Russian Federation
Russian Federation
Contractions of gauge models with orthogonal Cayley-Klein groups SO(2; ϵ), SO(3; ϵ), unitary groups SU(2; ϵ) as gauge groups are studied. In the limit of zero contraction parameters, orthogonal groups are isomorphic to the nonsemisimple Euclidean and Newton groups of the corresponding dimension, and the spaces of matter fields become fibered spaces with a degenerate metric. Particular attention is paid to the coordination of spontaneous symmetry breaking with the group contraction procedure. It is shown that contracted gauge theories describe the same set of fields with the same masses as theories with the original simple groups, if the chosen vacuum in the corresponding limit belonged to the base of the fibered space of matter fields. Lagrangians of the models depending on the contraction parameters are obtained, which makes it possible to trace the order of zeroing of terms in the Lagrangians as the contraction parameters tend to zero.
orthogonal Cayley-Klein groups, unitary Cayley-Klein group, contraction of the gauge group, spontaneous symmetry breaking
Введение
Калибровочные теории были предложены Янгом
и Миллсом в 1954 г. [1] и в настоящее время рассматрива-
ются как наиболее успешный метод описания фундамен-
тальных взаимодействий в физике частиц, где в основном
используются компактные полупростые группы. Напри-
мер, единое описание электромагнитных и слабых взаимо-
действий в рамках стандартной модели Вайнберга–Сала-
ма [2,3] основано на калибровочной группе SU(2)×U(1).
Наппи и Виттеном было замечено [4], что можно рас-
сматривать калибровочные теории и для неполупростых
групп, обладающих невырожденной инвариантной били-
нейной формой. Такие теории имеют более простую струк-
туру по сравнению со стандартными моделями с полупро-
стыми калибровочными группами. Позже появились рабо-
ты [5, 6], в которых рассматривались калибровочные тео-
рии, отвечающие различным неполупростым группам. Кон-
тракции стандартной электрослабой модели Вайнберга–
Салама к калибровочной группе SU(2; ϵ)×U(1) описаны
в [7].
В данной работе рассматривается механизм спонтан-
ного нарушения симметрии (механизм Хиггса) для калиб-
ровочных моделей, основанных на неполупростых группах.
Такие группы в фундаментальном представлении явля-
ются группами преобразований расслоенных пространств
с вырожденной метрикой и могут быть получены из
классических простых групп контракциями (предельны-
ми переходами). Последовательность обнуления слагае-
мых лагранжиана в процессе предельного перехода зада-
ется явной зависимостью лагранжиана от параметра кон-
тракции.
28
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
1. Калибровочная теория для группы SO(2; ϵ).
1.1. Единое описание модели. Рассмотрим преобразо-
вание SO(2) калибровочной модели в галилееву калиб-
ровочную теорию с помощью контракции группы враще-
ний в группу Галилея. Пространство Φ2(ϵ) и группа G2 =
SO(2; ϵ) Галилея могут быть получены из евклидовой
плоскости Φ2 и группы SO(2) введением параметра кон-
тракции ϵ и заменами ϕ2 → ϵϕ2, α → ϵα, при ϵ → 0.
Калибровочные преобразования
(
ϕ′
1(x)
ϵϕ′
2(x)
)
=
=
(
cos ϵα(x) sin ϵα(x)
−sin ϵα(x) cos ϵα(x)
)(
ϕ1(x)
ϵϕ2(x)
)
(1)
оставляют инвариантной форму ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21
+ ϵ2ϕ22
,
которая при ϵ = 1 определяет евклидову метрику в про-
странстве Φ2.
Чтобы проследить поведение слагаемых при переходе
к пределу, введем параметр ϵ в стандартный лагранжи-
ан [8]
L(ϵ) = −ϵ2 1
4
FμνFμν +
1
2
[
(Dμϕ1)2 + ϵ2(Dμϕ2)2]
−
−λ
4
[
(ϕ21
+ ϵ2ϕ22
)2 − v2]2
, (2)
где ковариантные производные даны соотношением
Dμϕ(ϵ) = ∂μϕ(ϵ) + ϵeAμTϕ(ϵ),
(
Dμϕ′
1
ϵDμϕ′
2
)
=
(
∂μ ϵeAμ
−ϵeAμ ∂μ
)(
ϕ1
ϵϕ2
)
, (3)
т. е.
Dμϕ1 = ∂μϕ1 + ϵ2eAμϕ2,
Dμϕ2 = ∂μϕ2 − eAμϕ1. (4)
Механизм спонтанного нарушения симметрии (меха-
низм Хиггса [9]) – это способ наделить массой калибро-
вочные поля. Лагранжиан (2) имеет набор основных со-
стояний, которые достигаются при нулевых векторных по-
лях Aμ = 0 и ковариантно постоянных полях мате-
рии Dμϕ = 0, обеспечивающих минимум потенциала
V (ϕ(ϵ)) = [ϕ21
+ ϵ2ϕ22
− v2]2, т. е.
ϕ21
+ ϵ2ϕ22
= v2, v =
√μ
λ
. (5)
Все основные состояния (рис. 1) (при ϵ ̸= 0) можно полу-
чить с помощью калибровочных преобразований из одного
из них, например,
ϕvac =
(
v
0
)
, v =
√μ
λ
, (6)
отвечающего точке A(v, 0) на рис. 1.
ϕ2
ϕ1
χ
B(0, v/ε)
A(v, 0)
Рисунок 1. Эллипс вакуумов лагранжиана L(ϵ).
Figure 1. Ellipse of vacua of the Lagrangian L(ϵ).
Рассмотрим малые возбуждения χ(x) компоненты по-
ля ϕ1(x) относительно выбранного вакуума ϕ1(x) = v +
χ(x) (рис. 1). За счет калибровочных преобразований (1)
компонента ϕ2(x) становится отличной от нуля. Подста-
новка поля материи ϕ =
(
v + χ
ϵϕ2
)
приводит лагран-
жиан к виду
L(ϵ) = Lb + ϵ2Ls,
Lb =
1
2
(∂μχ)2 − μ2χ2 −
√
λμχ3 − λ
4
χ4,
Ls = −1
4
B2
μν +
e2v2
2
B2μ
+ eAμ (ϕ2∂μχ − χ∂μϕ2)+
+vχ
(
e2A2
μ
− λϕ22
)
+
1
2
χ2(e2A2
μ
− λ
2
ϕ22
), (7)
где Bμ = Aμ − 1
ev ∂μϕ2 – калибровочное векторное поле
с массой mB = ev = √eμ
λ
, χ – скалярное поле (хиггсов-
ский бозон) с массой mχ = μ2, а также включены сла-
гаемые, описывающие взаимодействия полей. При малых
ϵ поле ϕ2 за счет калибровочных преобразований связа-
но с вакуумом соотношением ϕ2(x) = α(x)(v + χ(x)).
Вводя векторное поле ˆBμ = Aμ − 1
ev ∂μα, преобразуем
лагранжиан Ls к виду, содержащему только поле ˆBμ и его
взаимодействия с полем χ
Ls = −1
4
ˆB
2
μν +
e2v2
2
ˆB
2μ
+ ve2χˆB
2μ
+
e2
2
χ2 ˆB
2μ
. (8)
Теория с калибровочной группой SO(2; ϵ) может быть
получена из теории с группой SO(2) подстановкой
v → v, ϕ1 → ϕ1, ϕ2 → ϵϕ2,
Aμ → ϵAμ, Fμν → ϵFμν. (9)
1.2. Калибровочная модель для группы Галилея G2.
Теория с калибровочной группой Галилея G2 получается
из теории с группой SO(2) переходом к пределу ϵ → 0.
В этом пределе пространство полей материи Φ2 превра-
щается в двумерное тривиально расслоенное простран-
ство Φ2(ϵ), в котором ось {ϕ1} есть одномерная база,
а ось {ϕ2} представляет одномерный слой. Инвариант
ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21
+ ϵ2ϕ22
распадается на два инвариан-
та : inv1 = ϕ21
относительно общих преобразований (1)
ϕ′
1 = ϕ1, ϕ′
2 = ϕ2 − αϕ1 и inv2 = ϕ22
относитель-
но только дискретных преобразований ϕ′
2 = ±ϕ2 в слое
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
29
(ϕ1 = 0). Поэтому в пространстве Галилея есть две мет-
рики: одна в базе, а другая в слое. Учтем в дальнейшем эту
особенность.
Пучок прямых, проведенных через точку, на этих двух
плоскостях имеет разные свойства относительно автомор-
физмов плоскости [10]. На евклидовой плоскости любые
две прямые пучка совмещаются друг с другом вращени-
ями вокруг точки (рис. 2). На плоскости Галилея (рис. 3) в
пучке есть одна изолированная прямая, которая не совме-
щается с любой другой прямой пучка вращениями вокруг
точки, т. е. преобразованиями Галилея.
ϕ2
ϕ1
Рисунок 2. Пучок прямых на плоскости Евклида E2.
Figure 2. Bundle of lines on the Euclidean plane E2.
ϕ2
ϕ1
Рисунок 3. Пучок прямых на плоскости Галилея G2.
Figure 3. Bundle of lines on the Galilean plane G2.
Если интерпретировать эти плоскости в некотором фи-
зическом контексте, тогда на евклидовой плоскости все
прямые должны иметь одну и ту же физическую размер-
ность [ϕ1] = [ϕ2]. На плоскости Галилея имеется беско-
нечно много прямых с той же физической размерностью,
что и размерность базы [ϕ1] и одна изолированная пря-
мая, имеющая некоторую другую размерность [ϕ2] ̸= [ϕ1]
[11]. Например, при интерпретации пространства Галилея
как пространства-времени классической физики база рас-
сматривается как ось времени и имеет размерность [сек],
а слой моделирует собственно пространство и имеет раз-
мерность [см].
Представления (7), (8) указывают порядок стремления
к нулю слагаемых в лагранжиане при переходе к пределу
ϵ → 0. Вначале считаем малым лагранжиан Ls, пропор-
циональный ϵ2, затем в остатке получаем поле χ в базе
(рис. 4) с лагражианом Lb = Lχ. Можно рассматривать
и обратный процесс восстановления полей и взаимодей-
ствий при изменении параметра контракции ϵ от нуля до
единицы.
ϕ2
ϕ1
χ
A(v, 0)
Рисунок 4. Основные состояния модели с калибровочной группой Галилея
G2.
Figure 4. Ground states of the model with the Galileo gauge group G2.
Другой выбор основного состояния отвечает точке
B(0, v
ϵ ) на рис. 1. В пределе ϵ → 0 она попадает в слой
ϕ1 = 0, ϕ2 и описывается вектором ϕvac = (0, ϵ v
ϵ )t =
(0, v)t. Лагранжиан (2) в слое инвариантен только относи-
тельно дискретной калибровочной симметрии ϕ2 → −ϕ2.
Малые возбуждения ξ поля ϕ2 в окрестности этого вакуума
описываются полем материи вида (рис. 5)
ϕ(x) =
(
0
v + ϵξ(x)
)
, v =
√μ
λ
. (10)
Подставив его в общий лагранжиан (2), получим лагранжи-
ан в слое
L(ϵ) = ϵ2Lf =
= ϵ2
[
1
2
(∂μξ)2 − μ2ξ2 − ϵ
√
λμξ3 − ϵ2 λ
4
ξ4
]
. (11)
ϕ2
ξ
V (ϕ2)
ϕ2
−v
ϵ
v
ϵ
v
ϵ
−v
ϵ 0
Рисунок 5. Потенциал V (ϕ2) и основные состояния лагранжиана в слое
(ϕ1 = 0, ϕ2).
Figure 5. Potential V (ϕ2) and ground states of the Lagrangian in fiber
(ϕ1 = 0, ϕ2).
Лагранжианы в базе Lχ (7) и слое Lf (11) имеют оди-
наковый вид, совпадающий с формулой (5.8) в моногра-
фии [8] для лагранжиана возмущений скалярного поля φ
с дискретной симметрией φ → −φ. Лагранжиан Lχ (7)
не инвариантен относительно замены χ → −χ, так же
как Lf (11) не инвариантен относительно замены ξ → −ξ,
поскольку основные состояния не инвариантны. След сим-
метрии φ → −φ в лагранжианах Lχ, Lf остался в виде
соотношения между массой поля μ2 и константами кубич-
ного и четверного взаимодействий. Таким образом, в ка-
либровочной теории с группой Галилея G2 поле материи
(хиггсовский бозон) χ в базе и калибровочное поле Bμ
в слое представляют физически разные поля с разными
30
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
физическими размерностями, подобно тому, как время (ба-
за) и пространство (слой) в пространстве-времени Галилея
являются разными физическими сущностями. Тем не менее
размерности масс хиггсовского бозона mχ =
√
2μ и век-
торного бозона mB = ev = √eμ
λ
одинаковы и в точности
таковы же, как и в неконтрактированной SO(2) калибро-
вочной теории.
В калибровочной теории с группой SO(2; ϵ) при ϵ ̸= 0
в качестве вакуума можно выбрать любое основное со-
стояние на эллипсе рис. 1. Однако для того, чтобы полу-
чить теорию с полной, зависящей от одного вещественно-
го параметра группой Галилея G2 при переходе к пределу
ϵ → 0, необходимо, чтобы выбранный вакуум принадле-
жал базе в этом пределе (см. рис. 4). Если же вакуум мо-
дели отвечает, например, точке B на рис. 1, то в пределе
получаем модель с дискретной симметрией, являющейся
дискретной подгруппой исходной калибровочной группы.
2. Калибровочные теории с группами SO(3; ϵ)
2.1. Единая калибровочная модель. Ортогональная
группа Кэли-Клейна SO(3; ϵ), ϵ = (ϵ1, ϵ2) определя-
ется [11] как группа преобразований вещественного про-
странства Φ3(ϵ), оставляющая инвариантной квадратич-
ную форму
ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21
+ ϵ21
ϕ22
+ ϵ21
ϵ22
ϕ23
. (12)
Калибровочные преобразования полей материи ϕ(ϵ) осу-
ществляются элементами ω(x; ϵ) ∈ SO(3; ϵ) в виде
ϕ′(x) = ω(x; ϵ)ϕ(x),
ϕ′
1
ϵ1ϕ′
2
ϵ1ϵ2ϕ′
3
=
=
ω11 ϵ1ω12 ϵ1ϵ2ω13
ϵ1ω21 ω22 ϵ2ω23
ϵ1ϵ2ω31 ϵ2ω32 ω33
ϕ1
ϵ1ϕ2
ϵ1ϵ2ϕ3
. (13)
Здесь контракционные параметры независимо стремятся
к нулю ϵk → 0, k = 1, 2. Генераторы алгебры Ли so(3; ϵ)
имеют вид
T1 =
0 −ϵ1 0
ϵ1 0 0
0 0 0
, T2 =
0 0 −ϵ1ϵ2
0 0 0
ϵ1ϵ2 0 0
,
T3 =
0 0 0
0 0 −ϵ2
0 ϵ2 0
(14)
и удовлетворяют коммутационным соотношениям
[T1, T2] = ϵ21
T3, [T2, T3] = ϵ22
T1, [T3, T1] = T2. (15)
Калибровочные поля принимают значения в алгебре
so(3; ϵ)
Aμ(x) = gTaAa
μ(x) =
= g
0 −ϵ1A1
μ
−ϵ1ϵ2A2
μ
ϵ1A1
μ 0 −ϵ2A3
μ
ϵ1ϵ2A2
μ ϵ2A3μ
0
. (16)
Тензор напряженности
Fμν(x) = ∂μAν(x) − ∂νAμ(x) + [Aμ(x),Aν(x)] =
= gTaFa
μν(x) (17)
в компонентах имеет вид
F1
μν = ∂μA1
ν
− ∂νA1
μ + ϵ22
g(A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν),
F2
μν = ∂μA2
ν
− ∂νA2
μ + g(A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν),
F3
μν = ∂μA3
ν
− ∂νA3
μ + ϵ21
g(A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν). (18)
Ковариантная производная задается соотношением
Dμϕ(ϵ) = [∂μ + gT(Aμ)]ϕ(ϵ) или в матричном виде
Dμϕ1
ϵ1Dμϕ2
ϵ1ϵ2Dμϕ3
=
=
∂μ −ϵ1gA1
μ
−ϵ1ϵ2gA2
μ
ϵ1gA1
μ ∂μ −ϵ2gA3
μ
ϵ1ϵ2gA2
μ ϵ2gA3
μ ∂μ
ϕ1
ϵ1ϕ2
ϵ1ϵ2ϕ3
(19)
и действует на компоненты поля ϕ(ϵ) по формулам
Dμϕ1 = ∂μϕ1 − gϵ21
(A1
μϕ2 + ϵ22
A2
μϕ3),
Dμϕ2 = ∂μϕ2 + g(A1
μϕ1 − ϵ22
A3
μϕ3),
Dμϕ3 = ∂μϕ3 + g(A2
μϕ1 + A3
μϕ2). (20)
Полный лагранжиан модели L(ϵ) = LA(ϵ) + Lϕ(ϵ)
определяется как сумма лагранжиана калибровочных по-
лей
LA(ϵ) =
1
8g2 Tr(Fμν(ϵ))2 =
= −1
4
[ϵ21
(F1
μν)2 + ϵ21
ϵ22
(F2
μν)2 + ϵ22
(F3
μν)2] (21)
и лагранжиана полей материи
Lϕ(ϵ) =
1
2
(Dμϕ(ϵ))t(Dμϕ(ϵ)) − V (ϕ; ϵ), (22)
где потенциал выбирается в виде
V (ϕ; ϵ) =
λ
4
(
ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) − μ2
λ
)2
. (23)
В явном виде с учетом (18) калибровочный лагранжиан за-
пишется
LA(ϵ) = −
[
ϵ21
(F1
μν)2 + ϵ21
ϵ22
(F2
μν)2 + ϵ22
(F3
μν)2]
−
−ϵ21
ϵ22
[
L(3)
A (ϵ) + L(4)
A (ϵ)
]
. (24)
Слагаемые третьего и четвертого порядков по полям равны
L(3)
A (ϵ) = 2g
[
F1
μν(A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν)+
+F2
μν(A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν) + F3
μν(A1
μA2
ν
− A2
μA3
ν)
]
,
L(4)
A (ϵ) = g2 [
ϵ22
(A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν)2+
+(A3μ
A1
ν
− A1
μA3
ν)2 + ϵ21
(A1
μA2
ν
− A2
μA3
ν)2]
, (25)
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
31
аFa
μν = ∂μAaν
−∂νAa
μ есть тензор напряженности в плос-
ком пространстве.
Основные состояния лагранжиана L(ϵ) = LA(ϵ) +
Lϕ(ϵ) представляют собой конфигурацию полей, обнуля-
ющих калибровочный лагранжиан LA(ϵ) = 0 и доставля-
ющих минимум потенциалу (23). Основные состояния реа-
лизуются на полях
Aμ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)∂μω−1(x; ϵ), ω(x; ϵ) ∈ SO(3; ϵ),
ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) = ϕ21
+ϵ21
ϕ22
+ϵ21
ϵ22
ϕ23
= v2, v =
√μ
λ
, (26)
которые при Aμ(x; ϵ) = 0 лежат на эллипсоиде («сфере»
радиуса v) (рис. 6) в пространстве полей материи, задава-
емом уравнением (26), и могут быть получены калибровоч-
ными преобразованиями
ϕ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)ϕvac,
A′
μ(x; ϵ) = ω(x; ϵ)Aμ(x; ϵ)ω−1(x; ϵ)+
+ω(x; ϵ)∂μω−1(x; ϵ) (27)
из одного основного состояния, выбираемого из соображе-
ний простоты в виде
Aμ(x; ϵ) = 0, (ϕvac)t = (v, 0, 0)t (28)
(точка A на рис. 6).
C(0,0, v
ϵ1ϵ2 )
χ
A(v,0,0)
B(0, v
ϵ1
,0)
ϕ3
ϕ1
ϕ2
Рисунок 6. Эллипсоид основных состояний лагранжиана L(ϵ).
Figure 6. The ellipsoid of the ground states of the Lagrangian L(ϵ).
Далее в механизме Хиггса рассматриваются малые (ли-
нейные) возбуждения поля ϕ1 в окрестности вакуума
ϕ1(x) = v + χ(x), ϕ2(x), ϕ3(x). (29)
Для нового поля ϕ(x) полный лагранжиан модели прини-
мает вид
L(ϵ) = L(2)(ϵ) + L(3)(ϵ) + L(4)(ϵ). (30)
Квадратичный по полям лагранжиан
L(2)(ϵ) =
1
2
(∂μχ)2 − μ2χ2+
+ϵ21
[
−1
4
(B1
μν)2 +
g2v2
2
(B1μ)2
]
+ ϵ22
[
−1
4
(F3
μν)2
]
+
+ϵ21
ϵ22
[
−1
4
(B2
μν)2 +
g2v2
2
(B2μ
)2
]
, (31)
где введены новые поля
B1μ
= A1
μ +
1
gv
∂μϕ2, B2μ
= A2
μ +
1
gv
∂μϕ3, (32)
о√писывает массивное скалярное поле материи χ, mχ =
2μ — хиггсовский бозон, два массивных векторных поля
(k = 1, 2) с одинаковыми массами Bkμ
, mB = gv = √gμ
λ
и безмассовое поле A3
μ. Взаимодействия полей описыва-
ются слагаемыми третьего L(3)(ϵ) и четвертого L(4)(ϵ)
порядков по полям
L(3)(ϵ) = −λvχ3 + ϵ21
{
−λvχ(ϕ22
+ ϵ22
ϕ23
)+
+g
[
A1
μ (χ∂μϕ2 − ϕ2∂μχ)+
+ϵ22
A2
μ (χ∂μϕ3 − ϕ3∂μχ)+
+ϵ22
A3
μ (ϕ2∂μϕ3 − ϕ3∂μϕ2)
]
+
+g2v
[
A1
μ
(
A1
μχ − ϵ22
A3
μϕ3
)
+
+ϵ22
A2
μ
(
A2
μχ + A3
μϕ2
)]}
−
−ϵ21
ϵ22
g
2
[
F1
μν
(
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν
)
+
+F2
μν
(
A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν
)
+
+F3
μν
(
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν
)]
, (33)
L(4)(ϵ) = −λ
4
χ4 + ϵ21
1
2
{
−λχ2 (
ϕ22
+ ϵ22
ϕ23
)
−
−ϵ21
λ
2
(
ϕ22
+ ϵ22
ϕ23
)2
+
+g2
[
ϵ21
(
A1
μϕ2 + ϵ22
A2
μϕ3
)2
+
+
(
A1
μχ − ϵ22
A3
μϕ3
)2
+
+ϵ22
(
A2
μχ + A3
μϕ2
)2
]
−
−ϵ22
g2
[
ϵ22
(
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν
)2
+
+
(
A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν
)2
+
+ϵ21
(
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν
)2
]}
. (34)
Полезно отметить, что теории с калибровочной группой
Кэли-Клейна SO(3; ϵ) могут быть получены из SO(3) ка-
либровочной теории (формулы (30)–(34) при ϵ1 = ϵ2 = 1)
заменой
v → v, χ → χ, ϕ2 → ϵ1ϕ2, ϕ3 → ϵ1ϵ2ϕ3,
A1
μ
→ ϵ1A1
μ, A2
μ
→ ϵ1ϵ2A2
μ, A3
μ
→ ϵ2A3
μ, (35)
или
B1μ
→ ϵ1B1μ
, B2μ
→ ϵ1ϵ2B2μ
, F3
μν
→ ϵ2F3
μν (36)
для новых полей.
32
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
2.2. Калибровочная модель для группы Евклида E3
χ
A(v,0,0)
ϕ3
ϕ1
ϕ2
Рисунок 7. Плоскости основных состояний лагранжиана L(ϵ1).
Figure 7. Ground state planes of the Lagrangian L(ϵ1).
При ϵ1 → 0, ϵ2 = 1 группа SO(3) контрактирует-
ся в неполупростую группу Евклида E3. Метрика в про-
странстве полей материи вырождается ϕt(ϵ1)ϕ(ϵ1) =
ϕ21
+ϵ21
(ϕ22
+ϕ23
), и Φ3(ϵ1) становится расслоенным про-
странством с одномерной базой {ϕ1} и двумерным сло-
ем {ϕ2, ϕ3} (рис. 7). Лагранжиан (30)–(34) преобразуется
к виду
L(ϵ1) = Lb(ϵ1) + ϵ21
Lf (ϵ1) + ϵ41
Lint(ϵ1),
где
Lb(ϵ1) =
1
2
(∂μχ)2 −μ2χ2 −λϕ0χ3 − λ
4
χ4 − 1
4
(F3
μν)2,
Lf (ϵ1) =
= −1
4
(B1
μν)2 +
g2v2
2
(B1μ
)2 − 1
4
(B2
μν)2 +
g2v2
2
(B2μ
)2+
+L(3)
f (ϵ1) + L(4)
f (ϵ1),
Lint(ϵ1) − λ
2
(
ϕ22
+ ϕ23
)2
+
+g2
[(
A1
μϕ2 + A2
μϕ3
)2 −
(
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν
)2
]
. (37)
Здесь L(3)
f (ϵ1) дается выражением (33) при ϵ2 = 1 без
слагаемого −λϕ0χ3, а L(4)
f (ϵ1) имеет вид
L(4)
f (ϵ1) =
=
1
2
{
−λχ2 (
ϕ22
+ ϕ23
)
+ g2
[(
A1
μχ − A3μ
ϕ3
)2
+
+
(
A2
μχ + A3
μϕ2
)2
]
−
−g2
[(
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν
)2
+
(
A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν
)2
]}
.
(38)
Лагранжиан в базе Lb(ϵ1) описывает хиггсовский бозон
χ со стандартной массой mχ =
√
2μ, его самодействие
и безмассовое векторное поле A3
μ. Лагранжиан в слое
Lf (ϵ1) описывает два массивных векторных поляB1μ
, B2μ
(32) с одинаковыми массами mB = gv и различные
взаимодействия полей. Помимо этого, контрактированный
лагранжиан L(ϵ1) содержит слагаемые, пропорциональ-
ные ϵ41
, которые отвечают взаимодействию полей четверт-
ного порядка.
Как и в случае калибровочной группы SO(2; ϵ), за
счет калибровочных преобразований, связывающих ваку-
ум в точке A(v, 0, 0) с полями ϕ2, ϕ3, можно преобразо-
вать лагранжиан L(ϵ1) к виду, содержащему только ка-
либровочные поля ˆ B1μ
, ˆ B2μ
,A3
μ, поле хиггсовского бозона
χ и взаимодействия между ними.
Представления (37), (38) описывают порядок стремле-
ния к нулю слагаемых в лагранжиане при переходе к пре-
делу ϵ1 → 0. Вначале считаем малым и пренебрегаем
лагранжианом Lint(ϵ1), далее малым будет лагранжиан
Lf (ϵ1), окончательно получаем лагранжиан в базе Lb(ϵ1).
Можно рассматривать и обратный процесс восстановления
полей и взаимодействий при изменении параметра кон-
тракции ϵ1 от нуля до единицы.
Теория с калибровочной группой Евклида E2 может
быть получена из SO(3) калибровочной теории (формулы
(30)–(34) раздела 2.1 при ϵ1 = ϵ2 = 1) заменой
v → v, χ → χ, ϕ2 → ϵ1ϕ2, ϕ3 → ϵ1ϕ3,
B1μ
→ ϵ1A1
μ, B2μ
→ ϵ1A2
μ, A3
μ
→ A3
μ (39)
с последующим переходом к пределу ϵ1 → 0.
Если выбрать основное состояние, отвечающее точке
B(0, v
ϵ1
, 0) на рис. 6, где ϕ1 = 0, то в пределе ϵ1 → 0
его группой инвариантности окажется подгруппа SO(2),
рассмотренная в разделе 1.
2.3. Калибровочная модель для группы Ньютона N3
A(v,0,0)
ξ
C(0,0, v
ϵ1ϵ2 )
χ
ϕ3
ϕ1
ϕ2
Рисунок 8. Цилиндр основных состояний лагранжиана L(ϵ2).
Figure 8. Cylinder of ground states of the Lagrangian L(ϵ2).
При ϵ1 = 1, ϵ2 → 0 группа вращений SO(3)
контрактируется в неполупростую группу Ньютона N3.
Метрика в пространстве полей материи вырождается
ϕt(ϵ2)ϕ(ϵ2) = ϕ21
+ ϕ22
+ ϵ22
ϕ23
, и Φ3(ϵ2) становится
расслоенным пространством с двумерной базой {ϕ1, ϕ2}
и одномерным слоем {ϕ3}. Лагранжиан модели
L(ϵ2) = Lb(ϵ2) + ϵ22
Lf (ϵ2) (40)
состоит из лагранжиана в базе
Lb(ϵ2) =
1
2
(∂μχ)2 − μ2χ2 − 1
4
(B1
μν)2 +
g2v2
2
(B1μ
)2+
+L(3)
b (ϵ2) + L(4)
b (ϵ2), (41)
который описывает хиггсовский бозон χ, массивный бозон
B1μ
и взаимодействия вида
L(3)
b (ϵ2) = −λvχ3 − λvχϕ22
+ gA1
μ (χ∂μϕ2 − ϕ2∂μχ) ,
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
33
L(4)
b (ϵ2) = −λ
4
χ4 +
g2
2
χ2(A1
μ)2 − λ
2
χ2ϕ22
+
+
g2
2
ϕ22
(A1
μ)2 − λ
2
ϕ42
(42)
и лагранжиана в слое
Lf (ϵ2) = −1
4
(F3
μν)2 − 1
4
(B2
μν)2 +
g2v2
2
(B2μ
)2+
+L(3)
f (ϵ2) + L(4)
f (ϵ2), (43)
где
L(3)
f (ϵ2) =
{
−λvχϕ23
+
+g
[
A2
μ (χ∂μϕ3 − ϕ3∂μχ) + A3
μ (ϕ2∂μϕ3 − ϕ3∂μϕ2)
]
+
+g2ϕ0A2
μ
(
A2
μχ + A3
μϕ2
)
−
−g
2
[
F1
μν
(
A2
μA3
ν
− A3
μA2
ν
)
+ F2
μν
(
A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν
)
+
+F3
μν
(
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν
)]}
,
L(4)
f (ϵ2) =
1
2
{
−λϕ23
(
χ2 + ϕ22
)
+
+g2
[(
A2
μχ + A3
μϕ2
)2
+ 2A1
μA2
μϕ2ϕ3 − 2A1
μA3
μχϕ3
]
−
−g2
[(
A3
μA1
ν
− A1
μA3
ν
)2
+
(
A1
μA2
ν
− A2
μA1
ν
)2
]}
.
(44)
Таким образом, лагранжиан в слое содержит безмассовое
поле A3
μ, массивное поле B2μ
и взаимодействия полей.
Отметим, что лагранжиан Lb(ϵ2) в базе (41), (42) опи-
сывает те же поля, что и лагранжиан L(ϵ = 1) (7) модели
с калибровочной группой SO(2). Отличия в слагаемых, от-
вечающим взаимодействиям третьего и четвертого поряд-
ков, исчезают при избавлении от ϕ2 путем перехода к полю
ˆB
1μ
аналогичного переходу от Bμ к ˆBμ.
Теория с калибровочной группой Евклида N2 может
быть получена из SO(3) калибровочной теории (формулы
(30)–(34) раздела 2.1) при ϵ1 = ϵ2 = 1) заменой
v → v, χ → χ, ϕ2 → ϕ2, ϕ3 → ϵ2ϕ3,
A1
μ
→ A1
μ, A2μ
→ ϵ2A2
μ, A3
μ
→ ϵ2A3
μ (45)
с последующим пределом ϵ2 → 0.
Аналогично разделу 1, в калибровочной теории с груп-
пой SO(3; ϵ) при ϵk ̸= 0, k = 1, 2 в качестве вакуума
можно выбрать любое основное состояние на эллипсоиде
рис. 6. Однако, для того, чтобы получить теорию с полной
трехпараметрической контрактированной группой Евкли-
да E3 или Ньютона N3 при переходе к пределу ϵ1 → 0,
ϵ2 = 1 или ϵ1 = 1, ϵ2 → 0, необходимо, чтобы выбранный
вакуум (скажем, точкаAна рис. 6) в соответствующем пре-
деле принадлежал базе расслоенного пространства (рис. 7
или 8). Если же вакуум модели выбран, например, в точках
B или C на рис. 6, попадающих в пределе в слой, то по-
лучаем калибровочные модели, отвечающие соответству-
ющим двухпараметрическим подгруппам исходной калиб-
ровочной группы.
3. Калибровочные теории с группами SU(2; ϵ)
Унитарная контрактированная группа SU(2; ϵ) опре-
деляется как группа преобразований комплексного про-
странства C2(ϵ), оставляющая инвариантной квадратич-
ную форму
ϕ(ϵ)†ϕ(ϵ) = |ϕ1(ϵ)|2 + ϵ2|ϕ2(ϵ)|2. (46)
Преобразования комплексных полей имеют вид
ϕ′(ϵ) = u(ϵ)ϕ(ϵ, )
(
ϕ′
1(ϵ)
ϵϕ′
2(ϵ)
)
=
(
α(ϵ) ϵβ(ϵ)
−ϵ ¯ β(ϵ) ¯α(ϵ)
)(
ϕ1(ϵ)
ϵϕ2(ϵ)
)
,
det u(ϵ) = |α(ϵ)|2 + ϵ2|β(ϵ)|2 = 1,
u(ϵ)u†(ϵ) = 1. (47)
Генераторы группы SU(2; ϵ) даны матрицами
T1 = ϵ
1
2
(
0 1
1 0
)
, T2 = ϵ
1
2
(
0 i
−i 0
)
,
T3 =
1
2
(
1 0
0 −1
)
, (48)
подчиняются коммутационным соотношениям
[T1, T2] = iϵ2T3, [T3, T1] = iT2, [T2, T3] = iT1 (49)
и образуют алгебру su(2; ϵ).
В калибровочной теории с группой SU(2; ϵ) калибро-
вочные поля
Aμ(x; ϵ) = g
Σ3
k=1
TkAk
μ(x) =
= g
1
2
(
A3
μ ϵ(A1
μ + iA2
μ)
ϵ(A1
μ
− iA2
μ) −A3
μ
)
(50)
принимают значения в алгебре Ли su(2; ϵ). Ковариантные
производные равны
Dμϕ(ϵ) = ∂μϕ(ϵ) − ig
(
Σ3
k=1
TkAk
μ
)
ϕ(ϵ), (51)
где константа g является зарядом. Тензоры напряженности
калибровочных полей определяются формулами
Aμν(x; ϵ) = Aμν(x; ϵ) + g[Aμ(x; ϵ),Aν(x; ϵ)],
Ak
μν(x; ϵ) = ∂μAkν
(x; ϵ) − ∂νAk
μ(x; ϵ). (52)
Вместо полей (50) вводятся новые калибровочные поля
Zμ(x) = A3
μ(x),
W±
μ (x) = ϵ
√1
2
(
A1
μ(x) ∓ iA2
μ(x)
)
, (53)
которые в случае электрослабой модели имеют непосред-
ственный физический смысл.
34
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Лагранжиан модели L(ϵ) = LA(ϵ)+Lϕ(ϵ) представ-
ляет собой сумму лагранжиана калибровочных полей
LA(ϵ) = −1
4
{[
ϵ2(A1
μν)2 + (A2
μν)2]
+ (A3
μν)2}
(54)
и лагранжиана полей материи
Lϕ(ϵ) =
1
2
(Dμϕ(ϵ))†Dμϕ(ϵ) − V (ϕ; ϵ). (55)
Основные состояния лагранжиана L(ϵ) обнуляют калиб-
ровочный лагранжиан LA(ϵ) = 0 и доставляют минимум
потенциалу
V (ϕ; ϵ) =
λ
4
(
ϕt(ϵ)ϕ(ϵ) − v2)2
. (56)
Эти состояния задаются уравнением
φ21
+ φ22
+ ϵ2(φ23
+ φ24
) = v2, (57)
которое описывает трехмерный эллипсоид (сферу при ϵ =
1) в четырехмерном пространстве Φ4(ϵ) вещественных
полей φk, k = 1, 2, 3, 4, где ϕ1 = φ1 +iφ2, ϕ2 = φ3 +
iφ4. Данный трехмерный эллипсоид можно мыслить себе
как поверхность, изображенную на рис. 6, если подразу-
мевать под ϕ3 двумерную плоскость, натянутую на φ3, φ4,
и положить ϕ1 = φ1, ϕ2 = φ2.
При ϵ ̸= 0 все основные состояния могут быть получе-
ны калибровочными преобразованиями из одного из них.
Как и в случаях калибровочных моделей с ортогональны-
ми группами, рассмотренных в разделах 1 и 2, для полу-
чения калибровочной теории с трехмерной контрактиро-
ванной унитарной группой, нужно вакуум модели выбрать
в точке, попадающей в пределе ϵ → 0 в слой пространства
Φ4(ϵ).
Из соображений простоты вакуумный вектор можно
взять в виде (ϕvac)t = (v, 0), т. е. φ1 = v, φ2 = φ3 =
φ4 = 0 (точка A(v, 0, 0, 0) на эллипсоиде (57), рис. 6).
После этого рассматриваются малые (линейные) возбуж-
дения поля φ1 в окрестности вакуума
φ1(x) = v + χ(x), φ2(x), φ3(x), φ4(x). (58)
Для нового поля ϕ(x) полный лагранжиан модели прини-
мает вид
L(ϵ) = L(2)(ϵ) + Lint(ϵ), (59)
где, как обычно, квадратичные по полям слагаемые
лагранжиана L(2)(ϵ) описывают свободные частицы мо-
дели, а слагаемые более высокого порядка Lint(ϵ)
рассматриваются как их взаимодействия. Квадратичный
лагранжиан
L(2)(ϵ) = L(2)
0 (ϵ) + ϵ2L(2)
2 (ϵ),
L(2)
0 (ϵ) =
=
1
2
(∂μχ)2 − 1
2
m2
χχ2 − 1
4
ZμνZμν +
1
2
m2
ZZμZμ,
L(2)
2 (ϵ) = −1
2
W+
μν
W−
μν + m2
WW+
μ W−
μ (60)
включает скалярное поле Хиггса χ с массойmχ =
√
2λv,
нейтральную Z и заряженные векторные частицы W±
с одинаковыми массами mZ = mW = 1
2gv. Лагранжи-
ан взаимодействия имеет вид
Lint(ϵ) = Lint
0 + ϵ2Lint
2 + ϵ4Lint
4 ,
Lint
0 = −λ
4
χ4 − λvχ3 +
gmz
2 cos θW
χ (Zμ)2 +
+
g2
8 cos2 θW
χ2 (Zμ)2 ,
Lint
2 = gχW+
μ W−
μ +
g2
4
χ2W+
μ W−
ν
−
−2ig
(
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν
)
Zμν cos θW−
−i
2
g cos θW
[
Zμ
(
W+
μνW−
ν
−W−
μνW+
ν
)
−
−Zν
(
W+
μνW−
μ
−W−
μνW+
μ
)]
−
−g2
4
cos θW
{[(
W+
μ
)2
+
(
W−
μ
)2
]
(Zν)2−
−2
(
W+
μ W+
ν +W−
μ W−
ν
)
ZμZν+
+
[(
W+
ν
)2
+
(
W−
ν
)2
]
(Zμ)2
}
,
Lint
4 =
g2
4
(
W+
μ W−
ν
−W−
μ W+
ν
)2
. (61)
Как и в случае ортогональных групп Кэли-Клейна, тео-
рию с унитарной калибровочной группой SU(2; ϵ) можно
получить из SU(2) калибровочной теории (формулы этого
раздела при ϵ = 1) заменой
v → v, χ → χ, ϕ1 → ϕ1, ϕ2 → ϵϕ2,
Zμ → Zμ, W± → ϵW±. (62)
Замечание. В стандартной электрослабой модели [8]
с калибровочной группой SU(2) × U(1) в качестве ва-
куума выбирают поле ϕt
vac = (0, v), т. е. φ3 = v, φ1 =
φ2 = φ4 = 0 (точка C(0, 0, v, 0) на эллипсоиде (57),
рис. 6). При ϵ = 1 такой выбор приводит к тем же массам
калибровочных полей, что и выбор поля (ϕvac)t = (v, 0),
отвечающего точке A(v, 0, 0, 0). Однако он не согласован
с контракцией ϵ → 0. Правильные преобразования полей
электрослабой модели при контракции даются формулами
(62), как это сделано в работе [12].
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
35
4. Заключение
Контракции ортогональных и унитарных групп Кэли-
Клейна и расслоения соответствующих пространств фун-
даментального представления тесно связаны между со-
бой. Расслоенные пространства имеют вырожденную мет-
рику и целый набор инвариантов относительно контрак-
тированной группы [11]. Это означает, что в калибровоч-
ных теориях с контрактированными группами Кэли-Клей-
на пространства полей материи являются расслоенными
пространствами. Для полного описания поведения физи-
ческих систем в процессе предельного перехода необхо-
димо рассматривать полное выражение для лагранжиа-
на, в том числе и его зависимость от параметра контрак-
ции, а не только предельные лагранжианы в базе и слое.
Это позволяет проследить порядок обнуления слагаемых
в лагранжианах при стремлении параметров контракции
к нулю, а также восстановление лагранжиана при обрат-
ном процесе – деформации.
Важное значение имеет выбор вакуума в механизме
спонтанного нарушения симметрии. Чтобы получить тео-
рию с полной контрактированной группой, имеющей ту же
размерность, что и исходная калибровочная группа, необ-
ходимо, чтобы выбранный вакуум в соответствующем пре-
деле принадлежал базе расслоенного пространства полей
материи. Только в таком случае в контрактированной ка-
либровочной теории получается тот же самый набор полей
и частиц с теми же самыми массами, что и в исходной тео-
рии. Выбор вакуума, попадающего в пределе в слой, при-
водит к калибровочной модели, отвечающей подгруппе ис-
ходной калибровочной группы.
Поскольку именно структурные константы ответствен-
ны за взаимодействие полей и поскольку при контракциях
групп Ли часть структурных постоянных их алгебр обра-
щается в ноль, калибровочные теории, основанные на кон-
трактированных неполупростых группах, описывают более
простые взаимодействия полей, чем исходные теории, от-
вечающие простым или полупростым калибровочным груп-
пам.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Yang, C. N. Conservation of isotopic spin and isotopic guage invariance / C. N. Yang, R. L. Mills // Phys. Rev. – 1954. – Vol. 96. – P. 191–195.
2. Weinberg, S. A model of leptons / S. Weinberg // Phys. Rev. Lett. – 1967. – Vol. 19. – P. 1264–1266.
3. Salam, A. In: Elementary Particle Theory (ed. by N. Svarttholm) / A. Salam. – Almquist Forlag AB, 1968.
4. Nappi, C. R. A WZW model based on non-semi-simple group / C. R. Nappi, E. Witten // hep-th/9310112.
5. Tseytlin, A. A. On gauge theories for non-semisimple groups / A. A. Tseytlin // hep-th/9505129.
6. Nuyts, J. Yang-Mills theory for non-semisimple groups / J. Nuyts, T. T. Wu // hep-th/0210214.
7. Gromov, N. A. Gauge theories for target spaces with degenerate metrics / N. A. Gromov // In “Non-Euclidean Geometry in Modern Physics” (Proc. 5th Int. Conf. Bolyai- Gauss-Lobachevsky, edt. Yu. Kurochkin and V. Red’kov). – Minsk, 2006. – P. 258–265. hep-th/0611079.
8. Rubakov, V. A. Klassicheskiye kalibrovochnyye polya [Classical Gauge Fields] / V. A. Rubakov. – Moscow : Editorial URSS, 1999. –336 p.
9. Higgs, P. W. / P. W. Higgs // Phys. Lett. – 1964. – Vol. 12. – P. 321.
10. Pimenov, R. I. Edinaya aksiomatika prostranstv s maksimal’noj gruppoj dvizhenij [Unified Axiomatics of spaces with maximal Movement Group] / R. I. Pimenov // Lithuanian Math. J. – 1965. – Vol. 5, № 3. – P. 457–486.
11. Gromov, N. A. Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups] / N. A. Gromov. – Moscow : Fizmatlit, 2012. – 318 p.
12. Gromov, N. A. Standartnaya model’ v ranney Vselennoy [Standard Model in the Early Universe] / N. A. Gromov // Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. – 2023. – № 4(62). – P. 36–48.
