Saint Petersburg, Russian Federation
The paper proposes the derivation of 25 combinatorial-geometric kinds of tetrahedrons belonging to 8 point symmetry groups. Among them are 3 simple forms: cubic (-43m), tetragonal (-42m) and rhombic (222) tetrahedrons; and 5 combinations: trigonal pyramid and monohedron (3m), 2 planar dihedrons (mm2, 2 kinds), 2 axial dihedrons (2, 3 kinds), planar dihedron and 2 monohedrons (m, 5 kinds), 4 monohedrons (1, 11 kinds). It is shown that tetrahedrons with symmetry 23, -4 and 3 — subgroups of the point symmetry group of the cubic tetrahedron — are impossible. The example is recommended for consideration in the course of crystallography on «simple forms and their combinations».
tetrahedron, simple form, combinatorial geometric kind, combination of simple forms, symmetry point group
Введение
Подоплека этой статьи такова. Как-то после лекции о простых формах и их комбинациях к нам подошел студент-геолог и заявил: вы-де сказали, что есть только три тетраэдра (кубический, тетрагональный и ромбический), а я вот нарисовал четвертый, и, кажется, возможны другие. В конспекте лекций был изображен тетраэдр с разными гранями (длины ребер были помечены разными штрихами). Пришлось предложить студенту обдумать определение простой формы еще раз и пообещать вернуться к вопросу о разнообразии тетраэдров в начале следующей лекции. Тема действительно обойдена в учебниках кристаллографии (Попов, Шафрановский, 1964; Чупрунов и др., 2004). Справедливости ради — при изложении теории простых форм и комбинаций она с необходимостью не возникает. Но отдадим должное любопытному студенту за неожиданный вопрос.
Как выпуклый многогранник (комбинаторно) тетраэдр уникален. Из его имени строго выводимо, что все 4 грани — треугольники, сходящиеся по 3 в каждой из 4 вершин. Но метрическое разнообразие тетраэдров бесконечно. Форму каждого можно зафиксировать (с точностью до энантиоморфизма) величинами трех ребер, исходящих из одной вершины, и углов между ними. Длины ребер положительны, непрерывны, неограничены и независимы. Углы положительны, непрерывны, ограничены (< 180°) и зависимы в сумме (<360°). Итак, форма тетраэдра задана координатной точкой в 6-мерном континууме, равномощном 1-мерному (Кантор, 1985). А все же натуральных чисел (счетной бесконечности) не хватит, чтобы их пронумеровать.
Перечисление
Перечисление тетраэдров по точечным группам симметрии (т. г. с.) интересно уже тем, что позволяет построить их систему в промежутке между «одним» и «бесконечно многим». Здесь видна философская подоплека кристаллографии, на которую тоже следует обращать внимание студентов. Но сосредоточимся на вопросе. Алгоритм перечисления состоит в следующем. Всякая т. г. с. подразумевает автоморфизмы, отображающие однородные элементы тетраэдра друг в друга, при этом грани могут быть 3 типов: равносторонние, равнобедренные и разносторонние. Их набор кодируется тремя числами. Так, кубический тетраэдр получает код [400], тетрагональный — [040], ромбический — [004]. Всего можно составить 15 таких (комбинаторных) кодов: [400], [310], [301], [220], [211], [202], [130], [121], [112], [103], [040], [031], [022], [013], [004]. Четыре из них (зачеркнуты) противоречивы: 3 равносторонние грани требуют такой же четвертой — получаем тетраэдр [400]; 2 равносторонние требуют две равнобедренные — получаем тетраэдр [220].
Перебор остальных вариантов удобно вести в порядке «убывания»: с равносторонними гранями, потом без них, но с равнобедренными, наконец, только с разносторонними. Восстановим ли тетраэдр по коду? Не всегда: [400] — заведомо кубический, но [040] — не обязательно тетрагональный. В одном типе следует различать (совместимо или зеркально) равные и разные грани. Так, в форме [0.2 + 2.0] есть 2 пары равнобедренных граней, в [0.2 + 1 + 1.0] — пара и 2 уникальные. Всего таких (комбинаторно-геометрических) символов можно составить 51. На рис. 1 даны только геометрически реализуемые варианты. Ребра равной (разной) длины отмечены одинаковыми (разными) буквами.
Характеристика
Тетраэдры охарактеризованы комбинаторно-геометрическими кодами и т. г. с. в таблице 1. Их взаимно-однозначное соответствие имеет место лишь для самых симметричных форм: кубического, тетрагонального, ромбического тетраэдров и комбинации тригональной пирамиды с моноэдром. Для них коды могут служить именами. В других случаях код характеризует тетраэдр точнее, чем т. г. с. Лишь для кода [0.2 + 2.0] возможны два тетраэдра с т. г. с. mm2 (№ 16) и 2 (№ 11) (выделены в табл.). Итого тетраэдров с т. г. с. mm2 — 2, т. г. с. 2 — 3, т. г. с. m — 5, т. г. с. 1 — 11. При этом 8 т. г. с. относятся к 6 из 7 (без гексагональной) сингониям с ростом числа форм к низкосимметричным: кубической, тетрагональной и тригональной — по 1, ромбической — 3, моноклинной — 8, триклинной — 11 (табл. 1).
Исключения
Нетрудно заметить, что все т. г. с. в таблице — это подгруппы т. г. с. -43m кубического тетраэдра (Вайнштейн, 1979). Но почему среди них нет т. г. с. 3, 23 и -4 (рис. 2)? Понять это несложно. В случае т. г. с. 3 ось симметрии L3 тетраэдра должна проходить через вершину и центр противоположной грани. Но тогда она равносторонняя, а боковые грани равнобедренные — получаем тетраэдр [130] (3m). В случае т. г. с. 23 (3L24L3) повторим рассуждение для 4L3 и получим тетраэдр [400] (-43m). В случае т. г. с. -4 инверсионная ось Li4 проходит через середины двух ребер, которые отождествляет. Она же уравнивает 4 других ребра — получаем тетраэдр [040] (-42m).
По сути, построить тетраэдры с т. г. с. 3, 23 и -4 не позволяет малое число граней, к тому же все треугольные. Ранее на многообразиях выпуклых 4-…12-эдров и простых 13-…16-эдров показано, что при большем числе граней разные соединения даже одного набора могут давать огромное число комбинаторно различных полиэдрических форм (Войтеховский, Степенщиков, 2008).
Заключение
Рассмотренная задача о тетраэдрах хороша уже тем, что на простом примере показывает студентам стиль решения перечислительных задач, приведших к фундаментальным константам: 14 решеток О. Браве (ранее их нашел М. Франкенгейм, но — увы — 15, а не 14), 32 т. г. с. — А. В. Гадолина (ранее их нашел И. Гессель, но результат был надолго забыт), 47 простых форм и 230 пространственных групп симметрии Е. С. Федорова — А. Шенфлиса (оба поначалу ошиблись на 2—3 группы, но указали друг другу на это в переписке) и многие другие в высших разделах кристаллографии (многомерной и цветной). Одним словом, на этом примере всякий студент может проверить, годится ли он для работы в этой области.
Казалось бы, что может быть проще тетраэдра? Но напомним, что именно на нем О. Браве увидел инверсионную ось симметрии (Li4), о которой до того геометры не знали более 2000 лет. В кристаллографии и кристаллохимии тетраэдр — незаменимая фигура. Задолго до их становления тетраэдр можно видеть в первых средневековых энциклопедиях по естественным наукам (рис. 3). А он все продолжает ставить перед нами вопросы. Представляется, что вывод комбинаторно-геометрических видов тетраэдров поможет студентам прочно усвоить концепцию простых форм и их комбинаций.
1. Weinstein B. K. Modern crystallography. V. 1. Symmetry of crystals, methods of structural crystallography. Moscow: Nauka, 1979, 384 p. (in Russian)
2. Voytekhovsky Yu. L., Stepenschikov D. G. Combinatorial crystal morphology. Book IV: convex polyhedra. V. 1: 4-…12-hedra, vol. 2: simple 13-…16-hedra. Apatity: Kola SC RAS, 2008, V. 1, 833 p., V. 2, 828 p. (in Russian)
3. Cantor G. Works on set theory. Moscow: Nauka, 1985, 430 p. (in Russian)
4. Popov G. M., Shafranovsky I. I. Crystallography. Moscow: Vysshaya shkola, 1964, 370 p. (in Russian)
5. Chuprunov E. V., Khokhlov A. F., Faddeev M. A. Fundamentals of Crystallography. Moscow: Fizmatlit, 2004, 500 p. (in Russian)
