Россия
Россия
В работе рассматривается круговая арка, нагруженная равномерно распределенным нормальным давлением, направленным к центру. Концы арки прикреплены тросами, один конец которых прикреплен к дуге арки под соответствующим углом, и расстояние между точками прикрепления тросов не может увеличиваться. Определены значения давления, при которых возможны искривленные формы равновесия арки, и найдено наименьшее из этих значений, являющееся критической силой.
устойчивость, круговая арка, вариационная задача, точки бифуркации, односторонние ограничения, критическая сила
Введение
Расчет на устойчивость сложных тонкостенных кон-
струкций связан с исследованием вариационных нера-
венств или решением вариационных задач с ограничени-
ями на искомые функции в форме неравенств. Пробле-
ма устойчивости круговых арок раннее рассматривалась
Е. Л. Николаи [1]. При апроксимации перемещений исполь-
зовали сплайн-функции [2], для решения подобных задач
применяли метод глобальной оптимизации [3]. Экспери-
ментальное и численное изучение влияния односторонних
связей на устойчивость цилиндрических оболочек, сжима-
емых продольной силой, осуществлял Н. А. Алфутов в тру-
де [4]. Некоторые задачи устойчивости и закритического
поведения при наличии односторонних ограничений на пе-
ремещения рассмотрены в работах [5–7]. В предлагаемой
статье рассматривается проблема круговых арок, нагру-
женных равномерно распределенным нормальным давле-
нием, направленным к центру. Концы арки закреплены от-
косами так, что расстояние между точками прикрепления
откосов не может изменяться.
1. Устойчивость арок с односторонним под-
креплением
Пусть криволинейный стержень представляет собой
дугу окружности радиуса R. Стержень нагружен давлени-
ем P, равномерно распределенным вдоль дуги и направ-
ленным к центру ее кривизны. Уравнения недеформиро-
ванной оси арки имеют вид:
x = Rcos φ,
y = Rsin φ, φ ∈ (−τ, τ )
(1)
Обозначим единичные векторы нормали, касательной и би-
нормали к кривой (1) через
8<
:
η = (−sin φ, cos φ),
ξ = (−cos φ,−sin φ),
ζ = η × ξ.
Перемещение точек арки описывается вектором
g = u(φ)ξ + w(φ)η + v(φ)ζ. (2)
Здесь w(ϑ) — радиальное перемещение (прогиб), v(ϑ) —
касательное перемещение.
Пусть ξ∗, η∗, ζ∗ — нормаль, касательная и бинормаль
к деформированной кривой. Векторы ξ, η, ζ переходят
в ξ∗, η∗, ζ∗ путем поворота на малые углы α, β, γ, которые
связаны с перемещениями формулами [2]:
8<
:
β = 1
R(u
′
+ w),
α = − 1
Rv
′
,
w
′
= u.
(3)
22
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Деформация стержня характеризуется величинами
8
<
:
δp = 1
R(α
′
+ γ),
δq = 1
R2 β
′
,
δr = 1
R(γ
′
+ 1
Rv
′
).
С учетом (3) формулы примут вид:
8<
:
δp = − 1
R2 v
′′
+ 1
Rγ,
δq = 1
R2 (u
′′
+ u),
δr = 1
R(γ
′
+ 1
Rv
′
).
(4)
Упругая энергия стержня в квадратичном приближении
определяется функционалом
U =
Z τ
−τ
B
2R3 (u′′ + u)2 +
A
2R2 (γ − 1
R
v
′′
)2+
+
C
2R2 (γ
′
+
1
R
v
′′
)2
dφ,
а работа внешних сил может быть вычислена по формуле
PW, где
W =
1
2
Z τ
−τ
u
′
2 − 2u2 + v
′
2 − v2
dφ.
В выражении для упругой энергии введены обозначения
A,B — жесткости стержня на изгиб,C — жесткость стерж-
ня на кручение.
В положении равновесия полная энергия
J = U − PW
принимает минимальное (стационарное) значение. Не-
трудно увидеть, что поиск критической нагрузки сводится
к решению задачи изопериметрического типа
U → min
u,v,w
,
W = 1.
(5)
1.1. Аналитическое решение. Ясно, что множитель
Лагранжа в задаче (5) определяет критическую нагруз-
ку. Уравнения Эйлера
8><
>:
d2
dφ2 Fu′′ − d
dφFu
′ + Fu = 0,
d2
dφ2 Fv′′ − d
dφFv
′ + Fv = 0,
− d
dφFγ
′ + Fγ = 0
для функционала J имеют вид:
B
R3
uIV + 2u
′′
+ u
+ P
u
′′
+ 2u
(6)
A
R3 vIV − A
R2 γ
′′ − C
R3 v′′ − C
R2 γ
′′
+ P(v
′′ − v) = 0,
A
R3 v
′′ − A
R2 γ + C
R3 v′′ + C
R2 γ
′′
= 0.
(7)
Система уравнений Эйлера разделяется на две незави-
симые подсистемы: уравнение (6) описывает деформацию
арки в ее первоначальной плоскости, уравнения (7) описы-
вают пространственную деформацию. Уравнения (6) и (7)
совпадают с уравнениями, приведенными в [2].
Предположим, что арка подкреплена тросами, один ко-
нец которых прикреплен к дуге арки под соответствующим
углом
φj = −τ +
2τ
M + 1
j, j = 1, . . . ,M,
а другой — к точкам с координатами
8<
:
xj = −τ + 2τ
M+1j, j = 1, . . . ,M,
y = 0,
z = ±z0
так, что расстояние между точками прикрепления тросов
не может увеличиваться. Для увеличения критической си-
лы в случае пространственной деформации получаем при
φ = φj , j = 1, . . . ,M равенства
vj = 0. (8)
На плоскую форму потери устойчивости ограничения (8)
никак не влияют. Если одновременно учитывать как плос-
кую, так и пространственную деформацию, то вместо (8)
приходим к неравенствам
−Ru ± 2vz0 ⩽ 0 (9)
при φ = φj , j = 1, . . . ,M. Можно показать, что за-
дача определения критической силы может быть сведе-
на к вариационной проблеме изопериметрического типа (5)
и выполнению неравенств (9). Решение задачи (5)–(9) су-
щественно зависит от постоянных A, B, C (А,В — жестко-
сти при изгибе, С — жесткость на кручение), которые опре-
деляются формой поперечного сечения стержня. В случая,
когда сечение стержня есть эллипс с полуосями a, b, то
A =
π
4
Ea3b, B =
π
4
Eab3, C =
πEa3b3
(1 + ν)(a2 + b2)
,
E — модуль Юнга материала. Не умаляя общности, можно
считать, что E = 1.
1.2. Численный метод. Будем аппроксимировать функ-
ции u, v, w, γ интерполяционными кубическими сплайнами
вида [3]:
S(z, φ) = zi(1 − t)2(1 + 2t)+
+zi+1t2(3 − 2t)+
+miht(1 − t)2 − mi+1ht2(1 − t),
(10)
где вектор z имеет размерность 4n, а
mi = S′(z, φi), i = 0, ..., n + 1,
h = φi+1 − φi, t = (φ − φi)/h, t ∈ [0, 1].
При аппроксимации прогиба u
zi = ui = u(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n
аналогично приближаются остальные функции v, w, γ:
zi+n = ui = u(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n,
zi+2n = vi = v(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n,
zi+3n = wi = w(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
23
В случае граничных условий шарнирного опирания
условие непрерывности второй производной записывает-
ся в виде [2]:
2m0 + μ∗
0m1 = c∗
0,
λimi−1 + 2mi + μimi+1 = ci i = 1, ...,N − 1 (11)
λ∗
NmN−1 + 2mN = c∗
N,
причем
ci = 3
μi
zi+1 − zi
h
+ λi
zi − zi−1
h
,
μi = λi = 0, 5.
Здесь для граничных условий шарнирного опирания
μ∗
0 = λ∗
N = 1, c∗
0 = 3
z1
h
, c∗
N = −3
zN−1
h
.
Окончательно получаем, если интерполируется функ-
ция u(φ) и выполнены граничные условия шарнирного
опирания, то интерполяционный сплайн S(z, φ) удовле-
творяет условиям
z0 = 0, zn+1 = 0,
m0 = 3
hz1 − 1
2m1, mn+1 = 3
hzn − 1
2mn.
(12)
Аналогично, если интерполируется функция v(φ) и выпол-
нены условия жесткой заделки, то сплайн удовлетворяет
z0 = 0, zn+1 = 0,
m0 = 0, mn+1 = 0.
(13)
Определим вектор m = (m1,m2, ...,mn)t. Тогда m
может быть вычислен по формуле:
m = C−1Mu,
где матрицы C иM имеют вид:
C =
1
2
0
BBBBB@
a b 0 0 ... 0 0 0
1 4 1 0 ... 0 0 0
0 1 4 1 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 ... 1 4 1
0 0 0 0 ... 0 b a
1
CCCCCA
,
M =
3
2h
0
BBBBB@
c d 0 0 ... 0 0 0
−1 0 1 0 ... 0 0 0
0 −1 0 1 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 ... −1 0 1
0 0 0 0 ... 0 −d c
1
CCCCCA
,
где a = 4, b = 1, c = 0, d = −1, если сплайн S(z, φ)
удовлетворяет на концах интервала [0, α] условиям (13),
и при a = 3.5, b = 1, c = −0.5, d = 1, если выполня-
ются условия (12).
Для того, чтобы учесть условие несжимаемости, введем
штрафную функцию:
F =
D
2
Z α
0
u − w′
2
dφ,
где D — достаточно большое число, которое определяется
опытным путем в численных экспериментах.
С учетом штрафной функции задачу об устойчивости
арки можно сформулировать следующим образом: требу-
ется найти минимальное значение нагрузки P, при которой
вариационная задача
U =
Z τ
−τ
B
2R3 (u′′ + u)2 +
A
2R2 (γ − 1
R
v
′′
)2+
+
C
2R2 (γ
′
+
1
R
v
′′
)2
dφ−
−P
2
Z τ
−τ
u
′
2 − 2u2 + v
′
2 − v2
dφ+
+
D
2
Z τ
−τ
u − w′
2
dφ → min
u,v,w
при выполнении ограничений (5) имеет нетривиальное ре-
шение.
Рассмотрим вариационную задачу:
J1 =
1
2
Z α
0
1
2
(u′′ + u)2 +
AR
B
(γ − 1
R
v
′′
)2+
+
CR
B
(γ
′
+
1
R
v
′′
)2+
+
R3D
2B
u − w′2
dφ → min
u,v,w∈Γ1
(14)
J2 =
1
2
Z α
0
u′2 − ku2
dφ = 1 (15)
при граничных условиях (12) или (13) и выполнении нера-
венств (9).
Пусть u∗, v∗,w∗ — решение задачи (14), (15), (9) и λ∗ =
J1(u∗, v∗,w∗). Тогда для любого λ ≤ λ∗ J1(u, v,w) −
λJ2(u, v,w) ≥ 0 для всех (u, v,w) ∈ Γ1 и, наоборот,
если λ > λ∗, то найдутся функции (u, v,w) ∈ Γ1 такие,
что J1(u, v,w) − λJ2(u, v,w) < 0, т. е. P∗ = B
R3 λ∗
имеет смысл критической нагрузки: при P ≤ P∗ задача
(9),(14) имеет только тривиальное решение, при P > P∗
выполняется неравенство e J((u∗, v∗,w∗)) < 0.
После подстановки сплайнов S(v, φ) и eS(ev, φ) в (14),
(15) получаем две квадратичные формы:
g =
1
2
Z α
0
d2S
dφ2 + S
2
dφ +
D
2
Z α
0
S − eS′
2
dφ =
=
1
2
(Gz, z),
q =
1
2
Z α
0
S′2 − kS2
dφ =
1
2
(Qz, z).
Для вычисления коэффициентов квадратичных форм
необходимо вычислить следующие интегралы:
1. Интеграл от квадрата сплайна
Z α
0
S2(t)dt = h
Xn
i=0
11
105
zimih − 13
210
zimi+1h+
24
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
+
13
210
mihzi+1 − 1
70
mih2mi+1 − 11
105
zi+1mi+1h+
+
13
35
z2
i +
1
105
m2i
h2 +
9
35
zizi+1+
+
13
35
z2
i+1 +
1
105
m2i
+1h2
.
2. Интеграл от квадрата первой производной
Z α
0
S′2(t)dt =
1
5h
Xn
i=0
(zimih + zimi+1h − mihzi+1−
−1
3
mih2mi+1 − zi+1mi+1h + 6z2
i +
+
2
3
m2i
h2 − 12zizi+1 + 6 · z2
i+1 +
2
3
m2i
+1h2
.
3. Интеграл от квадрата второй производной
Z α
0
S′′2(t)dt =
1
h3
Xn
i=0
12z2
i + 12zimi+1h−
−24zizi+1 + 12zimih − 12zi+1mi+1h+
+4mih2mi+1 + 4m2i
+1h2 + 12z2
i+1
−
−12mihzi+1 + 4m2i
h2
.
4. Интеграл от произведения второй производной и сплай-
на
Z α
0
S′′(t) · eS(t)dt =
1
10
Xn
i=0
(zn+i+1mih − emihzi+1−
−zi+nmih + emihzi − emi+1hzi − zn+i+1mi+1h+
+zi+nmi+1h +
1
6
emih2mi+1 + emi+1hzi+1−
−1
6
emi+1h2mi + 5zn+i+1zi + 5zn+i+1zi+1−
−5zn+izi − 5zn+izi+1) .
Здесь числа z0, zn+1, m0, mn+1 (в зависимости от гра-
ничных условий) определяются формулами (13) или (12).
Для сплайна eS(ez, φ) ez0 = 0, ezn+1 = 0, em0 =
0, emn+1 = 0.
Приходим к конечномерной задаче оптимизации:
g(z) =
1
2
(Gz, z) → min
z∈R2n
(16)
q(z) =
1
2
(Qz, z) = 1, (17)
(aj , z) ≤ 0, j = 1, . . . ,M. (18)
В (18) векторы aj ∈ R2n получаются в результате под-
становки сплайнов S(z, φ) и eS(ez, φ) в (9). Квадратич-
ные формы g(z) и q(z) положительно определены, если
α < π.
Обозначим через Γ конус, определяемый неравенства-
ми (18). Пусть z∗ — решение задачи (16)–(18). Тогда по тео-
реме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа λ∗ и τj ,
τj ≥ 0, j = 1, . . . ,M, такие, что
(
Gz∗ − λ∗Qz∗ +
PM
j=1 τjaj = 0,
τj(aj , z) = 0, j = 1, . . . ,M.
(19)
У системы уравнений (19) есть необходимые условия
экстремума, но, так как задача (16)–(18) не является зада-
чей выпуклого программирования, то эти условия не до-
статочны. Точки z∗, удовлетворяющие (19), будем называть
стационарными.
Для решения задачи (19) необходимо применять ме-
тоды глобальной оптимизации (например, метод ветвей
и границ [3]), число переменных может быть велико,
а в данном случае трудоемкость метода ветвей и границ
определяется размерностью задачи. Для решения зада-
чи (16)–(18) применялся метод поиска стационарных то-
чек [6, 7].
Поскольку метод ветвей и границ является довольно
трудоемким, в данном случае можно предложить метод пе-
ребора вариантов, который в сочетании с локальным алго-
ритмом может оказаться более предпочтительным.
2. Результаты и их обсуждение
ПриM = 3, τ = π
2 арка представляет собой половину
дуги окружности. При расчетах использовались граничные
условия жесткой заделки:
u = 0, w = 0, u
′
+ w = 0, v = 0, v
′
= 0, γ = 0
при φ = ±τ ; и шарнирного опирания:
u = 0, w = 0, u
′′
+ w′ = 0, v = 0, v
′′
+ γ
′
= 0,
при φ = ±τ.
Круговая форма равновесия арки устойчива, если дав-
ление P не превосходит некоторого предельного значения
Pkp. Предположим, что сечение арки — круг, т. е. полуоси
a = b = 1. Без ограничений (9) решение задачи (5) дает
критическую силу Pkp = 5.2892. Если же рассматривать
задачу (5)–(9), то Pkp = 5.3570. В данном случае получа-
ется, что u ≡ 0 и w ≡ 0, а v = 0 в точках прикрепле-
ния тросов. В табл. 1, 2 приведены результаты вычислений
при разных граничных условиях и значений полуосей эл-
липса, в последнем столбце — значения при выполнении
неравенства
−Rui ± 2viz0 ≤ 0,
характеризующего одновременно плоскую и простран-
ственную деформации.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
25
Таблица 1
Результаты вычислений при граничных условиях жесткой заделки
Table 1
Calculation results for rigid embedment boundary conditions
без огр. vi = 0 удовл. (9)
a=0.5, b=1 0.0570 0.3764 0.0755
a=0.75, b=1 1.3758 4.9026 1.4793
a=1.0, b=1 5.2892 11.4203 5.3570
a=2.0, b=1 22.7900 22.7900 24.1390
Таблица 2
Результаты вычислений при граничных условиях шарнирного опирания
Table 2
Calculation results for hinged support boundary conditions
без огр. vi = 0 удовл. (9)
a=0.5, b=1 0 0.1492 0.0384
a=0.75, b=1 0 2.7697 0.8352
a=1.0, b=1 0 8.5631 2.4033
a=2.0, b=1 0 23.2861 13.2698
Результаты вычислений показали, что одновременный
учет плоской и пространственной деформации приводит
к снижению критической нагрузки.
Заключение
Учитывая проведенный численный анализ, можно сде-
лать вывод, что устойчивость арки, подкрепленной откоса-
ми (тросами), расстояние между концами которых не может
изменяться, существенно увеличивает значение критиче-
ской нагрузки. При этом для правильной оценки критиче-
ской силы необходимо учитывать как пространственную,
так и плоскую деформацию (u ̸= 0 и v ̸= 0), в отличие
от случая без подкрепления. Тогда при потере устойчиво-
сти происходит либо деформация арки в ее первоначаль-
ной плоскости (v = 0 и γ = 0), либо пространственная
деформация (u = 0 и w = 0). Величина критической си-
лы существенно зависит от констант жесткости A и B, от
радиуса R и граничных условий.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Николаи, Е. Л. Труды по механике / Е. Л. Николаи. – Москва : Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. – 583 с.
2. Завьялов, Ю. С. Методы сплайн-функций / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. – Москва : Наука, 1980. – 352 с.
3. Сухарев, А. Г. Глобальный экстремум и методы его отыскания // Математические методы и исследования операций. – Москва : Изд-во МГУ, 1981. – С. 4–37.
4. Алфутов, Н. А. Влияние односторонних связей наустойчивость цилиндрических оболочек при осевом сжатии / Н. А. Алфутов, А. Н. Еремичев // Расчеты на прочность. – Москва : Машиностроение, 1989. – С. 179–180.
5. Феодосьев, В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов / В. И. Феодосьев. – Москва : Наука, 1967. – 376 с.
6. Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.
7. Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint- Petersburg: Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.
