Группы движений двумерных моделей пространства-вре- мени с геометрической точки зрения являются группами движений двумерных однородных пространств постоян- ной кривизны. При квантовании подобных моделей важ- ную роль играют их дискретные подгруппы. Стандартная модель строится на калибровочных группах U(1), SU(2) и SU(3). Дискретные подгруппы этих групп сейчас так- же в центре внимания в физике элементарных частиц. В работе представлены контракции дискретной группы диэдра D3, индуцированные предельными переходами в непрерывных группахO(2) иO(3). В результате возника- ют группы D4 и бесконечные группы D∞, порождающие дискретные решетки соответствующих двумерных моде- лей пространства-времени. Обсуждаются также переходы дискретных групп симметрии платоновых тел.
дискретные группы, контракции групп Ли
Введение
Дискретные симметрии играют важную роль в физи-
ке. Одним из примеров является CPT-инвариантность —
фундаментальная симметрия физических законов. В ка-
либровочных теориях дискретные симметрии возникают в
различных аспектах. Многие фундаментальные характе-
ристики полей и элементарных частиц могут описываться
не группами Ли, как принято, а дискретными группами сим-
метрий. Например, группу диэдра D3 с образующими R1 и
R2 и соотношениямиR2
i = 1 и (R1R2)3 = 1 можно взять
в качестве симметрии триплета SU(3) кварков [1].
Неабелевы дискретные симметрии играют заметную
роль в моделях смешивания лептонов и могут появиться
при спонтанном нарушении симметрии неабелевой непре-
рывной калибровочной теории [2–7].
Дискретные группы движений пространств постоянной
кривизны (пространств Евклида En, Лобачевского Hn,
сфер Sn) возникают и в различных областях математики и
ее приложений [8]. Например, группы симметрии правиль-
ных многогранников и кристаллов и т.д.
Е.С. Федоров получил правильные системы точек на
двумерной сфере — тела Платона, Архимеда и две бес-
конечные серии полуправильных призм и полуправильных
антипризм, которые являются орбитами соответствующих
дискретных групп. Например, электроны на сфере приоб-
ретают устойчивое состояние только тогда, когда они за-
нимают вершины какой-либо из этих правильных систем
[9]. Примером сферического кристалла является фуллерен
C60. Он обладает группой симметрии икосаэдра и его мож-
но считать двумерным сферическим алмазом, а графит —
двумерным евклидовым алмазом. В качестве примера дву-
мерного алмаза на плоскости Лобачевского приведем кри-
сталл доломита. В пространстве Лобачевского квазикри-
сталл можно считать идеальным кристаллом [10].
Дискретные подгруппы группы Лоренца возникают при
построении теории квантованного пространства-времени,
которое обладало бы некоторой дискретной симметрией,
переходящей в лоренцеву симметрию в континуальном
пределе. При таком дискретном преобразовании простран-
ство-время, представлямое 1+3-мерной решеткой, должно
переходить само в себя [11]. Например, в работе Дирака [12]
42
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
изучалась дискретная подгруппа группы Лоренца, кото-
рая в сочетании с дискретными подгруппами трансляций
давала дискретную подгруппу группы Пуанкаре, и были
рассмотрены простейшие четырехмерные пространствен-
но-временные решетки.
Дискретные группы позволяют находить точные реше-
ния квантовых систем. Например, принцип инвариантности
относительно дискретной подгруппы Лоренца, действую-
щей независимо на состояния частиц с различными им-
пульсами, приводит к определению всех элементов двух-
частичной S-матрицы, удовлетворяющей уравнению тре-
угольников (или уравнению Янга-Бакстера) [13].
Группа диэдра D3 может рассматриваться как дис-
кретная подгруппа непрерывных групп O(2) или O(3),
контракции которых хорошо изучены [14]. Мы приведем
несколько примеров, куда перейдет D3 при некоторых
контракциях непрерывных групп O(2) и O(3) и как при
этом выглядят орбиты этих дискретных групп в соответ-
ствующих одно- и двумерных пространствах Кэли-Клейна.
1. Дискретные группы в одномерных про-
странствах Кэли-Клейна
Одномерные группы вращения Галилея и Минковского
можно записать единым образом [14], используя параметр
контракции j = 1, ι, i, ι2 = 0, i2 = −1
G =
cos jϕ −j sin jϕ
1
j sin jϕ cos jϕ
. (1)
Они являются группами симметрии соответствующих
окружностей S1(j) на плоскостях R2(j) = (x1, jx2)
x21
+ j2x22
= a2 (2)
и сохраняют метрику
ds2 = dx21
+ j2dx22
. (3)
Вышеприведенные формулы описывают одномерные про-
странства и группы Кэли-Клейна. В случае j = 1, формула
(1) дает обычные вращения, при j = ι или j = i получим
G =
1 0
ϕ 1
или G =
ch ϕ sh ϕ
sh ϕ ch ϕ
, (4)
определяющие группу поворотов (сдвигов) на плоскости
Галилея и группу лоренцевых вращений на плоскости Мин-
ковского. В последних двух случаях x1 интерпретируется
как время t, а x2 — как одномерное пространство r.
Опишем дискретные подгруппы этих групп. Рассмот-
рим группу симметрии правильного n-угольника, или груп-
пу диэдраDn. Ее можно реализовать как дискретную под-
группуO(2), состоящую из группы вращений с образующей
R =
cos 2π
n
−sin 2π
n
sin 2π
n cos 2π
n
, Rn = 1 (5)
и образующей
R1 =
1 0
0 −1
, R2
1 = 1, (6)
являющейся отражением относительно оси x1.
x2
x1
B A ′ C′
C B
R1
R2
Рисунок 1. Правильный треугольник (n = 3) на окружности S1 евкли-
довой плоскости.
Figure 1. Regular triangle (n = 3) on the circle S1 of the Euclidean plane.
Данная группа изоморфна полупрямому произведению
Z2 и Zn. Генетический код этой группы можно задавать
разными способами, выбирая разные образующие [15]. На-
пример, R2
1 = 1, Rn = 1, (R1R)2 = 1 или R2
1 =
1, R2
2 = 1, (R1R2)n = 1, где R2 можно выбрать как
отражение относительно прямой, повернутой на угол π
n от-
носительно оси x1
R2 =
cos 2π
n
−sin 2π
n
−sin 2π
n
−cos 2π
n
,
R2
2 = 1, R1R2 = R.
Действуя на начальную точку A преобразованиями,
задаваемыми элементами всей группы, можно получить
остальные точки правильного n-угольника. На рис. 1 изоб-
ражен случай треугольника n = 3.
Для эллиптической геометрии на прямой с бельтрами-
евой координатой ξ = ax2
x1
отражения R1 и R2 из группы
диэдра D3 выглядят следующим образом
ξ
′
= R1 · ξ = −ξ,
ξ
′
= R2 · ξ = −ξ +
√
3a
1 −
√
3ξ
a
,
а действие образующейR = R1R2 циклической подгруп-
пы вращения имеет вид
ξ
′
= R · ξ =
ξ +
√
3a
1 −
√
3ξ
a
= −R2 · ξ.
Орбита представленной группы состоит из точек A,B′,C′
с координатами ξB′ = −
√
3a, ξA = 0, ξC′ =
√
3a
(рис. 1). При этом отражение R2 оставляет на месте точку
C′ и меняет местами точки A и B′. Отражение R1 остав-
ляет на месте точку A и меняет местами точки B′ и C′.
Поворот R точку B′ переводит в A, точку A переводит в
C′ и точку C′ — в B′.
Теперь посмотрим, куда перейдет группа симметрий
правильного n-угольника при j = ι в формулах (1), (2). Об-
разующие R1 и R2 при этом будут иметь вид
R1 =
1 0
0 −1
, R2 =
1 0
v −1
,
R2
1 = R2
2 = 1.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 43
Здесь мы обозначили v = −2π
n . R1 — отражение относи-
тельно оси x1, R2 — отражение относительно прямой, па-
раллельной оси x1, находящейся на расстоянии v
2 от нее.
При непрерывном аналоге j = ε → 0 контракции j =
ι можно считать, что совершается непрерывное устремле-
ние радиуса окружности к бесконечности a → ∞, при ко-
тором прямые, пересекающиеся в центре окружности под
углом ϕ становятся параллельными. Произведение двух
отражений относительно параллельных осей, разделенных
расстоянием v
2 , будет сдвигом («вращением» на плоскости
Галилея) на v. Матрица сдвига, являющаяся в этом случае
и образующей подгруппы сдвигов («вращений») на плоско-
сти Галилея, имеет вид
R = R1R2 =
1 0
v 1
, Rn =
1 0
nv 1
. (7)
Подгруппа с образующей R изоморфна Z, а вся группа
D∞, построенная на двух образующих R1 и R2 или R1
и R, изоморфна полупрямому произведению Z2 и Z. Стар-
туя с начальной точки A, действуя отражениями R1 и R2,
можно получить всю решетку на окружности плоскости Га-
лилея (рис. 2).
x2
x1
A
R1 R2
Рисунок 2. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-
ствием R1,R2.
Figure 2. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action of
R1,R2.
Возможен еще один выбор образующих, а именно — R
и R′
1
R
′
1 =
−1 0
0 1
. (8)
Тогда, начиная с точки A, действуя R′
1 и R, получим ре-
шетку на всей окружности (рис. 3).
x2
x1
A
Рисунок 3. Решетка на окружности плоскости Галилея, полученная дей-
ствием R
′
1,R.
Figure 3. Lattice on a circle of the Galilean plane, obtained by the action of
R
′
1,R.
Все то же самое можно проделать и на гиперболиче-
ской прямой (j = i). В этом случае
R1 =
1 0
0 −1
, R2 =
ch v −sh v
sh v −ch v
, (9)
R2
1 = R2
2 = 1, R1R2 = R.
Образующая подгруппы ”вращений”
R = R1R2 =
ch v −sh v
−sh v ch v
,
Rn =
ch nv −sh nv
−sh nv ch nv
.
Здесь мы имеем пример фуксовой группы, т.е. дискретной
подгруппы группы движений гиперболической плоскости.
Ее действие на окружности в пространстве Минковского
изображено на рис. 4, 5.
Таким образом, дискретные подгруппы диэдра Dn
группы O(2) при контракциях переходят в подгруппы ди-
эдра D∞ групп Галилея и Лоренца. Отметим, что груп-
пыD∞ являются и группами симметрии пространственно-
временных решеток на плоскостях Галилея и Минковского,
изображенных на рис. 6 и 7.
x2
x1
A
Рисунок 4. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученная
действием R1,R2.
Figure 4. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action of
R1,R2.
x2
x1
A
Рисунок 5. Решетка на окружности плоскости Минковского, полученная
действием R
′
1,R.
Figure 5. Lattice on a circle in the Minkowski plane, obtained by the action of
R
′
1,R.
44
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
x2
x1
Рисунок 6. Пространственно-временная решетка на плоскости Галилея.
Figure 6. Space-time lattice on the Galilean plane.
x2
x1
Рисунок 7. Пространственно-временная решетка на плоскости Минков-
ского.
Figure 7. Space-time lattice on the Minkowski plane.
Отметим, что все данные формулы можно было бы по-
лучить и с помощью комплексных, дуальных и двойных чи-
сел [16]. Единым образом их можно записать в виде z =
x1 + jx2, где j = i, ι, e, e2 = 1. Отражения R1 и R2 в
этом случае действуют следующим образом
z
′
= R1 · z =
a2
z
, z
′
= R2 · z =
a2
z
e
2π
n j ,
а вращения —
z
′
= R1R2 · z = R · z = e
2π
n jz.
2. Группа диэдра D3 как дискретная подгруп-
па группы O(3)
Правильные многоугольники и правильные многогран-
ники могут быть вписаны в сферу, вследствие чего их
группы симметрии будут дискретными подгруппами груп-
пы вращений O(3).
Двумерные пространства Кэли-Клейна можно реализо-
вать [14] как сферы S2(j)
x21
+ j2
1x22
+ j1
1 j2
2x23
= a2, jk = 1, ιk, i (10)
в пространствах R3(j1, j2) = (x1, j1x1, j1j2x2) с мет-
рикой ds2 = dx21
+ j2
1dx22
+ j2
1 j2
2dx23
. Здесь ι2
k =
0, ιkιp = ιpιk ̸= 0, k ̸= p, k, p = 1, 2. Вращения от-
носительно осей x1, x2 и x3 описываются матрицами
R23 =
0
@
1 0 0
0 cos j2ϕ −j2 sin j2ϕ
0 1
j2
sin j2ϕ cos j2ϕ
1
A,
R13 =
0
@
cos j1j2ϕ 0 −j1j2 sin j1j2ϕ
0 1 0
1
j1j2
sin j1j2ϕ 0 cos j1j2ϕ
1
A,
R12 =
0
@
cos j1ϕ −j1 sin j1ϕ 0
1
j1
sin j1ϕ cos j1ϕ 0
0 0 1
1
A. (11)
Рассмотрим простой пример группы симметрии пра-
вильного треугольника, расположенного в евклидовом
пространстве R3(1, 1), как показано на рис. 8. Образую-
щие этой группы, являющиеся отражениями относительно
плоскостей x1 = x2 и x2 = x3, имеют вид
R1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· · 1
· 1 ·
1
A,
R = R1R2 =
0
@
· · 1
1 · ·
· 1 ·
1
A. (12)
Произведение R = R1R2 является вращением на угол
120◦. Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1, R3 = 1. (13)
x1
x2
x3
A
Рисунок 8. Положение правильного треугольника в евклидовом простран-
ствеR3(1, 1).
Figure 8. Position of a regular triangle in the Euclidean spaceR3(1, 1).
3. Группа симметрий правильного треугольни-
ка в пространствах Кэли-Клейна R3(j1, j2)
В расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномерной
базой {x1} и двумерным евклидовым слоем {x2, x3}, ис-
пользуя формулы (11), (12), находим вид образующих дис-
кретной группы
R1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· · 1
· 1 ·
1
A,
R = R1R2 =
0
@
1 · ·
v · −1
· 1 ·
1
A. (14)
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1, R4 = 1 (15)
задают группу симметрии квадрата (рис. 9). Начиная, на-
пример, с точки A, действуя всеми элементами этой груп-
пы, получим еще три точки, расположенные на плоскости
x1 = a, являющиеся вершинами правильного квадрата.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 45
A
x1
1x2
1x3
Рисунок 9. Квадрат в расслоенном пространстве R3(ι1, 1) с одномер-
ной базой {x1} и двумерным слоем {x2, x3}, полученный действием
R1,R2.
Figure 9. Square in the fibered space R3(ι1, 1) with one-dimensional
base {x1} and two-dimensional fiber {x2, x3}, obtained by the action
of R1,R2.
Действительно, матрицыR1 иR2 в рассмотренном слу-
чае определяют отражения относительно прямых x2 = av
2 и x2 = x3 в двумерном слое {x2, x3} в точке базы x1 =
a. Эти прямые пересекаются под углом 45◦, поэтому ком-
позиция двух отражений R1 и R2 даст поворот на 90◦.
R =
0
@
1 · ·
v · −1
· 1 ·
1
A = TGT
−1 =
0
@
1 · ·
v
2 1 ·
v
2
· 1
1
A
0
@
1 · ·
· · −1
· 1 ·
1
A
0
@
1 · ·
−v
2 1 ·
−v
2
· 1
1
A,
где
T =
0
@
1 · ·
v
2 1 ·
v
2
· 1
1
A,
есть операция сдвига в пространстве R3(ι1, 1). При этом
все операторы преобразуются как TGT−1. Таким образом,
имеем в слое x1 = a вращение на 90◦ с центром, смещен-
ным в точку (a, av/2, av/2).
Отметим, что если бы мы выбрали другое расположение
правильного треугольника в пространствеR3(1, 1), то по-
лучили бы иной результат, так как при этом в слое {x2, x3}
в точке базы x1 = a прямые, относительно которых проис-
ходят отражения, были бы расположены под другим углом.
Если этот угол равен π
n, то получим группу диэдра Dn, для
других значений углов получим группу симметрии D∞.
В дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2), в ко-
тором слой {x2, x3} в свою очередь расслоен с базой
{x2} и слоем {x3}, образующие R1,R2 из (12) принимают
вид
R1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· w −1
1
A.
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1. (16)
Оператор “вращения”
R = R1R2 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
· w −1
1
A (17)
порождает бесконечную подгруппу с элементами
R2n =
0
@
1 · ·
· 1 ·
nvw −2nw 1
1
A,
R2n+1 =
0
@
1 · ·
v −1 ·
−nvw 2nw 1
1
A.
Действуя на точкуAэлементами указанной группы, за-
даваемой образующими R1, R2 и соотношениями (16), по-
лучим решетку на окружности плоскости Галилея x1 = a
(рис. 10).
A
x1
1x2
12x3
Рисунок 10. Решетка в дважды расслоенном пространстве R3(ι1, ι2),
полученная действием R1,R2.
Figure 10. Lattice in a doubly fibered space R3(ι1, ι2), obtained by the
action R1,R2.
В однократно расслоенном пространстве R3(1, ι2) с
двумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным сло-
ем {x3} образующие R1,R2 из (12) принимают вид
R1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· · 1
1
A, R2 =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· v −1
1
A.
Определяющие соотношения
R2
1 = 1, R2
2 = 1. (18)
Оператор “вращения”
R = R1R2 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
· v −1
1
A (19)
порождает бесконечную подгруппу с элементами
R2n+1 =
0
@
· 1 ·
1 · ·
−nv (n + 1)v −1
1
A,
R2n =
0
@
1 · ·
· 1 ·
nv −nv 1
1
A. (20)
Действуя на точку A элементами всей группы, задава-
емой образующими R1, R2 и соотношениями (18), получим
решетку на цилиндре x21
+ x22
= a2 (рис. 11).
46
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
A
x1
x2
2x3
Рисунок 11. Решетка в однократно расслоенном пространствеR3(1, ι2)
с двумерной евклидовой базой {x1, x2} и одномерным слоем {x3}, по-
лученная действием R1,R2.
Figure 11. Lattice in a singly fibered spaceR3(1, ι2) with two-dimensional
Euclidean base {x1, x2} and one-dimensional fiber {x3}, obtained by the
action R1,R2.
4. Группы симметрии правильных многогран-
ников
Группу симметрии правильного n-угольника можно за-
дать с помощью отражений относительно двух плоскостей,
угол между которыми равен π
n. Схема Кокстера-Дынкина
[8, 15] для этого случая представлена на рис. 12.
n
Рисунок 12. Диаграмма Кокстера-Дынкина для правильного n-угольника.
Figure 12. Coxeter-Dynkin diagram for a regular n-gon.
Данные плоскости можно представить уравнениями
X3
j=1
aijxj = 0, i = 1, 2, (21)
где a1j и a2j , j = 1, 2, 3 задают два вектора, перпенди-
кулярные этим плоскостям.
Правильные многогранники — тетраэдр, октаэдр, куб,
додекаэдр и икосаэдр, можно вписать в сферу, и их груп-
пы симметрии являются дискретными подгруппами группы
O(3) [8, 15], элементы которых порождаются отражениями
относительно трех плоскостей
X3
j=1
aijxj = 0, i = 1, 2, 3, (22)
углы между которыми равны (π
3 , π
3 , π
2 ) в случае тетраэдра,
(π
4 , π
3 , π
2 ) для куба и октаэдра и (π
5 , π
3 , π
2 ) для икосаэд-
ра и додекаэдра. Соответствующие диаграммы Кокстера-
Дынкина представлены на рис. 13(a), 13(b) и 13(c).
a b c
Рисунок 13. Диаграммы Кокстера-Дынкина для правильных многогранни-
ков.
Figure 13. Coxeter-Dynkin diagram for regular polyhedrons.
5. Пространство R3(ι1, 1)
В пространстве R3(ι1, 1) сфера радиуса a переходит
в слой x1 = a. Тогда, полагая в уравнениях (21) для двух
плоскостей x1 = a, получаем дискретную группу, порож-
денную отражениями относительно двух прямых
X3
j=2
aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2. (23)
Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-
мых (23) в виде
x2 = ki(x3 − d3) + d2, i = 1, 2, (24)
здесь (d2, d3) — точка пересечения этих прямых, ki =
tg ϕi = −ai3
ai2
. Тогда отражения R1 и R2 относительно
указанных прямых задаются формулами
Ri = TOiT
−1, (25)
где операция сдвига
T =
0
@
1 · ·
d2 1 ·
d3 · 1
1
A
и отражения
Oi =
0
@
1 · ·
· cos 2ϕi sin 2ϕi
· sin 2ϕi −cos 2ϕi
1
A, O2
i = 1.
Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,
имеет вид
R = R1R2 = TO1O2T
−1. (26)
Если угол ϕ1 − ϕ2 между этими прямыми равен π
m, то
Rm = 1, и мы имеем конечную группу диэдра Dm. Таким
образом, при контракции группа диэдраDn может перейти
при некоторых положениях правильного n-угольника, впи-
санного в сферу, в Dm.
Три плоскости (22), определяющие группы симметрий
правильных многогранников, в слое x1 = a задают дис-
кретную группу, порожденную отражениями относительно
трех прямых
X3
j=2
aijxj + aai1 = 0, i = 1, 2, 3. (27)
Предполагая ai2 ̸= 0, можно переписать уравнения пря-
мых (27) в виде
x2 = kix3 + di, i = 1, 2, 3, (28)
здесь (di, 0) — точки пересечения этих прямых оси x2,
ki = tg ϕi = −ai3
ai2
. Тогда три базовых отражения Ri от-
носительно этих прямых задаются формулами
Ri = TOiT
−1, i = 1, 2, 3, (29)
где оператор сдвига теперь равен
Ti =
0
@
1 · ·
di 1 ·
· · 1
1
A,
а оператор отражения имеет прежний вид
Oi =
0
@
1 · ·
· cos 2ϕi sin 2ϕi
· sin 2ϕi −cos 2ϕi
1
A.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 47
Каждая пара прямых определяет дискретную подгруп-
пу поворотов, задаваемую композициями R1R2, R2R3 и
R1R3. Чтобы эти подгруппы были конечными, разности уг-
лов между данными прямымиΔϕ12 = |ϕ1−ϕ2|,Δϕ23 =
|ϕ2−ϕ3| иΔϕ31 = |ϕ3−ϕ1| должны быть равны π
k1
, π
k2
,
π
k3
соответственно, где ki ∈ N. Имеем треугольник, обра-
зованный тремя прямыми с углами π
ki
. Так как сумма углов
в треугольнике равна π, получаем уравнение на числа ki
1
k1
+
1
k2
+
1
k3
= 1. (30)
Оно имеет только три решения [8] в виде троек (3, 3, 3),
(2, 4, 4) и (2, 3, 6). Таким образом, если углы между эти-
ми прямыми равны (π
3 , π
3 , π
3 ), (π
2 , π
4 , π
4 ) или (π
2 , π
3 , π
6 ), то
имеем дискретную группу, порождающую решетку на ев-
клидовой плоскости в слое. Диаграммы Кокстера-Дынкина
для этих групп представлены на рис. 14.
a b c
Рисунок 14. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп в про-
странствеR3(ι1, 1).
Figure 14. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups in spaceR3(ι1, 1).
6. Пространство R3(ι1, ι2)
Если обе прямые (23) не лежат в слое x2 = b, то урав-
нения (23) можно записать в виде
x3 = vix2 + di, i = 1, 2. (31)
Тогда отражения R1 и R2 относительно этих прямых зада-
ются формулами
Ri = TiPiT
−1
i , R2
i = 1, (32)
где
Ti =
0
@
1 · ·
· 1 ·
di · 1
1
A, Pi =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· 2vi −1
1
A.
Вращение, задаваемое композицией отражений R1 и R2,
имеет вид
R = R1R2 = TKT
−1, Rn = TKnT
−1, (33)
где
T =
0
@
1 · ·
· 1 ·
d1 − d2 · 1
1
A,
K =
0
@
1 · ·
· 1 ·
· 2(v1 − v2) 1
1
A,
и определяет бесконечную циклическую группу, изоморф-
ную Z. Таким образом, в каждом слое x2 = b будет своя
решетка со своим шагом, представляющая орбиту группы
диэдра D∞.
Если же одна из прямых, задающих отражение, совпа-
дает со слоем x2 = b, то у нас появляется еще отражение
между слоями. Пример такой решетки изображен на рис. 10.
На плоскости Галилея есть прямые двух типов [17]. Пер-
вый тип — прямые вида x3 = vx2 + d, второй тип —
прямые вида x2 = b. Если обозначить светлым кружком
зеркало в виде прямой первого типа, а темным кружком —
зеркало, как прямую второго типа, то на плоскости Галилея
можно определить три типа диаграмм Кокстера-Дынкина
(рис. 15).
1
a
1
b
1
c
Рисунок 15. Диаграммы Кокстера-Дынкина для дискретных групп на плос-
кости Галилея.
Figure 15. Coxeter-Dynkin diagrams for discrete groups on the Galilean plane.
Первый и третий типы диаграмм определяют дискрет-
ные группы, орбитами которых являются решетки в слое и в
базе соответственно. В случае симметрий платоновых тел,
если пересечения трех плоскостей (22) со слоем x1 = a
имеют вид прямых первого типа (31), то три отражения Ri
дискретной группы будут иметь вид (32). Каждая пара от-
ражений задает решетку в слое со своим шагом.
Заключение
Контракции непрерывных групп Ли, описанные в [14] с
помощью коммутативных нильпотентных образующих ιk,
допускают адекватное описание посредством непрерыв-
ных вещественных параметров εk, которые стремятся к
своим нулевым предельным значениям εk → 0. Предель-
ный переход в непрерывной группе влечет за собой пере-
ходы в соответствующих дискретных подгруппах и, соот-
ветственно, изменение орбит этих групп.
Отметим, что в случае контракций компактных групп Ли
обычно получаются некомпактные группы. В наших при-
мерах конечные дискретные группы переходят в беско-
нечные дискретные группы. В случае, когда при контрак-
ции исходной непрерывной группы имеется инвариантная
компактная подгруппа, то соответствующая ей дискретная
подгруппа остается конечной. Этот пример возникает при
контракции в пространстве R3(ι1, 1).
1. Сарданашвили, Г.А. Калибровочные поля в случае дискретных симметрий / Г.А. Сарданашвили // Вестник МГУ. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 1981. - Т. 22. - № 5. -С. 41-44.
2. Grimus, W. Finite flavour groups of fermions / W. Grimus, P.O. Ludl // J. Phys. A: Math. Theor. - 2012. - Vol. 45. - № 23. - 233001. ArXiv:1110.6376 [hep-th].
3. King, S.F. Spontaneous breaking of SO(3) to finite family symmetries with supersymmetry - an A4 model / S.F. King, Y.L. Zhou // J. High Energ. Phys. - 2018. - № 11. - P. 173.ArXiv:1809.10292 [hep-ph].
4. Luhn, C. Spontaneous breaking of SU(3) to finite family symmetries - a pedestrian’s approach / C. Luhn // J. High Energ. Phys. - 2011. - P. 108. ArXiv:1101.2417 [hep-ph].
5. Rachlin, B.L. Spontaneous breaking of gauge groups to discrete symmetries / B.L. Rachlin, T.W. Kephart // J. High Energ. Phys. - 2017. - P. 110. ArXiv:1702.08073 [hep-ph].
6. Wilson, R.A. Integer versions of Yang-Mills theory / R.A. Wilson // ArXiv:2202.08263 [math.GR].
7. Зельдович, Я.Б. Космологические следствия спонтанного нарушения дискретной симметрии / Я.Б. Зельдович, И.Ю. Кобзарев, Л.Б. Окунь // ЖЭТФ. - 1974. - Т. 67. - С. 3-11.
8. Винберг, Э.Б. Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны / Э.Б. Винберг, О.В. Шварцман // Геометрия-2. Итоги науки и техн. Сер Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. - Москва: ВИНИТИ, 1988. - Т. 29. - С. 147-259.
9. Галиулин, Р.В. Двумерные дискретные группы с конечной фундаментальной областью, их физический и гуманитарный смыслы / Р.В. Галиулин // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45. - № 8. - С. 1331-1344.
10. Галиулин, Р.В. Кристаллографическая картина мира / Р.В. Галиулин // УФН. - 2002. - Т. 172, вып. 2. - С. 229-233.
11. Тараканов, А.Н. О дискретных подгруппах группы Лоренца, генерирующих решетки в пространстве Минковского / А.Н. Тараканов // Весци НАН Беларусi. Сер.фiз-мат. навук. - 2014. - № 4. - С. 5-9.
12. Dirac, P.A.M. Discrete subgroups of the Poincare group / P.A.M. Dirac // Проблемы теоретической физики. Памяти И.Е. Тамма. Москва: Наука, 1972. - С. 45-51.
13. Белавин, А.А. Дискретные группы и интегрируемость квантовых систем / А.А. Белавин // Функцион. Анализ и его прил. - 1980. - Т. 14, вып. 4. - С. 18-26.
14. Громов, Н.А. Контракции классических и квантовых групп / Н.А. Громов. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 318 с.
15. Коксетер, Г.С.М. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп / Г.С.М. Коксетер, У.О.Дж. Мозер. - Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. литер., 1980. - 240 с.
16. Яглом, И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии / И.М. Яглом. - Москва: Физматгиз, 1963. - 192 с.
17. Пименов, Р.И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени) / Р.И. Пименов. - Ленинград: Наука, 1968. - 496 с.
