Russian Federation
Russian Federation
The work considers a circular arch loaded with uniformly distributed normal pressure directed towards the centre. The ends of the arch are attached with cables, one end of which is attached to the arc of the arch at an appropriate angle, and the distance between the points of attachment of the cables cannot be increased. We estimated pressure values, at which curved equilibrium forms of the arch are possible, and the smallest of these values is found, which is the critical force.
stability, circular arch, variational problem, bifurcation points, one-sided constraints, critical force
Введение
Расчет на устойчивость сложных тонкостенных кон-
струкций связан с исследованием вариационных нера-
венств или решением вариационных задач с ограничени-
ями на искомые функции в форме неравенств. Пробле-
ма устойчивости круговых арок раннее рассматривалась
Е. Л. Николаи [1]. При апроксимации перемещений исполь-
зовали сплайн-функции [2], для решения подобных задач
применяли метод глобальной оптимизации [3]. Экспери-
ментальное и численное изучение влияния односторонних
связей на устойчивость цилиндрических оболочек, сжима-
емых продольной силой, осуществлял Н. А. Алфутов в тру-
де [4]. Некоторые задачи устойчивости и закритического
поведения при наличии односторонних ограничений на пе-
ремещения рассмотрены в работах [5–7]. В предлагаемой
статье рассматривается проблема круговых арок, нагру-
женных равномерно распределенным нормальным давле-
нием, направленным к центру. Концы арки закреплены от-
косами так, что расстояние между точками прикрепления
откосов не может изменяться.
1. Устойчивость арок с односторонним под-
креплением
Пусть криволинейный стержень представляет собой
дугу окружности радиуса R. Стержень нагружен давлени-
ем P, равномерно распределенным вдоль дуги и направ-
ленным к центру ее кривизны. Уравнения недеформиро-
ванной оси арки имеют вид:
x = Rcos φ,
y = Rsin φ, φ ∈ (−τ, τ )
(1)
Обозначим единичные векторы нормали, касательной и би-
нормали к кривой (1) через
8<
:
η = (−sin φ, cos φ),
ξ = (−cos φ,−sin φ),
ζ = η × ξ.
Перемещение точек арки описывается вектором
g = u(φ)ξ + w(φ)η + v(φ)ζ. (2)
Здесь w(ϑ) — радиальное перемещение (прогиб), v(ϑ) —
касательное перемещение.
Пусть ξ∗, η∗, ζ∗ — нормаль, касательная и бинормаль
к деформированной кривой. Векторы ξ, η, ζ переходят
в ξ∗, η∗, ζ∗ путем поворота на малые углы α, β, γ, которые
связаны с перемещениями формулами [2]:
8<
:
β = 1
R(u
′
+ w),
α = − 1
Rv
′
,
w
′
= u.
(3)
22
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
Деформация стержня характеризуется величинами
8
<
:
δp = 1
R(α
′
+ γ),
δq = 1
R2 β
′
,
δr = 1
R(γ
′
+ 1
Rv
′
).
С учетом (3) формулы примут вид:
8<
:
δp = − 1
R2 v
′′
+ 1
Rγ,
δq = 1
R2 (u
′′
+ u),
δr = 1
R(γ
′
+ 1
Rv
′
).
(4)
Упругая энергия стержня в квадратичном приближении
определяется функционалом
U =
Z τ
−τ
B
2R3 (u′′ + u)2 +
A
2R2 (γ − 1
R
v
′′
)2+
+
C
2R2 (γ
′
+
1
R
v
′′
)2
dφ,
а работа внешних сил может быть вычислена по формуле
PW, где
W =
1
2
Z τ
−τ
u
′
2 − 2u2 + v
′
2 − v2
dφ.
В выражении для упругой энергии введены обозначения
A,B — жесткости стержня на изгиб,C — жесткость стерж-
ня на кручение.
В положении равновесия полная энергия
J = U − PW
принимает минимальное (стационарное) значение. Не-
трудно увидеть, что поиск критической нагрузки сводится
к решению задачи изопериметрического типа
U → min
u,v,w
,
W = 1.
(5)
1.1. Аналитическое решение. Ясно, что множитель
Лагранжа в задаче (5) определяет критическую нагруз-
ку. Уравнения Эйлера
8><
>:
d2
dφ2 Fu′′ − d
dφFu
′ + Fu = 0,
d2
dφ2 Fv′′ − d
dφFv
′ + Fv = 0,
− d
dφFγ
′ + Fγ = 0
для функционала J имеют вид:
B
R3
uIV + 2u
′′
+ u
+ P
u
′′
+ 2u
(6)
A
R3 vIV − A
R2 γ
′′ − C
R3 v′′ − C
R2 γ
′′
+ P(v
′′ − v) = 0,
A
R3 v
′′ − A
R2 γ + C
R3 v′′ + C
R2 γ
′′
= 0.
(7)
Система уравнений Эйлера разделяется на две незави-
симые подсистемы: уравнение (6) описывает деформацию
арки в ее первоначальной плоскости, уравнения (7) описы-
вают пространственную деформацию. Уравнения (6) и (7)
совпадают с уравнениями, приведенными в [2].
Предположим, что арка подкреплена тросами, один ко-
нец которых прикреплен к дуге арки под соответствующим
углом
φj = −τ +
2τ
M + 1
j, j = 1, . . . ,M,
а другой — к точкам с координатами
8<
:
xj = −τ + 2τ
M+1j, j = 1, . . . ,M,
y = 0,
z = ±z0
так, что расстояние между точками прикрепления тросов
не может увеличиваться. Для увеличения критической си-
лы в случае пространственной деформации получаем при
φ = φj , j = 1, . . . ,M равенства
vj = 0. (8)
На плоскую форму потери устойчивости ограничения (8)
никак не влияют. Если одновременно учитывать как плос-
кую, так и пространственную деформацию, то вместо (8)
приходим к неравенствам
−Ru ± 2vz0 ⩽ 0 (9)
при φ = φj , j = 1, . . . ,M. Можно показать, что за-
дача определения критической силы может быть сведе-
на к вариационной проблеме изопериметрического типа (5)
и выполнению неравенств (9). Решение задачи (5)–(9) су-
щественно зависит от постоянных A, B, C (А,В — жестко-
сти при изгибе, С — жесткость на кручение), которые опре-
деляются формой поперечного сечения стержня. В случая,
когда сечение стержня есть эллипс с полуосями a, b, то
A =
π
4
Ea3b, B =
π
4
Eab3, C =
πEa3b3
(1 + ν)(a2 + b2)
,
E — модуль Юнга материала. Не умаляя общности, можно
считать, что E = 1.
1.2. Численный метод. Будем аппроксимировать функ-
ции u, v, w, γ интерполяционными кубическими сплайнами
вида [3]:
S(z, φ) = zi(1 − t)2(1 + 2t)+
+zi+1t2(3 − 2t)+
+miht(1 − t)2 − mi+1ht2(1 − t),
(10)
где вектор z имеет размерность 4n, а
mi = S′(z, φi), i = 0, ..., n + 1,
h = φi+1 − φi, t = (φ − φi)/h, t ∈ [0, 1].
При аппроксимации прогиба u
zi = ui = u(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n
аналогично приближаются остальные функции v, w, γ:
zi+n = ui = u(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n,
zi+2n = vi = v(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n,
zi+3n = wi = w(φi), φi = i · h, i = 1, . . . , n.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
23
В случае граничных условий шарнирного опирания
условие непрерывности второй производной записывает-
ся в виде [2]:
2m0 + μ∗
0m1 = c∗
0,
λimi−1 + 2mi + μimi+1 = ci i = 1, ...,N − 1 (11)
λ∗
NmN−1 + 2mN = c∗
N,
причем
ci = 3
μi
zi+1 − zi
h
+ λi
zi − zi−1
h
,
μi = λi = 0, 5.
Здесь для граничных условий шарнирного опирания
μ∗
0 = λ∗
N = 1, c∗
0 = 3
z1
h
, c∗
N = −3
zN−1
h
.
Окончательно получаем, если интерполируется функ-
ция u(φ) и выполнены граничные условия шарнирного
опирания, то интерполяционный сплайн S(z, φ) удовле-
творяет условиям
z0 = 0, zn+1 = 0,
m0 = 3
hz1 − 1
2m1, mn+1 = 3
hzn − 1
2mn.
(12)
Аналогично, если интерполируется функция v(φ) и выпол-
нены условия жесткой заделки, то сплайн удовлетворяет
z0 = 0, zn+1 = 0,
m0 = 0, mn+1 = 0.
(13)
Определим вектор m = (m1,m2, ...,mn)t. Тогда m
может быть вычислен по формуле:
m = C−1Mu,
где матрицы C иM имеют вид:
C =
1
2
0
BBBBB@
a b 0 0 ... 0 0 0
1 4 1 0 ... 0 0 0
0 1 4 1 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 ... 1 4 1
0 0 0 0 ... 0 b a
1
CCCCCA
,
M =
3
2h
0
BBBBB@
c d 0 0 ... 0 0 0
−1 0 1 0 ... 0 0 0
0 −1 0 1 ... 0 0 0
...
0 0 0 0 ... −1 0 1
0 0 0 0 ... 0 −d c
1
CCCCCA
,
где a = 4, b = 1, c = 0, d = −1, если сплайн S(z, φ)
удовлетворяет на концах интервала [0, α] условиям (13),
и при a = 3.5, b = 1, c = −0.5, d = 1, если выполня-
ются условия (12).
Для того, чтобы учесть условие несжимаемости, введем
штрафную функцию:
F =
D
2
Z α
0
u − w′
2
dφ,
где D — достаточно большое число, которое определяется
опытным путем в численных экспериментах.
С учетом штрафной функции задачу об устойчивости
арки можно сформулировать следующим образом: требу-
ется найти минимальное значение нагрузки P, при которой
вариационная задача
U =
Z τ
−τ
B
2R3 (u′′ + u)2 +
A
2R2 (γ − 1
R
v
′′
)2+
+
C
2R2 (γ
′
+
1
R
v
′′
)2
dφ−
−P
2
Z τ
−τ
u
′
2 − 2u2 + v
′
2 − v2
dφ+
+
D
2
Z τ
−τ
u − w′
2
dφ → min
u,v,w
при выполнении ограничений (5) имеет нетривиальное ре-
шение.
Рассмотрим вариационную задачу:
J1 =
1
2
Z α
0
1
2
(u′′ + u)2 +
AR
B
(γ − 1
R
v
′′
)2+
+
CR
B
(γ
′
+
1
R
v
′′
)2+
+
R3D
2B
u − w′2
dφ → min
u,v,w∈Γ1
(14)
J2 =
1
2
Z α
0
u′2 − ku2
dφ = 1 (15)
при граничных условиях (12) или (13) и выполнении нера-
венств (9).
Пусть u∗, v∗,w∗ — решение задачи (14), (15), (9) и λ∗ =
J1(u∗, v∗,w∗). Тогда для любого λ ≤ λ∗ J1(u, v,w) −
λJ2(u, v,w) ≥ 0 для всех (u, v,w) ∈ Γ1 и, наоборот,
если λ > λ∗, то найдутся функции (u, v,w) ∈ Γ1 такие,
что J1(u, v,w) − λJ2(u, v,w) < 0, т. е. P∗ = B
R3 λ∗
имеет смысл критической нагрузки: при P ≤ P∗ задача
(9),(14) имеет только тривиальное решение, при P > P∗
выполняется неравенство e J((u∗, v∗,w∗)) < 0.
После подстановки сплайнов S(v, φ) и eS(ev, φ) в (14),
(15) получаем две квадратичные формы:
g =
1
2
Z α
0
d2S
dφ2 + S
2
dφ +
D
2
Z α
0
S − eS′
2
dφ =
=
1
2
(Gz, z),
q =
1
2
Z α
0
S′2 − kS2
dφ =
1
2
(Qz, z).
Для вычисления коэффициентов квадратичных форм
необходимо вычислить следующие интегралы:
1. Интеграл от квадрата сплайна
Z α
0
S2(t)dt = h
Xn
i=0
11
105
zimih − 13
210
zimi+1h+
24
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
+
13
210
mihzi+1 − 1
70
mih2mi+1 − 11
105
zi+1mi+1h+
+
13
35
z2
i +
1
105
m2i
h2 +
9
35
zizi+1+
+
13
35
z2
i+1 +
1
105
m2i
+1h2
.
2. Интеграл от квадрата первой производной
Z α
0
S′2(t)dt =
1
5h
Xn
i=0
(zimih + zimi+1h − mihzi+1−
−1
3
mih2mi+1 − zi+1mi+1h + 6z2
i +
+
2
3
m2i
h2 − 12zizi+1 + 6 · z2
i+1 +
2
3
m2i
+1h2
.
3. Интеграл от квадрата второй производной
Z α
0
S′′2(t)dt =
1
h3
Xn
i=0
12z2
i + 12zimi+1h−
−24zizi+1 + 12zimih − 12zi+1mi+1h+
+4mih2mi+1 + 4m2i
+1h2 + 12z2
i+1
−
−12mihzi+1 + 4m2i
h2
.
4. Интеграл от произведения второй производной и сплай-
на
Z α
0
S′′(t) · eS(t)dt =
1
10
Xn
i=0
(zn+i+1mih − emihzi+1−
−zi+nmih + emihzi − emi+1hzi − zn+i+1mi+1h+
+zi+nmi+1h +
1
6
emih2mi+1 + emi+1hzi+1−
−1
6
emi+1h2mi + 5zn+i+1zi + 5zn+i+1zi+1−
−5zn+izi − 5zn+izi+1) .
Здесь числа z0, zn+1, m0, mn+1 (в зависимости от гра-
ничных условий) определяются формулами (13) или (12).
Для сплайна eS(ez, φ) ez0 = 0, ezn+1 = 0, em0 =
0, emn+1 = 0.
Приходим к конечномерной задаче оптимизации:
g(z) =
1
2
(Gz, z) → min
z∈R2n
(16)
q(z) =
1
2
(Qz, z) = 1, (17)
(aj , z) ≤ 0, j = 1, . . . ,M. (18)
В (18) векторы aj ∈ R2n получаются в результате под-
становки сплайнов S(z, φ) и eS(ez, φ) в (9). Квадратич-
ные формы g(z) и q(z) положительно определены, если
α < π.
Обозначим через Γ конус, определяемый неравенства-
ми (18). Пусть z∗ — решение задачи (16)–(18). Тогда по тео-
реме Куна-Таккера найдутся множители Лагранжа λ∗ и τj ,
τj ≥ 0, j = 1, . . . ,M, такие, что
(
Gz∗ − λ∗Qz∗ +
PM
j=1 τjaj = 0,
τj(aj , z) = 0, j = 1, . . . ,M.
(19)
У системы уравнений (19) есть необходимые условия
экстремума, но, так как задача (16)–(18) не является зада-
чей выпуклого программирования, то эти условия не до-
статочны. Точки z∗, удовлетворяющие (19), будем называть
стационарными.
Для решения задачи (19) необходимо применять ме-
тоды глобальной оптимизации (например, метод ветвей
и границ [3]), число переменных может быть велико,
а в данном случае трудоемкость метода ветвей и границ
определяется размерностью задачи. Для решения зада-
чи (16)–(18) применялся метод поиска стационарных то-
чек [6, 7].
Поскольку метод ветвей и границ является довольно
трудоемким, в данном случае можно предложить метод пе-
ребора вариантов, который в сочетании с локальным алго-
ритмом может оказаться более предпочтительным.
2. Результаты и их обсуждение
ПриM = 3, τ = π
2 арка представляет собой половину
дуги окружности. При расчетах использовались граничные
условия жесткой заделки:
u = 0, w = 0, u
′
+ w = 0, v = 0, v
′
= 0, γ = 0
при φ = ±τ ; и шарнирного опирания:
u = 0, w = 0, u
′′
+ w′ = 0, v = 0, v
′′
+ γ
′
= 0,
при φ = ±τ.
Круговая форма равновесия арки устойчива, если дав-
ление P не превосходит некоторого предельного значения
Pkp. Предположим, что сечение арки — круг, т. е. полуоси
a = b = 1. Без ограничений (9) решение задачи (5) дает
критическую силу Pkp = 5.2892. Если же рассматривать
задачу (5)–(9), то Pkp = 5.3570. В данном случае получа-
ется, что u ≡ 0 и w ≡ 0, а v = 0 в точках прикрепле-
ния тросов. В табл. 1, 2 приведены результаты вычислений
при разных граничных условиях и значений полуосей эл-
липса, в последнем столбце — значения при выполнении
неравенства
−Rui ± 2viz0 ≤ 0,
характеризующего одновременно плоскую и простран-
ственную деформации.
Известия Коми научного центра Уральского отделения Российской академии наук № 5 (71), 2024
Серия «Физико-математические науки»
www.izvestia.komisc.ru
25
Таблица 1
Результаты вычислений при граничных условиях жесткой заделки
Table 1
Calculation results for rigid embedment boundary conditions
без огр. vi = 0 удовл. (9)
a=0.5, b=1 0.0570 0.3764 0.0755
a=0.75, b=1 1.3758 4.9026 1.4793
a=1.0, b=1 5.2892 11.4203 5.3570
a=2.0, b=1 22.7900 22.7900 24.1390
Таблица 2
Результаты вычислений при граничных условиях шарнирного опирания
Table 2
Calculation results for hinged support boundary conditions
без огр. vi = 0 удовл. (9)
a=0.5, b=1 0 0.1492 0.0384
a=0.75, b=1 0 2.7697 0.8352
a=1.0, b=1 0 8.5631 2.4033
a=2.0, b=1 0 23.2861 13.2698
Результаты вычислений показали, что одновременный
учет плоской и пространственной деформации приводит
к снижению критической нагрузки.
Заключение
Учитывая проведенный численный анализ, можно сде-
лать вывод, что устойчивость арки, подкрепленной откоса-
ми (тросами), расстояние между концами которых не может
изменяться, существенно увеличивает значение критиче-
ской нагрузки. При этом для правильной оценки критиче-
ской силы необходимо учитывать как пространственную,
так и плоскую деформацию (u ̸= 0 и v ̸= 0), в отличие
от случая без подкрепления. Тогда при потере устойчиво-
сти происходит либо деформация арки в ее первоначаль-
ной плоскости (v = 0 и γ = 0), либо пространственная
деформация (u = 0 и w = 0). Величина критической си-
лы существенно зависит от констант жесткости A и B, от
радиуса R и граничных условий.
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
1. Nikolai, E. L. Trudy po mekhanike [Writings on Mechanics] / E. L. Nikolai. – Moskva : Izd-vo tekhniko-teoreticheskoy literatury, 1955. – 584 p.
2. Zav’yalov, Yu. S. Metody splayn-funktsiy [Methods of spline functions] / Yu. S. Zav’yalov, B. I. Kvasov, V. L. Miroshnichenko. – Moskva : Nauka, 1980. – 352 ps.
3. Sukharev, A. G. Global’nyy ekstremum i metody yego otyskaniya [Global extremum and methods for finding it] // A. G. Sukharev. – Mathematical Methods and Operations Research. – Moscow : Publishing House of Moscow State University, 1983. – P. 4–37.
4. Alfutov, N. A. Vliyaniye odnostoronnikh svyazey na ustoychivost’ tsilindricheskikh obolochek pri osevom szhatii [Influence of unilateral bonds on the stability of cylindrical shells under axial compression] // N. A. Alfutov, A. N. Eremichev. – Strength Calculations. – Moscow : Engineering, 1989. – P. 179–180.
5. Feodosiev, V.I. Izbrannyye zadachi i voprosy po soprotivleniyu materialov [Selected problems and questions on the strength of materials] / V.I. Feodosiev. – Moscow : Nauka, 1967. – 376 p.
6. Andryukova, V. Nonsmooth problem of stability for elastic rings / V. Andryukova, V. Tarasov // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint-Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 213–218.
7. Tarasov, V. Nonsmooth problems in the mechanics of elastic systems // Abstracts of the Int. Conf. “Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics” dedicated to the Memory of Professor V.F. Demyanov. Part I. – Saint- Petersburg : Institute of Electrical and Electronic Engineers, 2017. – P. 252–256.
