Россия
В работе рассматриваются вопросы устойчивости кругово- го кольца, сжимаемого равномерно распределенными цен- тральными силами, при наличии односторонних ограниче- ний на перемещения. Во второй части статьи решена за- дача о колебаниях кольца, подкрепленного нитями одно- стороннего действия. Задачи сводятся к решению некото- рой вариационной проблемы при ограничениях на искомые функции в виде линейных уравнений и неравенств.
устойчивость, кольцо, вариационная задача, точки бифур- кации, односторонние ограничения, колебания
Введение
В настоящей работе рассматриваются конструктивно–
нелинейные задачи устойчивости и свободных колебаний
колец [1], подкрепленных нерастяжимыми нитями, так что
расстояние между точками прикрепления концов нити не
может увеличиваться, и они не выдерживают сжимающих
усилий. Эти задачи не могут быть линеаризованы, обла-
дая нелинейностью как существенным свойством, так как
их напряженно-деформированное состояние описывает-
ся негладкими функциями. При математической форма-
лизации расчет на устойчивость сводится к отысканию
параметра нагрузки, при котором происходит бифуркация
решения задачи вариационного исчисления при наличии
ограничений на искомые функции в виде неравенств. При
конечномерной аппроксимации получаем задачу нахож-
дения параметра нагрузки, при которой происходит би-
фуркация решений задач нелинейного программирования.
Последняя задача может быть сведена к идентификации
условной положительной определенности квадратичных
форм на конусах. В общем случае требуется применять
методы глобальной оптимизации, например метод ветвей
и границ [2]. Некоторые задачи устойчивости и закритиче-
ского поведения при наличии односторонних ограничений
на перемещения рассмотрены в работах [3–6].
1. Устойчивость колец с односторонним под-
креплением
Рассмотрим задачу устойчивости упругих колец, под-
крепленных упругими нитями, которые не воспринимают
сжимающих усилий. Пусть один конец нити прикреплен
к неподвижному центру кольца, другой – к некоторой точ-
ке кольца. Предположим, что нить является нерастяжимой,
т.е. в результате деформации расстояние между центром
кольца и точкой прикрепления не может увеличиваться.
Обозначим через ϑ центральный угол, w(ϑ) – радиаль-
ное перемещение (прогиб), v(ϑ)– касательное перемеще-
ние точек кольца.
Отметим, что из условия несжимаемости оси кольца
следует равенство
v′ = −w. (1)
Пусть нити расположены так часто, что их можно счи-
тать непрерывно распределенными по кольцу. Тогда зада-
ча на устойчивость сводится к отысканию таких значений
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
23
силы P, при которых вариационная проблема
J(w) =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ−
−P
2
Z 2π
0
(w′2 − w2)dϑ → min
w
(2)
имеет нетривиальное решение при граничных условиях пе-
риодичности и ограничениях
w(ϑ) ≤ 0. (3)
Здесь D — жесткость на изгиб в плоскости кольца, R —
радиус кольца. Первый интеграл в (2) представляет собой
упругую энергию, второй — работу сил нормального дав-
ления.
Выпишем уравнение Эйлера для функционала (2):
wIV + (2 + k2)w′′ + (1 + k2)w = 0, (4)
где k2 = PR3
D . Соответствующее характеристическое
уравнение
λ4 + (2 + k2)λ2 + (1 + k2) = 0
имеет решения
λ1,2 = ±i; λ3,4 = ±i
√
1 + k2.
Тогда функция прогиба представима в виде
w = A1 sin ϑ+A2 cos ϑ+A3 sin αϑ+A4 cos αϑ, (5)
где α =
√
1 + k2.
Зафиксируем некоторый угол β > 0. Будем считать,
что w(ϑ) < 0, ϑ ∈ (0, β) и w(ϑ) ≡ 0, ϑ ∈ (β, 2π).
Первая производная w′(ϑ) должна быть непрерывной при
ϑ ∈ (0, 2π), тогда функция w удовлетворяет граничным
условиям
w(0) = 0, w′(0) = 0, w(β) = 0, w′(β) = 0. (6)
Подставляя (5) в (6), получим систему линейных уравне-
ний
8>>>>><
>>>>>:
A2 + A4 = 0,
A1 + αA3 = 0,
A1 sin β + A2 cos β+
+A3 sin(αβ) + A4 cos(αβ) = 0,
A1 cos β − A2 sin β+
+αA3 cos(αβ) − αA4 sin(αβ) = 0.
(7)
Выражая из первых двух уравнений последней системыA1
и A4, получим
A4 = −A2,
A1 = −eαA3.
(8)
Третье и четвертое уравнения в системе (7) примут вид
8><
>:
−αA3 sin β + A2 cos β+
+A3 sin(αβ) − A2 cos(αβ) = 0,
−αA3 cos β − A2 sin β+
+αA3 cos(αβ) + αA2 sin(αβ) = 0.
(9)
После упрощения имеем
8><
>:
A3(sin(αβ) − α sin β)+
+A2(cos β − cos(αβ)) = 0,
A3(α cos(αβ) − α cos β)+
+A2(α sin(αβ) − sin β) = 0.
(10)
Система уравнений имеет нетривиальное решение, если ее
определитель равен нулю, т.е.
Δ(α) = (sin(αβ) − α sin β)(α sin(αβ) − sin β)−
−(cos β − cos(αβ))(α cos(αβ) − α cos β) =
= −2α + 2α cos(αβ) cos β + sin(αβ) sin β+
+α2 sin(αβ) sin β = 0. (11)
Решая уравнение (11) относительно неизвестной α, по-
лучим функцию α = α(β). При заданном β уравнение
имеет бесконечное число корней. Очевидно, что α = 1 яв-
ляется корнем уравнения при любом β. Заметим, что при
α = 1 параметр k = 0, значит, и сила P равна нулю.
Далее находим форму прогиба по формулам (5). Неслож-
но убедиться, что формула (5) при α = 1 дает переме-
щение кольца как жесткого целого. Следовательно, надо
находить минимальный корень уравнения (11), удовлетво-
ряющий условию α > 1. Также необходимо выполнение
знаковых ограничений (3). Чем больше угол β, тем меньше
k2, а значит и сила P. Значения критического параметра P
в зависимости от значений угла β приведены в табл. 1.
Таблица 1
Значения критического параметра α в зависимости от угла β
Table 1
Values of critical parameter α depending on angle β
β
π
4
π
2
3π
4
π
5π
4
α 4.9801 4.2915 3.2136 3 2.4841
Численные эксперименты при β > π показали, что график
w будет менять знак на интервале (0, β), т.е. ограничения
неотрицательности на функцию w не будут выполняться.
Таким образом, минимальное критическое значение па-
раметра α = 3, откуда находим: k2 = 8, что соответствует
равенству P = 8D/R3. Заметим, что критическое давле-
ние для неподкрепленного кольца определяется формулой
P = 3D/R3.
Случай центральной нагрузки. Рассмотрим сначала
случай плоской деформации. Тогда задача с односторон-
ними ограничениями на перемещения может быть сведена
к вариационной проблеме
e J =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ → min (12)
при ограничениях
J1 =
1
2
Z 2π
0
(w′2 − 2w2)dϑ = 1, (13)
w ⩾ 0. (14)
Нетрудно показать, что решение задачи (12)–(14) можно
искать среди функций строго положительных на некотором
24
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
интервале [0, ϑ0] и равных нулю, если ϑ /∈
[0, ϑ0]. Функ-
цию прогиба будем считать равной
w = A1 sin eαϑ + A2 cos eαϑ+
+ A3 sin eβϑ + A4 cos eβϑ, (15)
где
α =
s
2 + k2 −
√
k4 − 4k2
2
,
β =
s
2 + k2 +
√
k4 − 4k2
2
, k2 =
P
EJ
.
Функция w(ϑ) должна удовлетворять граничным услови-
ям
w(0) = w(ϑ0) = 0, w′(0) = w′(ϑ0) = 0. (16)
Подставляя (15) в (16), получим систему уравнений
8>>>>>><
>>>>>>:
A2 + A4 = 0,
eαA1 + eβA3 = 0,
A1 sin eαϑ0 + A2 cos eαϑ0+
+A3 sin eβϑ0 + A4 cos eβϑ0,
A1eα cos eαϑ0 − A2eα sin eαϑ0+
+A3 eβ cos eβϑ0 − A4 eβ sin eβϑ0.
(17)
Неизвестными в системе (17) будут коэффициенты
A1,A2,A3,A4. Выражая из первых двух уравнений по-
следней системы A1,A4, получим
A4 = −A2,
A1 = −eβ/eαA3.
(18)
Тогда последние два уравнения системы (17) можно упро-
стить
8>>><
>>>:
A3(− e β
eα sin eαϑ0 + sin eβϑ0)+
+A2(cos eαϑ0 − cos eβϑ0) = 0,
A3(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0)+
+A2(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0) = 0.
(19)
Определитель системы (19) имеет вид
Δ = (sin eβϑ0 −
eβ
eα
sin eαϑ0)(eβ sin eβϑ0 − eα sin eαϑ0)−
−(cos eαϑ0 − cos eβϑ0)(eβ cos eβϑ0 − eα sin eαϑ0). (20)
Для существования нетривиального решения краевой за-
дачи необходимо и достаточно, чтобы
Δ = Δ(k; ϑ0) = 0. (21)
Нетривиальные решения системы (19) при k = k1 или
k = k2 находим следующим образом. Полагая A3 = 1,
находим
A2 =
sin(eαk) − sin(eβk)
cos(eαk) − cos(eβk)
.
Первые два корня уравнения (21) приведены в табл. 2.
Таблица 2
Значения критического параметра k
Table 2
Critical parameter values k
ϑ0
2π
3
3π
4
3π
4.3
k1 4.3154 4.0463 4.3132
k2 4.4849 4.3099 4.3132
На рис. 1 представлены графики прогибов w(ϑ) при
ϑ0 = 2π
3 . На рис. 2 – графики прогибов w(ϑ) при ϑ = 3π
4 .
(A) (B)
Рисунок 1. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π
3 , k = k1 (A); форма про-
гиба w(ϑ) при ϑ0 = 2π
3 , k = k2 (B).
Figure 1. Deflection shapew(ϑ) at ϑ0 = 2π
3 , k = k1 (A); deflection shape
w(ϑ) at ϑ0 = 2π
3 , k = k2 (B).
(A) (B)
Рисунок 2. Форма прогиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π
4 , k = k1 (A); форма про-
гиба w(ϑ) при ϑ0 = 3π
4 , k = k2 (B).
Figure 2. Deflection shape w(ϑ) at ϑ0 = 3π
4 , k = k1 (A); deflection
shape w(ϑ) at ϑ0 = 3π
4 , k = k2 (B).
При k = k1 для ϑ0 ̸= 3π
4 прогиб w(ϑ) меняет знак
(рис. 2 A), следовательно, ограничение (14) не выполняется.
Подходящим (т.е. удовлетворяющим односторонним огра-
ничениям) является второй корень k = k2 при ϑ0 < 3π
4 (рис. 2 B). Рассмотрев график производной w′(ϑ), заме-
чаем, что при ϑ0 = 3π
4 производная обращается в ноль
на интервале [a, b] ровно три раза. Это означает, что са-
ма функция w(ϑ) на этом интервале имеет три точки экс-
тремума, откуда следует, что функция меняет знак на этом
интервале (рис. 2 B). Если ϑ0 = 3π
4.3 , то корни уравнения
(21) будут кратными. С другой стороны, чем больше ϑ0, тем
меньше значение критического параметра k. Таким обра-
зом, значение безразмерного параметра критической силы
при наличии односторонних ограничений на перемещения
(14) будет равно
k2 = k2
1 = k2
2 =
PR3
D
= 18.6044. (22)
В случае плоской деформации при аппроксимации
сплайнами прогиба w(ϑ) при m = 72 получено следу-
ющее значение безразмерного параметра:
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
25
e P =
PR3
D
= 18.5854.
Сравнивая это значение с (22), находим, что точность чис-
ленного решения задачи равна
18.6044 − 18.5854
18.6044
= 0.00102 = 0.1%.
Отношение e P
P1
= 18.5854
4.5 = 4.1301. А из формулы (22)
18.6044
4.5 = 4.1343. Таким образом, подкрепление нитями
увеличивает критическую нагрузку кольца в 4.13 раза.
2. Колебания колец
Координаты точек деформированного кольца имеют
вид
(
x(ϑ) = (R + w(ϑ)) cos ϑ − v(ϑ) sin ϑ,
y(ϑ) = (R + w(ϑ)) sin ϑ + v(ϑ) cos ϑ.
(23)
Упругая энергия деформированного кольца, подкреплен-
ного нитями с жесткостью c, записывается в виде
U =
D
2R3
Z 2π
0
(w′′ + w)2dϑ +
c
2
Z2π
0
w2dϑ. (24)
Кинетическая энергия кольца описывается уравнением
T =
Rρ
2
Z2π
0
(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ. (25)
Здесь ρ – линейная плотность материала. Условие несжи-
маемости оси кольца x′2 + y′2 = R2 после преобразова-
ний примет вид: v′ = −w.
Для получения уравнений колебания кольца применим
принцип наименьшего действия: если T – кинетическая
энергия системы, U – потенциальная энергия, необходи-
мо найти минимум функционала действия:
J =
Zt1
t0
(T − U)dt.
В нашем случае
J =
Zt1
t0
2
4Rρ
2
Z2π
0
(v˙ 2 + v˙ ′2)dϑ−
− D
2R3
Z2π
0
(v′′′ + v′)2dϑ − c
2
Z2π
0
v′2dϑ
3
5 dt. (26)
Выпишем уравнение Эйлера-Остроградского:
Rρ(¨v − ¨v′′) =
D
R3 (vV I + 2vIV + v′′) + cv′′. (27)
Решение уравнения (27) ищем в виде:
v(ϑ, t) = ξ(t)η(ϑ). (28)
Применяя метод разделения переменных, приходим к двум
уравнениям:
¨ξ +
D
R4ρ
λ2ξ = 0, (29)
ηV I + 2ηIV + ecη′′ + λ2(η − η′′) = 0. (30)
Уравнение (29) означает, что движение носит колебатель-
ный характер, а уравнение (30) описывает форму колеба-
ний.
Решение (29) имеет вид
ξ = C1 sin ωkt + C2 cos ωkt, (31)
где ωk =
q
Dλ2
k
R4ρ – частота собственных колебаний. Реше-
ние уравнения (30) должно быть 2π-периодическим. Этому
условию удовлетворяет функция вида:
ηk =
∞X
k=1
(ak(t) sin(kϑ) + bk(t) cos(kϑ)). (32)
Подставляем ряд (32) в (30) и с учетом ортогональности по-
лучаем
η =
h
−k6 + 2k4−
− (ec − p2)k2 + λ2
i
(sin(kϑ) + cos(kϑ)). (33)
Нетривиальное решение существует, если
−k6 + 2k4 − (ec − p2)k2 + λ2 = 0.
Откуда находим зависимость частоты колебаний от номера
гармоники
λ2
k =
k6 − 2k4 + eck2
k2 + 1
. (34)
Общее решение (27) дается формулой:
v(ϑ, t) =
∞X
k=1
C1k sin(ωkt)+C2k cos(ωkt)
sin(kϑ)+
+
∞X
k=1
gC1k sin(ωkt) +gC2k cos(ωkt)
cos(kϑ). (35)
Для определения движения необходимы начальные усло-
вия при t = 0:
v(ϑ, 0) = v0(ϑ), v˙(ϑ, 0) = v˙0(ϑ), (36)
где v0 и v˙0 — известные значения. Разлагая их в ряд
Фурье и используя (35), можно найти коэффициенты
C1k, C2k, gC1k, gC2k.
26
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Колебания кольца, подкрепленного нитями односто-
роннего действия. Предположим, что кольцо подкреплено
нитями, которые не воспринимают сжимающих усилий, т.е.
упругая энергия нитей определяется формулой
c
2
Z2π
0
w2+
dϑ, (37)
где w+ — положительная срезка функции
w+ = max{0,w} =
w + |w|
2
.
В данном случае функционал J принимает вид
J =
Zt1
t0
2
4Rρ
2
Z2π
0
(w˙ 2 + v˙ 2)dϑ−
− D
2R3
Z2π
0
(w′′ + v′)2dϑ − c
2
Z2π
0
w2+
dϑ
3
5 dt. (38)
Перемещения точек кольца ищем в виде
v =
XN
k=1
(Ak(t) sin(kϑ) + Bk(t) cos(kϑ)), (39)
w =
XN
k=1
(kAk(t) cos(kϑ) − kBk(t) sin(kϑ)). (40)
Функционал (38) принимает стационарное значение. Вы-
пишем для него уравнения Эйлера относительно Ak и Bk
Rρπ(1 + k2)A¨k +
D
R3 π(k3 − k)2Ak+
+ c
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ = 0, (41)
Rρπ(1 + k2)B¨k +
D
R3 π(k3 − k)2Bk−
− c
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ = 0, (42)
где S+ =
hPN
j=1(jAj cos(jϑ) − jBj sin(jϑ))
i
+
.
Выражаем вторые производные
A¨k = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Ak−
− c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ, (43)
B¨k = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Bk+
+
c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ. (44)
Введем вектор
V = (A1, ...,AN,B1, ...,BN)T . (45)
Уравнения (43), (44) запишем в виде
¨ V = f(V ), (46)
где
fj = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Ak−
− c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k cos(kϑ)dϑ (47)
при j = 1, . . . ,N и
fj = − D(k3 − k)2
R4ρ(1 + k2)
Bk+
+
c
Rρπ(1 + k2)
Z2π
0
S+k sin(kϑ)dϑ (48)
при j = N+1, . . . , 2N. Система (46) эквивалентна систе-
ме, состоящей из дифференциальных уравнений первого
порядка
(
˙V
= Z,
˙Z
= f(V ).
(49)
Для решения последней использовался метод Рунге-Кутта
4-го порядка.
Результаты и их обсуждения
На рис. 3 представлены графики собственных форм ко-
лебаний кольца радиуса R = 10 м с жесткостью нитей
c = 35 Н/мм, цилиндрической жесткостью D = 66.7 Н·м
при разных начальных условиях w0 = 1.5 sin(2ϑ) для
графиков слева и w0 = 2 cos(3ϑ) для графиков справа.
(A)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
27
(B)
(C)
(D)
(E)
Рисунок 3. График собственных форм колебаний кольца при A) t = 0,
B) t = 2.8, C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.
Figure 3. Graph of the eigenmodes of the ring at A) t = 0, B) t = 2.8,
C) t = 6.0, D) t = 8.0, E) t = 16.
Наблюдается эффект возврата в начальное состояние (эф-
фект Ферми-Паста-Улама). Энергия остается локализо-
ванной в начальных и нескольких соседних гармониках.
При больших значениях t наблюдается почти полный воз-
врат энергии в начальную гармонику. К примеру, для ри-
сунков слева разница между начальным и конечным состо-
яниями равна max{v − v0} ≤ 0.039, max{w − w0} ≤
0.074. Для рисунков справа max{v − v0} ≤ 0.040,
max{w − w0} ≤ 0.036.
Таким образом, подкрепление колец нерастяжимыми
нитями сможет существенно увеличить критическую на-
грузку. Результаты работы могут оказаться полезными при
расчетах и проектировании на прочность и устойчивость
тонкостенных конструкций.
1. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний / Я.Г. Пановко. - Москва: Машиностроение, 1967.
2. Сухарев, А.Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания / А.Г. Сухарев // Математические методы и исследования операций. - Москва: Издательство МГУ, 1981. - С. 4-37.
3. Алфутов, Н.А. Влияние односторонних связей на устой-чивость цилиндрических оболочек при осевом сжа-тии / Н.А. Алфутов, А.Н. Еремичев // Расчеты на прочность. - Москва: Машиностроение, 1989. - С. 179-180.
4. Феодосьев, В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В.И. Феодосьев. - Москва: Наука, 1967. - 376 с.
5. Andryukova, V.Y. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V.Y. Andryukova, V.N. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - P. 213-218.
6. Tarasov, V.N. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems / V.N. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. - Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. - P. 252-256.
