Russian Federation
The paper deals with the issues of stability of a circular ring compressed by uniformly distributed central forces in the presence of one-sided restrictions on displacements. In the second part of the article, the problem of oscillations of a ring supported by single-acting threads is solved. The problems are reduced to solving some variational problem under restrictions on the desired functions in the form of linear equations and inequalities
stability, ring, variational problem, bifurcation points, onesided constraints, oscillation
Введение
В настоящей работе рассматриваются конструктивно–
нелинейные задачи устойчивости и свободных колебаний
колец [1], подкрепленных нерастяжимыми нитями, так что
расстояние между точками прикрепления концов нити не
может увеличиваться, и они не выдерживают сжимающих
усилий. Эти задачи не могут быть линеаризованы, обла-
дая нелинейностью как существенным свойством, так как
их напряженно-деформированное состояние описывает-
ся негладкими функциями. При математической форма-
лизации расчет на устойчивость сводится к отысканию
параметра нагрузки, при котором происходит бифуркация
решения задачи вариационного исчисления при наличии
ограничений на искомые функции в виде неравенств. При
конечномерной аппроксимации получаем задачу нахож-
дения параметра нагрузки, при которой происходит би-
фуркация решений задач нелинейного программирования.
Последняя задача может быть сведена к идентификации
условной положительной определенности квадратичных
форм на конусах. В общем случае требуется применять
методы глобальной оптимизации, например метод ветвей
и границ [2]. Некоторые задачи устойчивости и закритиче-
ского поведения при наличии односторонних ограничений
на перемещения рассмотрены в работах [3–6].
1. Устойчивость колец с односторонним под-
креплением
Рассмотрим задачу устойчивости упругих колец, под-
крепленных упругими нитями, которые не воспринимают
сжимающих усилий. Пусть один конец нити прикреплен
к неподвижному центру кольца, другой – к некоторой точ-
ке кольца. Предположим, что нить является нерастяжимой,
т.е. в результате деформации расстояние между центром
кольца и точкой прикрепления не может увеличиваться.
Обозначим через ϑ центральный угол, w(ϑ) – радиаль-
ное перемещение (прогиб), v(ϑ)– касательное перемеще-
ние точек кольца.
Отметим, что из условия несжимаемости оси кольца
следует равенство
v′ = −w. (1)
Пусть нити расположены так часто, что их можно счи-
тать непрерывно распределенными по кольцу. Тогда зада-
ча на устойчивость сводится к отысканию таких значений
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
23
силы P, при которых вариационная проблема
J(w) =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ−
−P
2
Z 2π
0
(w′2 − w2)dϑ → min
w
(2)
имеет нетривиальное решение при граничных условиях пе-
риодичности и ограничениях
w(ϑ) ≤ 0. (3)
Здесь D — жесткость на изгиб в плоскости кольца, R —
радиус кольца. Первый интеграл в (2) представляет собой
упругую энергию, второй — работу сил нормального дав-
ления.
Выпишем уравнение Эйлера для функционала (2):
wIV + (2 + k2)w′′ + (1 + k2)w = 0, (4)
где k2 = PR3
D . Соответствующее характеристическое
уравнение
λ4 + (2 + k2)λ2 + (1 + k2) = 0
имеет решения
λ1,2 = ±i; λ3,4 = ±i
√
1 + k2.
Тогда функция прогиба представима в виде
w = A1 sin ϑ+A2 cos ϑ+A3 sin αϑ+A4 cos αϑ, (5)
где α =
√
1 + k2.
Зафиксируем некоторый угол β > 0. Будем считать,
что w(ϑ) < 0, ϑ ∈ (0, β) и w(ϑ) ≡ 0, ϑ ∈ (β, 2π).
Первая производная w′(ϑ) должна быть непрерывной при
ϑ ∈ (0, 2π), тогда функция w удовлетворяет граничным
условиям
w(0) = 0, w′(0) = 0, w(β) = 0, w′(β) = 0. (6)
Подставляя (5) в (6), получим систему линейных уравне-
ний
8>>>>><
>>>>>:
A2 + A4 = 0,
A1 + αA3 = 0,
A1 sin β + A2 cos β+
+A3 sin(αβ) + A4 cos(αβ) = 0,
A1 cos β − A2 sin β+
+αA3 cos(αβ) − αA4 sin(αβ) = 0.
(7)
Выражая из первых двух уравнений последней системыA1
и A4, получим
A4 = −A2,
A1 = −eαA3.
(8)
Третье и четвертое уравнения в системе (7) примут вид
8><
>:
−αA3 sin β + A2 cos β+
+A3 sin(αβ) − A2 cos(αβ) = 0,
−αA3 cos β − A2 sin β+
+αA3 cos(αβ) + αA2 sin(αβ) = 0.
(9)
После упрощения имеем
8><
>:
A3(sin(αβ) − α sin β)+
+A2(cos β − cos(αβ)) = 0,
A3(α cos(αβ) − α cos β)+
+A2(α sin(αβ) − sin β) = 0.
(10)
Система уравнений имеет нетривиальное решение, если ее
определитель равен нулю, т.е.
Δ(α) = (sin(αβ) − α sin β)(α sin(αβ) − sin β)−
−(cos β − cos(αβ))(α cos(αβ) − α cos β) =
= −2α + 2α cos(αβ) cos β + sin(αβ) sin β+
+α2 sin(αβ) sin β = 0. (11)
Решая уравнение (11) относительно неизвестной α, по-
лучим функцию α = α(β). При заданном β уравнение
имеет бесконечное число корней. Очевидно, что α = 1 яв-
ляется корнем уравнения при любом β. Заметим, что при
α = 1 параметр k = 0, значит, и сила P равна нулю.
Далее находим форму прогиба по формулам (5). Неслож-
но убедиться, что формула (5) при α = 1 дает переме-
щение кольца как жесткого целого. Следовательно, надо
находить минимальный корень уравнения (11), удовлетво-
ряющий условию α > 1. Также необходимо выполнение
знаковых ограничений (3). Чем больше угол β, тем меньше
k2, а значит и сила P. Значения критического параметра P
в зависимости от значений угла β приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения критического параметра α в зависимости от угла β
Table 1
Values of critical parameter α depending on angle β
β
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
α 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841
Численные эксперименты при β > π показали, что график
w будет менять знак на интервале (0, β), т.е. ограничения
неотрицательности на функцию w не будут выполняться.
Таким образом, минимальное критическое значение па-
раметра α = 3, откуда находим: k2 = 8, что соответствует
равенству P = 8D/R3. Заметим, что критическое давле-
ние для неподкрепленного кольца определяется формулой
P = 3D/R3.
Случай центральной нагрузки. Рассмотрим сначала
случай плоской деформации. Тогда задача с односторон-
ними ограничениями на перемещения может быть сведена
к вариационной проблеме
e J =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ → min (12)
при ограничениях
J1 =
1
2
Z 2π
0
(w′2 − 2w2)dϑ = 1, (13)
w ⩾ 0. (14)
Нетрудно показать, что решение задачи (12)–(14) можно
искать среди функций строго положительных на некотором
24
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
интервале [0, ϑ0] и равных нулю, если ϑ /∈
[0, ϑ0]. Функ-
цию прогиба будем считать равной
w = A1 sin eαϑ + A2 cos eαϑ+
+ A3 sin eβϑ + A4 cos eβϑ, (15)
где
α =
s
2 + k2 −
√
k4 − 4k2
2
,
β =
s
2 + k2 +
√
k4 − 4k2
2
, k2 =
P
EJ
.
Функция w(ϑ) должна удовлетворять граничным услови-
ям
w(0) = w(ϑ0) = 0, w′(0) = w′(ϑ0) = 0. (16)
Подставляя (15) в (16), получим систему уравнений
8>>>>>><
>>>>>>:
A2 + A4 = 0,
eαA1 + eβA3 = 0,
A1 sin eαϑ0 + A2 cos eαϑ0+
+A3 sin eβϑ0 + A4 cos eβϑ0,
A1eα cos eαϑ0 − A2eα sin eαϑ0+
+A3 eβ cos eβϑ0 − A4 eβ sin eβϑ0.
(17)
Неизвестными в системе (17) будут коэффициенты
A1,A2,A3,A4. Выражая из первых двух уравнений по-
следней системы A1,A4, получим
A4 = −A2,
A1 = −eβ/eαA3.
(18)
Тогда последние два уравнения системы (17) можно упро-
стить
8>>><
>>>:
A3(− e β
eα sin eαϑ0 + sin eβϑ0)+
+A2(cos eαϑ0 − cos eβϑ0) = 0,
A3(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0)+
+A2(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0) = 0.
(19)
Определитель системы (19) имеет вид
Δ = (sin eβϑ0 −
eβ
eα
sin eαϑ0)(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0)−
−(cos eαϑ0 − cos eβϑ0)(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0). (20)
Для существования нетривиального решения краевой за-
дачи необходимо и достаточно, чтобы
Δ = Δ(k; ϑ0) = 0. (21)
Нетривиальные решения системы (19) при k = k1 или
k = k2 находим следующим образом. Полагая A3 = 1,
находим
A2 =
sin(eαk) − sin(eβk)
cos(eαk) − cos(eβk)
.
Первые два корня уравнения (21) приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения критического параметра k
Table 2
Critical parameter values k
ϑ0
2π
3
3π
4
3π
4.3
k1 4.3154 4.0463 4.3132
k2 4.4849 4.3099 4.3132
На рис. 1 представлены графики прогибов w(ϑ) при
ϑ0 = 2π
3 . На рис. 2 – графики прогибов w(ϑ) при ϑ = 3π
4 .
(A) (B)
Рисунок 1. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π
3 , k = k1 (A); форма про-
гиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π
3 , k = k2 (B).
Figure 1. Deflection shapew(ϑ) at ϑ0 = 2π
3 , k = k1 (A); deflection shape
w(ϑ) at ϑ0 = 2π
3 , k = k2 (B).
(A) (B)
Рисунок 2. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π
4 , k = k1 (A); форма про-
гиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π
4 , k = k2 (B).
Figure 2. Deflection shape w(ϑ) at ϑ0 = 3π
4 , k = k1 (A); deflection
shape w(ϑ) at ϑ0 = 3π
4 , k = k2 (B).
При k = k1 для ϑ0 ̸= 3π
4 прогиб w(ϑ) меняет знак
(рис. 2 A), следовательно, ограничение (14) не выполняется.
Подходящим (т.е. удовлетворяющим односторонним огра-
ничениям) является второй корень k = k2 при ϑ0 < 3π
4 (рис. 2 B). Рассмотрев график производной w′(ϑ), заме-
чаем, что при ϑ0 = 3π
4 производная обращается в ноль
на интервале [a, b] ровно три раза. Это означает, что са-
ма функция w(ϑ) на этом интервале имеет три точки экс-
тремума, откуда следует, что функция меняет знак на этом
интервале (рис. 2 B). Если ϑ0 = 3π
4.3 , то корни уравнения
(21) будут кратными. С другой стороны, чем больше ϑ0, тем
меньше значение критического параметра k. Таким обра-
зом, значение безразмерного параметра критической силы
при наличии односторонних ограничений на перемещения
(14) будет равно
k2 = k2
1 = k2
2 =
PR3
D
= 18.6044. (22)
В случае плоской деформации при аппроксимации
сплайнами прогиба w(ϑ) при m = 72 получено следу-
ющее значение безразмерного параметра:
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
25
e P =
PR3
D
= 18.5854.
Сравнивая это значение с (22), находим, что точность чис-
ленного решения задачи равна
18.6044 − 18.5854
18.6044
= 0.00102 = 0.1%.
Отношение e P
P1
= 18.5854
4.5 = 4.1301. А из формулы (22)
18.6044
4.5 = 4.1343. Таким образом, подкрепление нитями
увеличивает критическую нагрузку кольца в 4.13 раза.
2. Колебания колец
Координаты точек деформированного кольца имеют
вид
(
x(ϑ) = (R + w(ϑ)) cos ϑ − v(ϑ) sin ϑ,
y(ϑ) = (R + w(ϑ)) sin ϑ + v(ϑ) cos ϑ.
(23)
Упругая энергия деформированного кольца, подкреплен-
ного нитями с жесткостью c, записывается в виде
U =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ +
c
2
Z2π
0
w2dϑ. (24)
Кинетическая энергия кольца описывается уравнением
T =
Rρ
2
Z2π
0
(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ. (25)
Здесь ρ – линейная плотность материала. Условие несжи-
маемости оси кольца x′2 + y′2 = R2 после преобразова-
ний примет вид: v′ = −w.
Для получения уравнений колебания кольца применим
принцип наименьшего действия: если T – кинетическая
энергия системы, U – потенциальная энергия, необходи-
мо найти минимум функционала действия:
J =
Zt1
t0
(T − U)dt.
В нашем случае
J =
Zt1
t0
2
4Rρ
2
Z2π
0
(v˙ 2 + v˙ ′2)dϑ−
− D
2R3
Z2π
0
(v′′′ + v′)2dϑ − c
2
Z2π
0
v′2dϑ
3
5 dt. (26)
Выпишем уравнение Эйлера-Остроградского:
Rρ(¨v − ¨v′′) =
D
R3 (vV I + 2vIV + v′′) + cv′′. (27)
Решение уравнения (27) ищем в виде:
v(ϑ, t) = ξ(t)η(ϑ). (28)
Применяя метод разделения переменных, приходим к двум
уравнениям:
¨ξ +
D
R4ρ
λ2ξ = 0, (29)
ηV I + 2ηIV + ecη′′ + λ2(η − η′′) = 0. (30)
Уравнение (29) означает, что движение носит колебатель-
ный характер, а уравнение (30) описывает форму колеба-
ний.
Решение (29) имеет вид
ξ = C1 sin ωkt + C2 cos ωkt, (31)
где ωk =
q
Dλ2
k
R4ρ – частота собственных колебаний. Реше-
ние уравнения (30) должно быть 2π-периодическим. Этому
условию удовлетворяет функция вида:
ηk =
∞X
k=1
(ak(t) sin(kϑ) + bk(t) cos(kϑ)). (32)
Подставляем ряд (32) в (30) и с учетом ортогональности по-
лучаем
η =
h
−k6 + 2k4−
− (ec − p2)k2 + λ2
i
(sin(kϑ) + cos(kϑ)). (33)
Нетривиальное решение существует, если
−k6 + 2k4 − (ec − p2)k2 + λ2 = 0.
Откуда находим зависимость частоты колебаний от номера
гармоники
λ2
k =
k6 − 2k4 + eck2
k2 + 1
. (34)
Общее решение (27) дается формулой:
v(ϑ, t) =
∞X
k=1
C1k sin(ωkt)+C2k cos(ωkt)
sin(kϑ)+
+
∞X
k=1
gC1k sin(ωkt) +gC2k cos(ωkt)
cos(kϑ). (35)
Для определения движения необходимы начальные усло-
вия при t = 0:
v(ϑ, 0) = v0(ϑ), v˙(ϑ, 0) = v˙0(ϑ), (36)
где v0 и v˙0 — известные значения. Разлагая их в ряд
Фурье и используя (35), можно найти коэффициенты
C1k, C2k, gC1k, gC2k.
26
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Колебания кольца, подкрепленного нитями односто-
роннего действия. Предположим, что кольцо подкреплено
нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий, т.е.
упругая энергия нитей определяется формулой
c
2
Z2π
0
w2+
dϑ, (37)
где w+ — положительная срезка функции
w+ = max{0,w} =
w + |w|
2
.
В данном случае функционал J принимает вид
J =
Zt1
t0
2
4Rρ
2
Z2π
0
(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ−
− D
2R3
Z2π
0
(w′′ + v′)2dϑ − c
2
Z2π
0
w2+
dϑ
3
5 dt. (38)
Перемещения точек кольца ищем в виде
v =
XN
k=1
(Ak(t) sin(kϑ) + Bk(t) cos(kϑ)), (39)
w =
XN
k=1
(kAk(t) cos(kϑ) − kBk(t) sin(kϑ)). (40)
Функционал (38) принимает стационарное значение. Вы-
пишем для него уравнения Эйлера относительно Ak и Bk
Rρπ(1 + k2)A¨k +
D
R3 π(k3 − k)2Ak+
+ c
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ = 0, (41)
Rρπ(1 + k2)B¨k +
D
R3 π(k3 − k)2Bk−
− c
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ = 0, (42)
где S+ =
hPN
j=1(jAj cos(jϑ) − jBj sin(jϑ))
i
+
.
Выражаем вторые производные
A¨k = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Ak−
− c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ, (43)
B¨k = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Bk+
+
c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ. (44)
Введем вектор
V = (A1, ...,AN,B1, ...,BN)T . (45)
Уравнения (43), (44) запишем в виде
¨ V = f(V ), (46)
где
fj = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Ak−
− c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ (47)
при j = 1, . . . ,N и
fj = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Bk+
+
c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ (48)
при j = N+1, . . . , 2N. Система (46) эквивалентна систе-
ме, состоящей из дифференциальных уравнений первого
порядка
(
˙V
= Z,
˙Z
= f(V ).
(49)
Для решения последней использовался метод Рунге-Кутта
4-го порядка.
Результаты и их обсуждения
На рис. 3 представлены графики собственных форм ко-
лебаний кольца радиуса R = 10 м с жесткостью нитей
c = 35 Н/мм, цилиндрической жесткостью D = 66.7 Н·м
при разных начальных условиях w0 = 1.5 sin(2ϑ) для
графиков слева и w0 = 2 cos(3ϑ) для графиков справа.
(A)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
27
(B)
(C)
(D)
(E)
Рисунок 3. График собственных форм колебаний кольца при A) t = 0,
B) t = 2.8, C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.
Figure 3. Graph of the eigenmodes of the ring at A) t = 0, B) t = 2.8,
C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.
Наблюдается эффект возврата в начальное состояние (эф-
фект Ферми-Паста-Улама). Энергия остается локализо-
ванной в начальных и нескольких соседних гармониках.
При больших значениях t наблюдается почти полный воз-
врат энергии в начальную гармонику. К примеру, для ри-
сунков слева разница между начальным и конечным состо-
яниями равна max{v − v0} ≤ 0.039, max{w − w0} ≤
0.074. Для рисунков справа max{v − v0} ≤ 0.040,
max{w − w0} ≤ 0.036.
Таким образом, подкрепление колец нерастяжимыми
нитями сможет существенно увеличить критическую на-
грузку. Результаты работы могут оказаться полезными при
расчетах и проектировании на прочность и устойчивость
тонкостенных конструкций.
1. Panovko, Ya.G. Osnovy prikladnoy teorii uprugih kolebaniy / Ya.G. Panovko. - Moskva: Mashinostroenie, 1967.
2. Suharev, A.G. Global'nyy ekstremum i metody ego otyskaniya / A.G. Suharev // Matematicheskie metody i issledovaniya operaciy. - Moskva: Izdatel'stvo MGU, 1981. - S. 4-37.
3. Alfutov, N.A. Vliyanie odnostoronnih svyazey na ustoy-chivost' cilindricheskih obolochek pri osevom szha-tii / N.A. Alfutov, A.N. Eremichev // Raschety na prochnost'. - Moskva: Mashinostroenie, 1989. - S. 179-180.
4. Feodos'ev, V.I. Izbrannye zadachi i voprosy po soprotivleniyu materialov / V.I. Feodos'ev. - Moskva: Nauka, 1967. - 376 s.
5. Andryukova, V.Y. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V.Y. Andryukova, V.N. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - P. 213-218.
6. Tarasov, V.N. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V.N. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - P. 252-256.