Россия
Россия
Россия
Россия
Россия
Теоретически рассмотрена рентгеновская Лауэ дифракция в кристалле кремния с термомиграционными каналами Si(Al). На основе модели упругих полей атомных смещений в канале получены выражения распределения деформаций для описания дифракции в геометрии Лауэ. Выполнен численный расчет распределения интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки. Показано отличие дифракции в совершенном и деформированном кристалле.
рентгеновская дифракция в геометрии Лауэ, термомиграционный канал, двумерные рекуррентные соотношения, уравнения Такаги-Топена, поле упругих деформаций
Введение
Высокоразрешающая рентгеновская дифракция ши-
роко используется для диагностики различных функци-
ональных материалов [1]. Трехосевая рентгеновская ди-
фрактометрия [2] является чувствительным методом, поз-
воляющим измерять рентгеновские карты интенсивности
рассеяния вблизи узла обратной решетки различных кри-
сталлических систем.
Вместо плоских эпитаксиальных слоев при создании
солнечных батарей, биосенсоров, микроэлектромеханиче-
ских систем и приборов силовой электроники, можно ис-
пользовать полупроводниковые кристаллы с вертикаль-
ными термомиграционными каналами [3]. Неразрушающие
исследования структуры кремния с термомиграционными
каналами Si(Al) возможны с применением высокоразре-
шающей рентгеновской дифрактометрии. Измерения кри-
вых качания и сопутствующее численное моделирование
рентгеновской дифракции в геометрии Лауэ позволили по-
лучить только качественные оценки деформаций на гра-
нице термомиграционного канала и кремниевой матрицы
[3]. Более информативной является трехосевая дифракто-
метрия в режиме измерений распределения интенсивности
рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки.
Для этой цели в геометрии Брэгга была предложена модель
распределения деформаций внутри канала и на его грани-
це [4]. Моделирование рентгеновской дифракции проводи-
лось с помощью уравнений Такаги-Топена (Т-Т) [5, 6] в ко-
соугольной системе координат и алгоритма «полушаговой
производной» [7].
В Лауэ геометрии такие вычисления интенсивности
рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной решетки
не проводились. В этом случае рентгеновский пучок про-
ходит и дифрагирует на большом расстоянии внутри кана-
ла, поэтому следует использовать более жесткое рентге-
новское излучение, чтобы уменьшить поглощение рентге-
новских лучей. Недавно была показана аналогия двумер-
ных рекуррентных соотношений и уравнений Такаги-Топе-
на в случае дифракции в совершенном кристалле [8]. Цель
этой работы — разработка вычислений интенсивности ко-
64
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
герентного рентгеновского рассеяния вблизи узла обрат-
ной решетки в структурах со сложным распределением де-
формаций в геометрии Лауэ.
1. Двумерные рекуррентные соотношения
и уравнения Такаги-Топена для деформи-
рованных кристаллов
На рис. 1 показана схема рентгеновской Лауэ дифрак-
ции в кристалле с термомиграционными каналами.
z
x
Si
Si
Si(Al)
X-ray beam 20 μm
300 μm
a −a
0
Nz
Mx
130 μm
PSD
Рисунок 1. Схема Лауэ дифракции в кристалле с термомиграционными ка-
налами. Ширина падающего в центр канала рентгеновского пучка 20 мкм.
PSD — позиционно чувствительный детектор.
Figure 1. Scheme of Laue diffraction in a crystal with thermomigration channels.
The width of the incident X-ray beam at the centre of the channel is
20 mkm. PSD stands for position-sensitive detector.
Одним из методов вычисления углового распределения
дифракционной интенсивности в симметричной геометрии
Лауэ является численное решение уравнений Такаги-Топе-
на [5, 6] в косоугольной системе координат:
∂E0(η;s0,sh)
∂s0
=ia−hEh(η; s0, sh),
∂Eh(η;s0,sh)
∂sh
=i(η + ∂(hu(s0,sh))
∂sh
)Eh(η; s0, sh)+
+ iahE0(η; s0, sh),
(1)
где E0,h(η; s0, sh) — амплитуды проходящей E0 и ди-
фракционной Eh рентгеновских волн, a0 = χ0/λ,
ah = Cχh/λ, λ — длина волны рентгеновского из-
лучения в вакууме, C — поляризационный фактор,
χg = −r0λ2Fg/(πVc) — Фурье-компоненты рентгенов-
ской поляризуемости, g = 0, h, ¯h. Здесь Vc — объ-
ем элементарной ячейки, r0 = e2/(mc2) — классиче-
ский радиус электрона, e, m — заряд и масса электро-
на, Fg — структурный фактор, h = 2π/d — величина
вектора обратной решетки, d — межплоскостное рассто-
яние основной кристаллической матрицы. В уравнениях (1)
η = 2π sin(2θB) ω/λ — угловой параметр, ω — отклоне-
ние рентгеновского пучка от угла Брэгга θB, u(s0, sh) —
поле атомных смещений, вызванное наличием примеси
в кристаллической решетке.
Угловой параметр η в случае трехкристальной дифрак-
тометрии может быть записан через проекции qx, qz векто-
ра смещения q = Q − h как η = qx cos θB − qz sin θB,
гдеQ = kh − k0 — вектор дифракции, h — вектор обрат-
ной решетки, kh и k0 — волновые векторы дифракционной
и падающей рентгеновской волны соответственно.
Вторым методом расчетов углового распределения ин-
тенсивности рентгеновского рассеяния в обратном про-
странстве является использование двумерных рекуррент-
ных соотношений (ДРС) [8]. В случае дифракции в дефор-
мированном кристалле ДРС запишутся как
{
Tm+1
n+1 = (a Tm
n + b1 Sm
n ) exp(iφ0),
Sm+1
n−1 = (a Sm
n + b2 Tm
n ) exp(iφh),
(2)
где T и S — амплитуды проходящей и ди-
фрагированной волн, a = (1 − iq0), b1 = −i¯q,
b2 = −iq, q0 = −πχ0d/(λγ0), q = Cπχhd/(λγ0),
¯q = Cπχ¯hd/(λγ0), d — период отражающих атом-
ных плоскостей. ϕ0 = ϕ + k0(um+1,n+1 − um,n),
ϕh = ϕ + kh(um+1,n−1 − um,n), k0,h — волновые век-
торы падающей и отраженной рентгеновской волн, um,n —
вектор смещения узлов в модели двумерной решетки Дар-
вина. Коэффициент ϕ = 2πd/(λ sin θB) в соотношениях
(2) учитывает разность фаз, возникающую при распростра-
нении рентгеновской волны в совершенном кристалле от
одного узла до другого на сетке для численных расчетов.
2. Поле упругих деформаций в кристалле
с термомиграционными каналами
Для рентгеновской дифракции в геометрии Лауэ поле
атомных смещений ux(x, z) параллельно вектору обрат-
ной решетки h2¯20, выражение для которого получено в ста-
тье [4]. Используя это выражение, для случая Лауэ распре-
деление упругих деформаций εxx = ∂ux(x,z)
∂x в кристалле
с термомиграционными каналами запишется в виде:
εxx(x, z) = Kν
(
Ω(x, z) + (x−a)z
r2
1
− (x+a)z
r2
2
)
, (3)
где Ω(x, z) = π + (2ν − 1)(α1 − α2) при |x| ≤ a
и Ω(x, z) = (2ν − 1)(α1 − α2), если |x| > a. В реше-
нии (3) Kν = e0
π
1+ν
1−ν , e0 — собственная деформация, ν —
коэффициент Пуассона, 2a — ширина термомиграционно-
го канала, r2
1 = (x − a)2 + z2, r2
2 = (x + a)2 + z2,
α1,2 = arctan(z/(x ± a)).
Для вычисления углового распределения интенсивно-
сти рентгеновского рассеяния вблизи узла обратной ре-
шетки необходимо использовать значения атомных сме-
щений ux(x, z) [4] и распределение упругих деформаций
εxx(x, z) (3).
Деформации в косоугольной и прямоугольной системах
координат в уравнениях (1) связаны между собой соотно-
шением:
∂uz(s0,sh)
∂sh
= εzx(x, z) cos θB + εzz(x, z) sin θB. (4)
3. Моделирование рентгеновской Лауэ ди-
фракции в термомиграционном канале
кремния с легирующими атомами алюминия
Численные расчеты рентгеновской Лауэ дифракции
в кристалле кремния с термомиграционными каналами
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
65
Si(Al) выполнены для (2¯20) отражения MoKα1 излу-
чения с использованием уравнений Т-Т и ДРС. Все расче-
ты интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи узла
обратной решетки представлены в логарифмическом мас-
штабе с нормировкой на единицу.
На рис. 2 изображена расчетная карта дифракцион-
ной интенсивности в обратном пространстве и ее qx-
и qz-сечения совершенного кристалла кремния толщиной
Lx = 300 мкм.
a)
−1.5 1.5
−8
8
qx, μm−1
qz, μm−1
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
b)
qx, μm−1
Intensity
−0.5 0 0.5
0
0.5
1 qz = 0 μm−1
c)
qz, μm−1
Intensity
−2 0 2
10−4
10−3
10−2
10−1
100 qx = 0 μm−1
Рисунок 2. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-
фракции от совершенного кристалла кремния; b) и с) qx- и qz-сечения
данной карты для кристалла толщиной 300 мкм.
Figure 2. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction from a
perfect silicon crystal with a thickness of 300μm; b) and c) are correspondent
cross-sections of the reciprocal space map along qx and qz.
Результаты вычислений рентгеновской дифракции
в термомиграционном канале показаны на рис. 3. Из-
за упругих деформаций в канале на карте интен-
сивности рентгеновского рассеяния вблизи узла об-
ратной решетки появляются два сильных дифракци-
онных максимума, сдвинутых в положительном на-
правлении вдоль оси qx. Для собственной дефор-
мации e0 = 3.0 · 10−5, эти максимумы расположе-
ны в обратном пространстве от начала координат
на значения Δqx = 1.18 мкм−1, Δqz = −0.08 мкм−1
и Δqx = 1.09 мкм−1, Δqz = −1.60 мкм−1. Это соответ-
ствует средней максимальной деформации в латеральном
εΔqx
2¯20 = 3.51 · 10−5 и вертикальном εΔqz
2¯20 = 2.63 · 10−5
направлениях.
a)
−1.5 1.5
−8
8
qx, μm−1
qz, μm−1
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
b)
qx, μm−1
Intensity
1 1.5
0
0.5
1 qz = −1.604 μm−1
c)
qz, μm−1
Intenisty
−3 −2 −1 0 1
0
0.5
1 qx = 1.078 μm−1
Рисунок 3. a) Расчетная карта распределения интенсивности Лауэ ди-
фракции от термомиграционного канала Si(Al); b) и с) qx- и qz-сечения
данной карты для каналаSi(Al) толщиной 300 мкм. Собственная дефор-
мация e0 = 3.0 · 10−5.
Figure 3. a) Calculated reciprocal space map of the Laue diffraction from
a Si(Al) thermomigration channel with a thickness of 300μm; b) and c)
are correspondent cross-sections along qx and qz. The intrinsic strain is
e0 = 3.0 · 10−5.
Максимальная деформация возникает у входной и вы-
ходной поверхности канала, средняя деформация вдоль
канала равна εΔqz
2¯20 = 2.01 · 10−5.
66
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Заключение
Таким образом, численное моделирование и анализ
карт интенсивности рентгеновского рассеяния вблизи уз-
ла обратной решетки позволяют определить деформации
в кристалле с термомиграционными каналами.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Holý, V. High-Resolution X-ray Scattering from Thin Films and Multilayers / V. Holý, U. Pietch, T. Baumbach // Springer-Verlag Berlin Heidelberg. – 1999.
2. Iida, A. Separate measurements of dynamical and kinematical x-ray diffractions from silicon crystals with a triple crystal diffractometer / A. Iida, K. Kohra // Phys. Stat. Sol. (a) – 1979. - Vol. 51. – P. 533–542.
3. Lomov, A. Laue X-ray diffraction studies of the structural perfection of Al-doped thermomigration channels in silicon / A. A. Lomov, V. I. Punegov, B. M. Seredin // J. Appl. Cryst. – 2021. – Vol. 54. – P. 588–596.
4. Lomov, A. High-resolution X-ray Bragg diffraction in Al thermomigrated Si channels / A. A. Lomov, V. I. Punegov, A. Yu. Belov, B. M. Seredin // J. Appl. Cryst. – 2022. – Vol. 55. – P. 558–568.
5. Takagi, S. A Dynamical theory of diffraction applicable to crystals with any kind of small distortion / S. Takagi // Acta Cryst. – 1962. – Vol. 15, № 12. – P. 1311–1312.
6. Taupin, D. Theorie dynamique de la diffraction des rayons x par les cristaux deformes. / D. Taupin // Bull. Soc. Franc. Mineral. Crist. – 1964. - Vol. 87. – P. 469–511.
7. Epelboin, Y. Simulation of X-ray topographs. / Y. Epelboin // Mater. Sci. Eng. – 1985. - Vol. 73. – P. 1–43.
8. Punegov, V. Two-dimensional recurrence relations and Takagi-Taupin equations. I. Dynamical X-ray diffraction by a perfect crystal / V. I. Punegov, S. I. Kolosov // J. Appl. Cryst. – 2022. – Vol. 55. – P. 320–328.
