Россия
Россия
УДК 519.86 Теория экономико-математических моделей
Авторы показывают, что модель Леонтьева линейного многоотраслевого баланса можно получить предельным переходом по некоторым параметрам из линейной модели обмена с изменением экономического статуса некоторых участников хозяйственного процесса. Более того, саму модель Леонтьева можно подвергнуть такой же предельной процедуре и получить новую модель Леонтьева. Параметры могут иметь разные интерпретации, зависящие от конкретной ситуации в экономике: смена приоритетов в народном хозяйстве и др.
модель Леонтьева, контракции групп Ли
Введение
Афинные преобразования Rn — это обратимые отобра-
жения Rn в себя, которые в декартовых координатах за-
даются формулой
⃗r → A⃗r +⃗b,
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n ...
...
...
...
an1 an2 . . . ann
,
⃗r = (x1, x2, . . . , xn)t, ⃗b = (b1, b2, . . . , bn)t, (1)
где t обозначает транспонирование, и образуют аффин-
ную группу A(n) [1]. Существует вложение пространства
Rn в пространствоRn+1 на единицу большей размерности
с координатами (x1, . . . , xn+1), задаваемое гиперплоско-
стью xn+1 = 1, тогда каждому аффинному преобразова-
нию (A,⃗b) из (1) можно сопоставить линейное преобразо-
вание, задаваемое (n + 1) × (n + 1)-матрицей A˜:
(A,⃗b) → A˜ =
(
A ⃗b
0 1
)
. (2)
Ограничение этого преобразования на гиперплоскость
xn+1 = 1 дает формулу (1). Отображение (2) задает го-
моморфное вложение группы аффинных преобразований
A(n) в группу GL(n + 1) [1].
Можно рассмотреть отображение, сопоставляющее
каждому аффинному преобразованию (1) линейное пре-
образование
⃗r → A⃗r, (3)
которое является гомоморфизмом аффинной группы A(n)
на группу линейных преобразований GL(n) [1]. Ядро это-
го гомоморфизма совпадает с группой сдвигов T(⃗b) про-
странства Rn, которая является нормальной подгруппой
аффинной группы A(n). Если матрица A ортогональна,
то будем иметь группу движений евклидовых пространств,
являющуюся подгруппой A(n).
Технически, аффинные преобразования пространства
Rn могут быть также получены предельными перехода-
ми [2, 3] по некоторым параметрам ϵi из группы общих ли-
нейных преобразований GL(n + 1) пространства Rn+1.
Параметры ϵi могут играть роль масштабных преобразова-
ний в пространстве представления Rn+1. В случае одно-
го параметра ϵ, при этом изменяется масштаб вдоль выде-
ленного направления. Таким образом, параметр ϵ разделя-
ет (n + 1)-мерное пространство представления, на кото-
ром действовала группа GL(n + 1), на два пространства
с разными свойствами (масштабами, физическими размер-
ностями и т. д.) — n-мерное, на котором действует теперь
афинная группа A(n) и одномерное. Примером может слу-
жить получение группы движений евклидовой плоскости
84
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
E(2) из ортогональной группы вращений трехмерного про-
странстваO(3). В физике элементарных частицE(2) сим-
метрию безмассовых частиц можно получить в пределе
бесконечных импульсов из SO(3) симметрии массивных
частиц [4]. Группу Галилея, действующую в пространстве
двух величин разной природы — пространства и времени,
также можно получить из группы вращений [2, 3].
Аффинные преобразования используются в различных
приложениях. Например, преобразования Пуанкаре в ре-
лятивистской физике являются подгруппой афинных пре-
образований и могут быть записаны в виде (1) или (2), где
⃗r — четырехмерный вектор пространства-времени, A =
(Aij) ∈ SO(3, 1) — матрица преобразований группы Ло-
ренца, ⃗b — четырехмерный вектор трансляции. Группу Пу-
анкаре можно получить предельным переходом из групп
псевдовращений де Ситтера SO(1, 4) или анти-де Ситте-
ра SO(2, 3).
В квантовой механике матрица плотности кубита может
быть представлена в виде [5]
ρ =
1
2
(
1 + x3 x1 − ix2
x1 + ix2 1 − x3
)
, (4)
и эволюцию открытой квантовой системы, описываемую
преобразованиями Крауса, можно свести к действию груп-
пы сжимающих аффинных преобразований (1) на вектор
⃗r = (x1, x2, x3) [6].
Еще один пример из математической модели нейрона,
которую предложили МакКаллош и Питс [7]. Активацион-
ный потенциал нейрона uk получается афинным преобра-
зованием в результате суммирования входных сигналов xj
с различными весами akj и сдвига на постоянную величи-
ну bk — барьер активации [8]
uk =
ΣN
j=1
akjxj + bk. (5)
Наконец, в математических моделях экономики стаци-
онарные состояния отображений (1) и (3) соответствуют
моделям Леонтьева и линейным моделям обмена. В дан-
ной статье мы используем идею предельных переходов
GL(n + 1) → A(n) для получения модели Леонтьева
для n участников из модели линейного обмена или между-
народной торговли для n+1 участников. При этом один из
участников меняет свою “природу” — экономический ста-
тус и становится “чистым” потребителем.
1. Модель Леонтьева
Применение математических методов в экономике име-
ет богатое прошлое. Теорию, методологию и практику меж-
отраслевого баланса предложил В. В. Леонтьев [9]. В 1973 г.
ему была присуждена Нобелевская премия по экономике
”за развитие метода ”затраты-выпуск” и применение его
к важнейшим экономическим проблемам”. Математические
модели экономики, отражающие с помощью математиче-
ских соотношений основные свойства экономических про-
цессов и явлений, представляют собой эффективный ин-
струмент исследования сложных экономических проблем.
Большой вклад в развитие экономико-математических ис-
следований, в том числе межотраслевого баланса, внесли
отечественные ученые [10–12].
Эффективное ведение народного хозяйства предпола-
гает наличие баланса между отдельными отраслями [9–14].
Каждая отрасль при этом выступает двояко: с одной сторо-
ны, как производитель некоторой продукции, а с другой —
как потребитель продуктов, производимых другими отрас-
лями.
Будем предполагать, что вся производящая сфера на-
родного хозяйства разбита на некоторое число n отрас-
лей, каждая из которых производит свой однородный про-
дукт, причем разные отрасли производят разные продук-
ты [12–14]. Например, межотраслевой баланс СССР за 1959 г.
был построен по 83 отраслям, а за 1972 г. — по 112 отрас-
лям [12].
Введем следующие обозначения:
xi — общий объем продукции отрасли i за данный про-
межуток времени — валовой выпуск i-й отрасли;
xij — объем продукции отрасли i, расходуемый отрас-
лью j в процессе производства;
yi — объем продукции отрасли i, предназначенный
к потреблению в непроизводственной сфере — объем ко-
нечного потребления.
Объем конечного потребления составляет обычно бо-
лее 75 % всей произведенной продукции. В него входят со-
здаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граж-
дан, обеспечение общественных потребностей (просве-
щение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры
и т. д.), поставки на экспорт [14].
В народном хозяйстве должно выполняться соотноше-
ние баланса, т. е. для любого i выполняться равенство
xi = xi1 + xi2 + . . . + xin + yi. (6)
Единицы измерения всех величин могут быть натуральны-
ми (кубометры, тонны, штуки и т. п.) или стоимостными.
В. В. Леонтьев, рассматривая развитие американской
экономики 30-е г. XX в., обратил внимание на то, что вели-
чины aij =
xij
xj
остаются постоянными в течение ряда лет.
Это обуславливается примерным постоянством используе-
мой технологии. Коэффициенты aij называют коэффици-
ентами прямых затрат (коэффициентами материалоемко-
сти).
Используя гипотезу линейности, получаем систему ли-
нейных уравнений, описывающую неподвижные при ото-
бражении (1) точки (положения равновесия)
⃗x = A⃗x + ⃗y. (7)
Вектор ⃗x = (x1, . . . , xn)t называется вектором валово-
го выпуска, вектор ⃗y = (y1, . . . , yn)t — вектором конеч-
ного потребления, а матрица A — матрицей прямых за-
трат [13, 14].
Матрица A — неотрицательная (все ее компоненты
неотрицательны). Векторы ⃗x и ⃗y тоже неотрицательны.
Уравнение (7) называется уравнением линейного межот-
раслевого баланса (моделью Леонтьева) [13, 14]. Основная
задача межотраслевого баланса: найти такой вектор вало-
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
85
вого выпуска ⃗x, который при известной матрице прямых за-
трат A обеспечивает заданный вектор конечного потреб-
ления ⃗y. Матрица A называется продуктивной, если для
любого вектора ⃗y ⩾ 0 существует решение ⃗x ⩾ 0 уравне-
ния (7). В этом случае и модель Леонтьева, определяемая
матрицей A, тоже называется продуктивной.
Систему линейных уравнений (7), используя отображе-
ние (2), можно переписать как [14]
x1...
xn
1
=
a11 . . . a1n y1 ...
...
...
...
an1 . . . ann yn
0 . . . 0 1
x1...
xn
1
(8)
или
x1...
xn
xn+1
=
a11 . . . a1.n+1 ...
...
...
an1 . . . an,n+1
0 . . . 1
x1...
xn
xn+1
, (9)
где yi и ai,n+1 связаны равенством yi = ai,n+1xn+1.
Уравнение (7) можно решить относительно ⃗x
⃗x = S⃗y, S = (E − A)−1. (10)
Матрица S называется матрицей полных затрат. Элементы
этой матрицы sij — величины валового выпуска продук-
ции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпус-
ка единицы конечного продукта j-й отрасли. Существует
несколько критериев продуктивности матрицы A [13, 14].
Первый критерий — матрица A продуктивна тогда и
только тогда, когда матрица S существует и неотрицатель-
на.
Второй критерий — матрица A продуктивна тогда
и только тогда, когда ее число Фробениуса λA (максималь-
ное положительное собственное число матрицыA) меньше
единицы.
Число Фробениуса λA неотрицательной матрицы удо-
влетворяет неравенствам [14]
r ⩽ λA ⩽ R, s ⩽ λA ⩽ S, (11)
где r = min ri, R = max ri, s = min si, S = max si,
ri — сумма элементов i-й строки, si — сумма элементов i-
го столбца. Если матрица A положительна, то все неравен-
ства строгие.
Мы можем рассмотреть и более общую модель
(
⃗x
⃗ξ
)
=
(
A B
0 D
)(
⃗x
⃗ξ
)
, ⃗y = B⃗ξ, (12)
где ⃗ξ — k-мерный вектор непроизводящей сферы народ-
ного хозяйства,D — матрица размера k×k, B — матрица
размера k × n. Непроизводящие отрасли связаны соотно-
шением ⃗ξ = D⃗ξ, которое формально выглядит как линей-
ная модель обмена, обсуждаемая ниже. Эта модель озна-
чает, что отрасли xi не пользуются продуктами отраслей
ξm, а отрасли ξm используют продукты отраслей xi.
Модель Леонтьева (7) или (8),(9) для n участников мо-
жет быть получена из модели линейного обмена с матрицей
A˜ для n + 1 участника
A˜ =
a11 . . . a1n a1,n+1 ...
...
...
...
an1 . . . ann an,n+1
an+1,1 . . . an+1,n an+1,n+1
(13)
занулением элементов an+1,i, при этом an+1,n+1 = 1,
а элементы ai,n+1 становятся произвольными числами.
Как следствие изменяется роль одного из участников.
В физических теориях этому соответствует изменение при-
роды (n + 1)-го направления.
Введение параметра ϵ в матрицуA˜ → A˜(ϵ) и последу-
ющее устремление этого параметра к нулю известно в ма-
тематике и физических приложениях как контракция [2, 3].
Мы будем вводить параметр ϵ таким образом, чтобы зану-
лялись элементы an+1,i, i = 1, . . . , n, а элемент an+1,n+1
стремился бы к 1.
2. Линейная модель обмена
Линейная модель обмена или модель международной
торговли дает ответ на следующий вопрос: какими долж-
ны быть соотношения между государственными бюдже-
тами стран, торгующих между собой, чтобы торговля бы-
ла взаимовыгодной, т. е. не было значительного дефицита
торгового баланса для каждой из стран участниц [14]?
Пусть xi — национальные бюджеты i-й страны, aij —
доли бюджетов xj , которую j-я страна тратит на покупку
товаров i-й страны. Будем полагать, что весь националь-
ный бюджет каждой страны расходуется только на закупку
товаров либо внутри страны, либо вне ее, т. е. выполняется
равенство
Σn
i=1
aij = 1, j = 1, . . . , n. Условие бездифи-
цитной торговли принимает вид [13, 14]
⃗x = A⃗x. (14)
Все элементы вектора ⃗x и матрицы A неотрицательны:
xi ⩾ 0, aij ⩾ 0.
Уравнение (14) означает, что “вектор бюджетов” ⃗x явля-
ется собственным вектором матрицыAс собственным зна-
чением λA, равным 1. Известно, что если в неотрицатель-
ной матрице A сумма элементов каждого столбца (строки)
равна одному и тому же числу λ, то ее число Фробениуса
λA равно λ. В линейной модели обмена сумма всех эле-
ментов в столбце равна 1, поэтому число Фробениуса λA
для нее равно 1, а значит, имеется нетривиальное решение
уравнения (14).
3. Предельный переход
Покажем, что модель Леонтьева (7) для n участников
можно получить из модели международной торговли для
n+1 участника в результате выделения строки и столбца
(n + 1)-го участника модели обмена введением специ-
86
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
альным образом параметра ϵ и последующего предельного
перехода.
Рассмотрим модель (14) с матрицей A = A˜ и ⃗x =
(x1, x2, . . . , xn, xn+1)t,
A˜ =
a11 . . . a1n a1,n+1
a21 . . . a2n a2,n+1 ...
...
...
...
an1 . . . ann an,n+1
an+1,1 . . . an+1,n an+1,n+1
. (15)
Число Фробениуса этой матрицы равно 1, так как сумма
всех aij в каждом столбце равна 1
Σn
i=1
aij = 1. (16)
Заметим, что если мы вычеркнем из этой матрицы лю-
бую i-ю строку и i-й столбец, то получим матрицуAразме-
ром n × n, у которой число Фробениуса меньше 1, так как
сумма оставшихся элементов aij в каждом столбце будет
меньше 1, что как раз и является условием продуктивности
модели Леонтьева.
Поскольку все элементы матрицы A˜, в том числе и эле-
менты an+1,i ai,n+1, меньше единицы, то можно эти эле-
менты обозначить как an+1,i = sin ϕi, ai,n+1 = sin yi,
an+1,n+1 = cos ϕn+1. Введем теперь параметр ϵ несим-
метричным вариантом контракции [2] и перейдем к пределу
ϵ → 0
lim
ϵ→0
A˜(ϵ) =
= lim
ϵ→0
a11 . . . a1n
1
ϵ sin ϵy1
a21 . . . a2n
1
ϵ sin ϵy2
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann
1
ϵ sin ϵyn
ϵ sin ϵϕ1 . . . ϵ sin ϵϕn cos ϵϕn+1
=
=
a11 . . . a1n y1
a21 . . . a2n y2
. . . . . . . . . . . .
an1 . . . ann yn
0 . . . 0 1
=
(
A ⃗y
0 1
)
. (17)
Число Фробениуса матрицы A с элементами aij i, j =
1, . . . , n размером n × n меньше 1, что и является усло-
вием продуктивности полученной модели Леонтьева. При
этом один из участников меняет свой статус и становится
потребителем.
Далее можно устроить новый предельный переход уже
в модели Леонтьева с матрицей A, вводя в нее новый па-
раметр и получить новую модель с двумя объектами непро-
изводственной сферы, которая также будет продуктивна.
4. Одномерная модель Леонтьева
В качестве простого примера рассмотрим одномерную
модель Леонтьева, в которой есть один производитель, вы-
пускающий продукцию x1. Часть продукции (a11 < 1) идет
на внутреннее потребление, остальное — на внешнее по-
требление (y)
x1 = a11x1 + y. (18)
Элемент одномерной матрицы a11 совпадает в этом случае
с числом Фробениуса и условие продуктивности a11 < 1
выполняется.
Эту модель можно записать как модель для двух участ-
ников
(
x1
x2
)
=
(
a11 a12
0 1
)(
x1
x2
)
, y = a12x2. (19)
Можно зафиксировать x2 = 1 и привести к виду
(
x1
1
)
=
(
a11 y
0 1
)(
x1
1
)
. (20)
Задавая значения y в уравнениях (18),(20) или x2 в урав-
нении в (19), будем находить необходимый объем выпуска
продукции x1.
Рассмотрим линейную модель обмена для двух участ-
ников
⃗x = A˜⃗x,
(
x1
x2
)
=
(
a11 a12
a21 a22
)(
x1
x2
)
. (21)
Для баланса нужно, чтобы сумма элементов в каждом
столбце матрицы равнялась единице
a1i + a2i = 1, i = 1, 2.
Число Фробениуса матрицы A˜ равно 1, при этом a11 < 1.
Так как все элементы aij меньше 1, их можно обозначить
как a21 = sin ϕ21, a12 = sin y, a22 = cos ϕ22. Выделим
второго участника модели Леонтьева и изменим его эконо-
мическую ”природу” с производителя на потребителя, ор-
ганизуя тем самым предельный переход [2]
A˜ → A˜(ϵ) =
(
a11
1
ϵ sin ϵy
ϵ sin ϵϕ21 cos ϵϕ22
)
−ϵ−→→0
−ϵ−→→0 A˜(0) =
(
a11 y
0 1
)
. (22)
Это означает, что второй участник процесса потребляет
продукцию первого, а первый не использует продукцию
второго. Получим продуктивную модель Леонтьева.
5. Заключение
Мы показали, что модель международного обмена и мо-
дель Леонтьева, будучи математически совершенно раз-
ными, тем не менее генетически связаны предельным пе-
реходом.
В физике предельными переходами можно связать раз-
ные теории. Например, квантовую и классическую механи-
ки можно связать предельным переходом, в котором пара-
метром служит постоянная Планка ϵ = ℏ. Классическую
механику можно получить предельным переходом к малым
скоростям по сравнению со скоростью света из специаль-
ной теории относительности с параметром ϵ =
v
c
. Похо-
жим образом могут быть связаны и две разные экономиче-
ские модели — модель Леонтьева и линейная модель об-
мена. Здесь параметр ϵ выделяет одного из производите-
лей, уменьшая в процессе предельного перехода его вклад
в общее производство и превращая в потребителя. Таким
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
87
образом, происходит разделение (n + 1)-го производите-
лей на n производителей и одного потребителя.
Параметр ϵ появляется и в соотношении, связывающим
запас продуктивности α(ϵ) и число Фробениуса λL(ϵ) по-
лученной модели Леонтьева [12, 14]
(1 + α(ϵ))λL(ϵ) = λA˜ = 1,
откуда
α(ϵ) =
1
λL(ϵ)
− 1.
Мы полагаем, что предельные переходы между различ-
ными моделями могут использоваться для описания кри-
зисных экономических процессов.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Новиков, С. П. Современные геометрические структуры и поля / С. П. Новиков, И. А. Тайманов. – Москва: МЦНМО, 2014. – 581 с.
2. Громов, Н. А. Контракции классических и квантовых групп / Н. А. Громов. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 318 с.
3. Inönü, E. On the contraction of groups and their representations / E. Inönü, E. P. Wigner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. – 1953. – Vol. 39, № 6. – P. 510–524.
4. Емельянов, В. М. Фундаментальные симметрии / В. М. Емельянов. – Москва : МИФИ, 2008. – 560 с.
5. Нильсен, М. А. Квантовые вычисления и квантовая информация / М. А. Нильсен, И. Л. Чанг. – Москва : Мир, 2006. – 824 с.
6. Ruskai, M. B. An analysis of completely-positive tracepreserving maps on 2x2 matrices / M. B. Ruskai, S. Szarek, E. Werner // Lin. Alg. Appl. – 2002. – Vol. 347. – P. 159–187. ArXiv:quant-ph/0101003.
7. McCulloch, W. A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity / W. McCalloch, W. Pitts // Bull. Math. Biophys. – 1943. – V. 5. – P. 115-133.
8. Алтайский, М. В. Квантовые нейронные сети: современное состояние и перспективы развития / М. В. Алтайский, Н. Е. Капуткина, В. А. Крылов // Физика элементарных частиц и атомного ядра. – 2014. – Т. 45, № 5/6. – С. 1824–1864.
9. Леонтьев, В. В. Избранные произведения в 3-х томах. Т. 1. Общеэкономические проблемы межотраслевого анализа / В. В. Леонтьев. – Москва : Экономика, 2006. – 406 с.
10. Аганбегян, А. Г. Экономико-математический анализ межотраслевого баланса СССР / А. Г. Аганбегян, А. Г. Гранберг. – Москва : Мысль, 1968. – 357 с.
11. Немчинов, В. С. Избранные произведения в 6 т. Планирование и народно-хозяйственные балансы. Т. 5 / В. С. Немчинов. – Москва : Наука, 1968. – 430 c.
12. Гранберг, А. Г. Математические модели социалистической экономики: Общие принципы моделирования и статические модели народного хозяйства: учебное пособие для вузов / А. Г. Гранберг. – Москва : Экономика, – 1978. – 351 с.
13. Колемаев, В. А. Математическая экономика: учебник для вузов / В. А. Колемаев. – Москва : ЮНИТИ, 2002. – 399 с.
14. Солодовников, А. С. Математика в экономике: учебник. Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование / А. С. Солодовников, В. А. Бабайцев, А. В. Браилов, И. Г. Шандра. – Москва : Финансы и статистика, 2013. – 384 с.
