Russian Federation
Russian Federation
UDK 519.86 Теория экономико-математических моделей
The authors show that the Leontief model of linear interindustry balance can be available passing to the limit for some parameters from linear exchange model with change in economic status of some participants in economic operations. Moreover, the Leontief model itself can be subjected to the same limit procedure and transform to a new Leontief model. Parameters can have different interpretations, depending on the specific situation in the economy: change of priorities in the national economy, etc.
Leontief model, contractions of Lie groups
Введение
Афинные преобразования Rn — это обратимые отобра-
жения Rn в себя, которые в декартовых координатах за-
даются формулой
⃗r → A⃗r +⃗b,
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n ...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
,
⃗r = (x1, x2, . . . , xn)t, ⃗b = (b1, b2, . . . , bn)t, (1)
где t обозначает транспонирование, и образуют аффин-
ную группу A(n) [1]. Существует вложение пространства
Rn в пространствоRn+1 на единицу большей размерности
с координатами (x1, . . . , xn+1), задаваемое гиперплоско-
стью xn+1 = 1, тогда каждому аффинному преобразова-
нию (A,⃗b) из (1) можно сопоставить линейное преобразо-
вание, задаваемое (n + 1) × (n + 1)-матрицей A˜:
(A,⃗b) → A˜ =
(
A ⃗b
0 1
)
. (2)
Ограничение этого преобразования на гиперплоскость
xn+1 = 1 дает формулу (1). Отображение (2) задает го-
моморфное вложение группы аффинных преобразований
A(n) в группу GL(n + 1) [1].
Можно рассмотреть отображение, сопоставляющее
каждому аффинному преобразованию (1) линейное пре-
образование
⃗r → A⃗r, (3)
которое является гомоморфизмом аффинной группы A(n)
на группу линейных преобразований GL(n) [1]. Ядро это-
го гомоморфизма совпадает с группой сдвигов T(⃗b) про-
странства Rn, которая является нормальной подгруппой
аффинной группы A(n). Если матрица A ортогональна,
то будем иметь группу движений евклидовых пространств,
являющуюся подгруппой A(n).
Технически, аффинные преобразования пространства
Rn могут быть также получены предельными перехода-
ми [2, 3] по некоторым параметрам ϵi из группы общих ли-
нейных преобразований GL(n + 1) пространства Rn+1.
Параметры ϵi могут играть роль масштабных преобразова-
ний в пространстве представления Rn+1. В случае одно-
го параметра ϵ, при этом изменяется масштаб вдоль выде-
ленного направления. Таким образом, параметр ϵ разделя-
ет (n + 1)-мерное пространство представления, на кото-
ром действовала группа GL(n + 1), на два пространства
с разными свойствами (масштабами, физическими размер-
ностями и т. д.) — n-мерное, на котором действует теперь
афинная группа A(n) и одномерное. Примером может слу-
жить получение группы движений евклидовой плоскости
84
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
E(2) из ортогональной группы вращений трехмерного про-
странстваO(3). В физике элементарных частицE(2) сим-
метрию безмассовых частиц можно получить в пределе
бесконечных импульсов из SO(3) симметрии массивных
частиц [4]. Группу Галилея, действующую в пространстве
двух величин разной природы — пространства и времени,
также можно получить из группы вращений [2, 3].
Аффинные преобразования используются в различных
приложениях. Например, преобразования Пуанкаре в ре-
лятивистской физике являются подгруппой афинных пре-
образований и могут быть записаны в виде (1) или (2), где
⃗r — четырехмерный вектор пространства-времени, A =
(Aij) ∈ SO(3, 1) — матрица преобразований группы Ло-
ренца, ⃗b — четырехмерный вектор трансляции. Группу Пу-
анкаре можно получить предельным переходом из групп
псевдовращений де Ситтера SO(1, 4) или анти-де Ситте-
ра SO(2, 3).
В квантовой механике матрица плотности кубита может
быть представлена в виде [5]
ρ =
1
2
(
1 + x3 x1 − ix2
x1 + ix2 1 − x3
)
, (4)
и эволюцию открытой квантовой системы, описываемую
преобразованиями Крауса, можно свести к действию груп-
пы сжимающих аффинных преобразований (1) на вектор
⃗r = (x1, x2, x3) [6].
Еще один пример из математической модели нейрона,
которую предложили МакКаллош и Питс [7]. Активацион-
ный потенциал нейрона uk получается афинным преобра-
зованием в результате суммирования входных сигналов xj
с различными весами akj и сдвига на постоянную величи-
ну bk — барьер активации [8]
uk =
ΣN
j=1
akjxj + bk. (5)
Наконец, в математических моделях экономики стаци-
онарные состояния отображений (1) и (3) соответствуют
моделям Леонтьева и линейным моделям обмена. В дан-
ной статье мы используем идею предельных переходов
GL(n + 1) → A(n) для получения модели Леонтьева
для n участников из модели линейного обмена или между-
народной торговли для n+1 участников. При этом один из
участников меняет свою “природу” — экономический ста-
тус и становится “чистым” потребителем.
1. Модель Леонтьева
Применение математических методов в экономике име-
ет богатое прошлое. Теорию, методологию и практику меж-
отраслевого баланса предложил В. В. Леонтьев [9]. В 1973 г.
ему была присуждена Нобелевская премия по экономике
”за развитие метода ”затраты-выпуск” и применение его
к важнейшим экономическим проблемам”. Математические
модели экономики, отражающие с помощью математиче-
ских соотношений основные свойства экономических про-
цессов и явлений, представляют собой эффективный ин-
струмент исследования сложных экономических проблем.
Большой вклад в развитие экономико-математических ис-
следований, в том числе межотраслевого баланса, внесли
отечественные ученые [10–12].
Эффективное ведение народного хозяйства предпола-
гает наличие баланса между отдельными отраслями [9–14].
Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной сторо-
ны, как производитель некоторой продукции, а с другой —
как потребитель продуктов, производимых другими отрас-
лями.
Будем предполагать, что вся производящая сфера на-
родного хозяйства разбита на некоторое число n отрас-
лей, каждая из которых производит свой однородный про-
дукт, причем разные отрасли производят разные продук-
ты [12–14]. Например, межотраслевой баланс СССР за 1959 г.
был построен по 83 отраслям, а за 1972 г. — по 112 отрас-
лям [12].
Введем следующие обозначения:
xi — общий объем продукции отрасли i за данный про-
межуток времени — валовой выпуск i-й отрасли;
xij — объем продукции отрасли i, расходуемый отрас-
лью j в процессе производства;
yi — объем продукции отрасли i, предназначенный
к потреблению в непроизводственной сфере — объем ко-
нечного потребления.
Объем конечного потребления составляет обычно бо-
лее 75 % всей произведенной продукции. В него входят со-
здаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граж-
дан, обеспечение общественных потребностей (просве-
щение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры
и т. д.), поставки на экспорт [14].
В народном хозяйстве должно выполняться соотноше-
ние баланса, т. е. для любого i выполняться равенство
xi = xi1 + xi2 + . . . + xin + yi. (6)
Единицы измерения всех величин могут быть натуральны-
ми (кубометры, тонны, штуки и т. п.) или стоимостными.
В. В. Леонтьев, рассматривая развитие американской
экономики 30-е г. XX в., обратил внимание на то, что вели-
чины aij =
xij
xj
остаются постоянными в течение ряда лет.
Это обуславливается примерным постоянством используе-
мой технологии. Коэффициенты aij называют коэффици-
ентами прямых затрат (коэффициентами материалоемко-
сти).
Используя гипотезу линейности, получаем систему ли-
нейных уравнений, описывающую неподвижные при ото-
бражении (1) точки (положения равновесия)
⃗x = A⃗x + ⃗y. (7)
Вектор ⃗x = (x1, . . . , xn)t называется вектором валово-
го выпуска, вектор ⃗y = (y1, . . . , yn)t — вектором конеч-
ного потребления, а матрица A — матрицей прямых за-
трат [13, 14].
Матрица A — неотрицательная (все ее компоненты
неотрицательны). Векторы ⃗x и ⃗y тоже неотрицательны.
Уравнение (7) называется уравнением линейного межот-
раслевого баланса (моделью Леонтьева) [13, 14]. Основная
задача межотраслевого баланса: найти такой вектор вало-
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
85
вого выпуска ⃗x, который при известной матрице прямых за-
трат A обеспечивает заданный вектор конечного потреб-
ления ⃗y. Матрица A называется продуктивной, если для
любого вектора ⃗y ⩾ 0 существует решение ⃗x ⩾ 0 уравне-
ния (7). В этом случае и модель Леонтьева, определяемая
матрицей A, тоже называется продуктивной.
Систему линейных уравнений (7), используя отображе-
ние (2), можно переписать как [14]
x1...
xn
1
=
a11 . . . a1n y1 ...
...
...
...
an1 . . . ann yn
0 . . . 0 1
x1...
xn
1
(8)
или
x1...
xn
xn+1
=
a11 . . . a1.n+1 ...
...
...
an1 . . . an,n+1
0 . . . 1
x1...
xn
xn+1
, (9)
где yi и ai,n+1 связаны равенством yi = ai,n+1xn+1.
Уравнение (7) можно решить относительно ⃗x
⃗x = S⃗y, S = (E − A)−1. (10)
Матрица S называется матрицей полных затрат. Элементы
этой матрицы sij — величины валового выпуска продук-
ции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпус-
ка единицы конечного продукта j-й отрасли. Существует
несколько критериев продуктивности матрицы A [13, 14].
Первый критерий — матрица A продуктивна тогда и
только тогда, когда матрица S существует и неотрицатель-
на.
Второй критерий — матрица A продуктивна тогда
и только тогда, когда ее число Фробениуса λA (максималь-
ное положительное собственное число матрицыA) меньше
единицы.
Число Фробениуса λA неотрицательной матрицы удо-
влетворяет неравенствам [14]
r ⩽ λA ⩽ R, s ⩽ λA ⩽ S, (11)
где r = min ri, R = max ri, s = min si, S = max si,
ri — сумма элементов i-й строки, si — сумма элементов i-
го столбца. Если матрица A положительна, то все неравен-
ства строгие.
Мы можем рассмотреть и более общую модель
(
⃗x
⃗ξ
)
=
(
A B
0 D
)(
⃗x
⃗ξ
)
, ⃗y = B⃗ξ, (12)
где ⃗ξ — k-мерный вектор непроизводящей сферы народ-
ного хозяйства,D — матрица размера k×k, B — матрица
размера k × n. Непроизводящие отрасли связаны соотно-
шением ⃗ξ = D⃗ξ, которое формально выглядит как линей-
ная модель обмена, обсуждаемая ниже. Эта модель озна-
чает, что отрасли xi не пользуются продуктами отраслей
ξm, а отрасли ξm используют продукты отраслей xi.
Модель Леонтьева (7) или (8),(9) для n участников мо-
жет быть получена из модели линейного обмена с матрицей
A˜ для n + 1 участника
A˜ =
a11 . . . a1n a1,n+1 ...
...
...
...
an1 . . . ann an,n+1
an+1,1 . . . an+1,n an+1,n+1
(13)
занулением элементов an+1,i, при этом an+1,n+1 = 1,
а элементы ai,n+1 становятся произвольными числами.
Как следствие изменяется роль одного из участников.
В физических теориях этому соответствует изменение при-
роды (n + 1)-го направления.
Введение параметра ϵ в матрицуA˜ → A˜(ϵ) и последу-
ющее устремление этого параметра к нулю известно в ма-
тематике и физических приложениях как контракция [2, 3].
Мы будем вводить параметр ϵ таким образом, чтобы зану-
лялись элементы an+1,i, i = 1, . . . , n, а элемент an+1,n+1
стремился бы к 1.
2. Линейная модель обмена
Линейная модель обмена или модель международной
торговли дает ответ на следующий вопрос: какими долж-
ны быть соотношения между государственными бюдже-
тами стран, торгующих между собой, чтобы торговля бы-
ла взаимовыгодной, т. е. не было значительного дефицита
торгового баланса для каждой из стран участниц [14]?
Пусть xi — национальные бюджеты i-й страны, aij —
доли бюджетов xj , которую j-я страна тратит на покупку
товаров i-й страны. Будем полагать, что весь националь-
ный бюджет каждой страны расходуется только на закупку
товаров либо внутри страны, либо вне ее, т. е. выполняется
равенство
Σn
i=1
aij = 1, j = 1, . . . , n. Условие бездифи-
цитной торговли принимает вид [13, 14]
⃗x = A⃗x. (14)
Все элементы вектора ⃗x и матрицы A неотрицательны:
xi ⩾ 0, aij ⩾ 0.
Уравнение (14) означает, что “вектор бюджетов” ⃗x явля-
ется собственным вектором матрицыAс собственным зна-
чением λA, равным 1. Известно, что если в неотрицатель-
ной матрице A сумма элементов каждого столбца (строки)
равна одному и тому же числу λ, то ее число Фробениуса
λA равно λ. В линейной модели обмена сумма всех эле-
ментов в столбце равна 1, поэтому число Фробениуса λA
для нее равно 1, а значит, имеется нетривиальное решение
уравнения (14).
3. Предельный переход
Покажем, что модель Леонтьева (7) для n участников
можно получить из модели международной торговли для
n+1 участника в результате выделения строки и столбца
(n + 1)-го участника модели обмена введением специ-
86
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
альным образом параметра ϵ и последующего предельного
перехода.
Рассмотрим модель (14) с матрицей A = A˜ и ⃗x =
(x1, x2, . . . , xn, xn+1)t,
A˜ =
a11 . . . a1n a1,n+1
a21 . . . a2n a2,n+1 ...
...
...
...
an1 . . . ann an,n+1
an+1,1 . . . an+1,n an+1,n+1
. (15)
Число Фробениуса этой матрицы равно 1, так как сумма
всех aij в каждом столбце равна 1
Σn
i=1
aij = 1. (16)
Заметим, что если мы вычеркнем из этой матрицы лю-
бую i-ю строку и i-й столбец, то получим матрицуAразме-
ром n × n, у которой число Фробениуса меньше 1, так как
сумма оставшихся элементов aij в каждом столбце будет
меньше 1, что как раз и является условием продуктивности
модели Леонтьева.
Поскольку все элементы матрицы A˜, в том числе и эле-
менты an+1,i ai,n+1, меньше единицы, то можно эти эле-
менты обозначить как an+1,i = sin ϕi, ai,n+1 = sin yi,
an+1,n+1 = cos ϕn+1. Введем теперь параметр ϵ несим-
метричным вариантом контракции [2] и перейдем к пределу
ϵ → 0
lim
ϵ→0
A˜(ϵ) =
= lim
ϵ→0
a11 . . . a1n
1
ϵ sin ϵy1
a21 . . . a2n
1
ϵ sin ϵy2
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
1
ϵ sin ϵyn
ϵ sin ϵϕ1 . . . ϵ sin ϵϕn cos ϵϕn+1
=
=
a11 . . . a1n y1
a21 . . . a2n y2
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann yn
0 . . . 0 1
=
(
A ⃗y
0 1
)
. (17)
Число Фробениуса матрицы A с элементами aij i, j =
1, . . . , n размером n × n меньше 1, что и является усло-
вием продуктивности полученной модели Леонтьева. При
этом один из участников меняет свой статус и становится
потребителем.
Далее можно устроить новый предельный переход уже
в модели Леонтьева с матрицей A, вводя в нее новый па-
раметр и получить новую модель с двумя объектами непро-
изводственной сферы, которая также будет продуктивна.
4. Одномерная модель Леонтьева
В качестве простого примера рассмотрим одномерную
модель Леонтьева, в которой есть один производитель, вы-
пускающий продукцию x1. Часть продукции (a11 < 1) идет
на внутреннее потребление, остальное — на внешнее по-
требление (y)
x1 = a11x1 + y. (18)
Элемент одномерной матрицы a11 совпадает в этом случае
с числом Фробениуса и условие продуктивности a11 < 1
выполняется.
Эту модель можно записать как модель для двух участ-
ников
(
x1
x2
)
=
(
a11 a12
0 1
)(
x1
x2
)
, y = a12x2. (19)
Можно зафиксировать x2 = 1 и привести к виду
(
x1
1
)
=
(
a11 y
0 1
)(
x1
1
)
. (20)
Задавая значения y в уравнениях (18),(20) или x2 в урав-
нении в (19), будем находить необходимый объем выпуска
продукции x1.
Рассмотрим линейную модель обмена для двух участ-
ников
⃗x = A˜⃗x,
(
x1
x2
)
=
(
a11 a12
a21 a22
)(
x1
x2
)
. (21)
Для баланса нужно, чтобы сумма элементов в каждом
столбце матрицы равнялась единице
a1i + a2i = 1, i = 1, 2.
Число Фробениуса матрицы A˜ равно 1, при этом a11 < 1.
Так как все элементы aij меньше 1, их можно обозначить
как a21 = sin ϕ21, a12 = sin y, a22 = cos ϕ22. Выделим
второго участника модели Леонтьева и изменим его эконо-
мическую ”природу” с производителя на потребителя, ор-
ганизуя тем самым предельный переход [2]
A˜ → A˜(ϵ) =
(
a11
1
ϵ sin ϵy
ϵ sin ϵϕ21 cos ϵϕ22
)
−ϵ−→→0
−ϵ−→→0 A˜(0) =
(
a11 y
0 1
)
. (22)
Это означает, что второй участник процесса потребляет
продукцию первого, а первый не использует продукцию
второго. Получим продуктивную модель Леонтьева.
5. Заключение
Мы показали, что модель международного обмена и мо-
дель Леонтьева, будучи математически совершенно раз-
ными, тем не менее генетически связаны предельным пе-
реходом.
В физике предельными переходами можно связать раз-
ные теории. Например, квантовую и классическую механи-
ки можно связать предельным переходом, в котором пара-
метром служит постоянная Планка ϵ = ℏ. Классическую
механику можно получить предельным переходом к малым
скоростям по сравнению со скоростью света из специаль-
ной теории относительности с параметром ϵ =
v
c
. Похо-
жим образом могут быть связаны и две разные экономиче-
ские модели — модель Леонтьева и линейная модель об-
мена. Здесь параметр ϵ выделяет одного из производите-
лей, уменьшая в процессе предельного перехода его вклад
в общее производство и превращая в потребителя. Таким
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
87
образом, происходит разделение (n + 1)-го производите-
лей на n производителей и одного потребителя.
Параметр ϵ появляется и в соотношении, связывающим
запас продуктивности α(ϵ) и число Фробениуса λL(ϵ) по-
лученной модели Леонтьева [12, 14]
(1 + α(ϵ))λL(ϵ) = λA˜ = 1,
откуда
α(ϵ) =
1
λL(ϵ)
− 1.
Мы полагаем, что предельные переходы между различ-
ными моделями могут использоваться для описания кри-
зисных экономических процессов.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Novikov, S. P. Modern geometric structures and fields / S. P. Novikov, I. A. Taimanov. – Amer. Math. Soc., 2006. – 659 p.
2. Gromov, N. A. Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups] / N. A. Gromov. – Moscow : FIZMATLIT, 2012. – 318 p.
3. Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E. P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1953. – Vol. 39, № 6. – P. 510–524.
4. Emel’yanov, V. M. Fundamental’nye simmetrii [Fundamental symmetries] / V. M. Emel’yanov. – Moscow : MIFI, 2008. – 560 p.
5. Nielsen, M. A. Quantum computation and quantum information / M. A. Nielsen, I. L. Chuang. – Cambridge University Press, 2010. – 702 p.
6. Ruskai, M. B. An analysis of completely-positive tracepreserving maps on 2x2 matrices / M. B. Ruskai, S. Szarek, E. Werner // Lin. Alg. Appl. – 2002. – Vol. 347. – P. 159–187. ArXiv:quant-ph/0101003.
7. McCulloch, W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity / W. McCalloch, W. Pitts // Bull. Math. Biophys. – 1943. – Vol. 5. – P. 115–133.
8. Altaisky, M. V. Quantum neural networks: C urrent status and prospects for development / M. V. Altaisky, N. E. Kaputkina, V. A. Krylov // Physics of Particles and Nuclei. – 2014. – Vol. 45. – P. 1013–1032.
9. Leont‘ev, V. V. Izbrannye proizvedeniya v 3-x tomax. V. 1. Obšeékonomicheskie problemy mezhotraslevogo analiza [Selected works in 3 volumes. Vol. 1. General economic problems of intersectoral analysis] / V. V. Leont‘ev. – Moscow : Ekonomika, 2006. – 406 p.
10. Aganbegyan, A. G. Ekonomiko-matematicheskij analiz mezhotraslevogo balansa SSSR [Economic and mathematical analysis of the USSR interindustry balance] / A. G. Aganbegyan, A. G. Granberg. – Moscow : Mysl‘, 1968. – 357 p.
11. Nemchinov, V. S. Izbrannye proizvedeniya v 6 t. Planirovanie i narodno-xozyajstvennye balansy. T. 5. [Selected works in 6 volumes. Vol. 5. Planning and national- economic balances] / V. S. Nemchinov. – Moscow : Nauka, 1968. – 430 p.
12. Granberg, A. G. Matematicheskie modeli socialisticheskoj ekonomiki: Obshchie principy modelirovaniya i staticheskie modeli narodnogo hozyajstva: uchebnoe posobie dlya vuzov [Mathematical models of a socialist economy: General principles of modeling and static models of the national economy: study guide for universities] / G. Granberg. – Moscow : Ekonomika, – 1978. – 351 p.
13. Kolemaev, V. A. Matematicheskaya ekonomika: uchebnik dlya vuzov [Mathematical economics: textbook for universities] / V. A. Kolemaev. – Moscow : YuNITI, 2002. – 399 p.
14. Solodovnikov, A. S. Matematika v ekonomike: uchebnik. Ch. 1. Linejnaya algebra, analiticheskaya geometriya i linejnoe programmirovanie [Mathematics in economics: textbook. Part 1. Linear algebra, analytical geometry and linear programming] / A. S. Solodovnikov, V. A. Babajcev, A. V. Brailov, I. G. Shandra. – Moscow : Finansy i statistika, 2013. – 384 p.
