Россия
Исследовано обратное пространство многослойной ди- фракционной решетки в некомпланарной геометрии ди- фракции. Выписаны прямые и обратные соотношения меж- ду углами волновых векторов и координатами обратного пространства. Записаны углы брэгговского и дифракцион- ного отражений. На примере продемонстрированы конусы дифракции и карты обратного пространства.
многослойная дифракционная решетка, условие Вульфа- Брэгга, конус дифракции, карты обратного пространства
Введение
Известные и простые условия дифракции Вульфа-
Брэгга рентгеновских лучей в кристаллах основываются
на принципе конструктивной интерференции и законе от-
ражения. Похожие условия брэгговской дифракции мож-
но записать для многослойных дифракционных решеток
(далее — МДР). Их можно найти в ряде работ, например
в [1, 2]. Однако они посвящены компланарной дифракции.
Настоящая статья призвана восполнить этот пробел для
некомпланарной дифракции рентгеновских лучей в МДР.
На рис. 1 представлена схема некомпланарной дифракции.
Введем систему координат: пусть оси x и y направлены
вдоль поверхности МДР, ось z – уходит вглубь. МДР может
иметь произвольный азимутальный поворот вокруг оси z с
углом φ. Период дифракционной решетки обозначим как
dφ, период многослойного рентгеновского зеркала (МРЗ) –
как dz. Считаем, что плоская волна с длиной волны λ и
волновым вектором ⃗kT падает на МДР под углом скольже-
ния ϑT , а отраженная волна распространяется с волновым
вектором ⃗kR, направление которого можем обозначить по-
лярным ϑR и азимутальным φR углами:
8><
>:
⃗kT = k cos ϑT ⃗ex + k sin ϑT ⃗ez,
⃗kR = k cos ϑR cos φR ⃗ex + k cos ϑR sin φR ⃗ey
− k sin ϑR ⃗ez.
(1)
Модуль волновых векторов равен волновому числу в ваку-
уме k = 2π/λ.
Рисунок 1. Схема некомпланарной дифракции рентгеновской волны на
МДР.
Figure 1. Schematic representation of non-coplanar X-ray diffraction on multilayer
grating.
1. Обратное пространство
Рентгенодифракционный анализ кристаллов принято
проводить в обратном пространстве. Исследование обрат-
ного пространства кристаллов некомпланарной дифрак-
ции в Брэгг- и Лауэ-геометрии можно найти в работе [3].
Следуя этой традиции, рассмотрим вектор дифракции ⃗Q
как радиус-вектор обратного пространства МДР:
⃗Q
= ⃗kR −⃗kT . (2)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
91
Запишем определение (2) для каждой проекцииQx|y|z:
8><
>:
Qx = k cos ϑR cos φR − k cos ϑT ,
Qy = k cos ϑR sin φR,
Qz = −k sin ϑT − k sin ϑR.
(3)
Равенства (3) будем называть прямыми соотношения-
ми. Добавим к ним определенное условие:
ϑR = 90◦ ⇒ φR = 0◦. (4)
Углы в уравнениях (3) имеют естественные ограничения:
8><
>:
0◦ < ϑT < 180◦,
0◦ < ϑR < 180◦,
− 90◦ < φR ⩽ 90◦.
(5)
Следовательно, есть ограничения для ⃗Q
:
8><
>:
Q2
x + Q2
y + Q2z
⩽ 2k
p
Q2
x + Q2z
,
(Qx ± k)2 + Q2
y + Q2z
⩾ k2,
Qz ⩽ 0.
(6)
Все множество векторов ⃗Q
, удовлетворяющих условию
(6), назовем областью определения Q уравнений (3). Об-
ласть Q показана на рис. 2. Она имеет форму половины то-
ра, на торцах которого вырезаны две полусферы радиусом
k. Если вектор ⃗Q
принадлежит Q, то возможны обратные
соотношения:
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
cos ϑT = −Qx
2k
C − s
Qz
2k
s
(2k)2
Q2
x + Q2z
− C2,
cos ϑR = S
s
cos ϑT +
Qx
k
2
+
Qy
k
2
,
sin φR =
Qy
k cos ϑR
,
(7)
здесь S = sign(cos ϑT + Qx/k), C = 1 +
Q2
y
Q2
x+Q2
z
.
Рисунок 2. Область определения Q.
Figure 2. The definition region Q.
Уравнения (3) имеют два решения, и знак s = ±1 раз-
личает их. На рис. 3 синими (нижними) векторами показано
решение с s = +1, красными (верхними) — с s = −1.
Рисунок 3. Два решения для ⃗Q
. Одинарной линией показаны углы ϑT ,
двойной — ϑR, тройной — φR.
Figure 3. The two solutions for ⃗Q
. Single lines show angles ϑT , double lines
— ϑR, triple lines — φR.
2. Брэгговские отражения
Периодичности кристаллической решетки в прямом
пространстве соответствует сетка узлов, составленная из
векторов обратной решетки ⃗h, в обратном пространстве.
МДР имеет латеральную и вертикальную периодичность.
Латеральной периодичности МДР сопоставим вектор
⃗hφ = hφ cos φ⃗ex + hφ sin φ⃗ey, (8)
вертикальной —
⃗hz = −hz ⃗ez, (9)
а сетке узлов обратной решетки МДР —
⃗hm,n = m⃗hφ + n⃗hz, (10)
гдеmи n — целые числа, называемые порядками дифрак-
ции. Модули векторов равны hφ|z = 2π/dφ|z.
Рисунок 4. Пример обратной решетки МДР.
Figure 4. The example of a reciprocal lattice of multilayer grating.
На рис. 4 показан пример сетки из узлов⃗hm,n. Цифрами
указаны дифракционные порядки (m, n). Цветом выделе-
ны точки с одинаковымиm. Все точки лежат в одной плос-
кости. В моделировании используем следующие значения
параметров (безразмерные):
dφ = 1, dz = dφ/10, λ =
p
4/2125, φ = 30◦. (11)
92
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
На примере видно, как полусферы разрывают цепоч-
ку узлов с n = 1. В связи с этим можно говорить о раз-
решенных (реализуемых) и запрещенных (нереализуемых)
дифракционных порядках.
Запишем условие Вульфа-Брэгга в векторном виде для
МДР:
⃗Q
= ⃗hm,n. (12)
Из (7) и(12) следуют решения:
8>>>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:
cos θ(T)
m,n = −mλC cos φ
2dφ
+ sn
s
d2
φ
(mdz cos φ)2 + (ndφ)2
−
λC
2dz
2
,
cos θ(R)
m,n = S
s
cos θ(T)
m,n +
mλcos φ
dφ
2
+
+
mλsin φ
dφ
2
,
sin ϕ(R)
m,n =
mλsin φ
dφ cos θ(R)
m,n
.
(13)
Здесь
S = sign
cos θ(T)
m,n +
mλcos φ
dφ
,
C =
(mdz)2 + (ndφ)2
(mhz cos φ)2 + (ndφ)2 .
Если выполняется условие
ϑT = θ(T)
m,n, ϑR = θ(R)
m,n, φR = ϕ(R)
m,n, (14)
то будем говорить, что наблюдается брэгговское отра-
жение в (m, n)-й дифракционный порядок. Заметим:
1) одному и тому же дифракционному порядку соответ-
ствуют две конфигурации углов; 2) брэгговское отражение
некомпланарной дифракции характеризуется тремя угла-
ми Брэгга.
3. Дифракционные отражения и конусы ди-
фракции
Если угол ϑT не соответствует точному условию (14), то,
чтобы найти направление отраженной волны в (m, n)-й
дифракционный порядок, необходимо использовать закон
отражения для МДР:
⃗Q
−⃗hm,n
· ⃗ex|y = 0. (15)
Уравнение (15) сохраняет только тангенциальные компо-
ненты векторов ⃗kT и ⃗kR в условии Вульфа-Брэгга. Из (15)
следует, что
8>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:
cos θ(R)
m = S
s
cos ϑT + m
λ cos φ
dφ
2
+
+
m
λ sin φ
dφ
2
,
sin ϕ(R)
m = m
λ sin φ
dφ cos θ(R)
m
,
(16)
здесь S = sign
cos ϑT + mλcos φ
dφ
. Равенства (16)
определяют углы дифракционного отражения θ(R)
m и ϕ(R)
m .
Эти углы однозначны и не зависят от n. Углы брэгговских
отражений (13) являются частным случаем углов дифрак-
ционных отражений (16): если ϑT = θ(T)
m,n, то θ(R)
m = θ(R)
m,n
и ϕ(R)
m = ϕ(R)
m,n.
Рисунок 5. Пример конусов дифракции и брэгговских отражений отдель-
ных (m, n)-х дифракционных порядков.
Figure 5. The example of diffraction cones and Bragg’s reflections of individual
(m, n)-diffraction orders.
В некомпланарной геометрии волновые векторы диф-
ракционных отражений направлены вдоль образующих
линий прямых круговых конусов. Пример с параметрами
(11) демонстрирует на рис. 5 конусы дифракции. Стрел-
ками указаны волновые вектора ⃗k(T)
m,n и ⃗k(R)
m,n отдельных
брэгговских отражений, цифрами — номера дифракцион-
ных порядков (m, n), цветная заливка конусов — допу-
стимые направления дифракционных отражений. Неком-
планарную дифракцию называют конической дифракци-
ей. Прямой круговой конус дляm-дифракционного поряд-
ка имеет раствор угла при вершине, равный 2αm, где
αm = arccos
m
λ sin φ
dφ
. (17)
Ось конуса лежит на оси y. Если αm < 90◦, то расширение
конуса сонаправлено с осью y; если αm > 90◦, то рас-
ширение будет в противоположную сторону от оси y; если
αm = 90◦, то конус вырождается в диск.
4. Компланарная дифракция
Компланарная дифракция, когда векторы ⃗kT , ⃗kR и ⃗ez
лежат в одной плоскости, является частным случаем
некомпланарной дифракции с углом φ = 0◦. Следователь-
но, Qy = 0 и φR = 0, а основные решения значительно
упрощаются:
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
93
8>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>:
cos ϑT|R = ∓Qx
2k
− s
Qz
2k
s
(2k)2
Q2
x + Q2z
− 1,
cos θ(T|R)
m,n = ∓mλ
2dφ
− sn
s
d2
φ
(mdz)2 + (ndφ)2
−
λ
2dz
2
,
cos θ(R)
m = cos ϑT +
mλ
dφ
.
(18)
Заметим, что если конфигурации углов (ϑT , ϑR) соответ-
ствует вектор дифракции ⃗Q
, то нетрудно убедиться, что
конфигурации углов (ϑ′
T , ϑ′
R), где
ϑ′
T = π − ϑR, ϑ′
R = π − ϑT (19)
соответствует тот же вектор дифракции ⃗Q
.
5. Карты обратного пространства
Картирование интенсивности рассеяния (RSM —
reciprocal space mapping), когда строится двумерная карта
контуров равных интенсивностей в логарифмическом мас-
штабе в координатах обратного пространства, является
важным методом анализа дифракционных данных. В ка-
честве пары координат выбирают (Qy,Qx), (Qy,Qz) или
(Qx,Qz). Исследование некомпланарной дифракции по-
верхностных дифракционных решеток методом малоугло-
вого рассеяния при скользящем падении пучка (GISAXS —
grazing-incidence small-angle scattering) с помощью RSM
можно найти в ряде работ [4–9]. На примере (11) проана-
лизируем положение дифракционных отражений на RSM,
представленных на рис. 6. На картах обратного простран-
ства точкам соответствуют дифракционные отражения при
угле ϑT ≈ 12.5◦, указаны числа m. Точечными линиями
показано, как меняются положения дифракционных отра-
жений в обратном пространстве при смене угла ϑT . Эти
линии принято называть усеченными стержнями дифрак-
ционной решетки (GTR – grating truncation rod). Если ди-
фракционные отражения на картах (Qy,Qx) (рис. 6 a) вы-
строены в линию, то дифракционные отражения на картах
(Qy,Qz) (рис. 6 b) лежат на дуге, которую можно описать
каноническим уравнением эллипса:
(Qy + k cos ϑT sin(2φ)/2)2
(k sin φ)2
1 − cos2 ϑT sin2 φ
+
+
(Qz + k sin ϑT )2
k2
1 − cos2 ϑT sin2 φ
= 1.
(20)
Из (20) следует, что, зная экспериментальный угол ϑT
и точки (Qy,Qz) на линии дуги дифракционных отраже-
ний, можно попытаться восстановить угол азимутального
поворота φ.
Рисунок 6. Примеры карт обратного пространства. Точками показаны ди-
фракционные отражения для угла ϑT ≈ 12.5◦, точечными линиями —
положения дифракционных отражений при смене угла ϑT ; цифрами ука-
заны числаm.
Figure 6. The examples of reciprocal space maps. Dots show diffraction reflections
for angle ϑT ≈ 12.5◦, dotted lines show positions of diffraction
reflections when the angle changes; numbers indicatem.
Заключение
Применяя к МДР аналогичное условие Вульфа-Брэг-
га, записанное для кристаллов в векторном виде, в ра-
боте были получены углы Брэгга МДР в некомпланарной
дифракции. Условие брэгговского отражения МДР опре-
деляется тремя углами. При углах Брэгга должно наблю-
даться сильное дифракционное отражение. Однако закон
Брэгга не учитывает эффект преломления рентгеновских
лучей в МДР и конечного углового интервала дифракци-
онного отражения. Понятно, что в этом случае необходи-
мы поправки к углам, учитывающие эти эффекты. Здесь
на помощь приходит закон отражения (15), который поз-
воляет вычислить углы дифракционного отражения, если
угол падающей волны отличается от условия Вульфа-Брэг-
га. Если МДР имеет азимутальный поворот и ее штрихи не
перпендикулярны волновому вектору падающей волны, то
дифракционные отражения с числом m ̸= 0 будут рас-
пределены вдоль образующих линий прямых круговых ко-
нусов. Соответствующая дифракционному отражению об-
ласть обратного пространства (6) представляет собой по-
ловинку тора, из торцов которого исключены полусферы.
Радиусы окружности и оси вращения тора, а также ради-
ус полусфер равны волновому числу падающей волны. Это
приводит к тому, что для МДР так же, как и для кристаллов,
существуют запрещенные и разрешенные дифракционные
порядки. Одному и тому же дифракционному порядку со-
ответствуют две разные конфигурации углов падающей и
отраженной волн.
94
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 4 (62), 2023
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Исследование выполнено при финансовой поддержке
Министерства науки и высшего образования России в рам-
ках соглашения N 075-15-2021-1351.
1. Sammar, A. Diffraction of multilayer gratings and zone plates in the X-ray region using the Born approximation / Sammar, J.-M. André // J. of the Optical Society of America A-optics Image Science and Vision. - 1993. - Vol. 10. - P. 600-613.
2. Yang, X. Design of a multilayer-based collimated planegrating monochromator for tender X-ray range / X. Yang, H. Wang, M. Hand, K. Sawhney, B. Kaulich [et al.] // J. of Synchrotron Radiation. - 2017. - Vol. 24, № 1. - P. 168-174.
3. Yefanov, O. Accessible reciprocal-space region for noncoplanar Bragg and Laue geometries / O. Yefanov // J. of Applied Crystallography. - 2008. - Vol. 41. - P. 110-114.
4. Mikulík, P. Coplanar and non-coplanar X-ray reflectivity characterization of lateral W/Si multilayer gratings / P. Mikulík, M. Jergel, T. Baumbach, E. Majková, E. Pinčík [et al.] // J. of Physics D: Applied Physics. - 2001. - Vol. 34. - P. A188-A192.
5. Rueda, D. Grazing-incidence small-angle X-ray scattering of soft and hard nanofabricated gratings / D. Rueda, Martín-Fabiani, M. Soccio, N. Alayo, F. Pérez-Murano [et al.] // J. of Applied Crystallography. - 2012. - V. 45. - P. 1038-1045.
6. Wernecke, J. Direct structural characterisation of line gratings with grazing incidence small-angle X-ray scattering / J. Wernecke, F. Scholze, M. Krumrey // Review of Scientific Instruments. - 2012. - Vol. 83, № 10, - 103906.
7. Suh, H.S. Characterization of the shape and line-edge roughness of polymer gratings with grazing incidence small-angle X-ray scattering and atomic force microscopy / H.S. Suh, X. Chen, P.A. Rincon-Delgadillo, Z. Jiang, J. Strzalka [et al.] // J. of Applied Crystallography. 2016. - Vol. 49, № 3. - P. 823-834.
8. Pflüger, M. Grazing incidence small angle X-Ray scattering (GISAXS) on small targets using large beams / M. Pflüger, V. Soltwisch, J. Probst, F. Scholze, M. Krumrey // IUCrJ. - 2017. - Vol. 4. - P. 431-438.
9. Soltwisch, V. Reconstructing detailed line profiles of lamellar gratings from GISAXS patterns with a Maxwell solver / V. Soltwisch, A. Fernández Herrero, M. Pflüger, Haase, J. Probst [et al.] // J. of Applied Crystallography 2017. - Vol. 50, № 5. - P. 1524-1532.
