Russian Federation
The reciprocal space of multilayer grating in the non-coplanar geometry of diffraction is investigated. Direct and inverse relations between the angles of wave vectors and coordinates of reciprocal space are written out. The Bragg’s and diffraction reflection angles are written. By example, cones of diffraction and reciprocal space mapping are demonstrated.
multilayer grating, Bragg’s law, diffraction cone, reciprocal space mapping
Введение
Известные и простые условия дифракции Вульфа-
Брэгга рентгеновских лучей в кристаллах основываются
на принципе конструктивной интерференции и законе от-
ражения. Похожие условия брэгговской дифракции мож-
но записать для многослойных дифракционных решеток
(далее — МДР). Их можно найти в ряде работ, например
в [1, 2]. Однако они посвящены компланарной дифракции.
Настоящая статья призвана восполнить этот пробел для
некомпланарной дифракции рентгеновских лучей в МДР.
На рис. 1 представлена схема некомпланарной дифракции.
Введем систему координат: пусть оси x и y направлены
вдоль поверхности МДР, ось z – уходит вглубь. МДР может
иметь произвольный азимутальный поворот вокруг оси z с
углом φ. Период дифракционной решетки обозначим как
dφ, период многослойного рентгеновского зеркала (МРЗ) –
как dz. Считаем, что плоская волна с длиной волны λ и
волновым вектором ⃗kT падает на МДР под углом скольже-
ния ϑT , а отраженная волна распространяется с волновым
вектором ⃗kR, направление которого можем обозначить по-
лярным ϑR и азимутальным φR углами:
8><
>:
⃗kT = k cos ϑT ⃗ex + k sin ϑT ⃗ez,
⃗kR = k cos ϑR cos φR ⃗ex + k cos ϑR sin φR ⃗ey
− k sin ϑR ⃗ez.
(1)
Модуль волновых векторов равен волновому числу в ваку-
уме k = 2π/λ.
Рисунок 1. Схема некомпланарной дифракции рентгеновской волны на
МДР.
Figure 1. Schematic representation of non-coplanar X-ray diffraction on multilayer
grating.
1. Обратное пространство
Рентгенодифракционный анализ кристаллов принято
проводить в обратном пространстве. Исследование обрат-
ного пространства кристаллов некомпланарной дифрак-
ции в Брэгг- и Лауэ-геометрии можно найти в работе [3].
Следуя этой традиции, рассмотрим вектор дифракции ⃗Q
как радиус-вектор обратного пространства МДР:
⃗Q
= ⃗kR −⃗kT . (2)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
91
Запишем определение (2) для каждой проекцииQx|y|z:
8><
>:
Qx = k cos ϑR cos φR − k cos ϑT ,
Qy = k cos ϑR sin φR,
Qz = −k sin ϑT − k sin ϑR.
(3)
Равенства (3) будем называть прямыми соотношения-
ми. Добавим к ним определенное условие:
ϑR = 90◦ ⇒ φR = 0◦. (4)
Углы в уравнениях (3) имеют естественные ограничения:
8><
>:
0◦ < ϑT < 180◦,
0◦ < ϑR < 180◦,
− 90◦ < φR ⩽ 90◦.
(5)
Следовательно, есть ограничения для ⃗Q
:
8><
>:
Q2
x + Q2
y + Q2z
⩽ 2k
p
Q2
x + Q2z
,
(Qx ± k)2 + Q2
y + Q2z
⩾ k2,
Qz ⩽ 0.
(6)
Все множество векторов ⃗Q
, удовлетворяющих условию
(6), назовем областью определения Q уравнений (3). Об-
ласть Q показана на рис. 2. Она имеет форму половины то-
ра, на торцах которого вырезаны две полусферы радиусом
k. Если вектор ⃗Q
принадлежит Q, то возможны обратные
соотношения:
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
cos ϑT = −Qx
2k
C − s
Qz
2k
s
(2k)2
Q2
x + Q2z
− C2,
cos ϑR = S
s
cos ϑT +
Qx
k
2
+
Qy
k
2
,
sin φR =
Qy
k cos ϑR
,
(7)
здесь S = sign(cos ϑT + Qx/k), C = 1 +
Q2
y
Q2
x+Q2
z
.
Рисунок 2. Область определения Q.
Figure 2. The definition region Q.
Уравнения (3) имеют два решения, и знак s = ±1 раз-
личает их. На рис. 3 синими (нижними) векторами показано
решение с s = +1, красными (верхними) — с s = −1.
Рисунок 3. Два решения для ⃗Q
. Одинарной линией показаны углы ϑT ,
двойной — ϑR, тройной — φR.
Figure 3. The two solutions for ⃗Q
. Single lines show angles ϑT , double lines
— ϑR, triple lines — φR.
2. Брэгговские отражения
Периодичности кристаллической решетки в прямом
пространстве соответствует сетка узлов, составленная из
векторов обратной решетки ⃗h, в обратном пространстве.
МДР имеет латеральную и вертикальную периодичность.
Латеральной периодичности МДР сопоставим вектор
⃗hφ = hφ cos φ⃗ex + hφ sin φ⃗ey, (8)
вертикальной —
⃗hz = −hz ⃗ez, (9)
а сетке узлов обратной решетки МДР —
⃗hm,n = m⃗hφ + n⃗hz, (10)
гдеmи n — целые числа, называемые порядками дифрак-
ции. Модули векторов равны hφ|z = 2π/dφ|z.
Рисунок 4. Пример обратной решетки МДР.
Figure 4. The example of a reciprocal lattice of multilayer grating.
На рис. 4 показан пример сетки из узлов⃗hm,n. Цифрами
указаны дифракционные порядки (m, n). Цветом выделе-
ны точки с одинаковымиm. Все точки лежат в одной плос-
кости. В моделировании используем следующие значения
параметров (безразмерные):
dφ = 1, dz = dφ/10, λ =
p
4/2125, φ = 30◦. (11)
92
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
На примере видно, как полусферы разрывают цепоч-
ку узлов с n = 1. В связи с этим можно говорить о раз-
решенных (реализуемых) и запрещенных (нереализуемых)
дифракционных порядках.
Запишем условие Вульфа-Брэгга в векторном виде для
МДР:
⃗Q
= ⃗hm,n. (12)
Из (7) и(12) следуют решения:
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
cos θ(T)
m,n = −mλC cos φ
2dφ
+ sn
s
d2
φ
(mdz cos φ)2 + (ndφ)2
−
λC
2dz
2
,
cos θ(R)
m,n = S
s
cos θ(T)
m,n +
mλcos φ
dφ
2
+
+
mλsin φ
dφ
2
,
sin ϕ(R)
m,n =
mλsin φ
dφ cos θ(R)
m,n
.
(13)
Здесь
S = sign
cos θ(T)
m,n +
mλcos φ
dφ
,
C =
(mdz)2 + (ndφ)2
(mhz cos φ)2 + (ndφ)2 .
Если выполняется условие
ϑT = θ(T)
m,n, ϑR = θ(R)
m,n, φR = ϕ(R)
m,n, (14)
то будем говорить, что наблюдается брэгговское отра-
жение в (m, n)-й дифракционный порядок. Заметим:
1) одному и тому же дифракционному порядку соответ-
ствуют две конфигурации углов; 2) брэгговское отражение
некомпланарной дифракции характеризуется тремя угла-
ми Брэгга.
3. Дифракционные отражения и конусы ди-
фракции
Если угол ϑT не соответствует точному условию (14), то,
чтобы найти направление отраженной волны в (m, n)-й
дифракционный порядок, необходимо использовать закон
отражения для МДР:
⃗Q
−⃗hm,n
· ⃗ex|y = 0. (15)
Уравнение (15) сохраняет только тангенциальные компо-
ненты векторов ⃗kT и ⃗kR в условии Вульфа-Брэгга. Из (15)
следует, что
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
cos θ(R)
m = S
s
cos ϑT + m
λ cos φ
dφ
2
+
+
m
λ sin φ
dφ
2
,
sin ϕ(R)
m = m
λ sin φ
dφ cos θ(R)
m
,
(16)
здесь S = sign
cos ϑT + mλcos φ
dφ
. Равенства (16)
определяют углы дифракционного отражения θ(R)
m и ϕ(R)
m .
Эти углы однозначны и не зависят от n. Углы брэгговских
отражений (13) являются частным случаем углов дифрак-
ционных отражений (16): если ϑT = θ(T)
m,n, то θ(R)
m = θ(R)
m,n
и ϕ(R)
m = ϕ(R)
m,n.
Рисунок 5. Пример конусов дифракции и брэгговских отражений отдель-
ных (m, n)-х дифракционных порядков.
Figure 5. The example of diffraction cones and Bragg’s reflections of individual
(m, n)-diffraction orders.
В некомпланарной геометрии волновые векторы диф-
ракционных отражений направлены вдоль образующих
линий прямых круговых конусов. Пример с параметрами
(11) демонстрирует на рис. 5 конусы дифракции. Стрел-
ками указаны волновые вектора ⃗k(T)
m,n и ⃗k(R)
m,n отдельных
брэгговских отражений, цифрами — номера дифракцион-
ных порядков (m, n), цветная заливка конусов — допу-
стимые направления дифракционных отражений. Неком-
планарную дифракцию называют конической дифракци-
ей. Прямой круговой конус дляm-дифракционного поряд-
ка имеет раствор угла при вершине, равный 2αm, где
αm = arccos
m
λ sin φ
dφ
. (17)
Ось конуса лежит на оси y. Если αm < 90◦, то расширение
конуса сонаправлено с осью y; если αm > 90◦, то рас-
ширение будет в противоположную сторону от оси y; если
αm = 90◦, то конус вырождается в диск.
4. Компланарная дифракция
Компланарная дифракция, когда векторы ⃗kT , ⃗kR и ⃗ez
лежат в одной плоскости, является частным случаем
некомпланарной дифракции с углом φ = 0◦. Следователь-
но, Qy = 0 и φR = 0, а основные решения значительно
упрощаются:
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
93
8>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>:
cos ϑT|R = ∓Qx
2k
− s
Qz
2k
s
(2k)2
Q2
x + Q2z
− 1,
cos θ(T|R)
m,n = ∓mλ
2dφ
− sn
s
d2
φ
(mdz)2 + (ndφ)2
−
λ
2dz
2
,
cos θ(R)
m = cos ϑT +
mλ
dφ
.
(18)
Заметим, что если конфигурации углов (ϑT , ϑR) соответ-
ствует вектор дифракции ⃗Q
, то нетрудно убедиться, что
конфигурации углов (ϑ′
T , ϑ′
R), где
ϑ′
T = π − ϑR, ϑ′
R = π − ϑT (19)
соответствует тот же вектор дифракции ⃗Q
.
5. Карты обратного пространства
Картирование интенсивности рассеяния (RSM —
reciprocal space mapping), когда строится двумерная карта
контуров равных интенсивностей в логарифмическом мас-
штабе в координатах обратного пространства, является
важным методом анализа дифракционных данных. В ка-
честве пары координат выбирают (Qy,Qx), (Qy,Qz) или
(Qx,Qz). Исследование некомпланарной дифракции по-
верхностных дифракционных решеток методом малоугло-
вого рассеяния при скользящем падении пучка (GISAXS —
grazing-incidence small-angle scattering) с помощью RSM
можно найти в ряде работ [4–9]. На примере (11) проана-
лизируем положение дифракционных отражений на RSM,
представленных на рис. 6. На картах обратного простран-
ства точкам соответствуют дифракционные отражения при
угле ϑT ≈ 12.5◦, указаны числа m. Точечными линиями
показано, как меняются положения дифракционных отра-
жений в обратном пространстве при смене угла ϑT . Эти
линии принято называть усеченными стержнями дифрак-
ционной решетки (GTR – grating truncation rod). Если ди-
фракционные отражения на картах (Qy,Qx) (рис. 6 a) вы-
строены в линию, то дифракционные отражения на картах
(Qy,Qz) (рис. 6 b) лежат на дуге, которую можно описать
каноническим уравнением эллипса:
(Qy + k cos ϑT sin(2φ)/2)2
(k sin φ)2
1 − cos2 ϑT sin2 φ
+
+
(Qz + k sin ϑT )2
k2
1 − cos2 ϑT sin2 φ
= 1.
(20)
Из (20) следует, что, зная экспериментальный угол ϑT
и точки (Qy,Qz) на линии дуги дифракционных отраже-
ний, можно попытаться восстановить угол азимутального
поворота φ.
Рисунок 6. Примеры карт обратного пространства. Точками показаны ди-
фракционные отражения для угла ϑT ≈ 12.5◦, точечными линиями —
положения дифракционных отражений при смене угла ϑT ; цифрами ука-
заны числаm.
Figure 6. The examples of reciprocal space maps. Dots show diffraction reflections
for angle ϑT ≈ 12.5◦, dotted lines show positions of diffraction
reflections when the angle changes; numbers indicatem.
Заключение
Применяя к МДР аналогичное условие Вульфа-Брэг-
га, записанное для кристаллов в векторном виде, в ра-
боте были получены углы Брэгга МДР в некомпланарной
дифракции. Условие брэгговского отражения МДР опре-
деляется тремя углами. При углах Брэгга должно наблю-
даться сильное дифракционное отражение. Однако закон
Брэгга не учитывает эффект преломления рентгеновских
лучей в МДР и конечного углового интервала дифракци-
онного отражения. Понятно, что в этом случае необходи-
мы поправки к углам, учитывающие эти эффекты. Здесь
на помощь приходит закон отражения (15), который поз-
воляет вычислить углы дифракционного отражения, если
угол падающей волны отличается от условия Вульфа-Брэг-
га. Если МДР имеет азимутальный поворот и ее штрихи не
перпендикулярны волновому вектору падающей волны, то
дифракционные отражения с числом m ̸= 0 будут рас-
пределены вдоль образующих линий прямых круговых ко-
нусов. Соответствующая дифракционному отражению об-
ласть обратного пространства (6) представляет собой по-
ловинку тора, из торцов которого исключены полусферы.
Радиусы окружности и оси вращения тора, а также ради-
ус полусфер равны волновому числу падающей волны. Это
приводит к тому, что для МДР так же, как и для кристаллов,
существуют запрещенные и разрешенные дифракционные
порядки. Одному и тому же дифракционному порядку со-
ответствуют две разные конфигурации углов падающей и
отраженной волн.
94
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Исследование выполнено при финансовой поддержке
Министерства науки и высшего образования России в рам-
ках соглашения N 075-15-2021-1351.
1. Sammar, A. Diffraction of multilayer gratings and zone plates in the X-ray region using the Born approximation / Sammar, J.-M. André // J. of the Optical Society of America A-optics Image Science and Vision. - 1993. - Vol. 10. - P. 600-613.
2. Yang, X. Design of a multilayer-based collimated planegrating monochromator for tender X-ray range / X. Yang, H. Wang, M. Hand, K. Sawhney, B. Kaulich [et al.] // J. of Synchrotron Radiation. - 2017. - Vol. 24, № 1. - P. 168-174.
3. Yefanov, O. Accessible reciprocal-space region for noncoplanar Bragg and Laue geometries / O. Yefanov // J. of Applied Crystallography. - 2008. - Vol. 41. - P. 110-114.
4. Mikulík, P. Coplanar and non-coplanar X-ray reflectivity characterization of lateral W/Si multilayer gratings / P. Mikulík, M. Jergel, T. Baumbach, E. Majková, E. Pinčík [et al.] // J. of Physics D: Applied Physics. - 2001. - Vol. 34. - P. A188-A192.
5. Rueda, D. Grazing-incidence small-angle X-ray scattering of soft and hard nanofabricated gratings / D. Rueda, Martín-Fabiani, M. Soccio, N. Alayo, F. Pérez-Murano [et al.] // J. of Applied Crystallography. - 2012. - V. 45. - P. 1038-1045.
6. Wernecke, J. Direct structural characterisation of line gratings with grazing incidence small-angle X-ray scattering / J. Wernecke, F. Scholze, M. Krumrey // Review of Scientific Instruments. - 2012. - Vol. 83, № 10, - 103906.
7. Suh, H.S. Characterization of the shape and line-edge roughness of polymer gratings with grazing incidence small-angle X-ray scattering and atomic force microscopy / H.S. Suh, X. Chen, P.A. Rincon-Delgadillo, Z. Jiang, J. Strzalka [et al.] // J. of Applied Crystallography. 2016. - Vol. 49, № 3. - P. 823-834.
8. Pflüger, M. Grazing incidence small angle X-Ray scattering (GISAXS) on small targets using large beams / M. Pflüger, V. Soltwisch, J. Probst, F. Scholze, M. Krumrey // IUCrJ. - 2017. - Vol. 4. - P. 431-438.
9. Soltwisch, V. Reconstructing detailed line profiles of lamellar gratings from GISAXS patterns with a Maxwell solver / V. Soltwisch, A. Fernández Herrero, M. Pflüger, Haase, J. Probst [et al.] // J. of Applied Crystallography 2017. - Vol. 50, № 5. - P. 1524-1532.
