Россия
Россия
Уравнение Лиувилля эквивалентно двумерному уравне- нию Лапласа и приводится к нему преобразованием Бэк- лунда, которое с точки зрения теории групп можно интер- претировать с помощью контракции Иненю-Вигнера. Мы разбираем построение решений уравнения Лиувилля для представления нулевой кривизны с помощью контракции алгебры Ли sl(2) и используем для этого нильпотентные образующие.
уравнение Лиувилля, контракции групп Ли
Введение
В XIX в. Ж. Лиувилль, занимаясь поиском поверхностей
постоянной кривизны K, пришел к уравнению [1], которое
теперь носит его имя
∂2u
∂x∂y
= −K
2
eu, (1)
и нашел решение в виде
eu =
4fx(x)gy(y)
(1 + Kf(x)g(y))2 . (2)
Здесь x и y — две независимые переменные, f(x) и g(y)
— две произвольные функции от x и y соответственно.
Нижние индексы означают частные производные. После
замены g(y) → 1
Kg(y) решение (2) можно переписать в ви-
де
eu = − 4fx(x)gy(y)
K (f(x) + g(y))2 . (3)
Преобразования
x′ = X(x), y′ = Y (y),
u′ = u − lnXx(x) − ln Yy(y) (4)
не меняют вид уравнения Лиувилля (1), образуя бесконеч-
ную группу, содержащую две произвольные функции, и мо-
гут служить для построения его решений [2, 3].
Уравнение Лиувилля эквивалентно уравнению
∂2ϕ
∂x∂y
= 0 (5)
(двумерному уравнению Лапласа в случае римановых про-
странств или волновому уравнению в случае пространств
псевдоримановых), имеет ту же группу симметрии и приво-
дится к уравнению (5) одним из двух преобразований Ли-
Бэклунда
u = ln
−4˜ux˜uy
K˜u2
, u = ln
− 4˜ux˜uy
K cos2 ˜u
, (6)
найденных еще Лиувиллем [2, 3]. Для любого решения
˜u(x, y) уравнения (5), формулы (6) дают решения урав-
нения (1). Уравнение Лиувилля вошло в учебники [4, 5]
и остается интересной задачей как для математиков [6, 7],
так и для физиков.
Поскольку группы движений плоских пространств мож-
но получить предельными переходами из групп движений
пространств постоянной кривизны (K ̸= 0), то преобразо-
вания Бэклунда, переводящие уравнение Лиувилля в урав-
нение Лапласа или волновое, также можно связать с кон-
тракциями соответствующих групп (алгебр) [8–10].
Контракции алгебр Ли были впервые введены в рабо-
те Иненю и Вигнера [11] и в наиболее простой реализации
заключаются в умножении некоторых ее элементов на па-
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
49
раметры εi с последующим независимым устремлением их
к нулю таким образом, чтобы в пределе получались новые
алгебры Ли. Возможен и алгебраический подход к контрак-
циям [12], заключающийся в использовании алгебры Пиме-
новаPn(ι), при котором вместо параметров ε используют-
ся нильпотентные элементы этой алгебры.
В общем случае, как было отмечено [8–10], преобразо-
вания Бэклунда связаны с контракциями Иненю-Вигнера.
Если гамильтониан имеет вид ˆH = ˆH0 + ε ˆHI , где посто-
янная взаимодействия ε совпадает с параметром контрак-
ции, то при устремлении ε к нулю задача сводится к систе-
ме, описываемой свободным гамильтонианом ˆH0, а общее
решение можно строить из связанных с ним свободных по-
лей.
Например, нелинейное уравнение Лиувилля описыва-
ется в терминах алгебры Ли sl(2) или so(3), а связанное
с ним линейное уравнение Лапласа (5), решения которо-
го играют роль асимптотических полей, связано с группой
движений плоскости, которая может быть получена кон-
тракцией из sl(2) или so(3). При этом контракционный
параметр, равный постоянной взаимодействия, можно ин-
терпретировать и как кривизну K соответствующего про-
странства.
Также для цепочки Тоды контракция соответствующей
алгебры Ли позволяет строить общее решение. Предель-
ные переходы в Тода системах, перестройка диаграмм
Дынкина, влияние на гамильтониан взаимодействия, по-
нижение размерности получающейся Тода системы и по-
явление свободных уравнений исследованы в [13], а связь
контракций и преобразований Бэклунда для An- цепочки
Тоды отмечена в [14].
В работе [15], основываясь на системе уравнений, из ко-
торой следует уравнение нулевой кривизны [10, 16], были
найдены преобразования Бэклунда для An–цепочки То-
ды, связывающие ее с An−1– цепочкой Тоды и свободным
уравнением Лапласа. Аналогичный результат получен для
Bn, Cn и G2–цепочек Тоды. Отсюда следует, что с L − A
парой ассоциируются две алгебры Ли, отвечающие пер-
воначальному уравнению и уравнению, связанному с ним
преобразованием Беклунда и что саму L − A пару можно
понимать как результат некоторой композиции двух алгебр
Ли — исходной и контрактированной.
А. Пуанкаре использовал уравнение Лиувилля в зада-
че об униформизации римановых поверхностей [17] и дока-
зал существование решения уравнения Лиувилля для пол-
ной конформной метрики отрицательной кривизны с опре-
деленными асимптотиками в окрестностях особых точек.
Такое решение определяет на сфере с выколотыми точ-
ками полную метрику отрицательной кривизны. Решения
уравнения Лиувилля, с определенными асимптотиками в
проколотых точках и сингулярностями определенного ти-
па на замкнутых контурах, интерпретируемые как горизонт
черной дыры, могут трактоваться как решения типа чер-
ных дыр. На основе результатов магистерской диссерта-
ции В.И. Смирнова 1918 г. для случая четырех проколов бы-
ли явно описаны все решения типа черных дыр [18]. У урав-
нения Лиувилля есть и солитонные решения [19, 20].
Классическая теория Лиувилля — это теория поля, свя-
занная с гиперболическими римановыми поверхностями.
Полные конформные метрики на римановой поверхности
являются классическими полями теории, а уравнение Ли-
увилля — уравнением Эйлера-Лагранжа для соответству-
ющего функционала [21]. Пример классического поля Ли-
увилля разобран в [22].
Решения (2) лежат в основе квантовой модели Лиувил-
ля — базового примера конформной теории поля. Функ-
ции f и g играют здесь роль свободных полей и нулевых
мод [23]. В теории струн квантовое поле Лиувилля возни-
кает как конформная аномалия и играет важную роль [24].
В данной работе предложено использовать нильпо-
тентные образующие и алгебраический вариант контрак-
ций [12] для представления уравнений Лиувилля и Лапласа
через уравнение нулевой кривизны и нахождения связи их
решений.
1. Геометрии Кэли-Клейна и уравнение Ли-
увилля
Согласно программе Ф. Клейна, проективная геометрия
и ее группа движений могут служить базой для построе-
ния геометрий. Каждой из девяти геометрий Кэли-Клей-
на отвечает подгруппа проективной группы, т.е. подгруп-
па матриц 3×3, которая задается соответствующим абсо-
лютом. Некоторые из этих подгрупп связаны предельны-
ми переходами. Существует также глубокая связь различ-
ных видов комплексных и гиперкомплексных чисел с гео-
метриями Кэли-Клейна [25]. Отметим подход к построению
геометрий, основанный на принципе феноменологической
симметрии [26, 27].
Мы следуем подходу, предложенному Р.И. Пименовым
[28], где двумерные геометрии Кэли-Клейна (рис. 1) моде-
лируются в виде двумерной сферы с именованными коор-
динатами, которые могут быть вещественными, мнимыми
и нильпотентными [12, 28, 29]. Используя параметры jk =
1, ιk, i, именованные координаты можно представить в ви-
де x0, j1x1, j1j2x2, xk ∈ R и с помощью них реализовать
девять геометрий на поверхностях
x20
+ j2
1x21
+ j2
1 j2
2x22
= R2, (7)
в пространствах с метрикой
ds2 = (dx0)2 + j2
1 (dx1)2 + j2
1 j2
2 (dx2)2. (8)
Группа движений сферы изоморфна ортогональной
группе SO(3). Группы движений остальных двумерных
геометрий Кэли-Клейна могут быть получены из SO(3)
контракциями и аналитическими продолжениями [12]. Ге-
нераторы соответствующих алгебр Ли получаются из гене-
раторов алгебры Ли so(3) домножением на параметры jk
X → j1X, Y → j2Y, Z → j1j2Z,
где X, Y,Z — генераторы вращений в двумерных плос-
костях {x0, x1}, {x1, x2}, {x0, x2} соответственно. Эти
преобразования при нильпотентных значениях jk соот-
ветствуют преобразованиям контракций Иненю-Вигнера.
Коммутационные соотношения имеют вид [12]
[X, Y ] = Z, [Y,Z] = j2
1X, [Z,X] = j2
2Y. (9)
50
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
b
bb j j 1 2 1 ι1 i
1
x1
x2
x0
Сферическая
x1
x2
x0
Евклида
x1
x2
x0
Лобачевского
ι2
x1
x2
x0
Ньютона(+)
x1
x2
x0
Галилея
x1
x2
x0
Ньютона(-)
i
x1
x2
x0
анти-де
Ситтера
x1
x2
x0
Минковского
x1
x2
x0
де Ситтера
Рисунок 1. Двумерные пространства Кэли-Клейна.
Figure 1. Two-dimensional Cayley-Klein spaces.
Для римановых (j2 = 1) и псевдоримановых (j2 = i)
двумерных пространств постоянной кривизны метрику
ds2 = gijdxidxj (10)
можно представить в конформном виде [4, 5]
ds2 = eu
dx2 + j2
2dy2
= eudz d¯z, (11)
e−u =
1 + K
x2 + j2
2y22
= (1 + Kz¯z)2 , (12)
где z = x + ij2y, ¯z = x − ij2y. В этом случае гауссова
кривизна K имеет вид [4, 5]
K = −eu
2
∂2
∂x2 + j2
2
∂2
∂y2
u = −2e−u ∂2u
∂z∂¯z
. (13)
Если кривизна постоянна, то для функции u = u(z, ¯z) по-
лучаем уравнение Лиувилля (1)
1
4
∂2
∂x2 + j2
2
∂2
∂y2
u =
∂2u
∂z∂¯z
= −K
2
eu. (14)
Любая поверхность с римановой метрикой (11) (j2 = 1)
постоянной кривизны K локально изометрична сфере S2
при K > 0, евклидовой плоскости R2 при K = 0 или
плоскости Лобачевского H2 при K < 0, которые явля-
ются универсальными накрывающими поверхностями для
всех поверхностей соответственно положительной, нуле-
вой и отрицательной кривизны [4, 5]. Любая псевдорима-
нова поверхность (j2 = i) с метрикой вида (11) постоян-
ной кривизны локально изометрична однополостному ги-
перболоиду L2 (K ̸= 0) или плоскости Минковского R1,1
(K = 0). Таким образом, уравнение Лиувилля имеет от-
четливый геометрический смысл и связана с внутренней
геометрией поверхностей в евклидовом или псевдоевкли-
довом пространствах.
Рассмотрим более подробно, как получаются эти фор-
мулы, и начнем с трех римановых геометрий Кэли-Клейна
(j2 = 1) — сферы, плоскостей Евклида и Лобачевского.
Сфера радиуса R (рис. 2) задается уравнениями (7) и (8)
с j1 = j2 = 1. При стереографической проекции на эква-
ториальную плоскость x0 = 0 из точки (R, 0, 0) метрика
сферы принимает конформный вид (11) [4, 5]
ds2 =
dx2 + dy2
(1 + K (x2 + y2))2 =
4dz d¯z
(1 + K|z|2)2 . (15)
Здесь z = x + iy – координаты стереографической про-
екции соответствующей точки сферыM(x0, x1, x2),K =
1
R2 — гауссова кривизна сферы.
x1
x2
x0
R
M′
M
Рисунок 2. Стереографическая проекция сферы S2. Сферическая плос-
кость.
Figure 2. Stereographic projection of the sphere S2. Spherical plane.
К плоскости Лобачевского (j1 = i, j2 = 1) можно прийти,
рассматривая псевдосферу радиуса R (рис. 3)
x20
− x21
− x22
= R2 (16)
в псевдоевклидовом пространстве R31
с метрикой
ds2 = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2. (17)
При стереографической проекции верхней половины ги-
перболоида на плоскость x0 = 0 из точки (−R, 0, 0) мет-
рика на плоскости Лобачевского (модель Пуанкаре) прини-
мает конформный вид (11), (15), где K = − 1
R2 , |z| < 1
[4, 5].
x1
x2
x0
R
M′(x, y)
M
Рисунок 3. Стереографическая проекция гиперболоида. Модель Пуанкаре
плоскости Лобачевского H2.
Figure 3. Stereographic projection of a hyperboloid. The Poincare model of
the Lobachevsky plane H2.
Таким образом, конформную метрику и уравнения Ли-
увилля для сферы, плоскостей Евклида и Лобачевского
для K =
j2
1
R2 можно записать в виде (11),(12) и (14). Де-
лая преобразование z → f(z), получаем метрику и общее
решение
ds2 =
4|fz|2
(1 + K|f|2)2 dz d¯z, eu =
4|fz|2
(1 + K|f|2)2 .
(18)
Отметим, что если у нас есть какое-нибудь решение u(z, ¯z)
уравнения Лиувилля, то функция
U(z, ¯z) = u
f(z), ¯ f(¯z)
fz(z) ¯ f¯z(¯z) (19)
тоже будет решением, которое можно получить и с помо-
щью симметрий (4).
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
51
Аналогично можно рассмотреть псевдоримановы про-
странства постоянной кривизны (j2 = i), уравнения Ли-
увилля для них и получить формулы (11)–(14). Здесь есть
три типа прямых — времениподобные, пространственнопо-
добные и световые, не совмещаемых друг с другом движе-
ниями. Эти геометрии применяются для моделей простран-
ства-времени — анти-де Ситтера, Минковского и де Ситте-
ра (рис. 4).
x0
x1
x2
R
Рисунок 4. Однополостной гиперболоид L2 (пространство-время анти-де
Ситтера AdS2).
Figure 4. One-sheeted hyperboloid L2 (anti-de Sitter space-time AdS2).
В полуримановых пространствах с j2 = ι2 появляют-
ся два типа прямых, не совмещающихся движениями этих
геометрий. Одна из них моделируется дуальным числом,
что приводит к возникновению двух метрик: в базе и слое.
Это позволяет применять полуримановы геометрии к опи-
санию двух разных физических величин, например време-
ни и пространства, т. е. служить моделями пространства-
времени [12, 28, 29]. Мы их здесь рассматривать не будем.
Дифференцируя уравнение Лиувилля (14) по z
uzz¯z = −K
2
euuz = uz¯zuz, (20)
получаем, чтоW2(uzz, uz) = W(z), где
W(z) = uzz − 1
2
u2z
(21)
является голоморфной функцией от z
∂
∂¯z
uzz − 1
2
u2z
= 0. (22)
Обозначая p = uz, получаем уравнение Риккати
pz − 1
2
p2 = W(z), (23)
которое легко интегрируется.
Отметим, что функция ψ = e−1
2 u играет важную роль в
теории уравнения Лиувилля и удовлетворяет уравнению
∂2ψ
∂z2 +
1
2
Wψ = 0. (24)
В квантовой теории Лиувилля поле ψ описывает вырож-
денный на уровне 2 вектор в модуле Верма алгебры Ви-
расоро [18]. С уравнением (24), в котором функция W(z)
в случае n особых точек имеет вид
W(z) ∼
nX−1
k=1
1
2(z − zk)2 +
ck
z − zk
, (25)
Ф. Клейн и А. Пуанкаре связывали задачу об униформи-
зации римановых поверхностей, а А.М. Поляков обнаружил
[24, 30], что действие уравнения Лиувилля S, вычисленное
на классическом решении, является производящей функ-
цией для акцессорных параметров ck, где
ck = − 1
2π
∂S
∂zk
.
2. Представление нулевой кривизны уравне-
ния Лиувилля
Уравнение Лиувилля (14) с K =
j2
1
R2 , j1 = 1, ι1 может
быть записано с помощью представления нулевой кривиз-
ны для алгебры Ли sl(2) или so(3). Мы разберем здесь
вариант алгебры sl(2). Для алгебры so(3, j) вида (9) все
аналогично. Уравнение (14) является условием совместно-
сти
∂U
∂¯z
− ∂V
∂z
+ [U, V ] = 0 (26)
для переопределенной системы уравнений
∂Ψ
∂z
= U(z, ¯z)Ψ,
∂Ψ
∂¯z
= V (z, ¯z)Ψ,
Ψ =
Ψ1
j1Ψ2
, (27)
где
U = v1h + w1e, V = v2h + w2f . (28)
Здесь vi, wi — функции от z и ¯z соответственно u =
ln(−4w1w2), h, e, f — генераторы алгебры sl(2, j1)
e =
0 j1
R
0 0
, f =
0 0
j1
R 0
,
h =
1 0
0 −1
, (29)
коммутационные соотношения между которыми имеют вид
[e, f ] = Kh, [h, e] = 2e, [h, f ] = −2f . (30)
Кривизна K, которую можно интерпретировать как посто-
янную взаимодействия в (14), играет роль параметра кон-
тракции алгебры Ли sl(2) (30). При K = 0 (j1 = ι1) ал-
гебра Ли sl(2) переходит в алгебру Ли группы движений
плоскости, а уравнение Лиувилля — в двумерное уравне-
ние Лапласа вида (5) [9, 10], решения которого хорошо из-
вестны
ϕ(z, ¯z) = f(z) + g(¯z). (31)
Система (27) и условие совместности (26) допускают
естественную геометрическую интерпретацию [16]. U и V
можно рассматривать как локальные коэффициенты связ-
ности в тривиальном расслоенииC×C2, гдеCиграет роль
базы, а Ψ лежит в слое C2. При этом вектор Ψ ковариант-
но постоянен, а связность (U, V ) имеет нулевую кривизну.
Когда параметр j1 равен дуальному числу, в слое Ψ есть
выделенное направление.
52
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Представление уравнения Лиувилля в виде условия
(26) справедливо для целого класса калибровочно экви-
валентных связностей U и V
U → ∂G
∂z
G−1 + GUG−1,
V → ∂G
∂¯z
G−1 + GV G−1 (32)
и означает существование бесконечного набора интегра-
лов движения — законов сохранения [16]. Наличие инте-
гралаW(z) (21), не зависящего от кривизны K, позволяет
написать равенство [9]
uzz − 1
2
u2z
= ϕzz − 1
2
ϕ2z
, (33)
которое и является преобразованием Бэклунда, связыва-
ющим решение уравнения Лиувилля u с решением уравне-
ния Лапласа ϕ. В эквивалентном виде его можно предста-
вить как
∂
∂z
e−ϕ ∂
∂z
e
12
(ϕ−u)
= 0, (34)
проинтегрировать и получить решение вида (2) [9]
eu =
4fzg¯z
(1 + Kfg)2 , (35)
где f и g — произвольные функции от z и ¯z соответственно.
Таким образом, решения уравнения Лапласа, которое полу-
чается при j1 = ι1 и контракции sl(2), позволяют строить
решения уравнения (14).
Пользуясь калибровочными преобразованиями (32)
связностей U и V , выберем функции vi и wi в виде
v1 = −uz
2
, w1 = −a
2
, v2 = 0, w2 =
eu
2a
, (36)
где a — произвольный параметр, и распишем подробнее
систему уравнений (27)
8>><
>>:
2
∂
∂z
Ψ1 = −uzΨ1 − j2
1a
R
Ψ2,
2
∂
∂z
Ψ2 = uzΨ2,
8><
>:
∂
∂¯z
Ψ1 = 0,
∂
∂¯z
Ψ2 =
eu
2aR
Ψ1.
(37)
Продифференцировав первое равенство первой системы
по z, получим для функции Ψ1 уравнение типа (24)
∂2
∂z2Ψ1 +
1
2
uzz − 1
2
u2z
Ψ1 = 0. (38)
Дифференцируя (38) по ¯z можно еще раз убедиться в том,
чтоW(z) (21) является интегралом движения и не зависит
от ¯z и кривизны K. Обозначая η = ln
Ψ2
Ψ1
и вводя функ-
цию ϕ = u − 2η, можно переписать системы (37) в виде
8>><
>>:
∂
∂z
(ϕ − u) =
aj2
1
R
e
12
(u+ϕ),
∂
∂¯z
(ϕ + u) =
1
aR
e
12
(u−ϕ),
(39)
которая является преобразованием Бэклунда и связыва-
ет решения u(z, ¯z) уравнения Лиувилля (14) и решения
ϕ(z, ¯z) уравнения Лапласа (31). В работе [15] было отме-
чено, что в такой записи уравнения нулевой кривизны при-
обретают более симметричную форму, и выявляется их до-
полнительная структура, которая говорит о том, что с ними
ассоциируются две алгебры Ли — одна, отвечающая урав-
нению Лиувилля, и другая, отвечающая уравнению Ла-
пласа. Используя представления (29), (30), мы описываем
две алгебры: исходную и контрактированную, действую-
щие в двух разных двумерных комплексных пространствах
Ψ (27), одно из которых имеет выделенное направление,
описываемое дуальным числом. Эта же конструкция для
внутреннего пространства лептонов и кварков в электро-
слабой модели использовалась в [12]. Инвариант (33) со-
храняется в обоих пространствах.
Переход к переменной проективного типа η позволя-
ет дать интерпретацию и на языке проективной геометрии.
В этом случае имеем два проективных пространства CP1,
на одном из которых введен абсолют RP1.
Связности U и V можно представить в виде
U = gzg−1, V = g¯zg−1,
g =
A j1B
j1C D
. (40)
Воспользовавшись (32) и (36) и расписывая уравнения
gz = Ug, g¯z = V g, (41)
имеем
2
∂
∂z
A = −uzA − a
j2
1
R
C,
2
∂
∂z
C = uzC,
2
∂
∂z
B = −uzB − a
R
D,
2
∂
∂z
D = uzD,
∂
∂¯z
A = 0,
2
∂
∂¯z
C =
eu
aR
A,
∂
∂¯z
B = 0,
∂
∂¯z
D =
j2
1eu
aR
B.
(42)
Эти уравнения имеют такой же вид, как и (37). Легко
выводится, что отношения A/B и C/D не зависят от z и
¯z соответственно и являются функциями, с помощью кото-
рых строится решение (35) [23]. Так же, как и в (37), неслож-
но получить интеграл движения W(z) и преобразования
Бэклунда.
Преобразования Бэклунда и связанные с ними кон-
тракции алгебры Ли можно сопоставить с обычной теорией
возмущений [9], отождествляя постоянную взаимодействия
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
53
K с параметром контракции алгебры sl(2). Решим уравне-
ние (1), разлагая u в ряд по параметру K
u(x, y) = Φ0(x, t) + KΦ1(x, y) + K2Φ2(x, y) + . . . .
Уравнения для Φi имеют вид [17]
(Φ0)xy = 0, (Φ1)xy = −1
2
eΦ0 ,
(Φ2)xy = −1
2
eΦ0+Φ1 − eΦ0
,
(Φ3)xy = −1
2
eΦ0+Φ1+Φ2 − eΦ0+Φ1
, . . . .
Интегрируя эти уравнения, получаем ряд теории возму-
щений, члены которого являются функциями от решения
уравнения Лапласа.
Заключение
Мы использовали представление нулевой кривизны
и ввели определенным образом параметр j1. Значению
j1 = 1 соответствуют уравнение Лиувилля, алгебра Ли
sl(2) и слой C2 для вектор-функции Ψ. При j1 = ι1 по-
лучаем уравнение Лапласа, алгебру Ли e(2) и слой C2(ι1),
в котором есть выделенное направление. Интеграл движе-
ния, который не зависит от этого параметра, связывает ре-
шения уравнения Лиувилля и Лапласа и является преоб-
разованием Бэклунда.
Таким образом, алгебраический вариант контракции
sl(2) позволяет, находясь в рамках представления матри-
цами 2 × 2, единым образом описать уравнения Лиувилля
и Лапласа для представления нулевой кривизны и связать
их решения посредством преобразования Бэклунда. Этот
метод можно использовать и для исследования интегри-
руемых моделей для алгебр серий An, Bn и т.д.
1. Liouville, J. Sur l’équation aux différences partielles d2logλ dudv ± λ 2a2 = 0 / J. Liouville // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1853. - Vol. 18. - P. 71-72.
2. Жибер, А.В. Уравнения типа Лиувилля / А.В. Жибер, Н.Х. Ибрагимов, А.Б. Шабат // Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 249, № 1. - С. 26-29.
3. Ибрагимов, Н.Х. Группы преобразований в математи- ческой физике / Н.Х. Ибрагимов. - Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. - 280 с.
4. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: Методы и при- ложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - Москва: Наука, 1986. - 760 с.
5. Катанаев, М.О. Геометрические методы в матема- тической физике / М.О. Катанаев // arXiv:1311.0733 [math-ph]. - 2006 с.
6. Векуа, И.Н. Замечания о свойствах решений уравне- ния Δu = −2Keu / И.Н. Векуа // Сиб. матем. журн. - 1960. - Т. 1, № 3. - С. 331-342.
7. Попов, А.Г. Точные формулы построения решений урав- нения Лиувилля Δ2u = eu по решениям уравнения Лапласа Δ2v = 0 / А.Г. Попов // Докл. РАН. - 1993. - Т. 333, № 4. - С. 440-441.
8. Лезнов, А.Н. Групповые методы интегрирования нели- нейных динамических систем / А.Н. Лезнов, М.В. Саве- льев. - Москва: Наука, 1985. - 280 с.
9. Лезнов, А.Н. Нелинейные уравнения и градуированные алгебры Ли / А.Н. Лезнов, М.В. Савельев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. - 1984. - Т. 22. - С. 101-136.
10. Лезнов, А.Н. Точно решаемые квантово-механические и двумерные квантово-полевые модели / А.Н. Лезнов, М.В. Савельев, И.А. Федосеев // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 1985. - Т. 16, вып. 1. - С. 183-233.
11. Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E.P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. - 1953. - Vol. 39. - № 6. - P. 510-524.
12. Громов, Н.А. Контракции классических и квантовых групп / Н.А. Громов. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 318 с.
13. Громов, Н.А. Предельные переходы в Тода системах / Н.А. Громов, И.В. Костяков, В.В. Куратов // Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей (Труды Коми НЦ УрО РАН, № 151). - Сыктывкар, 1997. - С. 51-59.
14. Костяков, И.В. Преобразования Бэклунда для An-цепочки Тода и контракции / И.В. Костяков, В.В. Куратов // Тез. докл. XIII Коми респуб. молод. науч. конф. - Сыктывкар, 1997. - С. 219.
15. Андреев, В.А. Преобразования Беклунда цепо- чек Тоды / В.А. Андреев // ТМФ. - 1988. - Т. 75, № 3. - С. 340-352.
16. Тахтаджян, Л.А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. - Москва: Наука,1986. - 528 с.
17. Пуанкаре, А.Ж. Избранные труды: сборник научных трудов. Математика. Теоретическая физика. Анализ математических и естественнонаучных работ Анри Пуанкаре / А.Ж. Пуанкаре. - Москва: Наука, 1974. - Т. 3. - 772 с.
18. Тахтаджян, Л.А. О вещественных проективных связностях, подходе В.И. Смирнова и решениях уравнения Лиувилля типа черных дыр / Л.А. Тахтаджян // ТМФ. - 2014. - Т. 181, № 1. - С. 206-217.
19. Андреев, В.А. Применение метода обратной задачи рассеяния к уравнению σxt = eσ / В.А. Андреев // ТМФ. - 1976. - Т. 29, № 2. - С. 213-220.
20. Лезнов, А.Н. Симметрии и солитонные решения нелинейных уравнений / А.Н. Лезнов, В.И. Манько, C.М. Чумаков // ТМФ. - 1985. - Т. 63, № 1. - С. 50-63.
21. Takhtajan, L.A. Quantum Liouville theory in the background field formalism I. Compact Riemann surfaces / L.A. Takhtajan, L.-P. Teo // Commun. Math. Phys. - 2006. - Vol. 268. - P. 135-197.
22. Погребков, А.К. Теория поля Лиувилля / А.К. Погребков, М.К. Поливанов // Математическая физика и комплексный анализ: сборник обзорных статей 4. К 50-летию Института. Тр. МИАН СССР. - 1987. - Т. 176. - С. 86-96.
23. Фаддеев, Л.Д. Нулевые моды для квантовой модели Лиувилля / Л.Д. Фаддеев // Функц. анализ и его прил. - 2014. - Т. 48, № 3. - С. 14-23.
24. Polyakov, A.M. Quantum geometry of bosonic strings / A.M. Polyakov // Physics Letters B. 1981. - Vol. 103. № 3. - P. 207-210.
25. Яглом, И.М. Проективные метрики / И.М. Яглом, Б.А. Розенфельд, Е.У. Ясинская // Успехи мат. наук. - 1964. - Т. 19, № 5(119). - С. 51-113.
26. Кулаков, Ю.И. Геометрия пространств постоянной кривизны как частный случай теории физических структур // Докл. АН СССР. - 1970. - Т. 193, № 5. - С. 985-987.
27. Михайличенко, Г.Г. Двумерные геометрии / Г.Г. Михайличенко // Докл. АН СССР. - 1981. - Т. 260,№ 4. - С. 803-805.
28. Пименов, Р.И. Единая аксиоматика пространств с максимальной группой движений / Р.И. Пименов // Литовский мат. сб. - 1965. - Т. 5, № 3. - С. 457-486.
29. Пименов, Р.И. Пространства кинематического типа (математическая теория пространства-времени) /Р.И. Пименов. - Ленинград: Наука, 1968. - 496 с.
30. Zamolodchikov, A.B. Structure constants and conformal bootstrap in Liouville field theory / A.B. Zamolodchikov, Al.B. Zamolodchikov // Nucl. Phys. B. - 1996. - Vol. 477. - P. 577-605.
