Россия
Россия
Россия
Россия
Россия
Безмассовое поле Штюкельберга исследуется в цилин- дрических координатах. Полевая функция состоит из ска- ляра, 4-вектора и антисимметричного тензора. Физически наблюдаемыми величинами являются только скаляр и 4- вектор. Используется матричное уравнение Штюкельбер- га, обобщенное на произвольное риманово пространство, в том числе и на любые криволинейные координаты про- странства Минковского. Строятся решения этого уравне- ния с цилиндрической симметрией, при этом диагонализи- руются операторы энергии, третьей проекции полного уг- лового момента и третьей проекции импульса. После раз- деления переменных в цилиндрической системе коорди- нат получена система из 11 дифференциальных уравне- ний по полярной координате. Она решается с использова- нием метода Федорова–Гронского. В соответствии с этим методом, 11 функций выражаются через три основные. По известной методике накладываются дифференциаль- ные условия связи, которые совместны с полученными 11 уравнениями и позволяют преобразовать эти уравнения в алгебраические. Эта алгебраическая система решается стандартными методами. В результате найдены пять неза- висимых решений. Вопрос об устранении калибровочных степеней свободы будет рассмотрен в отдельной работе.
безмассовое поле Штюкельберга, цилиндрическая сим- метрия, метод проективных операторов, точные решения
Введение
В настоящей работе будем находить все независи-
мые точные решения обобщенного 11-мерного уравнения
Даффина–Кеммера для безмассового поля Штюкельберга
[1–8]. Система тензорных уравнений для этой частицы име-
ет в декартовых координатах следующий вид:
∂aΨa = 0, ∂aΨ + ∂bΨab = Ψa,
∂aΨb − ∂bΨa = 0. (1)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
69
В качестве волновой функции будем использовать 11-
мерный столбец
Φ = (Ψ;Ψ0,Ψ1,Ψ2,Ψ3;Ψ01,Ψ02,Ψ03,
Ψ23,Ψ31,Ψ12) = (H,H1,H2). (2)
Система уравнений (1) может быть представлена в блочной
матричной форме:
DaGaH1 = 0, ΔaDaH + KaDaH2 − H1 = 0,
DaLaH1 = 0 (3)
или в 11-мерном виде
(DaΓa − P)Φ = 0, (4)
где
Φ = (H,H1,H2)t,
Γa =
0
@
0 Ga 0
Δa 0 Ka
0 La 0
1
A, P =
0
@
0 0 0
0 I4×4 0
0 0 0
1
A,
G0 = (1000), G1 = (0 − 100),
G2 = (00 − 10), G3 = (000 − 1),
Δ0 = (1, 0, 0, 0)t, Δ1 = (0, 1, 0, 0)t,
Δ2 = (0, 0, 1, 0)t, Δ3 = (0, 0, 0, 1)t,
K0 =
0
B@
0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0
1
CA
,
K1 =
0
B@
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 −1 0
1
CA
,
K2 =
0
B@
0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1
CA
,
K3 =
0
B@
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CA
,
L0 =
0
BBBBB@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
L1 =
0
BBBBB@
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
1
CCCCCA
,
L2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 −1 0 0
1
CCCCCA
,
L3 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
CCCCC
A
.
Здесь и далее t обозначает транспонирование.
Уравнение (4) обобщается с использованием тетрадно-
го формализма на случай римановой геометрии простран-
ства–времени (в том числе и на использование любых кри-
волинейных координат в пространстве Минковского) в со-
ответствии со стандартной методикой [6]. Для этого при за-
данной метрике gαβ(x) нужно выбрать некоторую тетраду:
dS2 = gαβ(x)dxαdxβ, gαβ(x) → e(a)α(x), (5)
тогда уравнение (4) должно записываться в пространстве
(5) так:
Γα(x)
∂
∂xα + Σα(x)
− P
Ψ(x) = 0. (6)
Локальные матрицы Γα(x) определяются с использова-
нием тетрады
Γα(x) = eα(a)(x)Γa =
=
0
@
0 −Gaeα(
a) 0
Δaeα(
a) 0 Kaeα(
a)
0 Laeα(
a) 0
1
A. (7)
Связность Σα(x) задается соотношениями
Jab =
0
@
0 0 0
0 Jab
1 0
0 0 Jab
2
1
A,
Σα(x) =
1
2
Jabeβ
(a)(x)e(b)β;α(x) =
=
0
@
0 0 0
0 (Σ1)α 0
0 0 (Σ2)α
1
A, (8)
где
Σ1(x) =
1
2
Jab
(1)eβ
(a)(x)e(b)β;α(x),
Σ2(x) =
1
2
Jab
(2)eβ
(a)(x)e(b)β;α(x),
а Jab
(1) и Jab
(2) обозначают генераторы соответственно для
вектора Ψk(x) и антисимметричного тензора Ψmn(x).
Уравнение (6) записывается короче с использованием ко-
эффициентов вращения Риччи:
Γc
eα(
c)
∂
∂xα +
1
2
Jabγabc
− P
Ψ(x) = 0,
70
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
γ[ab]c = −γ[ba]c = e(b)ρ;σeρ
(a)eσ(
c). (9)
1. Цилиндрические координаты, разделение
переменных
Будем рассматривать уравнение (9) в цилиндрических
координатах (r, φ, z). В работе [9] после разделения пере-
менных была получена система уравнений по переменной
r для массивной частицы Штюкельберга в магнитном поле
(аналогичный анализ в кулоновском поле был сделан в ра-
боте [10]). В статье [9] использовалась следующая подста-
новка для волновой функции в циклическом базисе (в ко-
тором генераторы J12
1 , J12
2 диагональны):
Ψ = e−iϵteimϕeikz(H,H1,H2)t, H = h(r),
H1 = (h0(r), h1(r), h2(r), h3(r))t,
H2 = (Ei(r),Bi(r))t.
Из этой системы уравнений, учитывая отсутствие магнит-
ного поля и ограничения, связанные с безмассовостью ча-
стицы, получаем следующие 11 уравнений:
−iϵh0 − ikh2 +
√1
2
h′
1
− 2m − 2
2
√
2r
h1−
−√1
2
h′
3
− 2m + 2
2
√
2r
h3 = 0; (10)
−iϵh − ikE2 +
√1
2
E′
1
− 2m − 2
2
√
2r
E1−
−√1
2
E′
3
− 2m + 2
2
√
2r
E3 = h0,
−√1
2
h′ − √m
2r
h +
√1
2
B′
2+
+
2m
2
√
2r
B2 − ikB3 + iϵE1 = h1,
ikh + iϵE2 − √1
2
B′
1
− 2m + 2
2
√
2r
B1−
−√1
2
B′
3 +
2m − 2
2
√
2r
B3 = h2,
√1
2
h′ − √m
2r
h +
√1
2
B′
2
−
− 2m
2
√
2r
B2 + ikB1 + iϵE3 = h3; (11)
√1
2
h′
0 +
2m
2
√
2r
h0 − iϵh1 = 0,
−ikh0 − iϵh2 = 0,
−√1
2
h′
0 +
2m
2
√
2r
h0 − iϵh3 = 0,
−√1
2
h′
2 +
2m
2
√
2r
h2 + ikh3 = 0,
√1
2
h′
1
− 2m − 2
2
√
2r
h1 +
√1
2
h′
3 +
2m + 2
2
√
2r
h3 = 0,
−ikh1 − √1
2
h′
2
− 2m
2
√
2r
h2 = 0; (12)
переменныеE1,2,3, B1,2,3 относятся к шести компонентам
антисимметричного тензора; h, h0,1,2,3 относятся к скаля-
ру и 4-вектору. Размерности этих компонент подчиняются
правилу
[h] = 1, [Ei] = 1, [Bi] = 1,
[h0], [h1], [h2], [h3] =
1
L
. (13)
Введем сокращающие обозначения
am =
√1
2
d
dr
+
m
r
, bm =
√1
2
d
dr
− m
r
,
am+1 =
√1
2
d
dr
+
m + 1
r
,
bm+1 =
√1
2
d
dr
− m + 1
r
,
am−1 =
√1
2
d
dr
+
m − 1
r
,
bm−1 =
√1
2
d
dr
− m − 1
r
, (14)
тогда система уравнений примет вид
−iϵh0 − ikh2 + bm−1h1 − am+1h3 = 0; (15)
−iϵh − ikE2 + bm−1E1 − am+1E3 = h0,
−amh + am+1B2 − ikB3 + iϵE1 = h1,
ikh + iϵE2 − am+1B1 − bm−1B3 = h2,
bmh + bmB2 + ikB1 + iϵE3 = h3; (16)
amh0 − iϵh1 = 0, −ikh0 − iϵh2 = 0
−bmh0 − iϵh3 = 0, −bmh2 + ikh3 = 0,
bm−1h1 + am+1h3 = 0, −ikh1 − amh2 = 0. (17)
Дальше будем использовать метод Федорова–Гронско-
го [11]. Для этого введем оператор третьей проекции спина
Y = −iJ12 (он относится к циклическому базису). Убеж-
даемся, что эта 11-мерная матрица удовлетворяет мини-
мальному уравнению Y (Y −1)(Y +1) = 0. Оно позволяет
ввести три проективных оператора с необходимыми свой-
ствами
P1 =
1
2
Y (Y − 1), P2 =
1
2
Y (Y + 1), P3 = 1 − Y 2;
P2
1 = P1, P2
2 = P2, P2
3 = P3, P1 + P2 + P3 = 1. (18)
Соответственно, полную волновую функцию можно разло-
жить в сумму трех частей
Ψ = Ψ1 + Ψ2 + Ψ3, Ψσ = PσΨ, σ = 1, 2, 3.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
71
Получаем явный вид проективных операторов
P1 =
0
BBBBBBBBB@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1
CCCCCCCCCA
,
P2 =
0
BBBBBBBBB@
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
,
P3 =
0
BBBBBBBBB@
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCA
.
Затем находим структуру проективных составляющих пол-
ной волновой функции (учитываем, что в соответствии
с методом Федорова–Гронского каждая составляющая
должна определяться только одной функцией от перемен-
ной r):
Ψ1(r) = (0, 0, h1, 0, 0,E1, 0, 0, 0, 0,B3)tf1(r),
Ψ2(r) = (0, 0, 0, 0, h3, 0, 0,E3,B1, 0, 0)tf2(r),
Ψ3(r) = (h, h0, 0, h2, 0, 0,E2, 0, 0,B2, 0)tf3(r). (19)
Действуя проективными операторами на систему уравне-
ний (15)–(17), получаем три подсистемы
P1 : − amh + amB2 − ikB3 + imE1 = h1,
amh0 − imh1 = 0, −ikh1 − amh2 = 0;
P2 : bmh + bmB2 + ikB1 + imE3 = h3,
− bmh0 − imh3 = 0, −bmh2 + ikh3 = 0;
P3 : − imh0 − ikh2 + bm−1h1 − am+1h3 = 0,
− imh − ikE2 + bm−1E1 − am+1E3 = h0,
ikh + imE2 − am+1B1 − bm−1B3 = h2,
− ikh0 − imh2 = 0, bm−1h1 + am+1h3 = 0.
Накладываем условия Федорова–Гронского (эти условия
позволяют преобразовать дифференциальные уравнения
в алгебраические):
P1
−amf3(r)h + amf3(r)B2 − ikf1(r)B3+
+imf1(r)E1 = f1(r)h1 ⇒ amf3 = C1f1,
amf3(r)h0 − imf1(r)h1 = 0 ⇒ amf3 = C1f1,
−ikf1(r)h1 − amf3(r)h2 = 0 ⇒ amf3 = C1f1;
P2
bmf3(r)h + bmf3(r)B2 + ikf2(r)B1+
+imf2(r)E3 = f2(r)h3 ⇒ bmf3 = C2f2,
−bmf3(r)h0 − imf2(r)h3 = 0 ⇒ bmf3 = C2f2,
−bmf3(r)h2 + ikf2(r)h3 = 0 ⇒ bmf3 = C2f2;
P3
−imf3(r)h0 − ikf3(r)h2 + bm−1f1(r)h1−
−bm−1f1(r)h3 = 0 ⇒ bm−1f1 = C3f3,
−imf3(r)h − ikf3(r)E2 + bm−1f1(r)E1−
−am+1f2(r)E3 = f3(r)h0 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3,
ikf3(r)h + imf3(r)E2 − am+1f2(r)B1−
−bm−1f1(r)B3 = f3(r)h2 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3,
−ikf3(r)h0 − imf3(r)h2 = 0,
bm−1f1(r)h1 + am+1f2(r)h3 = 0 ⇒
⇒ bm−1f1 = C3f3, am+1f2 = C4f3.
С учетом наложенных связей получаем алгебраическую
систему уравнений
−C1h + C1B2 − ikB3 + imE1 = h1,
C1h0 − imh1 = 0, −ikh1 − C1h2 = 0,
C2h + C2B2 + ikB1 + imE3 = h3,
−C2h0 − imh3 = 0, −C2h2 + ikh3 = 0,
−imh0 − ikh2 + C3h1 − C3h3 = 0,
−imh − ikE2 + C3E1 − C4E3 = 0,
ikh + imE2 − C4B1 − C3B3 = h2,
−ikh0 − imh2 = 0, C3h1 + C4h3 = 0. (20)
Соберем вместе дифференциальные условия связи
bm−1f1(r) = C3f3(r), amf3(r) = C1f1(r),
am+1f2(r) = C4f3(r), bmf3(r) = C2f2(r). (21)
Из (21) следуют уравнения второго порядка для отдельных
функций
bm−1amf3 = C1C3f3, ambm−1f1 = C1C3f1,
am+1bmf3 = C2C4f3, bmam+1f2 = C2C4f2. (22)
72
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Параметры в каждой паре могут быть выбраны одинаковы-
ми: C3 = C1, C4 = C2. При этом условия связи и урав-
нения принимают вид
bm−1f1(r) = C1f3, amf3 = C1f1,
am+1f2(r) = C2f3, bmf3 = C2f2;
[bm−1am − C2
1 ]f3 = 0, [ambm−1 − C2
1 ]f1 = 0,
[am+1bm − C2
2 ]f3 = 0, [bmam+1 − C2
2 ]f2 = 0. (23)
С учетом явного вида (14) операторов первого порядка по-
лученные четыре уравнения записываются так:
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− 2C2
1
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m − 1)2
r2
− 2C2
1
f1 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− 2C2
2
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m + 1)2
r2
− 2C2
2
f2 = 0.
Очевидно, должно выполняться условие 2C2
2 = 2C2
1
≡
C2, т. е. имеем три уравнения:
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− m2
r2
− C2
f3 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m − 1)2
r2
− C2
f1 = 0,
d2
dr2 +
1
r
d
dr
− (m + 1)2
r2
− C2
f2 = 0. (24)
Напомним, что в теории обычной безмассовой векторной
частицы также возникает уравнение вида (24):
d2
dr2 +
1
r
d
dr
+ m2 − k2 − m2
r2
f = 0,
z =
√
m2 − k2r, f(z) = J±m(z). (25)
Следовательно, в уравнениях (24) надо полагать
−C2 = m2 − k2 ⇒ C = i
√
m2 − k2. (26)
В новой переменной z = −iCr =
√
m2 − k2r уравнения
(24) принимают бесселевский вид:
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − m2
z2
f3 = 0, f3 = J±m(z),
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − (m − 1)2
z2
f1 = 0,
d2
dz2 +
1
z
d
dz
+ 1 − (m + 1)2
z2
f2 = 0,
f1 = J±(m−1)(z), f2 = J±(m+1)(z). (27)
2. Анализ алгебраической системы
Напомним равенства C1 = C2 = C3 = C4 = C/
√
2
и обратимся к алгебраической системе уравнений
−imh0 − ikh2 + C/
√
2h1 − C/
√
2h3 = 0,
−imh − ikE2 + C/
√
2E1 − C/
√
2E3 = h0,
−C/
√
2h + C/
√
2B2 − ikB3 + imE1 = h1,
ikh + imE2 − C/
√
2B1 − C/
√
2B3 = h2,
C/
√
2h + C/
√
2B2 + ikB1 + imE3 = h3,
C/
√
2h0 − imh1 = 0, −ikh0 − imh2 = 0,
−C/
√
2h0 − imh3 = 0, −C/
√
2h2 + imh3 = 0,
C/
√
2h1+C/
√
2h3 = 0, −ikh1−C/
√
2h2 = 0. (28)
Ее можно записать в матричной форме A11×11Ψ = 0
A11×11 =
0
BBBBBBBBBBBBBBB@
0 −im C √
2
−ik − C √
2
0 0 0 0 0 0
−im −1 0 0 0 − C √
2
−ik − C √
2
0 0 0
− C √
2
0 −1 0 0 im 0 0 0 C √
2
−ik
ik 0 0 −1 0 0 im 0 − C √
2
0 − C √
2
C √
2
0 0 0 −1 0 0 im ik C √
2
0
0 C √
2
−im 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −ik 0 −im 0 0 0 0 0 0 0
0 − C √
2
0 0 −im 0 0 0 0 0 0
0 0 0 − C √
2
ik 0 0 0 0 0 0
0 0 C √
2
0 C √
2
0 0 0 0 0 0
0 0 −ik − C √
2
0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCCCCCCCCCCC
A
,
Ψ = (h, h1, h2, h3,E1,E2,E3,B1,B2,B3)t.
Убеждаемся, что определитель этой матрицы обраща-
ется тождественно в нуль при любом выборе параметра C.
Ранг матрицы равен восьми. Удаление строк с номерами
9–11 приводит к матрице A8×11 нового размера с тем же
рангом. При C = i
√
m2 − k2 ранг матрицы A8×11 равен
шести. Ранг не изменится, если убрать строки 1 и 8. В ре-
зультате приходим к шести независимым уравнениям
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
73
0
BBBBB@
−im −1 0 0 0 C √
2
−ik − C √
2
0 0 0
− C √
2
0 −1 0 0 im 0 0 0 C √
2
−ik
ik 0 0 −1 0 0 im 0 − C √
2
0 − C √
2
C √
2
0 0 0 −1 0 0 im ik C √
2
0
0 C √
2
−im 0 0 0 0 0 0 0 0
0 −ik 0 −im 0 0 0 0 0 0 0
1
CCCCCA
×
×(h, h0, h1, h2, h3,E1,E2,E3,B1,B2,B3)t = 0.
Переносим вправо столбцы, отвечающие переменным
h,E3,B1,B2,B3, и приходим к неоднородной системе
уравнений с пятью свободными параметрами
0
BBB@
−1 0 0 0 C √
2
−ik
0 −1 0 0 im 0
0 0 −1 0 0 im
0 0 0 −1 0 0
C √
2
−im 0 0 0 0
−ik 0 −im 0 0 0
1
CCCA
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
= −
−im,− C √
2
, ik,
C √
2
, 0, 0
t
h−
−
− C √
2
, 0, 0, im, 0, 0
t
E3−
−
0, 0,− C √
2
, ik, 0, 0
t
B1−
−
0,
C √
2
, 0,
C √
2
, 0, 0
t
B2−
−
0,−ik,− C √
2
, 0, 0, 0
t
B3.
В результате находим пять линейно независимых решений:
0
BBBBB
@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBB@
−im
−i
√
m2−k2
√
2
ik
i
√
m2−k2
√
2
0
0
1
CCCCCCCCA
h,
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA=
0
BBBBBBBBB@
− i
√
√ 2m2
m2−k2
−im
i
√
√ 2km
m2−k2
im
−1 √
√ 2k
m2−k2
1
CCCCCCCCCA
E3,
0
BBBBB
@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBBB@
−i
√
√ 2km
m2−k2
−ik
i
√
√ 2k2
m2−k2
ik
− k
m
k2+m2
√
2m
√
m2−k2
1
CCCCCCCCCA
B1,
0
BBBBB@
h0
h1
h2
h3
E1
E2
1
CCCCCA
=
0
BBBBBBBBB@
−im
−i
√
m2−k2
√
2
ik
i
√
m2−k2
√
2
−
√
2
√
m2−k2
m
k
m
1
CCCCCCCCCA
B2,
(h0, h1, h2, h3,E1,E2)t =
=
0, 0, 0, 0,
k
m
,
√
m2 − k2
√
2m
t
B3.
Представляем найденные решения в 11-мерной форме:
Ψ1 =
1,−im,−i
√
m2 − k2
√
2
, ik,
i
√
m2 − k2
√
2
, 0, 0,
0, 0, 0, 0
t
;
Ψ2 =
0,− i
√
2m2
√
m2 − k2
,−im,
i
√
√ 2km
m2 − k2
, im,−1,
√
√ 2k
m2 − k2
, 1, 0, 0, 0
t
;
Ψ3 =
0,− i
√
√ 2km
m2 − k2
,−ik,
i
√
2k2
√
m2 − k2
, ik,− k
m
,
k2 + m2
√
2m
√
m2 − k2
, 0, 1, 0, 0
t
;
Ψ4 =
0,−im,−i
√
m2 − k2
√
2
, ik,
i
√
m2 − k2
√
2
,
−
√
2
√
m2 − k2
m
,
k
m
, 0, 0, 1, 0
t
;
Ψ5 =
0, 0, 0, 0, 0,
k
m
,
√
m2 − k2
√
2m
, 0, 0, 0, 1
t
.
74
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
При подстановке их в исходную систему (28) все пять ре-
шений дают нули. Следует учитывать, что эти решения най-
дены с точностью до произвольных множителей.
Заключение
Уравнение для безмассовой частицы Штюкельберга
решено в цилиндрических координатах. Полевая функция
состоит из скаляра, 4-вектора и антисимметричного тензо-
ра. Физически наблюдаемыми величинами являются ска-
ляр (переменная h) и 4-вектор (переменные h0, h1, h2,
h3); физически ненаблюдаемые переменные — компонен-
ты антисимметричного тензора (переменные Ei, Bi). Най-
дены пять линейно независимых решений. При этом сво-
бодными параметрами являются h, E3, B1, B2, B3.
1. Duffin, R.I. On the characteristic matrices of the covariant systems / R.I. Duffin // Phys. Rev. - 1938. - Vol. 54, № 12. - P. 1114-1117.
2. Kemer, N. The particle aspect of meson theory / N. Kemmer // Proc. Roy. Soc. London. A. - 1939. - Vol. 173. - P. 91-116.
3. Огивецкий, В.И. Нотоф и его возможные взаимодействия / В.И. Огивецкий, И.В. Полубаринов // Ядерная физика. - 1966. - Т. 4, вып. 1. - С. 216-223.
4. Stueckelberg, E.C.G. Die Wechselwirkungskräfte in der Elektrodynamik und in der Feldtheorie der Kernkräfte (Teil II und III) / E.C.G. Stueckelberg // Helv. Phys. Acta. - 1938. - Vol. 11. - P. 299-312, 312-328.
5. Ruegg, H. The Stueckelberg field / H. Ruegg, M. Ruiz- Altabal // Int. J. Mod. Phys. A. - 2004. - Vol. 119. - P. 3265-3348.
6. Редьков, В.М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В.М. Редьков. - Минск: Беларус. навука, 2009. - 486 с.
7. Плетюхов, В.А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В.А. Плетюхов, В.М. Редьков, В.И. Стражев. - Минск: Беларус. навука, 2015. - 328 с.
8. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol. I, II / V.V. Kisel [et al.]. - New York: Nova Science Publishers Inc., 2018.
9. Овсиюк, E.M. Частица Штюкельберга во внешнем магнитном поле. Метод проективных операторов / E.M. Овсиюк [и др.] // Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук. Серия «Физико-математические науки». - 2022. - № 5 (57). - С. 69-78.
10. Stuckelberg particle in the Coulomb field, non-relativistic approximation, wave functions and spectra / E.M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. - 2022. - Vol. 25, № 4. - P. 387-404.
11. Гронский, В.К. Магнитные свойства частицы со спином 3/2. / В.К. Гронский, Ф.И. Федоров // Доклады Национальной Академии наук Беларуси. - 1960. - Т. 4,№ 7. - С. 278-283.
