Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
The massless Stueckelberg field is studied in cylindrical coordinates. The field function consists of the scalar, 4-vector, and antisymmetric tensor. Physically observable components are the scalar and 4-vector. We apply the Stueckelberg tetrad-based matrix equation, generalized to arbitrary Riemannian space, including any curvilinear coordinates in the Minkowski space. We construct solutions with cylindric symmetry, while the operators of energy, of the third projection of the total angular momentum, and the third projection of the linear momentum are diagonalized. After separating the variables we derive the system of 11 first-order differential equations in polar coordinate. It is solved with the use of the Fedorov–Gronskiy method. According to this method, all 11 functions are expressed through 3 main funcions. According to the known procedure we impose the differential constraints, which are consistent with the all 11 equations and allow us to transform these equations to algebraic form. This algebraic system is solved by standard methods. As a result, we obtain 5 linearly independent solutions. The problem of eliminating the gauge solutions will be studied in a separate paper.
massless Stueckelberg field, cylindrical symmetry, the method of projective operators, exact solutions
Введение
В настоящей работе будем находить все независи-
мые точные решения обобщенного 11-мерного уравнения
Даффина–Кеммера для безмассового поля Штюкельберга
[1–8]. Система тензорных уравнений для этой частицы име-
ет в декартовых координатах следующий вид:
∂aΨa = 0, ∂aΨ + ∂bΨab = Ψa,
∂aΨb − ∂bΨa = 0. (1)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
69
В качестве волновой функции будем использовать 11-
мерный столбец
Φ = (Ψ;Ψ0,Ψ1,Ψ2,Ψ3;Ψ01,Ψ02,Ψ03,
Ψ23,Ψ31,Ψ12) = (H,H1,H2). (2)
Система уравнений (1) может быть представлена в блочной
матричной форме:
DaGaH1 = 0, ΔaDaH + KaDaH2 − H1 = 0,
DaLaH1 = 0 (3)
или в 11-мерном виде
(DaΓa − P)Φ = 0, (4)
где
Φ = (H,H1,H2)t,
Γa =
0
@
0 Ga 0
Δa 0 Ka
0 La 0
1
A, P =
0
@
0 0 0
0 I4×4 0
0 0 0
1
A,
G0 = (1000), G1 = (0 − 100),
G2 = (00 − 10), G3 = (000 − 1),
Δ0 = (1, 0, 0, 0)t, Δ1 = (0, 1, 0, 0)t,
Δ2 = (0, 0, 1, 0)t, Δ3 = (0, 0, 0, 1)t,
K0 =
0
B@
0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0
1
CA
,
K1 =
0
B@
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 −1 0
1
CA
,
K2 =
0
B@
0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1
CA
,
K3 =
0
B@
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CA
,
L0 =
0
BBBBB@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
L1 =
0
BBBBB@
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
1
CCCCCA
,
L2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 −1 0 0
1
CCCCCA
,
L3 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
CCCCC
A
.
Здесь и далее t обозначает транспонирование.
Уравнение (4) обобщается с использованием тетрадно-
го формализма на случай римановой геометрии простран-
ства–времени (в том числе и на использование любых кри-
волинейных координат в пространстве Минковского) в со-
ответствии со стандартной методикой [6]. Для этого при за-
данной метрике gαβ(x) нужно выбрать некоторую тетраду:
dS2 = gαβ(x)dxαdxβ, gαβ(x) → e(a)α(x), (5)
тогда уравнение (4) должно записываться в пространстве
(5) так:
Γα(x)
∂
∂xα + Σα(x)
− P
Ψ(x) = 0. (6)
Локальные матрицы Γα(x) определяются с использова-
нием тетрады
Γα(x) = eα(a)(x)Γa =
=
0
@
0 −Gaeα(
a) 0
Δaeα(
a) 0 Kaeα(
a)
0 Laeα(
a) 0
1
A. (7)
Связность Σα(x) задается соотношениями
Jab =
0
@
0 0 0
0 Jab
1 0
0 0 Jab
2
1
A,
Σα(x) =
1
2
Jabeβ
(a)(x)e(b)β;α(x) =
=
0
@
0 0 0
0 (Σ1)α 0
0 0 (Σ2)α
1
A, (8)
где
Σ1(x) =
1
2
Jab
(1)eβ
(a)(x)e(b)β;α(x),
Σ2(x) =
1
2
Jab
(2)eβ
(a)(x)e(b)β;α(x),
а Jab
(1) и Jab
(2) обозначают генераторы соответственно для
вектора Ψk(x) и антисимметричного тензора Ψmn(x).
Уравнение (6) записывается короче с использованием ко-
эффициентов вращения Риччи:
Γc
eα(
c)
∂
∂xα +
1
2
Jabγabc
− P
Ψ(x) = 0,
70
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
γ[ab]c = −γ[ba]c = e(b)ρ;σeρ
(a)eσ(
c). (9)
1. Цилиндрические координаты, разделение
переменных
Будем рассматривать уравнение (9) в цилиндрических
координатах (r, φ, z). В работе [9] после разделения пере-
менных была получена система уравнений по переменной
r для массивной частицы Штюкельберга в магнитном поле
(аналогичный анализ в кулоновском поле был сделан в ра-
боте [10]). В статье [9] использовалась следующая подста-
новка для волновой функции в циклическом базисе (в ко-
тором генераторы J12
1 , J12
2 диагональны):
Ψ = e−iϵteimϕeikz(H,H1,H2)t, H = h(r),
H1 = (h0(r), h1(r), h2(r), h3(r))t,
H2 = (Ei(r),Bi(r))t.
Из этой системы уравнений, учитывая отсутствие магнит-
ного поля и ограничения, связанные с безмассовостью ча-
стицы, получаем следующие 11 уравнений:
−iϵh0 − ikh2 +
√1
2
h′
1
− 2m − 2
2
√
2r
h1−
−√1
2
h′
3
− 2m + 2
2
√
2r
h3 = 0; (10)
−iϵh − ikE2 +
√1
2
E′
1
− 2m − 2
2
√
2r
E1−
−√1
2
E′
3
− 2m + 2
2
√
2r
E3 = h0,
−√1
2
h′ − √m
2r
h +
√1
2
B′
2+
+
2m
2
√
2r
B2 − ikB3 + iϵE1 = h1,
ikh + iϵE2 − √1
2
B′
1
− 2m + 2
2
√
2r
B1−
−√1
2
B′
3 +
2m − 2
2
√
2r
B3 = h2,
√1
2
h′ − √m
2r
h +
√1
2
B′
2
−
− 2m
2
√
2r
B2 + ikB1 + iϵE3 = h3; (11)
√1
2
h′
0 +
2m
2
√
2r
h0 − iϵh1 = 0,
−ikh0 − iϵh2 = 0,
−√1
2
h′
0 +
2m
2
√
2r
h0 − iϵh3 = 0,
−√1
2
h′
2 +
2m
2
√
2r
h2 + ikh3 = 0,
√1
2
h′
1
− 2m − 2
2
√
2r
h1 +
√1
2
h′
3 +
2m + 2
2
√
2r
h3 = 0,
−ikh1 − √1
2
h′
2
− 2m
2
√
2r
h2 = 0; (12)
переменныеE1,2,3, B1,2,3 относятся к шести компонентам
антисимметричного тензора; h, h0,1,2,3 относятся к скаля-
ру и 4-вектору. Размерности этих компонент подчиняются
правилу
[h] = 1, [Ei] = 1, [Bi] = 1,
[h0], [h1], [h2], [h3] =
1
L
. (13)
Введем сокращающие обозначения
am =
√1
2
d
dr
+
m
r
, bm =
√1
2
d
dr
− m
r
,
am+1 =
√1
2
d
dr
+
m + 1
r
,
bm+1 =
√1
2
d
dr
− m + 1
r
,
am−1 =
√1
2
d
dr
+
m − 1
r
,
bm−1 =
√1
2
d
dr
− m − 1
r
, (14)
тогда система уравнений примет вид
−iϵh0 − ikh2 + bm−1h1 − am+1h3 = 0; (15)
−iϵh − ikE2 + bm−1E1 − am+1E3 = h0,
−amh + am+1B2 − ikB3 + iϵE1 = h1,
ikh + iϵE2 − am+1B1 − bm−1B3 = h2,
bmh + bmB2 + ikB1 + iϵE3 = h3; (16)
amh0 − iϵh1 = 0, −ikh0 − iϵh2 = 0
−bmh0 − iϵh3 = 0, −bmh2 + ikh3 = 0,
bm−1h1 + am+1h3 = 0, −ikh1 − amh2 = 0. (17)
Дальше будем использовать метод Федорова–Гронско-
го [11]. Для этого введем оператор третьей проекции спина
Y = −iJ12 (он относится к циклическому базису). Убеж-
даемся, что эта 11-мерная матрица удовлетворяет мини-
мальному уравнению Y (Y −1)(Y +1) = 0. Оно позволяет
ввести три проективных оператора с необходимыми свой-
ствами
P1 =
1
2
Y (Y − 1), P2 =
1
2
Y (Y + 1), P3 = 1 − Y 2;
P2
1 = P1, P2
2 = P2, P2
3 = P3, P1 + P2 + P3 = 1. (18)
Соответственно, полную волновую функцию можно разло-
жить в сумму трех частей
Ψ = Ψ1 + Ψ2 + Ψ3, Ψσ = PσΨ, σ = 1, 2, 3.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
71
Получаем явный вид проективных операторов
P1 =
0
BBBBBBBBB@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1
CCCCCCCCCA
,
P2 =
0
BBBBBBBBB@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
,
P3 =
0
BBBBBBBBB@
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
.
Затем находим структуру проективных составляющих пол-
ной волновой функции (учитываем, что в соответствии
с методом Федорова–Гронского каждая составляющая
должна определяться только одной функцией от перемен-
ной r):
Ψ1(r) = (0, 0, h1, 0, 0,E1, 0, 0, 0, 0,B3)tf1(r),
Ψ2(r) = (0, 0, 0, 0, h3, 0, 0,E3,B1, 0, 0)tf2(r),
Ψ3(r) = (h, h0, 0, h2, 0, 0,E2, 0, 0,B2, 0)tf3(r). (19)
Действуя проективными операторами на систему уравне-
ний (15)–(17), получаем три подсистемы
P1 : − amh + amB2 − ikB3 + imE1 = h1,
amh0 − imh1 = 0, −ikh1 − amh2 = 0;
P2 : bmh + bmB2 + ikB1 + imE3 = h3,
− bmh0 − imh3 = 0, −bmh2 + ikh3 = 0;
P3 : − imh0 − ikh2 + bm−1h1 − am+1h3 = 0,
− imh − ikE2 + bm−1E1 − am+1E3 = h0,
ikh + imE2 − am+1B1 − bm−1B3 = h2,
− ikh0 − imh2 = 0, bm−1h1 + am+1h3 = 0.
Накладываем условия Федорова–Гронского (эти условия
позволяют преобразовать дифференциальные уравнения
в алгебраические):
P1
−amf3(r)h + amf3(r)B2 − ikf1(r)B3+
+imf1(r)E1 = f1(r)h1 ⇒ amf3 = C1f1,
amf3(r)h0 − imf1(r)h1 = 0 ⇒ amf3 = C1f1,
−ikf1(r)h1 − amf3(r)h2 = 0 ⇒ amf3 = C1f1;
P2
bmf3(r)h + bmf3(r)B2 + ikf2(r)B1+
+imf2(r)E3 = f2(r)h3 ⇒ bmf3 = C2f2,
−bmf3(r)h0 − imf2(r)h3 = 0 ⇒ bmf3 = C2f2,
−bmf3(r)h2 + ikf2(r)h3 = 0 ⇒ bmf3 = C2f2;
P3
−imf3(r)h0 − ikf3(r)h2 + bm−1f1(r)h1−
−bm−1f1(r)h3 = 0 ⇒ bm−1f1 = C3f3,
−imf3(r)h − ikf3(r)E2 + bm−1f1(r)E1−
−am+1f2(r)E3 = f3(r)h0 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3,
ikf3(r)h + imf3(r)E2 − am+1f2(r)B1−
−bm−1f1(r)B3 = f3(r)h2 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3,
−ikf3(r)h0 − imf3(r)h2 = 0,
bm−1f1(r)h1 + am+1f2(r)h3 = 0 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3.
С учетом наложенных связей получаем алгебраическую
систему уравнений
−C1h + C1B2 − ikB3 + imE1 = h1,
C1h0 − imh1 = 0, −ikh1 − C1h2 = 0,
C2h + C2B2 + ikB1 + imE3 = h3,
−C2h0 − imh3 = 0, −C2h2 + ikh3 = 0,
−imh0 − ikh2 + C3h1 − C3h3 = 0,
−imh − ikE2 + C3E1 − C4E3 = 0,
ikh + imE2 − C4B1 − C3B3 = h2,
−ikh0 − imh2 = 0, C3h1 + C4h3 = 0. (20)
Соберем вместе дифференциальные условия связи
bm−1f1(r) = C3f3(r), amf3(r) = C1f1(r),
am+1f2(r) = C4f3(r), bmf3(r) = C2f2(r). (21)
Из (21) следуют уравнения второго порядка для отдельных
функций
bm−1amf3 = C1C3f3, ambm−1f1 = C1C3f1,
am+1bmf3 = C2C4f3, bmam+1f2 = C2C4f2. (22)
72
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Параметры в каждой паре могут быть выбраны одинаковы-
ми: C3 = C1, C4 = C2. При этом условия связи и урав-
нения принимают вид
bm−1f1(r) = C1f3, amf3 = C1f1,
am+1f2(r) = C2f3, bmf3 = C2f2;
[bm−1am − C2
1 ]f3 = 0, [ambm−1 − C2
1 ]f1 = 0,
[am+1bm − C2
2 ]f3 = 0, [bmam+1 − C2
2 ]f2 = 0. (23)
С учетом явного вида (14) операторов первого порядка по-
лученные четыре уравнения записываются так:
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− 2C2
1
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m − 1)2
r2
− 2C2
1
f1 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− 2C2
2
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m + 1)2
r2
− 2C2
2
f2 = 0.
Очевидно, должно выполняться условие 2C2
2 = 2C2
1
≡
C2, т. е. имеем три уравнения:
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− C2
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m − 1)2
r2
− C2
f1 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m + 1)2
r2
− C2
f2 = 0. (24)
Напомним, что в теории обычной безмассовой векторной
частицы также возникает уравнение вида (24):
d2
dr2 +
1
r
d
dr
+ m2 − k2 − m2
r2
f = 0,
z =
√
m2 − k2r, f(z) = J±m(z). (25)
Следовательно, в уравнениях (24) надо полагать
−C2 = m2 − k2 ⇒ C = i
√
m2 − k2. (26)
В новой переменной z = −iCr =
√
m2 − k2r уравнения
(24) принимают бесселевский вид:
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − m2
z2
f3 = 0, f3 = J±m(z),
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − (m − 1)2
z2
f1 = 0,
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − (m + 1)2
z2
f2 = 0,
f1 = J±(m−1)(z), f2 = J±(m+1)(z). (27)
2. Анализ алгебраической системы
Напомним равенства C1 = C2 = C3 = C4 = C/
√
2
и обратимся к алгебраической системе уравнений
−imh0 − ikh2 + C/
√
2h1 − C/
√
2h3 = 0,
−imh − ikE2 + C/
√
2E1 − C/
√
2E3 = h0,
−C/
√
2h + C/
√
2B2 − ikB3 + imE1 = h1,
ikh + imE2 − C/
√
2B1 − C/
√
2B3 = h2,
C/
√
2h + C/
√
2B2 + ikB1 + imE3 = h3,
C/
√
2h0 − imh1 = 0, −ikh0 − imh2 = 0,
−C/
√
2h0 − imh3 = 0, −C/
√
2h2 + imh3 = 0,
C/
√
2h1+C/
√
2h3 = 0, −ikh1−C/
√
2h2 = 0. (28)
Ее можно записать в матричной форме A11×11Ψ = 0
A11×11 =
0
BBBBBBBBBBBBBBB@
0 −im C √
2
−ik − C √
2
0 0 0 0 0 0
−im −1 0 0 0 − C √
2
−ik − C √
2
0 0 0
− C √
2
0 −1 0 0 im 0 0 0 C √
2
−ik
ik 0 0 −1 0 0 im 0 − C √
2
0 − C √
2
C √
2
0 0 0 −1 0 0 im ik C √
2
0
0 C √
2
−im 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −ik 0 −im 0 0 0 0 0 0 0
0 − C √
2
0 0 −im 0 0 0 0 0 0
0 0 0 − C √
2
ik 0 0 0 0 0 0
0 0 C √
2
0 C √
2
0 0 0 0 0 0
0 0 −ik − C √
2
0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCCCCCCC
A
,
Ψ = (h, h1, h2, h3,E1,E2,E3,B1,B2,B3)t.
Убеждаемся, что определитель этой матрицы обраща-
ется тождественно в нуль при любом выборе параметра C.
Ранг матрицы равен восьми. Удаление строк с номерами
9–11 приводит к матрице A8×11 нового размера с тем же
рангом. При C = i
√
m2 − k2 ранг матрицы A8×11 равен
шести. Ранг не изменится, если убрать строки 1 и 8. В ре-
зультате приходим к шести независимым уравнениям
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
73
0
BBBBB@
−im −1 0 0 0 C √
2
−ik − C √
2
0 0 0
− C √
2
0 −1 0 0 im 0 0 0 C √
2
−ik
ik 0 0 −1 0 0 im 0 − C √
2
0 − C √
2
C √
2
0 0 0 −1 0 0 im ik C √
2
0
0 C √
2
−im 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −ik 0 −im 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCA
×
×(h, h0, h1, h2, h3,E1,E2,E3,B1,B2,B3)t = 0.
Переносим вправо столбцы, отвечающие переменным
h,E3,B1,B2,B3, и приходим к неоднородной системе
уравнений с пятью свободными параметрами
0
BBB@
−1 0 0 0 C √
2
−ik
0 −1 0 0 im 0
0 0 −1 0 0 im
0 0 0 −1 0 0
C √
2
−im 0 0 0 0
−ik 0 −im 0 0 0
1
CCCA
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
= −
−im,− C √
2
, ik,
C √
2
, 0, 0
t
h−
−
− C √
2
, 0, 0, im, 0, 0
t
E3−
−
0, 0,− C √
2
, ik, 0, 0
t
B1−
−
0,
C √
2
, 0,
C √
2
, 0, 0
t
B2−
−
0,−ik,− C √
2
, 0, 0, 0
t
B3.
В результате находим пять линейно независимых решений:
0
BBBBB
@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBB@
−im
−i
√
m2−k2
√
2
ik
i
√
m2−k2
√
2
0
0
1
CCCCCCCCA
h,
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA=
0
BBBBBBBBB@
− i
√
√ 2m2
m2−k2
−im
i
√
√ 2km
m2−k2
im
−1 √
√ 2k
m2−k2
1
CCCCCCCCCA
E3,
0
BBBBB
@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBBB@
−i
√
√ 2km
m2−k2
−ik
i
√
√ 2k2
m2−k2
ik
− k
m
k2+m2
√
2m
√
m2−k2
1
CCCCCCCCCA
B1,
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBBB@
−im
−i
√
m2−k2
√
2
ik
i
√
m2−k2
√
2
−
√
2
√
m2−k2
m
k
m
1
CCCCCCCCCA
B2,
(h0, h1, h2, h3,E1,E2)t =
=
0, 0, 0, 0,
k
m
,
√
m2 − k2
√
2m
t
B3.
Представляем найденные решения в 11-мерной форме:
Ψ1 =
1,−im,−i
√
m2 − k2
√
2
, ik,
i
√
m2 − k2
√
2
, 0, 0,
0, 0, 0, 0
t
;
Ψ2 =
0,− i
√
2m2
√
m2 − k2
,−im,
i
√
√ 2km
m2 − k2
, im,−1,
√
√ 2k
m2 − k2
, 1, 0, 0, 0
t
;
Ψ3 =
0,− i
√
√ 2km
m2 − k2
,−ik,
i
√
2k2
√
m2 − k2
, ik,− k
m
,
k2 + m2
√
2m
√
m2 − k2
, 0, 1, 0, 0
t
;
Ψ4 =
0,−im,−i
√
m2 − k2
√
2
, ik,
i
√
m2 − k2
√
2
,
−
√
2
√
m2 − k2
m
,
k
m
, 0, 0, 1, 0
t
;
Ψ5 =
0, 0, 0, 0, 0,
k
m
,
√
m2 − k2
√
2m
, 0, 0, 0, 1
t
.
74
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
При подстановке их в исходную систему (28) все пять ре-
шений дают нули. Следует учитывать, что эти решения най-
дены с точностью до произвольных множителей.
Заключение
Уравнение для безмассовой частицы Штюкельберга
решено в цилиндрических координатах. Полевая функция
состоит из скаляра, 4-вектора и антисимметричного тензо-
ра. Физически наблюдаемыми величинами являются ска-
ляр (переменная h) и 4-вектор (переменные h0, h1, h2,
h3); физически ненаблюдаемые переменные — компонен-
ты антисимметричного тензора (переменные Ei, Bi). Най-
дены пять линейно независимых решений. При этом сво-
бодными параметрами являются h, E3, B1, B2, B3.
1. Duffin, R.I. On the characteristic matrices of the covariant systems / R.I. Duffin // Phys. Rev. - 1938. - Vol. 54, № 12. - P. 1114-1117.
2. Kemer, N. The particle aspect of meson theory / N. Kemmer // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1939. - Vol. 173. - P. 91-116.
3. Ogiveckiy, V.I. Notof i ego vozmozhnye vzaimodeystviya / V.I. Ogiveckiy, I.V. Polubarinov // Yadernaya fizika. - 1966. - T. 4, vyp. 1. - S. 216-223.
4. Stueckelberg, E.C.G. Die Wechselwirkungskräfte in der Elektrodynamik und in der Feldtheorie der Kernkräfte (Teil II und III) / E.C.G. Stueckelberg // Helv. Phys. Acta. - 1938. - Vol. 11. - P. 299-312, 312-328.
5. Ruegg, H. The Stueckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz- Altabal // Int. J. Mod. Phys. A. - 2004. - Vol. 119. - P. 3265-3348.
6. Red'kov, V.M. Polya chastic v rimanovom prostranstve i gruppa Lorenca / V.M. Red'kov. - Minsk: Belarus. navuka, 2009. - 486 s.
7. Pletyuhov, V.A. Relyativistskie volnovye uravneniya i vnutrennie stepeni svobody / V.A. Pletyuhov, V.M. Red'kov, V.I. Strazhev. - Minsk: Belarus. navuka, 2015. - 328 s.
8. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol. I, II / V.V. Kisel [et al.]. - New York: Nova Science Publishers Inc., 2018.
9. Ovsiyuk, E.M. Chastica Shtyukel'berga vo vneshnem magnitnom pole. Metod proektivnyh operatorov / E.M. Ovsiyuk [i dr.] // Izvestiya Komi nauchnogo centra Ural'skogo otdeleniya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya «Fiziko-matematicheskie nauki». - 2022. - № 5 (57). - S. 69-78.
10. Stuckelberg particle in the Coulomb field, non-relativistic approximation, wave functions and spectra / E.M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2022. - Vol. 25, № 4. - P. 387-404.
11. Gronskiy, V.K. Magnitnye svoystva chasticy so spinom 3/2. / V.K. Gronskiy, F.I. Fedorov // Doklady Nacional'noy Akademii nauk Belarusi. - 1960. - T. 4,№ 7. - S. 278-283.
