Russian Federation
Russian Federation
The Liouville equation is equivalent to the two-dimensional Laplace equation and is reduced to it by the Lie-Bäcklund transformation, which, from the point of view of group theory, can be interpreted from using the Inönü-Wigner contraction. We analyze the construction of solutions to the Liouville equation to represent zero curvature using the contraction of the Lie algebra sl(2) and use nilpotent generators for this.
Liouville equation, contractions of Lie groups
Введение
В XIX в. Ж. Лиувилль, занимаясь поиском поверхностей
постоянной кривизны K, пришел к уравнению [1], которое
теперь носит его имя
∂2u
∂x∂y
= −K
2
eu, (1)
и нашел решение в виде
eu =
4fx(x)gy(y)
(1 + Kf(x)g(y))2 . (2)
Здесь x и y — две независимые переменные, f(x) и g(y)
— две произвольные функции от x и y соответственно.
Нижние индексы означают частные производные. После
замены g(y) → 1
Kg(y) решение (2) можно переписать в ви-
де
eu = − 4fx(x)gy(y)
K (f(x) + g(y))2 . (3)
Преобразования
x′ = X(x), y′ = Y (y),
u′ = u − lnXx(x) − ln Yy(y) (4)
не меняют вид уравнения Лиувилля (1), образуя бесконеч-
ную группу, содержащую две произвольные функции, и мо-
гут служить для построения его решений [2, 3].
Уравнение Лиувилля эквивалентно уравнению
∂2ϕ
∂x∂y
= 0 (5)
(двумерному уравнению Лапласа в случае римановых про-
странств или волновому уравнению в случае пространств
псевдоримановых), имеет ту же группу симметрии и приво-
дится к уравнению (5) одним из двух преобразований Ли-
Бэклунда
u = ln
−4˜ux˜uy
K˜u2
, u = ln
− 4˜ux˜uy
K cos2 ˜u
, (6)
найденных еще Лиувиллем [2, 3]. Для любого решения
˜u(x, y) уравнения (5), формулы (6) дают решения урав-
нения (1). Уравнение Лиувилля вошло в учебники [4, 5]
и остается интересной задачей как для математиков [6, 7],
так и для физиков.
Поскольку группы движений плоских пространств мож-
но получить предельными переходами из групп движений
пространств постоянной кривизны (K ̸= 0), то преобразо-
вания Бэклунда, переводящие уравнение Лиувилля в урав-
нение Лапласа или волновое, также можно связать с кон-
тракциями соответствующих групп (алгебр) [8–10].
Контракции алгебр Ли были впервые введены в рабо-
те Иненю и Вигнера [11] и в наиболее простой реализации
заключаются в умножении некоторых ее элементов на па-
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
49
раметры εi с последующим независимым устремлением их
к нулю таким образом, чтобы в пределе получались новые
алгебры Ли. Возможен и алгебраический подход к контрак-
циям [12], заключающийся в использовании алгебры Пиме-
новаPn(ι), при котором вместо параметров ε используют-
ся нильпотентные элементы этой алгебры.
В общем случае, как было отмечено [8–10], преобразо-
вания Бэклунда связаны с контракциями Иненю-Вигнера.
Если гамильтониан имеет вид ˆH = ˆH0 + ε ˆHI , где посто-
янная взаимодействия ε совпадает с параметром контрак-
ции, то при устремлении ε к нулю задача сводится к систе-
ме, описываемой свободным гамильтонианом ˆH0, а общее
решение можно строить из связанных с ним свободных по-
лей.
Например, нелинейное уравнение Лиувилля описыва-
ется в терминах алгебры Ли sl(2) или so(3), а связанное
с ним линейное уравнение Лапласа (5), решения которо-
го играют роль асимптотических полей, связано с группой
движений плоскости, которая может быть получена кон-
тракцией из sl(2) или so(3). При этом контракционный
параметр, равный постоянной взаимодействия, можно ин-
терпретировать и как кривизну K соответствующего про-
странства.
Также для цепочки Тоды контракция соответствующей
алгебры Ли позволяет строить общее решение. Предель-
ные переходы в Тода системах, перестройка диаграмм
Дынкина, влияние на гамильтониан взаимодействия, по-
нижение размерности получающейся Тода системы и по-
явление свободных уравнений исследованы в [13], а связь
контракций и преобразований Бэклунда для An- цепочки
Тоды отмечена в [14].
В работе [15], основываясь на системе уравнений, из ко-
торой следует уравнение нулевой кривизны [10, 16], были
найдены преобразования Бэклунда для An–цепочки То-
ды, связывающие ее с An−1– цепочкой Тоды и свободным
уравнением Лапласа. Аналогичный результат получен для
Bn, Cn и G2–цепочек Тоды. Отсюда следует, что с L − A
парой ассоциируются две алгебры Ли, отвечающие пер-
воначальному уравнению и уравнению, связанному с ним
преобразованием Беклунда и что саму L − A пару можно
понимать как результат некоторой композиции двух алгебр
Ли — исходной и контрактированной.
А. Пуанкаре использовал уравнение Лиувилля в зада-
че об униформизации римановых поверхностей [17] и дока-
зал существование решения уравнения Лиувилля для пол-
ной конформной метрики отрицательной кривизны с опре-
деленными асимптотиками в окрестностях особых точек.
Такое решение определяет на сфере с выколотыми точ-
ками полную метрику отрицательной кривизны. Решения
уравнения Лиувилля, с определенными асимптотиками в
проколотых точках и сингулярностями определенного ти-
па на замкнутых контурах, интерпретируемые как горизонт
черной дыры, могут трактоваться как решения типа чер-
ных дыр. На основе результатов магистерской диссерта-
ции В.И. Смирнова 1918 г. для случая четырех проколов бы-
ли явно описаны все решения типа черных дыр [18]. У урав-
нения Лиувилля есть и солитонные решения [19, 20].
Классическая теория Лиувилля — это теория поля, свя-
занная с гиперболическими римановыми поверхностями.
Полные конформные метрики на римановой поверхности
являются классическими полями теории, а уравнение Ли-
увилля — уравнением Эйлера-Лагранжа для соответству-
ющего функционала [21]. Пример классического поля Ли-
увилля разобран в [22].
Решения (2) лежат в основе квантовой модели Лиувил-
ля — базового примера конформной теории поля. Функ-
ции f и g играют здесь роль свободных полей и нулевых
мод [23]. В теории струн квантовое поле Лиувилля возни-
кает как конформная аномалия и играет важную роль [24].
В данной работе предложено использовать нильпо-
тентные образующие и алгебраический вариант контрак-
ций [12] для представления уравнений Лиувилля и Лапласа
через уравнение нулевой кривизны и нахождения связи их
решений.
1. Геометрии Кэли-Клейна и уравнение Ли-
увилля
Согласно программе Ф. Клейна, проективная геометрия
и ее группа движений могут служить базой для построе-
ния геометрий. Каждой из девяти геометрий Кэли-Клей-
на отвечает подгруппа проективной группы, т.е. подгруп-
па матриц 3×3, которая задается соответствующим абсо-
лютом. Некоторые из этих подгрупп связаны предельны-
ми переходами. Существует также глубокая связь различ-
ных видов комплексных и гиперкомплексных чисел с гео-
метриями Кэли-Клейна [25]. Отметим подход к построению
геометрий, основанный на принципе феноменологической
симметрии [26, 27].
Мы следуем подходу, предложенному Р.И. Пименовым
[28], где двумерные геометрии Кэли-Клейна (рис. 1) моде-
лируются в виде двумерной сферы с именованными коор-
динатами, которые могут быть вещественными, мнимыми
и нильпотентными [12, 28, 29]. Используя параметры jk =
1, ιk, i, именованные координаты можно представить в ви-
де x0, j1x1, j1j2x2, xk ∈ R и с помощью них реализовать
девять геометрий на поверхностях
x20
+ j2
1x21
+ j2
1 j2
2x22
= R2, (7)
в пространствах с метрикой
ds2 = (dx0)2 + j2
1 (dx1)2 + j2
1 j2
2 (dx2)2. (8)
Группа движений сферы изоморфна ортогональной
группе SO(3). Группы движений остальных двумерных
геометрий Кэли-Клейна могут быть получены из SO(3)
контракциями и аналитическими продолжениями [12]. Ге-
нераторы соответствующих алгебр Ли получаются из гене-
раторов алгебры Ли so(3) домножением на параметры jk
X → j1X, Y → j2Y, Z → j1j2Z,
где X, Y,Z — генераторы вращений в двумерных плос-
костях {x0, x1}, {x1, x2}, {x0, x2} соответственно. Эти
преобразования при нильпотентных значениях jk соот-
ветствуют преобразованиям контракций Иненю-Вигнера.
Коммутационные соотношения имеют вид [12]
[X, Y ] = Z, [Y,Z] = j2
1X, [Z,X] = j2
2Y. (9)
50
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
b
bb j j 1 2 1 ι1 i
1
x1
x2
x0
Сферическая
x1
x2
x0
Евклида
x1
x2
x0
Лобачевского
ι2
x1
x2
x0
Ньютона(+)
x1
x2
x0
Галилея
x1
x2
x0
Ньютона(-)
i
x1
x2
x0
анти-де
Ситтера
x1
x2
x0
Минковского
x1
x2
x0
де Ситтера
Рисунок 1. Двумерные пространства Кэли-Клейна.
Figure 1. Two-dimensional Cayley-Klein spaces.
Для римановых (j2 = 1) и псевдоримановых (j2 = i)
двумерных пространств постоянной кривизны метрику
ds2 = gijdxidxj (10)
можно представить в конформном виде [4, 5]
ds2 = eu
dx2 + j2
2dy2
= eudz d¯z, (11)
e−u =
1 + K
x2 + j2
2y22
= (1 + Kz¯z)2 , (12)
где z = x + ij2y, ¯z = x − ij2y. В этом случае гауссова
кривизна K имеет вид [4, 5]
K = −eu
2
∂2
∂x2 + j2
2
∂2
∂y2
u = −2e−u ∂2u
∂z∂¯z
. (13)
Если кривизна постоянна, то для функции u = u(z, ¯z) по-
лучаем уравнение Лиувилля (1)
1
4
∂2
∂x2 + j2
2
∂2
∂y2
u =
∂2u
∂z∂¯z
= −K
2
eu. (14)
Любая поверхность с римановой метрикой (11) (j2 = 1)
постоянной кривизны K локально изометрична сфере S2
при K > 0, евклидовой плоскости R2 при K = 0 или
плоскости Лобачевского H2 при K < 0, которые явля-
ются универсальными накрывающими поверхностями для
всех поверхностей соответственно положительной, нуле-
вой и отрицательной кривизны [4, 5]. Любая псевдорима-
нова поверхность (j2 = i) с метрикой вида (11) постоян-
ной кривизны локально изометрична однополостному ги-
перболоиду L2 (K ̸= 0) или плоскости Минковского R1,1
(K = 0). Таким образом, уравнение Лиувилля имеет от-
четливый геометрический смысл и связана с внутренней
геометрией поверхностей в евклидовом или псевдоевкли-
довом пространствах.
Рассмотрим более подробно, как получаются эти фор-
мулы, и начнем с трех римановых геометрий Кэли-Клейна
(j2 = 1) — сферы, плоскостей Евклида и Лобачевского.
Сфера радиуса R (рис. 2) задается уравнениями (7) и (8)
с j1 = j2 = 1. При стереографической проекции на эква-
ториальную плоскость x0 = 0 из точки (R, 0, 0) метрика
сферы принимает конформный вид (11) [4, 5]
ds2 =
dx2 + dy2
(1 + K (x2 + y2))2 =
4dz d¯z
(1 + K|z|2)2 . (15)
Здесь z = x + iy – координаты стереографической про-
екции соответствующей точки сферыM(x0, x1, x2),K =
1
R2 — гауссова кривизна сферы.
x1
x2
x0
R
M′
M
Рисунок 2. Стереографическая проекция сферы S2. Сферическая плос-
кость.
Figure 2. Stereographic projection of the sphere S2. Spherical plane.
К плоскости Лобачевского (j1 = i, j2 = 1) можно прийти,
рассматривая псевдосферу радиуса R (рис. 3)
x20
− x21
− x22
= R2 (16)
в псевдоевклидовом пространстве R31
с метрикой
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2. (17)
При стереографической проекции верхней половины ги-
перболоида на плоскость x0 = 0 из точки (−R, 0, 0) мет-
рика на плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре) прини-
мает конформный вид (11), (15), где K = − 1
R2 , |z| < 1
[4, 5].
x1
x2
x0
R
M′(x, y)
M
Рисунок 3. Стереографическая проекция гиперболоида. Модель Пуанкаре
плоскости Лобачевского H2.
Figure 3. Stereographic projection of a hyperboloid. The Poincare model of
the Lobachevsky plane H2.
Таким образом, конформную метрику и уравнения Ли-
увилля для сферы, плоскостей Евклида и Лобачевского
для K =
j2
1
R2 можно записать в виде (11),(12) и (14). Де-
лая преобразование z → f(z), получаем метрику и общее
решение
ds2 =
4|fz|2
(1 + K|f|2)2 dz d¯z, eu =
4|fz|2
(1 + K|f|2)2 .
(18)
Отметим, что если у нас есть какое-нибудь решение u(z, ¯z)
уравнения Лиувилля, то функция
U(z, ¯z) = u
f(z), ¯ f(¯z)
fz(z) ¯ f¯z(¯z) (19)
тоже будет решением, которое можно получить и с помо-
щью симметрий (4).
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
51
Аналогично можно рассмотреть псевдоримановы про-
странства постоянной кривизны (j2 = i), уравнения Ли-
увилля для них и получить формулы (11)–(14). Здесь есть
три типа прямых — времениподобные, пространственнопо-
добные и световые, не совмещаемых друг с другом движе-
ниями. Эти геометрии применяются для моделей простран-
ства-времени — анти-де Ситтера, Минковского и де Ситте-
ра (рис. 4).
x0
x1
x2
R
Рисунок 4. Однополостной гиперболоид L2 (пространство-время анти-де
Ситтера AdS2).
Figure 4. One-sheeted hyperboloid L2 (anti-de Sitter space-time AdS2).
В полуримановых пространствах с j2 = ι2 появляют-
ся два типа прямых, не совмещающихся движениями этих
геометрий. Одна из них моделируется дуальным числом,
что приводит к возникновению двух метрик: в базе и слое.
Это позволяет применять полуримановы геометрии к опи-
санию двух разных физических величин, например време-
ни и пространства, т. е. служить моделями пространства-
времени [12, 28, 29]. Мы их здесь рассматривать не будем.
Дифференцируя уравнение Лиувилля (14) по z
uzz¯z = −K
2
euuz = uz¯zuz, (20)
получаем, чтоW2(uzz, uz) = W(z), где
W(z) = uzz − 1
2
u2z
(21)
является голоморфной функцией от z
∂
∂¯z
uzz − 1
2
u2z
= 0. (22)
Обозначая p = uz, получаем уравнение Риккати
pz − 1
2
p2 = W(z), (23)
которое легко интегрируется.
Отметим, что функция ψ = e−1
2 u играет важную роль в
теории уравнения Лиувилля и удовлетворяет уравнению
∂2ψ
∂z2 +
1
2
Wψ = 0. (24)
В квантовой теории Лиувилля поле ψ описывает вырож-
денный на уровне 2 вектор в модуле Верма алгебры Ви-
расоро [18]. С уравнением (24), в котором функция W(z)
в случае n особых точек имеет вид
W(z) ∼
nX−1
k=1
1
2(z − zk)2 +
ck
z − zk
, (25)
Ф. Клейн и А. Пуанкаре связывали задачу об униформи-
зации римановых поверхностей, а А.М. Поляков обнаружил
[24, 30], что действие уравнения Лиувилля S, вычисленное
на классическом решении, является производящей функ-
цией для акцессорных параметров ck, где
ck = − 1
2π
∂S
∂zk
.
2. Представление нулевой кривизны уравне-
ния Лиувилля
Уравнение Лиувилля (14) с K =
j2
1
R2 , j1 = 1, ι1 может
быть записано с помощью представления нулевой кривиз-
ны для алгебры Ли sl(2) или so(3). Мы разберем здесь
вариант алгебры sl(2). Для алгебры so(3, j) вида (9) все
аналогично. Уравнение (14) является условием совместно-
сти
∂U
∂¯z
− ∂V
∂z
+ [U, V ] = 0 (26)
для переопределенной системы уравнений
∂Ψ
∂z
= U(z, ¯z)Ψ,
∂Ψ
∂¯z
= V (z, ¯z)Ψ,
Ψ =
Ψ1
j1Ψ2
, (27)
где
U = v1h + w1e, V = v2h + w2f . (28)
Здесь vi, wi — функции от z и ¯z соответственно u =
ln(−4w1w2), h, e, f — генераторы алгебры sl(2, j1)
e =
0 j1
R
0 0
, f =
0 0
j1
R 0
,
h =
1 0
0 −1
, (29)
коммутационные соотношения между которыми имеют вид
[e, f ] = Kh, [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f . (30)
Кривизна K, которую можно интерпретировать как посто-
янную взаимодействия в (14), играет роль параметра кон-
тракции алгебры Ли sl(2) (30). При K = 0 (j1 = ι1) ал-
гебра Ли sl(2) переходит в алгебру Ли группы движений
плоскости, а уравнение Лиувилля — в двумерное уравне-
ние Лапласа вида (5) [9, 10], решения которого хорошо из-
вестны
ϕ(z, ¯z) = f(z) + g(¯z). (31)
Система (27) и условие совместности (26) допускают
естественную геометрическую интерпретацию [16]. U и V
можно рассматривать как локальные коэффициенты связ-
ности в тривиальном расслоенииC×C2, гдеCиграет роль
базы, а Ψ лежит в слое C2. При этом вектор Ψ ковариант-
но постоянен, а связность (U, V ) имеет нулевую кривизну.
Когда параметр j1 равен дуальному числу, в слое Ψ есть
выделенное направление.
52
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Представление уравнения Лиувилля в виде условия
(26) справедливо для целого класса калибровочно экви-
валентных связностей U и V
U → ∂G
∂z
G−1 + GUG−1,
V → ∂G
∂¯z
G−1 + GV G−1 (32)
и означает существование бесконечного набора интегра-
лов движения — законов сохранения [16]. Наличие инте-
гралаW(z) (21), не зависящего от кривизны K, позволяет
написать равенство [9]
uzz − 1
2
u2z
= ϕzz − 1
2
ϕ2z
, (33)
которое и является преобразованием Бэклунда, связыва-
ющим решение уравнения Лиувилля u с решением уравне-
ния Лапласа ϕ. В эквивалентном виде его можно предста-
вить как
∂
∂z
e−ϕ ∂
∂z
e
12
(ϕ−u)
= 0, (34)
проинтегрировать и получить решение вида (2) [9]
eu =
4fzg¯z
(1 + Kfg)2 , (35)
где f и g — произвольные функции от z и ¯z соответственно.
Таким образом, решения уравнения Лапласа, которое полу-
чается при j1 = ι1 и контракции sl(2), позволяют строить
решения уравнения (14).
Пользуясь калибровочными преобразованиями (32)
связностей U и V , выберем функции vi и wi в виде
v1 = −uz
2
, w1 = −a
2
, v2 = 0, w2 =
eu
2a
, (36)
где a — произвольный параметр, и распишем подробнее
систему уравнений (27)
8>><
>>:
2
∂
∂z
Ψ1 = −uzΨ1 − j2
1a
R
Ψ2,
2
∂
∂z
Ψ2 = uzΨ2,
8><
>:
∂
∂¯z
Ψ1 = 0,
∂
∂¯z
Ψ2 =
eu
2aR
Ψ1.
(37)
Продифференцировав первое равенство первой системы
по z, получим для функции Ψ1 уравнение типа (24)
∂2
∂z2Ψ1 +
1
2
uzz − 1
2
u2z
Ψ1 = 0. (38)
Дифференцируя (38) по ¯z можно еще раз убедиться в том,
чтоW(z) (21) является интегралом движения и не зависит
от ¯z и кривизны K. Обозначая η = ln
Ψ2
Ψ1
и вводя функ-
цию ϕ = u − 2η, можно переписать системы (37) в виде
8>><
>>:
∂
∂z
(ϕ − u) =
aj2
1
R
e
12
(u+ϕ),
∂
∂¯z
(ϕ + u) =
1
aR
e
12
(u−ϕ),
(39)
которая является преобразованием Бэклунда и связыва-
ет решения u(z, ¯z) уравнения Лиувилля (14) и решения
ϕ(z, ¯z) уравнения Лапласа (31). В работе [15] было отме-
чено, что в такой записи уравнения нулевой кривизны при-
обретают более симметричную форму, и выявляется их до-
полнительная структура, которая говорит о том, что с ними
ассоциируются две алгебры Ли — одна, отвечающая урав-
нению Лиувилля, и другая, отвечающая уравнению Ла-
пласа. Используя представления (29), (30), мы описываем
две алгебры: исходную и контрактированную, действую-
щие в двух разных двумерных комплексных пространствах
Ψ (27), одно из которых имеет выделенное направление,
описываемое дуальным числом. Эта же конструкция для
внутреннего пространства лептонов и кварков в электро-
слабой модели использовалась в [12]. Инвариант (33) со-
храняется в обоих пространствах.
Переход к переменной проективного типа η позволя-
ет дать интерпретацию и на языке проективной геометрии.
В этом случае имеем два проективных пространства CP1,
на одном из которых введен абсолют RP1.
Связности U и V можно представить в виде
U = gzg−1, V = g¯zg−1,
g =
A j1B
j1C D
. (40)
Воспользовавшись (32) и (36) и расписывая уравнения
gz = Ug, g¯z = V g, (41)
имеем
2
∂
∂z
A = −uzA − a
j2
1
R
C,
2
∂
∂z
C = uzC,
2
∂
∂z
B = −uzB − a
R
D,
2
∂
∂z
D = uzD,
∂
∂¯z
A = 0,
2
∂
∂¯z
C =
eu
aR
A,
∂
∂¯z
B = 0,
∂
∂¯z
D =
j2
1eu
aR
B.
(42)
Эти уравнения имеют такой же вид, как и (37). Легко
выводится, что отношения A/B и C/D не зависят от z и
¯z соответственно и являются функциями, с помощью кото-
рых строится решение (35) [23]. Так же, как и в (37), неслож-
но получить интеграл движения W(z) и преобразования
Бэклунда.
Преобразования Бэклунда и связанные с ними кон-
тракции алгебры Ли можно сопоставить с обычной теорией
возмущений [9], отождествляя постоянную взаимодействия
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
53
K с параметром контракции алгебры sl(2). Решим уравне-
ние (1), разлагая u в ряд по параметру K
u(x, y) = Φ0(x, t) + KΦ1(x, y) + K2Φ2(x, y) + . . . .
Уравнения для Φi имеют вид [17]
(Φ0)xy = 0, (Φ1)xy = −1
2
eΦ0 ,
(Φ2)xy = −1
2
eΦ0+Φ1 − eΦ0
,
(Φ3)xy = −1
2
eΦ0+Φ1+Φ2 − eΦ0+Φ1
, . . . .
Интегрируя эти уравнения, получаем ряд теории возму-
щений, члены которого являются функциями от решения
уравнения Лапласа.
Заключение
Мы использовали представление нулевой кривизны
и ввели определенным образом параметр j1. Значению
j1 = 1 соответствуют уравнение Лиувилля, алгебра Ли
sl(2) и слой C2 для вектор-функции Ψ. При j1 = ι1 по-
лучаем уравнение Лапласа, алгебру Ли e(2) и слой C2(ι1),
в котором есть выделенное направление. Интеграл движе-
ния, который не зависит от этого параметра, связывает ре-
шения уравнения Лиувилля и Лапласа и является преоб-
разованием Бэклунда.
Таким образом, алгебраический вариант контракции
sl(2) позволяет, находясь в рамках представления матри-
цами 2 × 2, единым образом описать уравнения Лиувилля
и Лапласа для представления нулевой кривизны и связать
их решения посредством преобразования Бэклунда. Этот
метод можно использовать и для исследования интегри-
руемых моделей для алгебр серий An, Bn и т.д.
1. Liouville, J. Sur l’équation aux différences partielles d2logλ dudv ± λ 2a2 = 0 / J. Liouville // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1853. - Vol. 18. - P. 71-72.
2. Zhiber, A.V. Uravneniya tipa Liuvillya / A.V. Zhiber, N.H. Ibragimov, A.B. Shabat // Dokl. AN SSSR. - 1979. - T. 249, № 1. - S. 26-29.
3. Ibragimov, N.H. Gruppy preobrazovaniy v matemati- cheskoy fizike / N.H. Ibragimov. - Moskva: Nauka. Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoy literatury, 1983. - 280 s.
4. Dubrovin, B.A. Sovremennaya geometriya: Metody i pri- lozheniya / B.A. Dubrovin, S.P. Novikov, A.T. Fomenko. - Moskva: Nauka, 1986. - 760 s.
5. Katanaev, M.O. Geometricheskie metody v matema- ticheskoy fizike / M.O. Katanaev // arXiv:1311.0733 [math-ph]. - 2006 s.
6. Vekua, I.N. Zamechaniya o svoystvah resheniy uravne- niya Δu = −2Keu / I.N. Vekua // Sib. matem. zhurn. - 1960. - T. 1, № 3. - S. 331-342.
7. Popov, A.G. Tochnye formuly postroeniya resheniy urav- neniya Liuvillya Δ2u = eu po resheniyam uravneniya Laplasa Δ2v = 0 / A.G. Popov // Dokl. RAN. - 1993. - T. 333, № 4. - S. 440-441.
8. Leznov, A.N. Gruppovye metody integrirovaniya neli- neynyh dinamicheskih sistem / A.N. Leznov, M.V. Save- l'ev. - Moskva: Nauka, 1985. - 280 s.
9. Leznov, A.N. Nelineynye uravneniya i graduirovannye algebry Li / A.N. Leznov, M.V. Savel'ev // Itogi nauki i tehn. Ser. Mat. anal. - 1984. - T. 22. - S. 101-136.
10. Leznov, A.N. Tochno reshaemye kvantovo-mehanicheskie i dvumernye kvantovo-polevye modeli / A.N. Leznov, M.V. Savel'ev, I.A. Fedoseev // Fizika elementarnyh chastic i atomnogo yadra. - 1985. - T. 16, vyp. 1. - S. 183-233.
11. Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E.P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1953. - Vol. 39. - № 6. - P. 510-524.
12. Gromov, N.A. Kontrakcii klassicheskih i kvantovyh grupp / N.A. Gromov. - Moskva: FIZMATLIT, 2012. - 318 s.
13. Gromov, N.A. Predel'nye perehody v Toda sistemah / N.A. Gromov, I.V. Kostyakov, V.V. Kuratov // Algebra, differencial'nye uravneniya i teoriya veroyatnostey (Trudy Komi NC UrO RAN, № 151). - Syktyvkar, 1997. - S. 51-59.
14. Kostyakov, I.V. Preobrazovaniya Beklunda dlya An-cepochki Toda i kontrakcii / I.V. Kostyakov, V.V. Kuratov // Tez. dokl. XIII Komi respub. molod. nauch. konf. - Syktyvkar, 1997. - S. 219.
15. Andreev, V.A. Preobrazovaniya Beklunda cepo- chek Tody / V.A. Andreev // TMF. - 1988. - T. 75, № 3. - S. 340-352.
16. Tahtadzhyan, L.A. Gamil'tonov podhod v teorii solitonov / L.A. Tahtadzhyan, L.D. Faddeev. - Moskva: Nauka,1986. - 528 s.
17. Puankare, A.Zh. Izbrannye trudy: sbornik nauchnyh trudov. Matematika. Teoreticheskaya fizika. Analiz matematicheskih i estestvennonauchnyh rabot Anri Puankare / A.Zh. Puankare. - Moskva: Nauka, 1974. - T. 3. - 772 s.
18. Tahtadzhyan, L.A. O veschestvennyh proektivnyh svyaznostyah, podhode V.I. Smirnova i resheniyah uravneniya Liuvillya tipa chernyh dyr / L.A. Tahtadzhyan // TMF. - 2014. - T. 181, № 1. - S. 206-217.
19. Andreev, V.A. Primenenie metoda obratnoy zadachi rasseyaniya k uravneniyu σxt = eσ / V.A. Andreev // TMF. - 1976. - T. 29, № 2. - S. 213-220.
20. Leznov, A.N. Simmetrii i solitonnye resheniya nelineynyh uravneniy / A.N. Leznov, V.I. Man'ko, C.M. Chumakov // TMF. - 1985. - T. 63, № 1. - S. 50-63.
21. Takhtajan, L.A. Quantum Liouville theory in the background field formalism I. Compact Riemann surfaces / L.A. Takhtajan, L.-P. Teo // Commun. Math. Phys. - 2006. - Vol. 268. - P. 135-197.
22. Pogrebkov, A.K. Teoriya polya Liuvillya / A.K. Pogrebkov, M.K. Polivanov // Matematicheskaya fizika i kompleksnyy analiz: sbornik obzornyh statey 4. K 50-letiyu Instituta. Tr. MIAN SSSR. - 1987. - T. 176. - S. 86-96.
23. Faddeev, L.D. Nulevye mody dlya kvantovoy modeli Liuvillya / L.D. Faddeev // Funkc. analiz i ego pril. - 2014. - T. 48, № 3. - S. 14-23.
24. Polyakov, A.M. Quantum geometry of bosonic strings / A.M. Polyakov // Physics Letters B. 1981. - Vol. 103. № 3. - P. 207-210.
25. Yaglom, I.M. Proektivnye metriki / I.M. Yaglom, B.A. Rozenfel'd, E.U. Yasinskaya // Uspehi mat. nauk. - 1964. - T. 19, № 5(119). - S. 51-113.
26. Kulakov, Yu.I. Geometriya prostranstv postoyannoy krivizny kak chastnyy sluchay teorii fizicheskih struktur // Dokl. AN SSSR. - 1970. - T. 193, № 5. - S. 985-987.
27. Mihaylichenko, G.G. Dvumernye geometrii / G.G. Mihaylichenko // Dokl. AN SSSR. - 1981. - T. 260,№ 4. - S. 803-805.
28. Pimenov, R.I. Edinaya aksiomatika prostranstv s maksimal'noy gruppoy dvizheniy / R.I. Pimenov // Litovskiy mat. sb. - 1965. - T. 5, № 3. - S. 457-486.
29. Pimenov, R.I. Prostranstva kinematicheskogo tipa (matematicheskaya teoriya prostranstva-vremeni) /R.I. Pimenov. - Leningrad: Nauka, 1968. - 496 s.
30. Zamolodchikov, A.B. Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory / A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov // Nucl. Phys. B. - 1996. - Vol. 477. - P. 577-605.
