Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
X-ray Laue diffraction in a silicon crystal with Si(Al) thermomigration channels has been theoretically considered. Based on the model of elastic fields of atomic displacements in the channel, expressions for the distribution of strains have been obtained to describe diffraction in the Laue geometry. A numerical calculation of the X-ray scattering intensity distribution near a reciprocal lattice point has been performed. The difference between diffraction in a perfect and strained crystal has been shown.
X-ray diffraction in Laue geometry, thermomigration channel, two-dimensional recurrence relations, Takagi-Taupin equations, elastic strain field
Введение
Высокоразрешающая рентгеновская дифракция ши-
роко используется для диагностики различных функци-
ональных материалов [1]. Трехосевая рентгеновская ди-
фрактометрия [2] является чувствительным методом, поз-
воляющим измерять рентгеновские карты интенсивности
рассеяния вблизи узла обратной решетки различных кри-
сталлических систем.
Вместо плоских эпитаксиальных слоев при создании
солнечных батарей, биосенсоров, микроэлектромеханиче-
ских систем и приборов силовой электроники, можно ис-
пользовать полупроводниковые кристаллы с вертикаль-
ными термомиграционными каналами [3]. Неразрушающие
исследования структуры кремния с термомиграционными
каналами Si(Al) возможны с применением высокоразре-
шающей рентгеновской дифрактометрии. Измерения кри-
вых качания и сопутствующее численное моделирование
рентгеновской дифракции в геометрии Лауэ позволили по-
лучить только качественные оценки деформаций на гра-
нице термомиграционного канала и кремниевой матрицы
[3]. Более информативной является трехосевая дифракто-
метрия в режиме измерений распределения интенсивности
рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки.
Для этой цели в геометрии Брэгга была предложена модель
распределения деформаций внутри канала и на его грани-
це [4]. Моделирование рентгеновской дифракции проводи-
лось с помощью уравнений Такаги-Топена (Т-Т) [5, 6] в ко-
соугольной системе координат и алгоритма «полушаговой
производной» [7].
В Лауэ геометрии такие вычисления интенсивности
рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки
не проводились. В этом случае рентгеновский пучок про-
ходит и дифрагирует на большом расстоянии внутри кана-
ла, поэтому следует использовать более жесткое рентге-
новское излучение, чтобы уменьшить поглощение рентге-
новских лучей. Недавно была показана аналогия двумер-
ных рекуррентных соотношений и уравнений Такаги-Топе-
на в случае дифракции в совершенном кристалле [8]. Цель
этой работы — разработка вычислений интенсивности ко-
64
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
герентного рентгеновского рассеяния вблизи узла обрат-
ной решетки в структурах со сложным распределением де-
формаций в геометрии Лауэ.
1. Двумерные рекуррентные соотношения
и уравнения Такаги-Топена для деформи-
рованных кристаллов
На рис. 1 показана схема рентгеновской Лауэ дифрак-
ции в кристалле с термомиграционными каналами.
z
x
Si
Si
Si(Al)
X-ray beam 20 μm
300 μm
a −a
0
Nz
Mx
130 μm
PSD
Рисунок 1. Схема Лауэ дифракции в кристалле с термомиграционными ка-
налами. Ширина падающего в центр канала рентгеновского пучка 20 мкм.
PSD — позиционно чувствительный детектор.
Figure 1. Scheme of Laue diffraction in a crystal with thermomigration channels.
The width of the incident X-ray beam at the centre of the channel is
20 mkm. PSD stands for position-sensitive detector.
Одним из методов вычисления углового распределения
дифракционной интенсивности в симметричной геометрии
Лауэ является численное решение уравнений Такаги-Топе-
на [5, 6] в косоугольной системе координат:
∂E0(η;s0,sh)
∂s0
=ia−hEh(η; s0, sh),
∂Eh(η;s0,sh)
∂sh
=i(η + ∂(hu(s0,sh))
∂sh
)Eh(η; s0, sh)+
+ iahE0(η; s0, sh),
(1)
где E0,h(η; s0, sh) — амплитуды проходящей E0 и ди-
фракционной Eh рентгеновских волн, a0 = χ0/λ,
ah = Cχh/λ, λ — длина волны рентгеновского из-
лучения в вакууме, C — поляризационный фактор,
χg = −r0λ2Fg/(πVc) — Фурье-компоненты рентгенов-
ской поляризуемости, g = 0, h, ¯h. Здесь Vc — объ-
ем элементарной ячейки, r0 = e2/(mc2) — классиче-
ский радиус электрона, e, m — заряд и масса электро-
на, Fg — структурный фактор, h = 2π/d — величина
вектора обратной решетки, d — межплоскостное рассто-
яние основной кристаллической матрицы. В уравнениях (1)
η = 2π sin(2θB) ω/λ — угловой параметр, ω — отклоне-
ние рентгеновского пучка от угла Брэгга θB, u(s0, sh) —
поле атомных смещений, вызванное наличием примеси
в кристаллической решетке.
Угловой параметр η в случае трехкристальной дифрак-
тометрии может быть записан через проекции qx, qz векто-
ра смещения q = Q − h как η = qx cos θB − qz sin θB,
гдеQ = kh − k0 — вектор дифракции, h — вектор обрат-
ной решетки, kh и k0 — волновые векторы дифракционной
и падающей рентгеновской волны соответственно.
Вторым методом расчетов углового распределения ин-
тенсивности рентгеновского рассеяния в обратном про-
странстве является использование двумерных рекуррент-
ных соотношений (ДРС) [8]. В случае дифракции в дефор-
мированном кристалле ДРС запишутся как
{
Tm+1
n+1 = (a Tm
n + b1 Sm
n ) exp(iφ0),
Sm+1
n−1 = (a Sm
n + b2 Tm
n ) exp(iφh),
(2)
где T и S — амплитуды проходящей и ди-
фрагированной волн, a = (1 − iq0), b1 = −i¯q,
b2 = −iq, q0 = −πχ0d/(λγ0), q = Cπχhd/(λγ0),
¯q = Cπχ¯hd/(λγ0), d — период отражающих атом-
ных плоскостей. ϕ0 = ϕ + k0(um+1,n+1 − um,n),
ϕh = ϕ + kh(um+1,n−1 − um,n), k0,h — волновые век-
торы падающей и отраженной рентгеновской волн, um,n —
вектор смещения узлов в модели двумерной решетки Дар-
вина. Коэффициент ϕ = 2πd/(λ sin θB) в соотношениях
(2) учитывает разность фаз, возникающую при распростра-
нении рентгеновской волны в совершенном кристалле от
одного узла до другого на сетке для численных расчетов.
2. Поле упругих деформаций в кристалле
с термомиграционными каналами
Для рентгеновской дифракции в геометрии Лауэ поле
атомных смещений ux(x, z) параллельно вектору обрат-
ной решетки h2¯20, выражение для которого получено в ста-
тье [4]. Используя это выражение, для случая Лауэ распре-
деление упругих деформаций εxx = ∂ux(x,z)
∂x в кристалле
с термомиграционными каналами запишется в виде:
εxx(x, z) = Kν
(
Ω(x, z) + (x−a)z
r2
1
− (x+a)z
r2
2
)
, (3)
где Ω(x, z) = π + (2ν − 1)(α1 − α2) при |x| ≤ a
и Ω(x, z) = (2ν − 1)(α1 − α2), если |x| > a. В реше-
нии (3) Kν = e0
π
1+ν
1−ν , e0 — собственная деформация, ν —
коэффициент Пуассона, 2a — ширина термомиграционно-
го канала, r2
1 = (x − a)2 + z2, r2
2 = (x + a)2 + z2,
α1,2 = arctan(z/(x ± a)).
Для вычисления углового распределения интенсивно-
сти рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной ре-
шетки необходимо использовать значения атомных сме-
щений ux(x, z) [4] и распределение упругих деформаций
εxx(x, z) (3).
Деформации в косоугольной и прямоугольной системах
координат в уравнениях (1) связаны между собой соотно-
шением:
∂uz(s0,sh)
∂sh
= εzx(x, z) cos θB + εzz(x, z) sin θB. (4)
3. Моделирование рентгеновской Лауэ ди-
фракции в термомиграционном канале
кремния с легирующими атомами алюминия
Численные расчеты рентгеновской Лауэ дифракции
в кристалле кремния с термомиграционными каналами
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
65
Si(Al) выполнены для (2¯20) отражения MoKα1 излу-
чения с использованием уравнений Т-Т и ДРС. Все расче-
ты интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи узла
обратной решетки представлены в логарифмическом мас-
штабе с нормировкой на единицу.
На рис. 2 изображена расчетная карта дифракцион-
ной интенсивности в обратном пространстве и ее qx-
и qz-сечения совершенного кристалла кремния толщиной
Lx = 300 мкм.
a)
−1.5 1.5
−8
8
qx, μm−1
qz, μm−1
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
b)
qx, μm−1
Intensity
−0.5 0 0.5
0
0.5
1 qz = 0 μm−1
c)
qz, μm−1
Intensity
−2 0 2
10−4
10−3
10−2
10−1
100 qx = 0 μm−1
Рисунок 2. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-
фракции от совершенного кристалла кремния; b) и с) qx- и qz-сечения
данной карты для кристалла толщиной 300 мкм.
Figure 2. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction from a
perfect silicon crystal with a thickness of 300μm; b) and c) are correspondent
cross-sections of the reciprocal space map along qx and qz.
Результаты вычислений рентгеновской дифракции
в термомиграционном канале показаны на рис. 3. Из-
за упругих деформаций в канале на карте интен-
сивности рентгеновского рассеяния вблизи узла об-
ратной решетки появляются два сильных дифракци-
онных максимума, сдвинутых в положительном на-
правлении вдоль оси qx. Для собственной дефор-
мации e0 = 3.0 · 10−5, эти максимумы расположе-
ны в обратном пространстве от начала координат
на значения Δqx = 1.18 мкм−1, Δqz = −0.08 мкм−1
и Δqx = 1.09 мкм−1, Δqz = −1.60 мкм−1. Это соответ-
ствует средней максимальной деформации в латеральном
εΔqx
2¯20 = 3.51 · 10−5 и вертикальном εΔqz
2¯20 = 2.63 · 10−5
направлениях.
a)
−1.5 1.5
−8
8
qx, μm−1
qz, μm−1
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
b)
qx, μm−1
Intensity
1 1.5
0
0.5
1 qz = −1.604 μm−1
c)
qz, μm−1
Intenisty
−3 −2 −1 0 1
0
0.5
1 qx = 1.078 μm−1
Рисунок 3. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-
фракции от термомиграционного канала Si(Al); b) и с) qx- и qz-сечения
данной карты для каналаSi(Al) толщиной 300 мкм. Собственная дефор-
мация e0 = 3.0 · 10−5.
Figure 3. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction from
a Si(Al) thermomigration channel with a thickness of 300μm; b) and c)
are correspondent cross-sections along qx and qz. The intrinsic strain is
e0 = 3.0 · 10−5.
Максимальная деформация возникает у входной и вы-
ходной поверхности канала, средняя деформация вдоль
канала равна εΔqz
2¯20 = 2.01 · 10−5.
66
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Заключение
Таким образом, численное моделирование и анализ
карт интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи уз-
ла обратной решетки позволяют определить деформации
в кристалле с термомиграционными каналами.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Holý, V. High-Resolution X-ray Scattering from Thin Films and Multilayers / V. Holý, U. Pietch, T. Baumbach // Springer-Verlag Berlin Heidelberg. – 1999.
2. Iida, A. Separate measurements of dynamical and kinematical x-ray diffractions from silicon crystals with a triple crystal diffractometer / A. Iida, K. Kohra // Phys. Stat. Sol. (a) – 1979. - Vol. 51. – P. 533–542.
3. Lomov, A. Laue X-ray diffraction studies of the structural perfection of Al-doped thermomigration channels in silicon / A. A. Lomov, V. I. Punegov, B. M. Seredin // J. Appl. Cryst. – 2021. – Vol. 54. – P. 588–596.
4. Lomov, A. High-resolution X-ray Bragg diffraction in Al thermomigrated Si channels / A. A. Lomov, V. I. Punegov, A. Yu. Belov, B. M. Seredin // J. Appl. Cryst. – 2022. – Vol. 55. – P. 558–568.
5. Takagi, S. A Dynamical theory of diffraction applicable to crystals with any kind of small distortion / S. Takagi // Acta Cryst. – 1962. – Vol. 15, № 12. – P. 1311–1312.
6. Taupin, D. Theorie dynamique de la diffraction des rayons x par les cristaux deformes. / D. Taupin // Bull. Soc. Franc. Mineral. Crist. – 1964. - Vol. 87. – P. 469–511.
7. Epelboin, Y. Simulation of X-ray topographs. / Y. Epelboin // Mater. Sci. Eng. – 1985. - Vol. 73. – P. 1–43.
8. Punegov, V. Two-dimensional recurrence relations and Takagi-Taupin equations. I. Dynamical X-ray diffraction by a perfect crystal / V. I. Punegov, S. I. Kolosov // J. Appl. Cryst. – 2022. – Vol. 55. – P. 320–328.
