x1
Рисунок 7. Пространственно-временная решетка на плоскости Минков-
ского.
Figure 7. Space-time lattice on the Minkowski plane.
Отметим, что все данные формулы можно было бы по-
лучить и с помощью комплексных, дуальных и двойных чи-
сел [16]. Единым образом их можно записать в виде z =
x1 + jx2, где j = i, ι, e, e2 = 1. Отражения R1 и R2 в
этом случае действуют следующим образом
z
′
= R1 · z =
a2
z
, z
′
= R2 · z =
a2
z
e
2π
n j ,
а вращения —
z
′
= R1R2 · z = R · z = e
2π
n jz.
2. Группа диэдра D3 как дискретная подгруп-
па группы O(3)
Правильные многоугольники и правильные многогран-
ники могут быть вписаны в сферу, вследствие чего их
группы симметрии будут дискретными подгруппами груп-
пы вращений O(3).
Двумерные пространства Кэли-Клейна можно реализо-
вать [14] как сферы S2(j)
x21
+ j2
1x22
+ j1
1 j2
2x23
= a2, jk = 1, ιk, i (10)
в пространствах R3(j1, j2) = (x1, j1x1, j1j2x2) с мет-
рикой ds2 = dx21
+ j2
1dx22
+ j2
1 j2
2dx23
. Здесь ι2
k =
0, ιkιp = ιpιk ̸= 0, k ̸= p, k, p = 1, 2. Вращения от-
носительно осей x1, x2 и x3 описываются матрицами
R23 =
0
@
1 0 0
0 cos j2ϕ −j2 sin j2ϕ
0 1
j2
sin j2ϕ cos j2ϕ
1
A,
R13 =
0
@
cos j1j2ϕ 0 −j1j2 sin j1j2ϕ
0 1 0
1
j1j2
sin j1j2ϕ 0 cos j1j2ϕ
1
A,
R12 =
0
@
cos j1ϕ −j1 sin j1ϕ 0
1
j1
sin j1ϕ cos j1ϕ 0
0 0 1
1
A. (11)
Рассмотрим простой пример группы симметрии пра-
вильного треугольника, расположенного в евклидовом
пространстве R3(1, 1), как показано на рис. 8. Образую-
щие этой группы, являющиеся отражениями относительно
плоскостей x1 = x2 и x2 = x3, имеют вид
R1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· · 1
· 1 ·
1
A,
R = R1R2 =
0
@
· · 1
1 · ·
· 1 ·
1
A. (12)
Произведение R = R1R2 является вращением на угол
120◦. Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1, R3 = 1. (13)
x1
x2
x3
A
Рисунок 8. Положение правильного треугольника в евклидовом простран-
ствеR3(1, 1).
Figure 8. Position of a regular triangle in the Euclidean spaceR3(1, 1).
3. Группа симметрий правильного треугольни-
ка в пространствах Кэли-Клейна R3(j1, j2)
В расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномерной
базой {x1} и двумерным евклидовым слоем {x2, x3}, ис-
пользуя формулы (11), (12), находим вид образующих дис-
кретной группы
R1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· · 1
· 1 ·
1
A,
R = R1R2 =
0
@
1 · ·
v · −1
· 1 ·
1
A. (14)
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1, R4 = 1 (15)
задают группу симметрии квадрата (рис. 9). Начиная, на-
пример, с точки A, действуя всеми элементами этой груп-
пы, получим еще три точки, расположенные на плоскости
x1 = a, являющиеся вершинами правильного квадрата.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 45
A
x1
1x2
1x3
Рисунок 9. Квадрат в расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномер-
ной базой {x1} и двумерным слоем {x2, x3}, полученный действием
R1,R2.
Figure 9. Square in the fibered space R3(ι1, 1) with one-dimensional
base {x1} and two-dimensional fiber {x2, x3}, obtained by the action
of R1,R2.
Действительно, матрицыR1 иR2 в рассмотренном слу-
чае определяют отражения относительно прямых x2 = av
2 и x2 = x3 в двумерном слое {x2, x3} в точке базы x1 =
a. Эти прямые пересекаются под углом 45◦, поэтому ком-
позиция двух отражений R1 и R2 даст поворот на 90◦.
R =
0
@
1 · ·
v · −1
· 1 ·
1
A = TGT
−1 =
0
@
1 · ·
v
2 1 ·
v
2
· 1
1
A
0
@
1 · ·
· · −1
· 1 ·
1
A
0
@
1 · ·
−v
2 1 ·
−v
2
· 1
1
A,
где
T =
0
@
1 · ·
v
2 1 ·
v
2
· 1
1
A,
есть операция сдвига в пространстве R3(ι1, 1). При этом
все операторы преобразуются как TGT−1. Таким образом,
имеем в слое x1 = a вращение на 90◦ с центром, смещен-
ным в точку (a, av/2, av/2).
Отметим, что если бы мы выбрали другое расположение
правильного треугольника в пространствеR3(1, 1), то по-
лучили бы иной результат, так как при этом в слое {x2, x3}
в точке базы x1 = a прямые, относительно которых проис-
ходят отражения, были бы расположены под другим углом.
Если этот угол равен π
n, то получим группу диэдра Dn, для
других значений углов получим группу симметрии D∞.
В дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2), в ко-
тором слой {x2, x3} в свою очередь расслоен с базой
{x2} и слоем {x3}, образующие R1,R2 из (12) принимают
вид
R1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· w −1
1
A.
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1. (16)
Оператор “вращения”
R = R1R2 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· w −1
1
A (17)
порождает бесконечную подгруппу с элементами
R2n =
0
@
1 · ·
· 1 ·
nvw −2nw 1
1
A,
R2n+1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
−nvw 2nw 1
1
A.
Действуя на точкуAэлементами указанной группы, за-
даваемой образующими R1, R2 и соотношениями (16), по-
лучим решетку на окружности плоскости Галилея x1 = a
(рис. 10).
A
x1
1x2
12x3
Рисунок 10. Решетка в дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2),
полученная действием R1,R2.
Figure 10. Lattice in a doubly fibered space R3(ι1, ι2), obtained by the
action R1,R2.
В однократно расслоенном пространстве R3(1, ι2) с
двумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным сло-
ем {x3} образующие R1,R2 из (12) принимают вид
R1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· v −1
1
A.
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1. (18)
Оператор “вращения”
R = R1R2 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· v −1
1
A (19)
порождает бесконечную подгруппу с элементами
R2n+1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
−nv (n + 1)v −1
1
A,
R2n =
0
@
1 · ·
· 1 ·
nv −nv 1
1
A. (20)
Действуя на точку A элементами всей группы, задава-
емой образующими R1, R2 и соотношениями (18), получим
решетку на цилиндре x21
+ x22
= a2 (рис. 11).
46
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
A
x1
x2
2x3
Рисунок 11. Решетка в однократно расслоенном пространствеR3(1, ι2)
с двумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным слоем {x3}, по-
лученная действием R1,R2.
Figure 11. Lattice in a singly fibered spaceR3(1, ι2) with two-dimensional
Euclidean base {x1, x2} and one-dimensional fiber {x3}, obtained by the
action R1,R2.
4. Группы симметрии правильных многогран-
ников
Группу симметрии правильного n-угольника можно за-
дать с помощью отражений относительно двух плоскостей,
угол между которыми равен π
n. Схема Кокстера-Дынкина
[8, 15] для этого случая представлена на рис. 12.
n
Рисунок 12. Диаграмма Кокстера-Дынкина для правильного n-угольника.
Figure 12. Coxeter-Dynkin diagram for a regular n-gon.
Данные плоскости можно представить уравнениями
X3
j=1
aijxj = 0, i = 1, 2, (21)
где a1j и a2j , j = 1, 2, 3 задают два вектора, перпенди-
кулярные этим плоскостям.
Правильные многогранники — тетраэдр, октаэдр, куб,
додекаэдр и икосаэдр, можно вписать в сферу, и их груп-
пы симметрии являются дискретными подгруппами группы
O(3) [8, 15], элементы которых порождаются отражениями
относительно трех плоскостей
X3
j=1
aijxj = 0, i = 1, 2, 3, (22)
углы между которыми равны (π
3 , π
3 , π
2 ) в случае тетраэдра,
(π
4 , π
3 , π
2 ) для куба и октаэдра и (π
5 , π
3 , π
2 ) для икосаэд-
ра и додекаэдра. Соответствующие диаграммы Кокстера-
Дынкина представлены на рис. 13(a), 13(b) и 13(c).
a b c
Рисунок 13. Диаграммы Кокстера-Дынкина для правильных многогранни-
ков.
Figure 13. Coxeter-Dynkin diagram for regular polyhedrons.
5. Пространство R3(ι1, 1)
В пространстве R3(ι1, 1) сфера радиуса a переходит
в слой x1 = a. Тогда, полагая в уравнениях (21) для двух
плоскостей x1 = a, получаем дискретную группу, порож-
денную отражениями относительно двух прямых
X3
j=2
aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2. (23)
Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-
мых (23) в виде
x2 = ki(x3 − d3) + d2, i = 1, 2, (24)
здесь (d2, d3) — точка пересечения этих прямых, ki =
tg ϕi = −ai3
ai2
. Тогда отражения R1 и R2 относительно
указанных прямых задаются формулами
Ri = TOiT
−1, (25)
где операция сдвига
T =
0
@
1 · ·
d2 1 ·
d3 · 1
1
A
и отражения
Oi =
0
@
1 · ·
· cos 2ϕi sin 2ϕi
· sin 2ϕi −cos 2ϕi
1
A, O2
i = 1.
Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,
имеет вид
R = R1R2 = TO1O2T
−1. (26)
Если угол ϕ1 − ϕ2 между этими прямыми равен π
m, то
Rm = 1, и мы имеем конечную группу диэдра Dm. Таким
образом, при контракции группа диэдраDn может перейти
при некоторых положениях правильного n-угольника, впи-
санного в сферу, в Dm.
Три плоскости (22), определяющие группы симметрий
правильных многогранников, в слое x1 = a задают дис-
кретную группу, порожденную отражениями относительно
трех прямых
X3
j=2
aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2, 3. (27)
Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-
мых (27) в виде
x2 = kix3 + di, i = 1, 2, 3, (28)
здесь (di, 0) — точки пересечения этих прямых оси x2,
ki = tg ϕi = −ai3
ai2
. Тогда три базовых отражения Ri от-
носительно этих прямых задаются формулами
Ri = TOiT
−1, i = 1, 2, 3, (29)
где оператор сдвига теперь равен
Ti =
0
@
1 · ·
di 1 ·
· · 1
1
A,
а оператор отражения имеет прежний вид
Oi =
0
@
1 · ·
· cos 2ϕi sin 2ϕi
· sin 2ϕi −cos 2ϕi
1
A.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 47
Каждая пара прямых определяет дискретную подгруп-
пу поворотов, задаваемую композициями R1R2, R2R3 и
R1R3. Чтобы эти подгруппы были конечными, разности уг-
лов между данными прямымиΔϕ12 = |ϕ1−ϕ2|,Δϕ23 =
|ϕ2−ϕ3| иΔϕ31 = |ϕ3−ϕ1| должны быть равны π
k1
, π
k2
,
π
k3
соответственно, где ki ∈ N. Имеем треугольник, обра-
зованный тремя прямыми с углами π
ki
. Так как сумма углов
в треугольнике равна π, получаем уравнение на числа ki
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
= 1. (30)
Оно имеет только три решения [8] в виде троек (3, 3, 3),
(2, 4, 4) и (2, 3, 6). Таким образом, если углы между эти-
ми прямыми равны (π
3 , π
3 , π
3 ), (π
2 , π
4 , π
4 ) или (π
2 , π
3 , π
6 ), то
имеем дискретную группу, порождающую решетку на ев-
клидовой плоскости в слое. Диаграммы Кокстера-Дынкина
для этих групп представлены на рис. 14.
a b c
Рисунок 14. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп в про-
странствеR3(ι1, 1).
Figure 14. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups in spaceR3(ι1, 1).
6. Пространство R3(ι1, ι2)
Если обе прямые (23) не лежат в слое x2 = b, то урав-
нения (23) можно записать в виде
x3 = vix2 + di, i = 1, 2. (31)
Тогда отражения R1 и R2 относительно этих прямых зада-
ются формулами
Ri = TiPiT
−1
i , R2
i = 1, (32)
где
Ti =
0
@
1 · ·
· 1 ·
di · 1
1
A, Pi =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· 2vi −1
1
A.
Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,
имеет вид
R = R1R2 = TKT
−1, Rn = TKnT
−1, (33)
где
T =
0
@
1 · ·
· 1 ·
d1 − d2 · 1
1
A,
K =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· 2(v1 − v2) 1
1
A,
и определяет бесконечную циклическую группу, изоморф-
ную Z. Таким образом, в каждом слое x2 = b будет своя
решетка со своим шагом, представляющая орбиту группы
диэдра D∞.
Если же одна из прямых, задающих отражение, совпа-
дает со слоем x2 = b, то у нас появляется еще отражение
между слоями. Пример такой решетки изображен на рис. 10.
На плоскости Галилея есть прямые двух типов [17]. Пер-
вый тип — прямые вида x3 = vx2 + d, второй тип —
прямые вида x2 = b. Если обозначить светлым кружком
зеркало в виде прямой первого типа, а темным кружком —
зеркало, как прямую второго типа, то на плоскости Галилея
можно определить три типа диаграмм Кокстера-Дынкина
(рис. 15).
1
a
1
b
1
c
Рисунок 15. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп на плос-
кости Галилея.
Figure 15. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups on the Galilean plane.
Первый и третий типы диаграмм определяют дискрет-
ные группы, орбитами которых являются решетки в слое и в
базе соответственно. В случае симметрий платоновых тел,
если пересечения трех плоскостей (22) со слоем x1 = a
имеют вид прямых первого типа (31), то три отражения Ri
дискретной группы будут иметь вид (32). Каждая пара от-
ражений задает решетку в слое со своим шагом.
Заключение
Контракции непрерывных групп Ли, описанные в [14] с
помощью коммутативных нильпотентных образующих ιk,
допускают адекватное описание посредством непрерыв-
ных вещественных параметров εk, которые стремятся к
своим нулевым предельным значениям εk → 0. Предель-
ный переход в непрерывной группе влечет за собой пере-
ходы в соответствующих дискретных подгруппах и, соот-
ветственно, изменение орбит этих групп.
Отметим, что в случае контракций компактных групп Ли
обычно получаются некомпактные группы. В наших при-
мерах конечные дискретные группы переходят в беско-
нечные дискретные группы. В случае, когда при контрак-
ции исходной непрерывной группы имеется инвариантная
компактная подгруппа, то соответствующая ей дискретная
подгруппа остается конечной. Этот пример возникает при
контракции в пространстве R3(ι1, 1).
1. Sardanashvili, G.A. Kalibrovochnye polya v sluchae diskretnyh simmetrij [Gauge fields in the case of of discrete symmetries] / G.A. Sardanashvili // Vestnik MGU. Ser. 3. Fizika. Astronomiya [Moscow University Physics
2. Bulletin]. - 1981. - Vol. 22. - № 5. - P. 41-44.Grimus, W. Finite flavour groups of fermions / W. Grimus, P.O. Ludl // J. Phys. A: Math. Theor. - 2012. - Vol. 45. - № 23. - 233001. ArXiv:1110.6376 [hep-th].
3. King, S.F. Spontaneous breaking of SO(3) to finite family symmetries with supersymmetry - an A4 model / S.F. King, Y.L. Zhou // J. High Energ. Phys. - 2018. - № 11. - P. 173. ArXiv:1809.10292 [hep-ph].
4. Luhn, C. Spontaneous breaking of SU(3) to finite family symmetries - a pedestrian’s approach / C. Luhn // J. High Energ. Phys. - 2011. - P. 108. ArXiv:1101.2417 [hep-ph].
5. Rachlin, B.L. Spontaneous breaking of gauge groups to discrete symmetries / B.L. Rachlin, T.W. Kephart // J. High Energ. Phys. - 2017. - P. 110. ArXiv:1702.08073 [hep-ph].
6. Wilson, R.A. Integer versions of Yang-Mills theory / R.A. Wilson // ArXiv:2202.08263 [math.GR].
7. Zeldovich, Ya.B. Cosmological consequences of a spontaneous breakdown of a discrete symmetry / Ya.B. Zeldovich, I.Yu. Kobsarev, L.B. Okun // JETP. - 1975. - Vol. 40. - № 1. - P. 1-5.
8. Vinberg, E.B. Diskretnye gruppy dvizhenij prostranstv postojannoj krivizny [Discrete groups of motions of spaces of constant curvature] / E.B. Vinberg, O.V. Schwarzman // Geometria-2. Itogi nauki i tekhniki. Ser. Sovrem. probl. mat. Fund. napr. [Geometry-2. Science and technology findings. Ser. Modern problems of mathematics. Fundamental directions]. - Moscow: VINITI, 1988. - Vol. 29. - P. 147-259. 9. Galiulin, R.V. Dvumernye diskretnye gruppy s konechnoj fundamental’noj oblast’ju, ih fizicheskij i gumanitarnyj smysly [Two-dimensional discrete groups with finite fundamental regions and their physical and humanitarian interpretations] / R.V. Galiulin // Zh. vychisl. mat. mat. fiz. [Computational mathematics and mathematical physics]. - 2005. - Vol. 45. - № 8. - P. 1331-1344.
9. Galiulin, R.V. Crystallographic picture of the world / R.V. Galiulin // Physics-Uspekhi. - 2002. - Vol. 45. - № 2. - P. 221-225. 11.
10. Tarakanov, A.N. O diskretnyh podgruppah gruppy Lorenca, generirujushhih reshetki v prostranstve Minkovskogo [Discrete subgroups of the Lorentz group generating lattices in the Minkowski space] / A.N. Tarakanov // Vesci NAN Belarusi. Ser. fiz-mat. Navuk [Proc. NAS of Belarus. Phys. and math. ser.]. - 2014. - № 4. - P. 5-9.
11. Dirac, P.A.M. Discrete subgroups of the Poincare group / P.A.M. Tarakanov, A.N. O diskretnyh podgruppah gruppy Lorenca, generirujushhih reshetki v prostranstve Minkovskogo [Discrete subgroups of the Lorentz group generating lattices in the Minkowski space] / A.N. Tarakanov // Vesci NAN Belarusi. Ser. fiz-mat. Navuk [Proc. NAS of Belarus. Phys. and math. ser.]. - 2014. - № 4. - P. 5-9.
12. Dirac, P.A.M. Discrete subgroups of the Poincare group / P.A.M. Dirac // Problemy teoreticheskoj fiziki. Pamjati I.E. Tamma. [Problems of theoretical physics. Memorial volume to I.E. Tamm]. - Moscow: Nauka, 1972. - P. 45-51.
13. Belavin, A.A. Discrete groups and the integrability of quantum systems / A.A. Belavin // Funct. Anal. Appl. [Functional Analysis and Its Applications]. - 1980. - Vol. 14. - № 4. - P. 260-267.
14. Gromov, N.A. Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups] / N.A. Gromov - Moscow: FIZMATLIT, 2012. - 318 p.
15. Coxeter, H.S.M. Generators and relations for discrete groups / H.S.M. Coxeter, W.O.J. Moser. - Springer-Verlag. 1980. - 169 p.
16. Yaglom, I.M Complex numbers in geometry / I.M. Yaglom. - New York, London: Academic Press, 1968. - 256 p.
17. Pimenov, R.I. Kinematic Spaces: Mathematical Theory of Space-Time / R.I. Pimenov. - New York: Consultants Bureau, 1970. - 185 p. Nauchn. Sem. LOMI, V. 6, Nauka, Leningrad. Otdel., Leningrad,
